2025年水利工程師水力學模擬練習題與參考答案一、流體靜力學基礎題目1：某水庫擋水矩形閘門垂直放置，閘門高度\(h=3\,\text{m}\)，寬度\(b=2\,\text{m}\)，閘門頂部與水庫水面平齊（即水面與閘頂齊平）。已知水的重度\(\gamma=9800\,\text{N/m}^3\)，求閘門所受靜水總壓力的大小及壓力中心的位置。解答：1.靜水總壓力計算：矩形閘門的形心位于其幾何中心，由于閘頂與水面平齊，形心深度\(h_c=\frac{h}{2}=\frac{3}{2}=1.5\,\text{m}\)。閘門的受壓面積\(A=b\timesh=2\times3=6\,\text{m}^2\)。靜水總壓力公式為\(P=\gammah_cA\)，代入數據得：\(P=9800\times1.5\times6=88200\,\text{N}=88.2\,\text{kN}\)。2.壓力中心位置計算：壓力中心是總壓力的作用點，其深度\(y_D\)可通過慣性矩公式計算。對于矩形平面，繞水平形心軸的慣性矩\(I_c=\frac{bh^3}{12}\)。壓力中心深度公式為\(y_D=h_c+\frac{I_c}{h_cA}\)。代入數據：\(I_c=\frac{2\times3^3}{12}=\frac{54}{12}=4.5\,\text{m}^4\)，\(y_D=1.5+\frac{4.5}{1.5\times6}=1.5+\frac{4.5}{9}=1.5+0.5=2.0\,\text{m}\)（即壓力中心位于水面下2.0米處）。二、恒定流連續(xù)性方程應用題目2：某水平變直徑圓管輸送水流，上游斷面1的直徑\(d_1=100\,\text{mm}\)，下游斷面2的直徑\(d_2=50\,\text{mm}\)。已知斷面1的平均流速\(v_1=1\,\text{m/s}\)，求斷面2的平均流速\(v_2\)。解答：恒定流連續(xù)性方程為\(v_1A_1=v_2A_2\)，其中\(zhòng)(A=\frac{\pid^2}{4}\)。斷面1面積\(A_1=\frac{\pi\times(0.1)^2}{4}=0.00785\,\text{m}^2\)，斷面2面積\(A_2=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}=0.00196\,\text{m}^2\)。代入連續(xù)性方程得：\(v_2=v_1\times\frac{A_1}{A_2}=1\times\frac{0.00785}{0.00196}\approx4\,\text{m/s}\)。三、能量方程（伯努利方程）綜合應用題目3：某水平管道從水庫引水，管道直徑\(d=150\,\text{mm}\)，長度\(L=100\,\text{m}\)，沿程阻力系數\(\lambda=0.02\)，管道入口局部阻力系數\(\zeta_{\text{入口}}=0.5\)，出口流入大氣。水庫水面與管道出口中心的高差\(H=5\,\text{m}\)，求管道的流量\(Q\)（水的密度\(\rho=1000\,\text{kg/m}^3\)，重力加速度\(g=9.8\,\text{m/s}^2\)）。解答：以水庫水面為1-1斷面（基準面），管道出口為2-2斷面，列伯努利方程：\(z_1+\frac{p_1}{\gamma}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\gamma}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)。其中，\(z_1-z_2=H=5\,\text{m}\)，\(p_1=p_2=0\)（均為大氣壓），\(v_1\approx0\)（水庫水面流速可忽略），總水頭損失\(h_w=h_f+h_j\)。沿程水頭損失\(h_f=\lambda\frac{L}z3jilz61osys\frac{v^2}{2g}\)，局部水頭損失\(h_j=\zeta_{\text{入口}}\frac{v^2}{2g}\)（出口局部損失為0，因流入大氣無收縮）。代入伯努利方程得：\(5=0+0+\frac{v^2}{2g}+\lambda\frac{L}z3jilz61osys\frac{v^2}{2g}+\zeta_{\text{入口}}\frac{v^2}{2g}\)。整理后：\(5=\frac{v^2}{2g}\left(1+\lambda\frac{L}z3jilz61osys+\zeta_{\text{入口}}\right)\)。