21.1二次函數(shù)第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********21.1二次函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解二次函數(shù)的定義，掌握其一般形式。能夠準(zhǔn)確識(shí)別二次函數(shù)，并指出各項(xiàng)系數(shù)。學(xué)會(huì)用二次函數(shù)表達(dá)式表示實(shí)際問題。課堂講解問題引入要用長(zhǎng)20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個(gè)矩形的花圃，設(shè)連墻的一邊為x，矩形的面積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。分析：矩形另一邊為\((20-2x)\)，則\(y=x(20-2x)=-2x^{2}+20x\)。某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個(gè)橙子?，F(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽(yáng)光就會(huì)減少。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子。設(shè)果園增種x棵橙子樹，橙子的總產(chǎn)量為y個(gè)，試寫出y與x之間的關(guān)系式。分析：增種x棵樹后，共有\(zhòng)((100+x)\)棵樹，每棵樹結(jié)果\((600-5x)\)個(gè)，則\(y=(100+x)(600-5x)=-5x^{2}+100x+60000\)。知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的定義定義：一般地，表達(dá)式形如\(y=ax^{2}+bx+c\)（a，b，c是常數(shù)，且\(aa?

0\)）的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。其中x是自變量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。注意事項(xiàng)：等號(hào)左邊是函數(shù)\(y\)，右邊是關(guān)于自變量\(x\)的整式。自變量\(x\)的最高次數(shù)是2。二次項(xiàng)系數(shù)\(aa?

0\)，當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(y=bx+c\)就變成了一次函數(shù)。例題講解例1：下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？并指出二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。(1)\(y=3x-1\)；(2)\(y=-5x^{2}\)；(3)\(y=\frac{2}{x^{2}}\)；(4)\(y=3x(2-x)\)；(5)\(y=3(x-2)(x-5)\)；(6)\(y=\frac{1}{x^{2}}+x\)。分析：(1)\(y=3x-1\)是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)。(2)\(y=-5x^{2}\)是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為\(-5\)，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為0。(3)\(y=\frac{2}{x^{2}}\)，自變量在分母上，不是整式，所以不是二次函數(shù)。(4)\(y=3x(2-x)=-3x^{2}+6x\)，是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為\(-3\)，一次項(xiàng)系數(shù)為6，常數(shù)項(xiàng)為0。(5)\(y=3(x-2)(x-5)=3(x^{2}-7x+10)=3x^{2}-21x+30\)，是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為\(-21\)，常數(shù)項(xiàng)為30。(6)\(y=\frac{1}{x^{2}}+x\)，自變量在分母上，不是整式，所以不是二次函數(shù)。解：(2)與(5)是二次函數(shù)。(2)\(y=-5x^{2}\)的二次項(xiàng)系數(shù)為\(-5\)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都為0；(5)化為一般式，得到\(y=3x^{2}-21x+30\)，所以\(y=3(x-2)(x-5)\)的二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為\(-21\)，常數(shù)項(xiàng)為30。用二次函數(shù)表達(dá)式表示實(shí)際問題例2：用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)x的變化而變化，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍。分析：矩形的另一邊長(zhǎng)為\(\frac{60}{2}-x=30-x\)，根據(jù)矩形面積公式\(S=x(30-x)=-x^{2}+30x\)。因?yàn)檫呴L(zhǎng)不能為負(fù)，且\(2x\lt60\)（籬笆長(zhǎng)度限制），所以\(0\ltx\lt30\)。解：\(S=-x^{2}+30x(0\ltx\lt30)\)。課堂小結(jié)二次函數(shù)定義：\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常數(shù)，\(aa?

0\)）。注意要點(diǎn)：等號(hào)右邊是關(guān)于自變量\(x\)的整式。自變量\(x\)最高次數(shù)是2。二次項(xiàng)系數(shù)\(aa?

