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文檔簡介
高中數(shù)學函數(shù)奇偶性教學設(shè)計課件副標題:基于核心素養(yǎng)的探究式教學設(shè)計一、課件基本信息課程:高中數(shù)學(必修1)章節(jié):函數(shù)的基本性質(zhì)(第二節(jié))課時:1課時(45分鐘)設(shè)計理念:以“直觀感知—抽象概括—應(yīng)用深化”為主線,融合邏輯推理“直觀想象”“數(shù)學抽象”等核心素養(yǎng),通過探究式學習讓學生自主構(gòu)建奇偶性概念。二、教學分析(一)教材分析函數(shù)奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一,是繼單調(diào)性之后的又一重要特征。它不僅是研究函數(shù)圖像對稱性的工具,也是后續(xù)學習三角函數(shù)(如正弦函數(shù)、余弦函數(shù))、導(dǎo)數(shù)(奇偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì))、定積分(對稱區(qū)間上的積分簡化)的基礎(chǔ)。教材通過“圖像觀察—數(shù)值驗證—代數(shù)定義”的流程,體現(xiàn)了從直觀到抽象的數(shù)學思維過程。(二)學情分析知識基礎(chǔ):學生已掌握函數(shù)的定義、定義域、值域及單調(diào)性,能繪制簡單函數(shù)圖像(如一次函數(shù)、二次函數(shù))。認知特點:高一學生處于“具體形象思維向抽象邏輯思維過渡”的關(guān)鍵期,對“對稱”的幾何直觀較為熟悉,但對“奇偶性”的代數(shù)定義(抽象符號表達)需要通過直觀感知—歸納概括逐步建立。易錯點預(yù)判:忽略“定義域關(guān)于原點對稱”的前提條件;分段函數(shù)奇偶性判斷時遺漏區(qū)間驗證;混淆“偶函數(shù)”與“關(guān)于y軸對稱”、“奇函數(shù)”與“關(guān)于原點對稱”的邏輯關(guān)系(如認為“圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)”,但需強調(diào)“定義域?qū)ΨQ”)。三、教學目標(一)知識與技能1.理解函數(shù)奇偶性的代數(shù)定義(偶函數(shù):\(f(-x)=f(x)\);奇函數(shù):\(f(-x)=-f(x)\))及幾何意義(偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱)。2.掌握奇偶性的判斷步驟(定義域?qū)ΨQ性檢驗→計算\(f(-x)\→對比f(x)\))。3.能應(yīng)用奇偶性解決簡單問題(如簡化函數(shù)圖像繪制、求對稱點函數(shù)值)。(二)過程與方法1.通過“觀察圖像—計算數(shù)值—歸納定義”的探究過程,培養(yǎng)數(shù)學抽象與邏輯推理能力。2.通過小組合作討論“定義域?qū)ΨQ性的必要性”,提升批判性思維與合作學習能力。3.通過幾何畫板動態(tài)展示函數(shù)圖像的對稱性,強化直觀想象素養(yǎng)。(三)情感態(tài)度與價值觀1.體會“對稱美”在數(shù)學中的體現(xiàn)(如偶函數(shù)圖像的對稱和諧),增強對數(shù)學的審美感知。2.通過“從特殊到一般”的探究過程,感受數(shù)學的嚴謹性與邏輯性,激發(fā)學習興趣。四、教學重難點重點:函數(shù)奇偶性的定義及判斷方法。難點:(1)奇偶性定義的抽象概括(從圖像對稱到代數(shù)表達式的轉(zhuǎn)化);(2)“定義域關(guān)于原點對稱”的必要性(通過反例深化理解);(3)分段函數(shù)奇偶性的驗證方法(逐區(qū)間檢驗\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系)。五、教學方法探究式教學:以“問題串”引導(dǎo)學生自主探究,從圖像到定義逐步深入。多媒體輔助:幾何畫板展示函數(shù)圖像的對稱性,增強直觀性;PPT呈現(xiàn)例題與練習,提高課堂效率。小組合作:設(shè)置“定義域?qū)ΨQ性”“分段函數(shù)判斷”等討論環(huán)節(jié),促進思維碰撞。六、教學過程設(shè)計(一)情境引入:從生活對稱到函數(shù)對稱(5分鐘)問題1:生活中存在許多對稱現(xiàn)象(展示圖片:蝴蝶、天安門、太極圖),請舉例說明“對稱”的特征。問題2:函數(shù)圖像也有對稱特征(展示\(y=x^2\)與\(y=x^3\)的圖像),觀察這兩個函數(shù)圖像的對稱規(guī)律,你能發(fā)現(xiàn)什么?設(shè)計意圖:用生活中的對稱現(xiàn)象引發(fā)共鳴,過渡到函數(shù)圖像的對稱,激發(fā)學生的探究興趣。(二)探究新知:偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義(15分鐘)1.偶函數(shù)的探究步驟1:圖像觀察:展示\(y=x^2\)的圖像,引導(dǎo)學生說出“關(guān)于y軸對稱”的特征。