第八節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第八章平面解析幾何課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.

2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.

3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題.0403考教銜接精研教材課時(shí)測評02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)微提醒

(1)與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).(2)與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).=<1.直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ>0；直線與圓錐曲線相切?Δ___0；直線與圓錐曲線相離?Δ___0.

常用結(jié)論

自主檢測

√√√

√

3.(2024·北京海淀二模)已知拋物線C：y2=4x，經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為A．(0，1)

B．(1，-3) C．(3，4)

D．(2，-2)√

返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷

師生共研

典例1

判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.規(guī)律方法對點(diǎn)練1.(1)(2025·廣東佛山模擬)已知拋物線的方程為y2=8x，若過點(diǎn)Q(-2，0)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是A．[-1，1] B．[-1，0)∪(0，1]C．(-∞，-1]∪[1，+∞) D．(-∞，-1)∪(1，+∞)√由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，代入拋物線方程，消去y并整理，得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.當(dāng)k=0時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0，解得-1≤k<0或0<k≤1.綜上，-1≤k≤1.故選A．(2)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

考點(diǎn)二圓錐曲線弦的有關(guān)問題

多維探究

√典例2

x+2y-3=0

典例3

1.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點(diǎn).(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.規(guī)律方法2.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)弦所在直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則利用弦長公式求解.(3)當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，求弦長可結(jié)合焦點(diǎn)弦公式求解.規(guī)律方法

√

√

考點(diǎn)三直線與圓錐曲線的綜合問題

師生共研

典例4

解決直線與圓錐曲線的綜合問題的策略與方法1.策略是“直曲聯(lián)立、韋達(dá)定理”.2.常用方法是“設(shè)而不求法”，即聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解.3.涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在的特殊情形.規(guī)律方法注意：(1)直曲聯(lián)立后得到一元二次方程，一定要考慮判別式Δ.(2)在直曲聯(lián)立時(shí)，設(shè)直線方程有兩種常用方法：①若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y=kx+b便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式能幫大忙”；②若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在橫軸上，一般設(shè)為my=x-a可以減小運(yùn)算量，即“直線定點(diǎn)落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”.規(guī)律方法

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

返回教材呈現(xiàn)(湘教版選擇性必修一P136例6)討論直線y=x+b與雙曲線x2-y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).點(diǎn)評：這兩題相似度很高，是源于教材的典型的高考題，都是考查直線與雙曲線的位置關(guān)系問題.課時(shí)測評

√

√

3.“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件√充分性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”，所以直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.故充分性不滿足.必要性：因?yàn)椤爸本€與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”.故必要性滿足.所以“直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件.故選B．4.(2024·安徽六安模擬)拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為l，l與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作拋物線的一條切線，切點(diǎn)為B，則△OAB的面積為A．1

B．2

C．4

D．8√

√√√

√√

13

√

13.已知拋物線C：y2=4x，圓F：(x-1)2+y2=1，直線l：y=k(x-1)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1，M2，M3，M4四點(diǎn)