0\)。用二次函數(shù)表示實(shí)際問題：分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。根據(jù)已知條件列出函數(shù)表達(dá)式。確定自變量的取值范圍。作業(yè)提升指出下列函數(shù)中的二次函數(shù)：\(y=2x+1\)；\(y=x^{2}+\frac{1}{x}\)；\(y=3x^{2}-2x+1\)；\(y=2x^{2}(x-1)\)；\(y=(x+1)^{2}-(x-1)^{2}\)。已知一個(gè)直角三角形兩直角邊的和為20cm，設(shè)其中一條直角邊的長(zhǎng)為xcm，直角三角形的面積為S\(cm^{2}\)。求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍。當(dāng)\(x=8\)時(shí)，求直角三角形的面積。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長(zhǎng)40m的圍網(wǎng)，在水庫(kù)中圍一塊矩形的水面,投放魚苗.要使圍成的水面面積最大，則它的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少米?設(shè)圍成的矩形水面的一邊長(zhǎng)為xm,那么，矩形水面的另一邊長(zhǎng)應(yīng)為(20-x)m.若它的面積是Sm2,則有S=x(20-x).這里x的取值有什么限制？（0＜x＜20）有一玩具廠，如果安排裝配工15人，那么每人每天可裝配玩具190個(gè)；如果增加人數(shù)，那么每增加1人，可使每人每天少裝配玩具10個(gè).問增加多少人才能使每天裝配玩具總數(shù)最多？玩具總數(shù)最多是多少？設(shè)增加x人，則每天裝配玩具總數(shù)y可表示為：y=(190-10x)(15+x)思考

函數(shù)的表達(dá)式S=x(20-x),

y=(190-10x)(15+x)有什么共同點(diǎn)?

上述兩個(gè)函數(shù)都是用自變量的二次式表示的.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)①y=6x2

,

,②y=20x2+40x+20.③分別指出下列二次函數(shù)表達(dá)式的自變量、各項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)。出題角度一二次函數(shù)的識(shí)別下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有

。二次函數(shù)：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）√a=0×最高次數(shù)是4××√=x2√①⑤⑥運(yùn)用定義法判斷一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的步驟：（1）將函數(shù)表達(dá)式右邊整理為含自變量的代數(shù)式，左邊是函數(shù)（因變量）的形式；（2）判斷右邊含自變量的代數(shù)式是否是整式；（3）判斷自變量的最高次數(shù)是否是2；（4）判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否不等于0.出題角度二

應(yīng)用二次函數(shù)的概念求相關(guān)字母的取值(或范圍)解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得解得m=3或m=-1.當(dāng)m=3時(shí)，y=6x2+9;當(dāng)m=-1時(shí)，y=2x2-4x+1.綜上所述，該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=6x2+9或y=2x2-4x+1.練習(xí)解：依題意，得解得a=-1.出題角度三

求二次函數(shù)的函數(shù)值知識(shí)點(diǎn)2根據(jù)具體問題確定二次函數(shù)表達(dá)式根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)模型的一般步驟：①仔細(xì)審題，分析數(shù)量之間的關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；②根據(jù)實(shí)際問題中的等量關(guān)系，列二次函數(shù)關(guān)系式，并化成一般形式；③聯(lián)系實(shí)際，確定自變量的取值范圍.①已知圓的面積y(cm2)與圓的半徑x(cm)，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②王先生存入銀行2萬(wàn)元,先存一個(gè)一年定期，一年后銀行將本息自動(dòng)轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年定期,設(shè)一年定期的存款年利率為x，兩年后王先生共得本息和y萬(wàn)元,寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；③一個(gè)圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關(guān)系式.y=πx2y=2(1+x)2S=4πr2做一做:(x>0)(x>0)(r>0)說(shuō)一說(shuō)以上二次函數(shù)表達(dá)式的各項(xiàng)系數(shù)。隨堂演練1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）

A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=x-22.二次函數(shù)y=3x2-2x-4的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是（）

A.1B.-1C.7D.-63.已知函數(shù)y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函數(shù)，則a的取值范圍是

.C基礎(chǔ)鞏固Ba≠14.某種商品的價(jià)格是2元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價(jià)，如果每次降價(jià)的百分率都是x，則經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格y（單位：元）與每次降價(jià)的百分率x的函數(shù)關(guān)系式是

.5.正方形的邊長(zhǎng)為10cm，在中間挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的正方形，若剩余部分的面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=100-x2，x的取值范圍為

.6.一輛汽車的行駛距離s（單位：m）與行駛時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為s=9t+0.5t2，則經(jīng)過(guò)12s汽車行駛了

m，行駛380m需

s.y=2(1-x)20≤x≤1018020綜合應(yīng)用7.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，寫出△PBQ的面積S與出發(fā)時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.解：依題意，得AP=2t,BQ=4t.∵AB=12,∴PB=12-2t,t的取值范圍為0≤t≤6.∴∴拓展延伸解：由題意可得

解得m=1.知識(shí)點(diǎn)1

二次函數(shù)的概念及自變量的取值范圍1．

[知識(shí)初練]若y關(guān)于x的函數(shù)y＝axb－7是二次函數(shù)，則b＝

______，a應(yīng)該滿足______，自變量x的取值范圍是

__________．2．

[2024·江蘇期中]下列函數(shù)中一定是二次函數(shù)的是(

)A．

y＝3x－1B．

y＝ax2＋bx＋cC．

y＝＋xD．

s＝2t2－2t＋12a≠0全體實(shí)數(shù)D23456789110113．

若關(guān)于x的函數(shù)y＝(a－1)x2＋x－2是二次函數(shù)，則a應(yīng)滿

足的條件是(

)A．

a≠0B．

a＝0C．

a≠1D．

a＝1C23456789110114.

