第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知△ABC中，BC=4，AC=43，∠A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°3.已知函數(shù)f(x)=sinA.ω=2，φ=π6

B.ω=2,φ=-4.設(shè)l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是(

)A.若l//α，l//β，則α//β B.若α⊥β，l//α，則l⊥β

C.若l5.已知向量a=(1,3)，向量b為單位向量，且a?A.2 B.3 C.2 6.如圖，已知正六棱錐P-ABCDEF的側(cè)棱長(zhǎng)為6，底面邊長(zhǎng)為3，Q是底面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ≤42，則點(diǎn)QA.4πB.5π

C.6π7.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“A>B”是“asinA>bsinBA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=4,CD=2,AD=A.1 B.3 C.5 D.79.在△ABC中，已知AB?AC=4，|BC|=3，M、N分別是BCA.5 B.214 C.6 D.10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AA.直線FG與平面ACD1相交

B.B1D⊥平面EFG

C.若AB=1，則點(diǎn)D到平面ACD1的距離為33

D.該正方體的棱所在直線與平面11.已知向量a=(1,k)，b=(2,2)，且a+b與a共線，則實(shí)數(shù)12.有一個(gè)木制工藝品，其形狀是一個(gè)圓柱被挖去一個(gè)與其共底面的圓錐.已知圓柱的底面半徑為3，高為5，圓錐的高為4，則這個(gè)木質(zhì)工藝品的體積為

，表面積為

．13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b-22c=14.如圖，△AB1C1，△C1B2C2，△C2B3C15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是側(cè)面DCC1D1上(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是線段B1D上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①任意點(diǎn)P，都有CD1⊥MP；

②存在點(diǎn)P，使得B1D⊥平面MPC；

③存在無數(shù)組點(diǎn)三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2asinxcosx-2cos2x的一個(gè)零點(diǎn)為π6．

(Ⅰ)求a的值及f(x)的最小正周期；

17.(本小題13分)

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱DD1，C1D1的中點(diǎn)．

(1)18.(本小題14分)

如圖所示，已知△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，∠A=π4，AB=4，BD=10，AD>AB．

(Ⅰ)求sin∠19.(本小題15分)

在△ABC中，cos2A+cosA=0．

(1)求A的大?。?/p>

(2)若a=7，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，求△ABC最長(zhǎng)邊上的高線的長(zhǎng)．

條件①：sinC=5314；

條件20.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AC⊥BC，AC=BC=CC1，E，F(xiàn)分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AC⊥C1F；

(21.(本小題15分)

已知n維向量a=(a1,a2,?,an)，給定k∈{1,2,…,n-1)，定義變換φk：選取i∈(0,1,…n-1}，再選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，對(duì)a的坐標(biāo)進(jìn)行如下改變：

若此時(shí)i+k≤n，則將ai+1，ai+2，…，ai+k同時(shí)加上x，其余坐標(biāo)不變；

若此時(shí)i+k>n，則將ai+1，ai+2，…an及a1，a2，…，ai+k-n同時(shí)加上x，其余坐標(biāo)不變．

若a經(jīng)過有限次變換φk(每次變換所取的i，x的值可能不同)后，最終得到的向量(t1,t2,?,tn)滿足t1=t2=?=tn，則稱a為k階可等向量．

例如，向量(1,3,2)經(jīng)過兩次變換φ2參考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.C

6.B

7.C

8.B

9.C

10.A

11.1

12.33π

；；13.π414.36

15.①③④

16.解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)=2asinxcosx-2cos2x，

所以f(π6)=2a?12?32-2×(32)2=0，

解得a=3，

所以f(x)=17.證明：(1)由正方體ABCD-A1B1C1D1的結(jié)構(gòu)特征，可得B1C1⊥平面ABB1A1，

∵A1B?平面ABB1A1，∴B1C1⊥A1B，

∵A1ABB1為正方形，∴A1B⊥AB1，

又∵B1C1?AB1=B1，∴A1B⊥平面ADC118.解：(Ⅰ)在△ABD中，∠A=π4，AB=4，BD=10，

由正弦定理可得ABsin∠ADB=BDsinA，可得sin∠ADB=ABBD?sinA=410?22=255，

即sin∠ADB=255；

(19.(1)因?yàn)閏os2A+cosA=0，所以2cos2A+cosA-1=0，

所以(2cosA-1)(cosA+1)=0，所以cosA=12或cosA=-1，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以cosA=12，所以A=π3；

(2)選擇條件①，因?yàn)锳=π3，由正弦定理csinC=asinA得c5314=732，得c=5，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得49=b2+25-2?5b?12，20.(Ⅰ)證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵側(cè)棱垂直于底面，∴CC1⊥平面ABC，則CC1⊥AC．

∵AC⊥BC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．

∵C1F?平面BCC1B1，∴AC⊥C1F；

(Ⅱ)證明：取A1C1的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，F(xiàn)H．

則EH//B1C1，且EH=12B1C1，

又∵BF//B1C1，且BF=12B1C1，

∴EH//BF，且EH=BF．

∴四邊形BEHF為平行四邊形，則BE//FH．

又BE?平面A1C1F，F(xiàn)H?平面A1C1F，

∴BE21.解：(Ⅰ)(1，2，3)是2階可等向量，

例如，向量(1,2,3)經(jīng)過兩次變換φ2可得：

(1,2,3)→i=3,x=1(2,3,3)→i=1,x=-1(2,2,2)，

所以(1,2,3)是2階可等向量．

(Ⅱ)設(shè)(a1,a2,a3,a4)進(jìn)行一次變換φ2后得(a1',a2