2024年高中數(shù)學(xué)函數(shù)、數(shù)列、不等式、幾何求最

值問題

最值問題是高考必考知識點(diǎn)，難度比較大，要求同學(xué)們一定

要仔細(xì)研究，注重理解解題思路。

【基礎(chǔ)方法介紹】

1、求函數(shù)最值常見的方法主要有這7種：

配方法，單調(diào)性法，均值不等式法，導(dǎo)數(shù)法，判別式法，三

角函數(shù)有界性，數(shù)形結(jié)合圖象法。

2、求幾類重要函數(shù)的最值方法；

（1）二次函數(shù)：配方法和函數(shù)圖像相結(jié)合；

（2）f（x）=x+@。0,。wA）:均值不等式法和單調(diào)性加以選擇;

X

（3）多元函數(shù)：數(shù)形結(jié)合成或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).

3、實(shí)際應(yīng)用問題中的最值問題一般有下列兩種模型：直接

法，目標(biāo)函數(shù)法（線性規(guī)劃，曲函數(shù)的最值）

【各類最值題型通解方法】

2.三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何中的最值問題,往往將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用求函數(shù)

最值的方法或知本不等式法求解.

3.在數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題中有關(guān)用料最省、成本最低、利潤最大等問題,可考慮建立目標(biāo)函

數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

4.不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.f(x)>,n恒成立，即>m：f(X)<7H

恒成立，即/(x)z<m?

5.參數(shù)范圍問題內(nèi)容涉及代數(shù)和兒何的多個方面，鑰解題的關(guān)鍵不等關(guān)系的建立，其途

徑多多,諸如判別式法，均值不等式法,變早的有界性法,函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等

等.解決這?類問題，常用的思想方法仃：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合等.

【函數(shù)求最值常用10法例題解析】

方法1:利用一次函數(shù)的單調(diào)性

【例1】已知非負(fù)?且X+3J+2Z=3?3X+3J+2=

4.求R=2Z—3y+z的最值.

3）+2z=3-z

解由條件知

3y+z=4-3力

得y=w（l-i）,z=2z-1

w=9r-6

又x,y^z非負(fù),

z》0

即《

J匕

2z—120

依一次函數(shù)皿=9工-6的單調(diào)性知

當(dāng)工=5時,Wmin=.^

當(dāng)工=1時,皿“=3

注在求多元函數(shù)的條件最值時，通常是根據(jù)已知條件消

元，變?yōu)橐辉瘮?shù),對一次函數(shù)y=+6&力0）的最值，關(guān)鍵

是指出自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域,當(dāng)一次函數(shù)的定義

域是閉區(qū)間時，其最值在閉區(qū)間的端點(diǎn)處取得.

方法2：利用二次函數(shù)的性質(zhì)

【例2】設(shè)。,夕是方程4尸一快z+A+2=0的兩個實(shí)根，

當(dāng)手為何值時公+產(chǎn)有最小值?

解,:8為方程的兩實(shí)根，

?，?叩

設(shè)、=。2+嚴(yán),則

又由原方程有實(shí)根知,

△=16〃-16a+2）=16（"一A一2）20

???Y-1或402

而二次函數(shù)的頂點(diǎn)（J,一條）不在此范圍內(nèi)，根據(jù)二次函

416

數(shù)的性質(zhì)知沙是以△=/為對稱軸，開口向上的，定義域?yàn)椋ㄒ?/p>

8,-l〕U12,+8）的拋物線.比較4=-1及A=2時y的值

知，

當(dāng)上=-1時，有＞min=-y?

注利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值時,不能機(jī)械地套用最值

在頂點(diǎn)處取得.首先要求出定義域,然后再看頂點(diǎn)是否在定義域

調(diào)性來判定.

【例3】如圖16—1,拋物線y=4—/與直線y=3z交于

A.B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上由A運(yùn)動到3,求△4尸5的面積鼓

大時點(diǎn)尸的坐標(biāo).

分析由于4,8為定點(diǎn)，AB長為定

值，欲使面積最大，須使"到AB

的距離最大?

解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（”。,皿）.

V4,8在直線y=3z上，

v/？+Tvlo

聯(lián)立拋物線與直線方程，得

NA=-4,18=1

*??~4&NO41

則3*0-4+N02=Qo+])2-

L4

=-(一%2-3NO+4)

\/To

=_純1。+%+皿

10i°十28

Q

當(dāng)％=一￡時,d取最大值,面積最大.此時P點(diǎn)坐

W

標(biāo)為（一-1",1）.

注在實(shí)際問題中應(yīng)注意確定自變信的取值范圍的方法,

這里是由立線與拋物線的交點(diǎn)來確定，這樣才能確定定義域內(nèi)

的最值.

【例4】在平面a內(nèi)有一邊長為。的正△ABC和直線1,1

//BC交ABrD,交ACrE.沿直線/將以」所在平?面折

成直二面角?若折起后A.8兩點(diǎn)間距離最短.試求I此時的位

置，并求出的最小值.

解如圖16—2,設(shè)折起后點(diǎn)4所在的半平?面為/?.過A在

面，內(nèi)作垂足為F,則從凡L面必

在a內(nèi)過F作FG1BC于G,可證G為BC的中點(diǎn)，且A尸

+打；=上?〃(原正三角形的高).

