重難突破一導(dǎo)數(shù)中的綜合問(wèn)題突破2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

0503技法三適當(dāng)放縮法課時(shí)測(cè)評(píng)02技法二分拆函數(shù)法(或凹凸反轉(zhuǎn)法)技法一作差構(gòu)造法01內(nèi)容索引04技法四特殊化法技法一作差構(gòu)造法

(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；解：因?yàn)閒(x)=a(ex+a)－x，定義域?yàn)镽，所以f'(x)=aex－1，當(dāng)a≤0時(shí)，由于ex>0，則aex≤0，故f'(x)=aex－1<0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=aex－1=0，解得x=－ln

a，當(dāng)x<－ln

a時(shí)，f'(x)<0，則f(x)在(－∞，－ln

a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>－ln

a時(shí)，f'(x)>0，則f(x)在(－ln

a，+∞)上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(－∞，－ln

a)上單調(diào)遞減，在(－ln

a，+∞)上單調(diào)遞增.典例1

利用作差構(gòu)造法證明不等式的基本步驟第一步：作差或變形；

第二步：構(gòu)造新的函數(shù)g(x)；

第三步：利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性或最值；

第四步：根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練1.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷節(jié)選)證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2<sinx<x.證明：令h(x)=x－x2－sin

x(0<x<1)，則h'(x)=1－2x－cos

x(0<x<1).令p(x)=1－2x－cos

x(0<x<1)，則p'(x)=－2+sin

x<0，所以p(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，即h'(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，又h'(0)=0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，h'(x)<h'(0)=0，h(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)<h(0)=0，即x－x2<sin

x.令g(x)=sin

x－x(0<x<1)，則g'(x)=cos

x－1<0，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，又g(0)=0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<g(0)=0，即sin

x<x.綜上，當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2<sin

x<x.返回技法二分拆函數(shù)法(或凹凸反轉(zhuǎn)法)

典例2

1.若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的.本例中同時(shí)含ln

x與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對(duì)數(shù)分離兩邊，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明.在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處由g(x)min=f(x)max恒成立，從而得到f(x)≤g(x)恒成立.

2.等價(jià)變形的目的是便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn)，一般地，ex與ln

x要分離，常構(gòu)造xn與ln

x，xn與ex的積、商形式，便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn).規(guī)律方法

返回技法三適當(dāng)放縮法

典例3

選擇②，當(dāng)a≥1，x>0時(shí)，f(x)=aex－x－a=a(ex－1)－x≥ex－1－x，當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立.設(shè)g(x)=ex－xln

x+cos

x－1，x>0.當(dāng)0<x≤1時(shí)，－xln

x≥0，cos

x>0，ex－1>0，故g(x)>0.當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)=ex－1－ln

x－sin

x，

放縮法構(gòu)造函數(shù)的技巧1.利用已知條件中參數(shù)范圍及不等式性質(zhì)進(jìn)行放縮(如典列3中的a≥1).

2.利用經(jīng)典不等式

(1)ex≥1+x.

(2)ln

x≤x－1進(jìn)行放縮.規(guī)律方法

則當(dāng)－2<x<－1時(shí)，h'(x)<0；當(dāng)x>－1時(shí)，h'(x)>0，即有h(x)在(－2，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，于是當(dāng)x=－1時(shí)，h(x)min=h(－1)=0，因此當(dāng)x>－2時(shí)，x+1≥ln(x+2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=－1時(shí)取等號(hào))，因?yàn)榈忍?hào)不同時(shí)成立，所以當(dāng)x>－2時(shí)，f(x)>ln(x+2).

返回技法四特殊化法(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=xeax－ex.(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xex－ex，x∈R，則f'(x)=xex，當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.典例4

證明與數(shù)列有關(guān)的不等式的策略

在證明與數(shù)列有關(guān)的不等式時(shí)，往往是從題目中已經(jīng)證得的結(jié)論(參數(shù)取值范圍、不等式等)出發(fā)，通過(guò)特殊化處理，即將其中的變量替換為特殊的變量，尤其是可替換為與自然數(shù)n有關(guān)的式子，然后再結(jié)合數(shù)列中的裂項(xiàng)求和以及不等式的放縮等方法證得結(jié)論. 規(guī)律方法

返回課時(shí)測(cè)評(píng)1.(8分)已知a=4log2e，b=6log3e，c=10log5e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則A．c>a>b B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．a(chǎn)>b>c√

2.(8分)設(shè)a=2023ln2025，b=2024ln2024，c=2025ln2023，則A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c√

(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax+1.(13分)證明：要證當(dāng)a>ln

2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax+1，即證當(dāng)a>ln

2－1且x>0時(shí)，ex－x2+2ax－1>0.設(shè)g(x)=ex－x2+2ax－1(x>0)，則g'(x)=ex－2x+2a，由(1)知g'(x)min=2－2ln

2+2a，又a>ln

2－1，則g'(x)min>0，所以對(duì)?x∈(0，+∞)，都有g(shù)'(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.所以對(duì)?x>0，都有g(shù)(x)>g(0)=0，即ex－x2+2ax－1>0，故ex>x2－2ax+1.

5.(20分)(2024·廣東汕頭模擬)設(shè)f(x)=ex，g(x)=lnx，證明：xf(x)≥x+g(x)+1.證明：因?yàn)閒(x)=ex，g(x)=ln

x，所以xf(x)≥x+g(x)+1等價(jià)于xex≥x+ln

x+1，即ex+ln

x≥x+ln

x+1，令t=x+ln

x，t∈R，則只需證et≥t+1，設(shè)g(t)=et－t－1，t∈R，則g'(t)=et－1，t∈R，當(dāng)t<0時(shí)，g'(t)<0，g(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t>0時(shí)，g'(t)>0，g(t)單調(diào)遞增；故g(t)≥g(0)=1－0－1=0，即et≥t+1成立，所以ex+ln

x≥x+ln

x+1成立，即xf(x)≥x+g(x)+1得證.

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，φ'(x)>0，所以φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以φ(x)min=φ(1)=0，所以φ(x)≥0，所以f(x)≥φ(x)≥0，即f(x)≥0.法二：令g(x)=ex－x－1，所以g'(x)=ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(0)=0，故ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”.同理可證ln

x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”.由ex