[原創(chuàng)題]分別指出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系

數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)y＝x2＋4xy＝1－x2y＝(－x＋2)(x－3)140－101－15－62345678911011知識(shí)點(diǎn)2

根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)表達(dá)式【主題情境】3D打印技術(shù)某3D打印工作室主要承接各類創(chuàng)意模型的打印訂單，隨

著技術(shù)的推廣，業(yè)務(wù)上有不同方面的變化，這些變化可以用

二次函數(shù)來(lái)描述．請(qǐng)完成5－7題．23456789110115．

已知該3D打印工作室年初開業(yè)時(shí)，第一個(gè)月完成了50件

3D打印作品，之后由于線上宣傳推廣，訂單量逐月增長(zhǎng)，

設(shè)每月的增長(zhǎng)率都是x，經(jīng)過(guò)兩個(gè)月增長(zhǎng)后的月訂單量y(件)

與x的函數(shù)關(guān)系式為_________________．6．3D打印工作室準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一款新的圓形打印平臺(tái)，若圓的

半徑是4cm，當(dāng)半徑增加x(cm)，圓的面積增加y(cm2)，則y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是______________．y＝50(1＋x)2y＝πx2＋8πx23456789110117．

如圖，3D打印工作室有一個(gè)戶外展示區(qū)域，計(jì)劃用長(zhǎng)為

24m的擋板，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m)，圍

成中間隔有一道擋板的矩形場(chǎng)地來(lái)展示大型3D打印雕塑作

品．設(shè)AB為xm，面積為S

m2.(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；解：(1)因?yàn)锳B為xm，擋板長(zhǎng)為24m，所以AD＝(24－3x)m，所以S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.23456789110117．

如圖，3D打印工作室有一個(gè)戶外展示區(qū)域，計(jì)劃用長(zhǎng)為24m的擋板，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m)，圍成中間隔有一道擋板的矩形場(chǎng)地來(lái)展示大型3D打印雕塑作品．設(shè)AB為xm，面積為S

m2.（2）自變量的取值范圍是多少？因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)和寬都要大于0，且墻的最大可利用長(zhǎng)度為10m，所以有解得≤x<8.所以自變量的取值范圍是≤x<8.2345678911011編者注：中檔練每題均提供1～2道變式題(掃碼下載Word版)．8．下列函數(shù)關(guān)系中，可以看成二次函數(shù)的是（）A.在一定距離內(nèi)，汽車行駛的速度與行駛的時(shí)間的關(guān)系B.正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系C.正方形的面積與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系D.圓的周長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系C23456789110119．

[2025·安慶月考改編]已知關(guān)于x的函數(shù)y＝(m2＋2m)x2＋

mx＋m＋1.請(qǐng)寫出下列各題中m需滿足的條件．(1)當(dāng)________時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)；(2)當(dāng)______________時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)．m＝－2m≠－2且m≠0點(diǎn)撥：(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函數(shù)，所以m2＋2m＝0且m≠0.解得m＝－2.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函數(shù)，所以m2＋2m≠0，解得m≠－2且m≠0.234567891101110.[2025年1月蕪湖期末]超市的某種牛奶平均每天可銷售20箱，每箱盈利30元。為了盡快減少庫(kù)存，超市決定采取適當(dāng)降價(jià)的措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱每降價(jià)1元，每天可多售5箱。若設(shè)每箱降價(jià)x元。(1)根據(jù)題意，填表：每箱利潤(rùn)（元）日銷售量（箱）利潤(rùn)（元）降價(jià)前3020600降價(jià)后①___________②__________30－x20＋5x234567891101110.[2025年1月蕪湖期末]超市的某種牛奶平均每天可銷售20箱，每箱盈利30元.為了盡快減少庫(kù)存，超市決定采取適當(dāng)降價(jià)的措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱每降價(jià)1元，每天可多售5箱.若設(shè)每箱降價(jià)x元.(2)若每天獲得利潤(rùn)W元，求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（不必寫出x的取值范圍）根據(jù)題意，得W＝(30－x)(20＋5x)，化簡(jiǎn)，得W＝－5x2＋130x＋600，所以W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為W＝－5x2＋130x＋600.234567891101111.[推理能力

2025·合肥月考]如圖，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q