代入已知參數：\(1+0.02\times\frac{100}{0.15}+0.5=1+13.33+0.5=14.83\)，\(v^2=\frac{5\times2\times9.8}{14.83}\approx\frac{98}{14.83}\approx6.61\)，\(v\approx2.57\,\text{m/s}\)。流量\(Q=Av=\frac{\pid^2}{4}v=\frac{\pi\times0.15^2}{4}\times2.57\approx0.045\,\text{m}^3/s\)（即45L/s）。四、動量方程應用（彎管受力分析）題目4：水平放置的90°彎管，直徑\(d=200\,\text{mm}\)，流量\(Q=0.1\,\text{m}^3/s\)。斷面1的壓強\(p_1=150\,\text{kPa}\)，斷面2的壓強\(p_2=140\,\text{kPa}\)，彎管內水流方向由x軸轉向y軸（不計水頭損失）。求水流對彎管的作用力大小及方向。解答：1.控制體與流速計算：取彎管內的水流為控制體，斷面1和斷面2的平均流速\(v_1=v_2=v=\frac{Q}{A}\)，其中\(zhòng)(A=\frac{\pid^2}{4}=\frac{\pi\times0.2^2}{4}=0.0314\,\text{m}^2\)，\(v=\frac{0.1}{0.0314}\approx3.18\,\text{m/s}\)。2.動量方程建立：動量方程為\(\sumF=\rhoQ(v_{\text{出}}-v_{\text{入}})\)。-x方向：控制體受彎管的作用力\(F_x'\)（向左為負），斷面1的壓強作用力\(p_1A\)（向右為正），斷面2的壓強在x方向無分量。動量變化為\(\rhoQ(0-v)\)（因斷面2流速沿y方向，x方向動量為0）。方程：\(p_1A-F_x'=\rhoQ(0-v)\)，解得\(F_x'=p_1A+\rhoQv\)。-y方向：控制體受彎管的作用力\(F_y'\)（向下為負），斷面2的壓強作用力\(p_2A\)（向上為正），斷面1的壓強在y方向無分量。動量變化為\(\rhoQ(v-0)\)（因斷面1流速沿x方向，y方向動量為0）。方程：\(p_2A-F_y'=\rhoQ(v-0)\)，解得\(F_y'=p_2A-\rhoQv\)。3.計算作用力：-\(p_1A=150000\times0.0314=4710\,\text{N}\)，\(\rhoQv=1000\times0.1\times3.18=318\,\text{N}\)，\(F_x'=4710+318=5028\,\text{N}\)（彎管對水流的x方向作用力向左）。-\(p_2A=140000\times0.0314=4396\,\text{N}\)，\(F_y'=4396-318=4078\,\text{N}\)（彎管對水流的y方向作用力向下）。水流對彎管的作用力與彎管對水流的作用力大小相等、方向相反，即\(F_x=5028\,\text{N}\)（向右），\(F_y=4078\,\text{N}\)（向上）?？傋饔昧Υ笮(F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{5028^2+4078^2}\approx6470\,\text{N}\)，方向與x軸夾角\(\theta=\arctan\left(\frac{F_y}{F_x}\right)=\arctan\left(\frac{4078}{5028}\right)\approx39^\circ\)。五、沿程水頭損失計算（達西公式）題目5：某鑄鐵管道輸送20℃清水（運動粘度\(\nu=1.007\times10^{-6}\,\text{m}^2/s\)），管道直徑\(d=300\,\text{mm}\)，長度\(L=500\,\text{m}\)，流量\(Q=0.2\,\text{m}^3/s\)，鑄鐵管當量粗糙度\(\Delta=0.3\,\text{mm}\)。計算沿程水頭損失\(h_f\)（重力加速度\(g=9.8\,\text{m/s}^2\)）。解答：1.流速與雷諾數計算：流速\(v=\frac{Q}{A}=\frac{0.2}{\frac{\pi\times0.3^2}{4}}\approx\frac{0.2}{0.0707}\approx2.83\,\text{m/s}\)，雷諾數\(Re=\frac{vd}{\nu}=\frac{2.83\times0.3}{1.007\times10^{-6}}\approx8.49\times10^5\)（遠大于2000，為湍流）。2.沿程阻力系數\(\lambda\)確定：相對粗糙度\(\frac{\Delta}z3jilz61osys=\frac{0.3}{300}=0.001\)。