第四節(jié)空間直線、平面的垂直高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第七章立體幾何與空間向量課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明．2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題．0403考教銜接精研教材課時(shí)測評02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.直線與直線垂直(1)定義：若兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且夾角為直角，則稱這兩條直線互相垂直．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．2.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α相交，并且垂直于這個(gè)平面內(nèi)的___________，那么就稱直線l與平面α垂直記法______有關(guān)概念直線l叫作平面α的______，平面α叫作直線l的______．直線與平面垂直時(shí)，它們的交點(diǎn)叫作______圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直所有直線l⊥α垂線垂面垂足(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條______直線垂直，那么該直線與此平面垂直

?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線______?a∥b相交

平行

3.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的______所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．當(dāng)直線l與平面α平行或在平面α內(nèi)時(shí)，直線l與平面α所成的角為_____．當(dāng)直線l與平面α垂直時(shí)，直線l與平面α所成的角為_______．(2)范圍：________．射影0°90°

4.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫作二面角．(2)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是________．(3)二面角的平面角α的范圍：0?≤α≤180?.兩個(gè)半平面∠AOB5.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是__________，就說這兩個(gè)平面互相垂直．若平面α，β互相垂直，則記作α⊥β.直二面角(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的______，那么這兩個(gè)平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的______，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直

?AB⊥β垂線

交線

微提醒三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化常用結(jié)論(1)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(3)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．自主檢測1.已知平面α，β和直線m，l，則下列命題中正確的是A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β對于A，若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l?β或l∥β或l與β相交，故A不正確；對于B，若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l與β相交但不一定垂直，故B不正確；對于C，若α⊥β，l?α，則l?β或l∥β或l與β相交，故C不正確；對于D，若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β，由面面垂直的性質(zhì)定理可知D正確．故選D．√2.如圖，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S-EFG中必有

A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面√四面體S-EFG如圖所示：由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得，SG⊥△EFG所在的平面．故選A．3.(用結(jié)論)(多選)下列命題中正確的有A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β√√若α⊥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線垂直于平面β，而非所有直線都垂直于平面β，故D錯(cuò)誤．易知A、B、C正確．故選ABC．√4.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_____．

5.在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC上的投影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的______心；外如圖①，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的______心．垂如圖②，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H，D，G.因?yàn)镻C⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，所以PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以PC⊥AB，因?yàn)锳B⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，所以AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一垂直關(guān)系命題的真假判斷

自主練透對于A，若a⊥b，b∥α，則a?α或a∥α或a與α相交，可得A錯(cuò)誤；對于B，若a⊥α，b∥α，則a⊥b，即B正確；對于C，若a⊥α，α⊥β，則a∥β或a?β，可知C錯(cuò)誤；對于D，若a⊥b，b⊥β，則a∥β或a?β，可知D錯(cuò)誤．故選B．1.(2025·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(三))設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下面說法正確的是A．若a⊥b，b∥α，則a⊥α B．若a⊥α，b∥α，則a⊥bC．若a⊥α，α⊥β，則a?β D．若a⊥b，b⊥β，則a∥β√2.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BD

