第一章集合與常用邏輯用語（綜合測試卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列各組兩個(gè)集合A和B，表示相等集合的是()A.A＝{π}，B＝{3.14159}B.A＝{2，3}，B＝{(2，3)}C.A＝{1，eq\r(3)，π}，B＝{π，1，|－eq\r(3)|}D.A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}2.設(shè)全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，A＝{5，7}，則a的值是()A.2B.8C.－2或8D.2或83.若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解為元素組成集合M，則M中元素的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.44.已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，則()A.M?NB.N?MC.M∩N＝D.M∪N＝R5.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．（－∞，2]B．（2，4]C．[2，4]D．（－∞，4]6.設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足M＝{1，3}，則()A.2∈MB.3∈MC.4MD.5M7.設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，則N∪M＝()A.{2，3，5}B.{1，3，4}C.{1，2，4，5}D.{2，3，4，5}8.若p：a∈M∪N，q：a∈M，則p是q的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既是充分條件也是必要條件D.既不充分也不必要條件二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.設(shè)集合A＝{x|x2－2x＝0}，則下列表述正確的是()A.{0}∈AB.2∈AC.{2}∈AD.0∈A10.設(shè)集合A＝{x|x2－7x＋10＝0}，B＝{x|ax－10＝0}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a的值可以是()A.0B.1C.2D.511.下列存在量詞命題中，是真命題的是()A.?x∈Z，x2－2x－3＝0B.至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除C.?x∈R，|x|<0D.有些自然數(shù)是偶數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上．12.若集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為__________13.已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a值集合為________14.若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，則a的最大值為________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（14分）用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)組成的集合；(3)方程組eq\b\lc\{(\a\vs7\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集．16.（14分）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出它們的否定：(1)p：對(duì)任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0．17.（15分）已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|5＜2x－1＜17}．(1)求A∩B，(B)∪A；(2)已知C＝{x|m＋2＜x≤2m}，若C∩B＝C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18.（17分）在①x∈A是x∈B的充分不必要條件；②A?B；③A∩B＝這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求A∪B；(2)若________，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19.（17分）設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°．參考答案及解析：一、單選題1.C解析：集合相等，兩集合中的元素完全相同．選項(xiàng)A，∵π≠3.14159，∴A≠B；選項(xiàng)B，∵2，3表示兩個(gè)實(shí)數(shù)，而(2，3)表示一個(gè)點(diǎn)，∴A≠B；選項(xiàng)C，∵|－eq\r(3)|＝eq\r(3)，∴A＝B；選項(xiàng)D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}，B＝{1}，∴A≠B．故選C．2.D解析：∵A∪(A)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或a＝8．故選D．3.C解析：方程x2－5x＋6＝0的解為x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解為x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3個(gè)元素．故選C．4.B解析：由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N?M．故選B．5.D解析：因?yàn)锽?A，當(dāng)B＝時(shí)，即m＋1≥2m－1，解得m≤2；當(dāng)B≠時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4．綜上所述，可得m≤4．故選D．6.A解析：因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3M，4∈M，5∈M．故選A．7.A解析：因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以M＝{2，3，5}．又因?yàn)镹＝{2，5}，所以N∪M＝{2，3，5}．故選A．8.B解析：由a∈M∪Neq\o(?,/)a∈M，但a∈M?a∈M∪N，即peq\o(?,/)q，但q?p．故選B．二、多選題9.BD解析：∵集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，∵元素與集合是屬于關(guān)系，故A、C不正確．10.ACD解析：∵A∪B＝A，∴B?A，A＝{x|x2－7x＋10＝0}＝{2，5}，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，B＝，則eq\f(10,a)＝2或eq\f(10,a)＝5，解得a＝5或a＝2．故選ACD．11.ABD解析：A中，x＝－1時(shí)，滿足x2－2x－3＝0，所以A是真命題；B中，6能同時(shí)被2和3整除，所以B是真命題；D中，2既是自然數(shù)又是偶數(shù)，所以D是真命題；C中，因?yàn)樗袑?shí)數(shù)的絕對(duì)值非負(fù)，所以C是假命題．故選ABD．三、填空題12.答案：2，1，0解析：由題意可得3－x可以為1，2，3，且x為自然數(shù)，因此x的值為2，1，0，因此A中元素為2，1，0．13.答案：{0，－1，2}解析：因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝時(shí)，a＝0；當(dāng)B≠時(shí)，B＝，則eq\f(2,a)＝－2或eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1或a＝2，所以實(shí)數(shù)a值集合為{0，－1，2}．14.答案：－1解析：因?yàn)閤2＞1，所以x＜－1或x＞1．又因?yàn)椤皒2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，所以x＜a?x2＞1但x2＞1eq\o(?,/)x＜a．如圖，所以a≤－1，所以a的最大值為－1．四、解答題15.解：(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集合是{0，2，4，6，8，10}．(2)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0，1)，故直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)組成的集合是{(0，1)}．(3)解方程組eq\b\lc\{(\a\vs7\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{(\a\vs7\al\co1(x＝0，,y＝1，))所以用列舉法表示方程組eq\b\lc\{(\a\vs7\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集為{(0，1)}．16.解：(1)由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱量詞命題；又由于“任意”的否定為“存在一個(gè)”，因此，p的否定：存在一個(gè)x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“?x∈R”表示存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，即命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”，因而是存在量詞命題；又由于“存在一個(gè)”的否定為“任意一個(gè)”，因此，p的否定：對(duì)任意一個(gè)x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．17.解：(1)因?yàn)锽＝{x|5＜2x－1＜17}＝{x|3＜x＜9}，所以A∩B＝{x|3＜x＜7}，B＝{x|x≤3或x≥9}，所以(B)∪A＝{x|x＜7或x≥9}．(2)因?yàn)镃∩B＝C，所以C?B．當(dāng)C＝時(shí)，m＋2≥2m，解得m≤2；當(dāng)C≠時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs7\al\co1(m＋2＜2m，,m＋2≥3，,2m＜9，))解得2＜m＜eq\f(9,2)．綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18.解：(1)因?yàn)閨x|≤2，所以－2≤x≤2．所以B＝{x|－2≤x≤2}．當(dāng)m＝2時(shí)，A＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}．(2)由(1)得B＝{x|－2≤x≤2}，選①，x∈A是x∈B的充分不必要條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))且等號(hào)不同時(shí)成立，解得－1≤m≤1．選②，A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))解得－1≤m≤1．選③，A∩B＝，則m－1＞2或m＋1＜－2，解得m＞3或m＜－3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＞3或m＜－3}．19.證明：充分性．因?yàn)椤螦＝90°，所以a2＝b2＋c2，于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0，所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，所以該方程有兩根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同樣另一方程x2＋2cx－