步驟2:數(shù)值驗證:計算\(f(-1)\)、\(f(1)\)、\(f(-2)\)、\(f(2)\)的值(\(f(-1)=1=f(1)\),\(f(-2)=4=f(2)\)),提問:“對于任意x,\(f(-x)\)與\(f(x)\)有什么關(guān)系?”步驟3:定義概括:教師引導(dǎo)學生歸納偶函數(shù)的定義:>設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(D\),如果對于任意\(x\inD\),都有\(zhòng)(-x\inD\)(定義域關(guān)于原點對稱),且\(f(-x)=f(x)\),那么\(f(x)\)稱為偶函數(shù)。強調(diào):“任意x∈D”“-x∈D”是前提,缺一不可(如\(f(x)=x^2\)定義域為\([0,+\infty)\),則不是偶函數(shù))。2.奇函數(shù)的探究類比偶函數(shù)的探究流程:圖像觀察:展示\(y=x^3\)的圖像,說出“關(guān)于原點對稱”的特征;數(shù)值驗證:計算\(f(-1)=-1=-f(1)\),\(f(-2)=-8=-f(2)\);定義概括:>設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(D\),如果對于任意\(x\inD\),都有\(zhòng)(-x\inD\),且\(f(-x)=-f(x)\),那么\(f(x)\)稱為奇函數(shù)。3.即時練習:判斷下列函數(shù)是否為偶函數(shù)/奇函數(shù)(口頭回答)(1)\(f(x)=x^4\)(偶函數(shù),因為\(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\));(2)\(f(x)=x+1\)(非奇非偶,因為\(f(-1)=0≠f(1)=2\)且\(f(-1)=0≠-f(1)=-2\));(3)\(f(x)=0\)(既是偶函數(shù)又是奇函數(shù),因為\(f(-x)=0=f(x)\)且\(f(-x)=0=-f(x)\))。(三)概念深化:關(guān)鍵要點解析(5分鐘)問題3:為什么“定義域關(guān)于原點對稱”是判斷奇偶性的前提?(舉反例:\(f(x)=x^2\),定義域為\([1,2]\),此時\(-1?[1,2]\),無法滿足\(f(-x)=f(x)\),故不是偶函數(shù))。問題4:“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱”與“偶函數(shù)”有什么關(guān)系?(互為充要條件:偶函數(shù)→圖像關(guān)于y軸對稱;圖像關(guān)于y軸對稱→偶函數(shù),需強調(diào)定義域?qū)ΨQ)。問題5:“奇函數(shù)”的圖像特征是什么?(關(guān)于原點對稱,即繞原點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖像重合)。(四)例題講解:奇偶性的判斷(10分鐘)例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性(覆蓋不同函數(shù)類型):(1)\(f(x)=2x^2+1\)(二次函數(shù));(2)\(f(x)=\frac{1}{x}\)(分式函數(shù));(3)\(f(x)=x+1\)(一次函數(shù));(4)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x>0\\-x+1,&x<0\end{cases}\)(分段函數(shù))。解答過程(以(4)為例):第一步:檢驗定義域:\(D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\),關(guān)于原點對稱;第二步:計算\(f(-x)\):當\(x>0\)時,\(-x<0\),\(f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)\);當\(x<0\)時,\(-x>0\),\(f(-x)=(-x)+1=-x+1=f(x)\);第三步:結(jié)論:\(f(x)\)是偶函數(shù)。總結(jié)判斷步驟:1.看定義域:是否關(guān)于原點對稱(若否,直接判定為非奇非偶);2.算\(f(-x)\):用\(-x\)替換\(f(x)\)中的\(x\),化簡;3.比關(guān)系:若\(f(-x)=f(x)\),則偶函數(shù);若\(f(-x)=-f(x)\),則奇函數(shù);否則非奇非偶。(五)鞏固練習:分層訓練(8分鐘)基礎(chǔ)題(全體學生完成):判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)\(f(x)=3x\)(奇函數(shù));(2)\(f(x)=|x|\)(偶函數(shù));(3)\(f(x)=x^2+1\)(偶函數(shù));(4)\(f(x)=\frac{1}{x^3}\)(奇函數(shù))。