3．2對數(shù)函數(shù)3．2.1對數(shù)的概念第1課時對數(shù)的概念學習目標1.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的基本性質(zhì)(重、難點)；2.掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化，能應用對數(shù)的定義和性質(zhì)解方程(重、難點)．預習教材P72－74，完成下面問題：知識點一對數(shù)的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．【預習評價】思考解指數(shù)方程3x＝eq\r(3)時，可化為3x＝，所以x＝eq\f(1,2).請思考怎樣解3x＝2?提示因為2難以化為以3為底的指數(shù)式，因而需要引入對數(shù)概念．知識點二對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)．(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．知識點三對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系當a＞0，且a≠1時，ax＝N?x＝logaN.知識點四常用對數(shù)和自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，log10N可簡記為lg_N，logeN簡記為ln_N.【預習評價】1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是________．(填序號)(1)e0＝1與ln1＝0；(2)＝eq\f(1,2)與log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)；(3)log39＝2與＝3；(4)log77＝1與71＝7.解析根據(jù)ab＝N?b＝logaN可知，(1)，(2)，(4)均正確，(3)不正確應是32＝9.答案(3)2．若lg(lnx)＝0，則x＝________.解析lnx＝1，x＝e.答案e3．若lg(log3x)＝1，則x的值為________．解析∵lg(log3x)＝1，∴l(xiāng)og3x＝101＝10，∴x＝310.答案310題型一對數(shù)式與指數(shù)式的互化【例1】(1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：①54＝625；②2－6＝eq\f(1,64)；③3a＝27；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))m＝5.73.(2)求下列各式中的x的值：①log64x＝－eq\f(2,3)；②logx8＝6；③lg100＝x；④－lne2＝x.解(1)①log5625＝4；②log2eq\f(1,64)＝－6；③log327＝a；④5.73＝m.(2)①＝4－2＝eq\f(1,16).②x6＝8，所以＝eq\r(2).③10x＝100＝102，于是x＝2.④由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.所以x＝－2.規(guī)律方法要求對數(shù)的值，設對數(shù)為某一未知數(shù)，將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解．【訓練1】計算：(1)log927；(2)；(3).解(1)設x＝log927，則9x＝27,32x＝33，∴x＝eq\f(3,2).題型二應用對數(shù)的基本性質(zhì)求值【例2】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；解(1)∵log2(log5x)＝0.∴l(xiāng)og5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)∵log(eq\r(2)－1)eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.(4)∵＝27x＝2，∴x＝eq\f(2,27).規(guī)律方法(1)對數(shù)式與指數(shù)式關(guān)系圖：對數(shù)式logaN＝b是由指數(shù)式ab＝N變換而來的，兩式底數(shù)相同，對數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值N，而對數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù)．(2)并非所有指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式．如(－3)2＝9就不能直接寫成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0時，才有ax＝N?x＝logaN.【訓練2】(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，則x＋y＋z的值為________．解析∵log2(log3x)＝0，∴l(xiāng)og3x＝1，∴x＝3，同理y＝4，z＝2，∴x＋y＋z＝9.答案9(2)求的值(a，b，c∈R＋且不等于1，N＞0)．考查方向題型三利用對數(shù)基本性質(zhì)解方程方向1：同底對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為有理方程【例3－1】解方程lg(－2x－1)＝lg(x2－9)．解由已知得－2x－1＝x2－9，即x2＋2x－8＝0，解得x＝－4或x＝2.經(jīng)檢驗，x＝2時，－2x－1<0，x2－9<0，與對數(shù)真數(shù)大于0矛盾，故x＝2舍去．所以原方程的根為x＝－4.方向2：同底對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為無理方程【例3－2】解方程log3(x－1)＝log3eq\r(x＋5).解由題意得x－1＝eq\r(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5，即x2－3x－4＝0.解得x＝－1或x＝4.經(jīng)檢驗，x＝－1不合題意，故舍去；x＝4是原方程的解．∴原方程的解是x＝4.方向3：整體代換轉(zhuǎn)化為有理方程【例3－3】方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析設3x＝t(t＞0)，則原方程可化為t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7.∴x＝log37.答案log37方向4：指、對數(shù)互化轉(zhuǎn)化為有理方程【例3－4】若log(1－x)(1＋x)2＝1，則x＝________.解析由題意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3.驗證知，當x＝0時，log(1－x)(1＋x)2無意義，當x＝0不合題意，應舍去，所以x＝－3.答案－3規(guī)律方法應熟練進行指數(shù)與對數(shù)間的相互轉(zhuǎn)化，在解題過程中，看到對數(shù)就應想到它的指數(shù)形式，看到指數(shù)就應想到它的對數(shù)形式．(1)對數(shù)運算時的常用性質(zhì)：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用對數(shù)的性質(zhì)時，有時需要將底數(shù)或真數(shù)進行變形后才能運用；對于多重對數(shù)符號的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對數(shù)的性質(zhì).課堂達標1．2x＝3化為對數(shù)式是________．解析∵2x＝3，∴x＝log23.答案x＝log232．若log3x＝3，則x＝________.解析∵log3x＝3，∴x＝33＝27.答案273．ln1＋log(eq\r(2)－1)(eq\r(2)－1)＝________.解析ln1＋log(eq\r(2)－1)(eq\r(2)－1)＝0＋1＝1.答案14．設10lgx＝100，則x的值為________．答案1005．求下列各式的值：(1)log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1；(2)log327；(3)32＋log35.解(1)設x＝log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1，則(2－eq\r(3))x＝(2＋eq\r(3))－1＝eq\f(1,2＋\r(3))＝2－eq\r(3)，∴x＝1.即log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1＝1.(2)∵33＝37，∴l(xiāng)og