C．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D

√如圖，對于A，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，從而EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；對于B，因?yàn)槠矫鍭1BD∩平面BDD1＝BD，所以由選項(xiàng)A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B錯(cuò)誤；對于C，由題意知直線AA1與直線B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯(cuò)誤；對于D，連接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，所以平面A1C1D與平面B1EF不平行，故D錯(cuò)誤．故選A．3.(多選)(2025·江蘇南京模擬)已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中，l⊥m的充分條件有A．α⊥β，l⊥α，m∥β B．α∥β，l∥α，m⊥βC．α⊥β，l⊥α，m⊥β D．α⊥β，l∥α，m∥β√√A選項(xiàng)不是l⊥m的一個(gè)充分條件，兩個(gè)平面垂直，兩條直線分別平行和垂直于平面，則這兩條直線可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)閙⊥β，且α∥β，所以m⊥α，又因?yàn)閘∥α，所以l⊥m，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)閙⊥β，l⊥α，又因?yàn)棣痢挺拢詌⊥m，故C正確；D選項(xiàng)不是l⊥m的一個(gè)充分條件，兩個(gè)平面垂直，兩條直線分別平行于平面，則這兩條直線可能垂直、平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選BC．4.(開放題)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題_______________________．②③?①(或①③?②)已知l，m是平面α外的兩條不同直線，由①l⊥m與②m∥α，不能推出③l⊥α，因?yàn)閘可以與α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m與③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α與③l⊥α可以推出①l⊥m.與線面垂直關(guān)系有關(guān)的命題真假的判斷方法1.借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)，甚至無需作圖通過空間想象來判斷．2.尋找反例，只要存在反例，結(jié)論就不正確．3.反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明．規(guī)律方法考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

多維探究典例1

證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵1.證明直線和平面垂直的常用方法(1)判定定理．(2)傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)面面垂直的性質(zhì)．2.證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直常借助線面垂直的定義．3.判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．規(guī)律方法

角度2證明直線與直線垂直(2021·全國甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積；解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)閭?cè)面AA1B1B為正方形，所以BB1⊥A1B1.又因?yàn)锽F⊥A1B1，且BF∩BB1＝B，所以A1B1⊥側(cè)面B1C1CB.典例2

(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn)，證明：BF⊥DE.證明：取BC的中點(diǎn)M，連接EM，B1M，A1E，則EM∥AB∥A1B1，所以A1，B1，M，E四點(diǎn)共面．在正方形B1C1CB中，由B1B＝CB，BM＝CF，且∠MBB1＝∠FCB＝90?，所以△FCB≌△MBB1，所以∠CBF＝∠MB1B，∠CFB＝∠B1MB，所以∠CBF＋∠B1MB＝90?，則BF⊥B1M.又因?yàn)锽F⊥A1B1，且A1B1∩B1M＝B1，所以BF⊥平面A1EMB1.又因?yàn)镈E?平面A1EMB1，所以BF⊥DE.對點(diǎn)練2.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；證明：如圖，連接A1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.證明：如圖，連接B1A，AD1.因?yàn)锽1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因?yàn)镸N⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因?yàn)镸N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.考點(diǎn)三面面垂直的判定與性質(zhì)

師生共研

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)．求證：(1)PE⊥BC；證明：因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.典例3(2)平面PAB⊥平面PCD.證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB，又因?yàn)镻D?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.1.面面垂直的兩種判定方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化(1)兩種方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)一個(gè)轉(zhuǎn)化：在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．規(guī)律方法2.面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．規(guī)律方法對點(diǎn)練3.(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90?.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；證明：因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90?，即AC⊥BC，因?yàn)锳1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高．解：如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1交CC1于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因?yàn)锳1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.

考點(diǎn)四垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

師生共研典例4

由(2)知BM⊥平面AA1C1C，所以DN⊥平面AA1C1C.又因?yàn)镈N?平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．2.對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．規(guī)律方法

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，在下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是√√

返回教材呈現(xiàn)(湘教版必修二P182練習(xí)2)如圖，P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，已知∠DAB＝60?，PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD，G為AD的中點(diǎn)．求證：

(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.點(diǎn)評：高考題和教材習(xí)題類似，考查角度都是證明線線垂直，其方法都是通過線面垂直或利用空間向量解決問題．課時(shí)測評1.(2025·河北邯鄲第四次調(diào)研)已知α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，且α⊥β，m?α，n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的A．

必要不充分條件

B．

充分不必要條件C．

充要條件

D．

既不充分也不必要條件√如圖所示，當(dāng)m⊥n時(shí)，顯然m與平面β不垂直，反之，當(dāng)m⊥β時(shí)，又n?β，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分條件．故選A．2.(2024·湖北武漢四調(diào))設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A．若α⊥β，m∥α，則m⊥βB．若α⊥β，m?α，則m⊥βC．若m∥α，n⊥α，則m⊥n