查莫迪圖（湍流過渡區(qū)）或用柯列布魯克公式\(\frac{1}{\sqrt{\lambda}}=-2\lg\left(\frac{\Delta}{3.7d}+\frac{2.51}{Re\sqrt{\lambda}}\right)\)。試算：假設\(\lambda=0.02\)，代入右側：\(-2\lg\left(\frac{0.001}{3.7}+\frac{2.51}{8.49\times10^5\times\sqrt{0.02}}\right)\approx-2\lg(0.00027+0.00021)\approx-2\lg(0.00048)\approx3.63\)，\(\frac{1}{\sqrt{0.02}}\approx7.07\)，不相等。調整\(\lambda=0.021\)，右側\(-2\lg\left(0.00027+\frac{2.51}{8.49\times10^5\times\sqrt{0.021}}\right)\approx-2\lg(0.00027+0.00020)\approx3.67\)，\(\frac{1}{\sqrt{0.021}}\approx6.90\)，仍不相等。繼續(xù)調整至\(\lambda\approx0.022\)，右側\(-2\lg(0.00027+0.00019)\approx3.71\)，\(\frac{1}{\sqrt{0.022}}\approx6.74\)，接近。實際工程中可近似取\(\lambda=0.022\)。3.沿程水頭損失計算：\(h_f=\lambda\frac{L}z3jilz61osys\frac{v^2}{2g}=0.022\times\frac{500}{0.3}\times\frac{2.83^2}{2\times9.8}\approx0.022\times1666.67\times\frac{8.01}{19.6}\approx0.022\times1666.67\times0.409\approx15.1\,\text{m}\)。六、局部水頭損失計算（突然擴大管）題目6：水流從直徑\(d_1=50\,\text{mm}\)的管道突然流入直徑\(d_2=100\,\text{mm}\)的管道，流量\(Q=10\,\text{L/s}\)（即\(0.01\,\text{m}^3/s\)）。求突然擴大的局部水頭損失\(h_j\)（重力加速度\(g=9.8\,\text{m/s}^2\)）。解答：突然擴大局部水頭損失公式為\(h_j=\frac{(v_1-v_2)^2}{2g}\)，其中\(zhòng)(v_1\)、\(v_2\)分別為小直徑和大直徑管的流速。計算流速：\(v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0.01}{\frac{\pi\times0.05^2}{4}}=\frac{0.01}{0.00196}\approx5.10\,\text{m/s}\)，\(v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0.01}{\frac{\pi\times0.1^2}{4}}=\frac{0.01}{0.00785}\approx1.27\,\text{m/s}\)。代入公式得：\(h_j=\frac{(5.10-1.27)^2}{2\times9.8}=\frac{14.67}{19.6}\approx0.75\,\text{m}\)。七、明渠均勻流流量計算題目7：某梯形斷面明渠，底寬\(b=4\,\text{m}\)，邊坡系數\(m=1\)（即坡比1:1），正常水深\(h=1.5\,\text{m}\)，底坡\(i=0.0004\)，粗糙系數\(n=0.025\)。求明渠均勻流的流量\(Q\)（重力加速度\(g=9.8\,\text{m/s}^2\)）。解答：明渠均勻流流量公式為\(Q=AC\sqrt{Ri}\)，其中：-斷面面積\(A=(b+mh)h=(4+1\times1.5)\times1.5=5.5\times1.5=8.25\,\text{m}^2\)；-濕周\(\chi=b+2h\sqrt{1+m^2}=4+2\times1.5\times\sqrt{1+1^2}=4+3\times1.414=4+4.242=8.242\,\text{m}\)；-水力半徑\(R=\frac{A}{\chi}=\frac{8.25}{8.242}\approx1.001\,\text{m}\)；-謝才系數\(C=\frac{1}{n}R^{1/6}=\frac{1}{0.025}\times(1.001)^{1/6}\appr