培優(yōu)課2指、對、冪的大小比較高三一輪復習講義湘教版第二章函數與基本初等函數指數與對數是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點之一，其中指數、對數及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數、對數的互化、運算性質，以及指數函數、對數函數和冪函數的性質，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).03技法三構造函數法比較大小02技法二利用指數、對數及冪的運算性質化簡比較大小技法一直接法比較大小01內容索引04課時測評技法一直接法比較大小角度1

利用函數的單調性法比較大小

若a=1.53，b=1.52，c=0.82，則A．a>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a典例1√函數y=1.5x在R上單調遞增，函數y=0.8x在R上單調遞減，所以1.53>1.52>1.50=1=0.80>0.82，所以a>b>c.故選A．

典例2√

典例3√

規(guī)律方法對點練1.已知a=1.60.3，b=1.60.8，c=0.70.8，則A．c<a<b B．a<b<cC．b>c>a D．a>b>c√y=1.6x是增函數，故a=1.60.3<b=1.60.8，而1.60.3>1>c=0.70.8，故c<a<b.故選A．對點練2.(2024·天津卷)若a=4.2－0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，則a，b，c的大小關系為A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a√因為y=4.2x在R上單調遞增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2－0.3<4.20

<4.20.3，所以0<4.2－0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b，因為y=log4.2x在(0，+∞)上單調遞增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，所以b>a>c.故選B．返回技法二利用指數、對數及冪的運算性質化簡比較大小

(1)(2024·山東臨沂模擬)已知a=log34，b=log45，c=log56，則a，b，c的大小關系是A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>a>b典例４√

(2)(2024·河南鄭州模擬)已知a=log63，b=log84，c=lg5，則A．b<a<c B．c<b<aC．a<c<b D．a<b<c√

如果兩個指數或對數的底數相同，則可通過指數或真數的大小與指數、對數函數的單調性判斷出指數或對數的大小關系，要熟練運用指數、對數公式及性質，盡量將比較的對象轉化為某一部分相同的情況.規(guī)律方法對點練3.已知a=2100，b=365，c=930，則a，b，c的大小關系是(參考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a√c=930=360，a=2100?lg

a=lg

2100=100lg

2≈30.1，b=365?lg

b=lg

365=65lg

3≈31.011

5，c=930?lg

c=lg

360=60lg

3≈28.626，所以lg

b>lg

a>lg

c，即b>a>c.故選B．返回技法三構造函數法比較大小

典例５√

√

某些數或式子的大小關系問題，看似與函數的單調性無關，但要細心挖掘問題的內在聯(lián)系，抓住其本質，將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小.規(guī)律方法

√

√

返回課時測評1.設a=0.81.1，b=0.80.8，c=1.10.8，則a，b，c的大小關系為A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．b<a<c√因為函數y=0.8x為減函數，所以0.81.1<0.80.8<1，即a<b<1，又c=1.10.8>1，所以a<b<c.故選C．2.(2025·湖北武漢四調)記a=30.2，b=0.3－0.2，c=log0.20.3，則A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c√

√

4.(2024·山東濟寧聯(lián)考)若a=log382，b=log215，c=0.2－1.1，則A．b<a<c B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a√因為5=log335>a=log382>log381=4=log216>b=log215，c=0.2－1.1=51.1>

5，所以b<a<c.故選A．5.設a=log0.30.2，b=log32，c=log3020，則A．c<b<a B．b<c<aC．a<b<c D．a<c<b√

6.(2024·山東濰坊模擬)若3x=4y=10，z=logxy，則A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y√因為3x=4y=10，所以x=log310>log39=2，1=log44<y=log410<log416=2，則1<y<2，所以x>y>1，而z=logxy<logxx=1，所以x>y>z.故選A．7.設x，y，z為正數，且2x=3y=5z，則A．3y<2x<5z B．2x<3y<5zC．3y<5z<2x D．5z<2x<3y√

8.(多選)(2025·河南名校模擬)已知正數x，y滿足x>y，則下列選項正確的是A．log2(x2+1)>log2(y2+1) B．cosx>cosyC．(x+1)3>(y+1)3 D．e－x+1>e－y+1√√

√

√

11.(多選)(2024·山東聊城模擬)已知0<a<b<1，c>1，則A．ac>bc B．logac>logbcC．alogac>blogbc D．ac>ba√√

12.已知2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1)，則a，b，c從小到大的關系是________.

a<c<b由2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1)，可得2a=－a+k，log2b=－b+k，log3c=－c+k，且k<1，分別作出函數y=2x，y=log2x，y=log3x和y=－x+k的圖象，如圖，由圖可知：a<c<b.13.已知a=log32，b=log64，c=log96，則A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．a>c>b√

√√

15.已知a=22.1，b=2.12，c=ln2.14，則a，b，c的大小關系為A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a√構造函數f(x)=x2，g(x)=2x，如圖所示，當x∈(2，4)時，x2>2x，所以f(2.1)>g(2.1)，

所以2.12>22.1>22=4，即b>a，又因為ln

2.14=4ln

2.1，且函數y=ln

x在(0，+∞)上單調遞增，所以ln

2.1<ln

e=1，即l