提升題(小組討論完成):判斷分段函數(shù)的奇偶性:\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\-x^2+1,&x<0\end{cases}\)解答提示:定義域:\(R\),關(guān)于原點對稱;當\(x>0\)時,\(-x<0\),\(f(-x)=-(-x)^2+1=-x^2+1\),而\(-f(x)=-(x^2+1)=-x^2-1\),故\(f(-x)≠-f(x)\);當\(x=0\)時,\(f(0)=0^2+1=1\),\(f(-0)=f(0)=1\);當\(x<0\)時,\(-x>0\),\(f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1\),而\(f(x)=-x^2+1\),故\(f(-x)≠f(x)\);結(jié)論:非奇非偶(易錯點:學生可能忽略\(x>0\)時\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系)。(六)拓展延伸:奇偶函數(shù)的性質(zhì)(5分鐘)問題6:奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)(引導(dǎo)學生猜想并驗證):偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)(如\(f(x)=x^2\),\(g(x)=|x|\),則\(f(x)+g(x)=x^2+|x|\)是偶函數(shù));奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)(如\(f(x)=x\),\(g(x)=\frac{1}{x}\),則\(f(x)+g(x)=x+\frac{1}{x}\)是奇函數(shù));偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)(如\(f(x)=x^2\),\(g(x)=|x|\),則\(f(x)g(x)=x^2|x|\)是偶函數(shù));奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)(如\(f(x)=x\),\(g(x)=\frac{1}{x}\),則\(f(x)g(x)=1\)是偶函數(shù));偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)(如\(f(x)=x^2\),\(g(x)=x\),則\(f(x)g(x)=x^3\)是奇函數(shù))。設(shè)計意圖:聯(lián)系后續(xù)學習(如三角函數(shù)的奇偶性組合),拓展學生的知識視野。(七)課堂小結(jié):梳理知識體系(2分鐘)提問學生:本節(jié)課學到了什么?(引導(dǎo)學生從“定義”“判斷步驟”“圖像特征”“性質(zhì)”四個方面總結(jié))教師補充:奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)(需對定義域內(nèi)所有x成立);定義域?qū)ΨQ是前提,判斷時不可遺漏;圖像特征:偶函數(shù)→y軸對稱,奇函數(shù)→原點對稱。七、板書設(shè)計函數(shù)的奇偶性1.偶函數(shù)定義:定義域關(guān)于原點對稱;\(f(-x)=f(x)\)(任意\(x∈D\));圖像特征:關(guān)于y軸對稱。2.奇函數(shù)定義:定義域關(guān)于原點對稱;\(f(-x)=-f(x)\)(任意\(x∈D\));圖像特征:關(guān)于原點對稱。3.判斷步驟:(1)定義域?qū)ΨQ?→否→非奇非偶;(2)計算\(f(-x)\);(3)對比\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系。例題:例1:\(f(x)=2x^2+1\)(偶函數(shù));例2:\(f(x)=\frac{1}{x}\)(奇函數(shù));例3:分段函數(shù)\(f(x)\)(非奇非偶)。八、作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)(課本習題):完成教材第36頁練習1、2題(判斷奇偶性)。拓展作業(yè)(選做):(1)探究:若\(f(x)\)是偶函數(shù),那么\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f’(x)\)是什么函數(shù)?(提示:用導(dǎo)數(shù)定義計算\(f’(-x)\));(2)思考:如何利用奇偶性簡化函數(shù)圖像的繪制?(舉例說明:如\(f(x)=x^3+2x\),只需繪制x≥0部分,再關(guān)于原點對稱得到x<0部分)。九、教學反思成功之處:通過“圖像—數(shù)值—定義”的探究流程,學生對奇偶性的概念理解較為深刻;小組討論環(huán)節(jié)有效解決了“定義域?qū)ΨQ性”的易
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