D．若m⊥n，m∥α，則n⊥α√如圖所示為正方體ABCD-A1B1C1D1，對于A，設(shè)平面α為平面ABCD，平面β為平面BCC1B1，m為B1C1，則α⊥β，m∥α，則m?β，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)平面α為平面ABCD，平面β為平面BCC1B1，m為AD，則α⊥β，m?α，則m∥β，故B錯(cuò)誤；對于C，過m作平面γ與平面α交于直線b，m∥α，則m∥b，n⊥α，可得n⊥b，則m⊥n，故C正確；對于D，設(shè)平面α為平面ABCD,A1B1為m,B1C1為n，則m⊥n，m∥α，則n∥α，故D錯(cuò)誤．故選C．3.(2024·全國甲卷)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，m，n為兩條直線，且α∩β＝m，下述四個(gè)命題：①若m∥n，則n∥α或n∥β②若m⊥n，則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β，則m∥n④若n與α，β所成的角相等，則m⊥n其中所有真命題的編號(hào)是A．①③ B．②④C．①②③ D．①③④√

4.如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE√因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故選C．5.(2025·河北秦皇島模擬)在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC，D，E，M分別為AC，PC，BC的中點(diǎn)，則以下結(jié)論不一定成立的是A．PA∥平面BDEB．若PA⊥BC，則AB＝ACC．若∠BAC＝90?，則平面PBC⊥平面PAMD．點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心√對于A，因?yàn)镈，E分別為AC，PC的中點(diǎn)，所以PA∥DE，又PA?平面BDE，DE?平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正確；對于B，因?yàn)锽C的中點(diǎn)為M，PB＝PC，所以PM⊥BC，又PA⊥BC，PA∩PM＝P，PA，PM?平面PAM，所以BC⊥平面PAM，又因?yàn)锳M?平面PAM，所以BC⊥AM，則AB＝AC，故B正確；對于C，∠BAC＝90?，則MA＝MB＝MC，又PA＝PB＝PC，則△PMA≌△PMB≌△PMC，則∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝90?，故PM⊥AM，若平面PAM⊥平面PBC，因?yàn)槠矫鍼AM∩平面PBC＝PM，AM?平面PAM，所以AM⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AM⊥BC，又M為BC的中點(diǎn)，則AB＝AC，不一定成立，故C不一定成立；對于D，由PA＝PB＝PC可知，點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，故D正確．故選C．6.(多選)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90?，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，則下列結(jié)論可能正確的有A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面BDF⊥平面BCFD．平面DCF⊥平面BCF√√對于A，因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交但不垂直，所以BC與DF不垂直，所以A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，所以B正確；對于C，當(dāng)點(diǎn)D在平面BCF上的射影P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以C正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以D錯(cuò)誤．故選BC．7.(多選)(2025·河南焦作模擬)如圖，在三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，則下列結(jié)論中一定成立的是A．AC＝BCB．AB⊥VCC．VC⊥VDD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO√√√

8.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，則△ABC的形狀為____________．因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC?平面PBC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB，所以△ABC為直角三角形．直角三角形9.(20分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60?，側(cè)面PAD為等邊三角形．(1)求證：AD⊥PB；(8分)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OP，BD.因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，O是AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD＝60?，所以△ABD是等邊三角形，OB⊥AD.因?yàn)镺P∩OB＝O，OP，OB?平面POB，所以AD⊥平面POB.因?yàn)镻B?平面POB，所以AD⊥PB.

√

11.(多選)如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，SC＝SD＝CD＝1，E為線段SD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC與BD的交點(diǎn)，AD⊥SD.則下列結(jié)論正確的是A．BC⊥平面SCDB．EF∥平面SABC．平面SCD⊥平面ABCDD．線段BE的長度等于線段SF的長度√√√

12.(多選)(2025·廣西柳州模擬)如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