令A(yù)F=z?貝ljFG^^-a-x

乂BG=y

???3產(chǎn)=BG2+FV=(+(kCl

乂在AZVIB尸中，

AB2=AF2+BF2

=/+9+(夏a

=2(x—^7^-a)2+-ya2

4o

當(dāng)工=守。時,即DE為原正三

角形中位線時."2有最小值-2,此時，45的最小值為

O

\/To

4-a，

注根據(jù)幾何圖形，將幾何變曷關(guān)系轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)關(guān)系

是解決問題的思想方法.

方法3：利用二次方程的判別式

欲求函數(shù)N=/(z)(zWR)的極值，如果可以把函數(shù)式整理

成關(guān)于”的二次方程，注意到力在其定義域內(nèi)取值，即方程有

實(shí)根，所以可以逋過二次方程的判別式△》()來探求’的極大

與極小值.

【例5】已知求)二卷二1蓋?轉(zhuǎn)的最值?

解原式可化為

(3>-2)x2+(5-10y)x+(3y-2)=0

???xWR.：.A=(5-10y)2-4(3\?-2)2:0

解得或卷

即函數(shù)y的值域?yàn)閮?nèi))或后2.

4ID

?19

??比大=了，降小=訶

當(dāng)^=/時，代入原函數(shù)式解得］=1￡〔0,1〕,

當(dāng)尸白時，代入庫函數(shù)式解得Z=-16〔O,I〕.

又JT=O時?》=；.

???當(dāng)/=0時~取最大值余

注①由判別式確定的是函數(shù)的值域，由值域得到的是函

數(shù)的極值而不是最值;②對有些函數(shù)來說，極值與最值相同，而

有的函數(shù)就不一定，如本例中的極大值比極小值還小，這正是因

為極值是就某局部而言，③若要求函數(shù)在給定的定義域內(nèi)的最

值，一定要注意極值是否在此定義域內(nèi)取得，即要注意驗(yàn)根.

【例6】已知直線/沙=4/和點(diǎn)F(6,4)，在直線/上求一

點(diǎn)Q，使過點(diǎn)P,Q的直線以及I與l軸在第一象限內(nèi)圍成的三

角形的面積最小.

解設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Cri，y）,則y=4?.PQ的方程為

4X)-4

(X—6)

xx一6

令y=0得PQ與Z軸的交點(diǎn)R（電，0）的橫坐標(biāo)4=

5丐

I1一「

?c_1_10/2

??OOOQR~~2^2y}=_j

整理為IONJ-Sri+S=0(*)

V可為實(shí)數(shù)

:.△=S2-4OS2O

得S>40,取S的最小值40代入

(,)式，得a16-3

10x)—4031+40=0

解得為=2,則”=8

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,8).

［例7）已知tgx=3tgj（04N-yV，），求x-y的最大

值?

設(shè)一y.則依題設(shè)?有

tgN-tgy=2tgy

1+tgxtgj-1+3tg2y

整理，得(3tgu)tgz>-2tg>+tgu=O

VtgyGR

:.△=(一2產(chǎn)-4(3tg〃)?tg“，O

解得由知，tg〃<上^

J4J

J-y)z=

注這里依題設(shè)條件,聯(lián)想到取z—y的正切函數(shù)是解題

的關(guān)鍵,而設(shè)繼而找其函數(shù)關(guān)系也具有一定的技巧

性.

方法4：利用一些重要不等式求最值

這里主要是運(yùn)用平均值不等式及柯西不等式.

【例8】如圖16—4,在平面直角坐

標(biāo)系中，在y軸的正半軸（坐你原點(diǎn)除/

外）上給定兩個點(diǎn)A.試在1軸的正’卜、

半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)。，使

NACX取得最大值.（1986年全國高考-J———%

試題）

解設(shè)點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為（0,圖16-4

a）,（0,6）,其中OVbVa,又設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為其中2〉0?

記NBCA=*/OCB=p,則NOCA=a+d顯然?€（0,

)

()〕=tg(a+8-tg§__z1

tga=tg[a+3-8l+tg(a+R)tgf-ab

工>0,—>0,又z?—=a6為定值.

?,?工+?》2尸?,=2依，當(dāng)且僅當(dāng)工=?,即x=

時取等號.

/.當(dāng)/=時?才+?有最小值2有最大值

a-b

2Va6,

???tga在（（）,￡）內(nèi)是增函數(shù)，

???]=小時，NACA有最大值arctg與芻，點(diǎn)C的坐

2\/ab

標(biāo)為（1力，0）.

注應(yīng)用均值不等式求函數(shù)的最（極）值時，亦應(yīng)注意使用

不等式的條件，如4WR+，等號成立的條件等，否則容易出錯.

這里利用正切函數(shù)的單調(diào)性來求角的最值及角的拆變也是解題

的基本技巧.

[例9]設(shè)]，且2/+4'+9z=16.

求6MT+4MV+3/?的最大值.

解令〃=6M"^~+4+3

u2=（6\Zx-+4\/~y+3y

=（3/7?\/^+2?M5^+l?l夜）2

&〔（3vT）2+22+l2X（V^）2+（V/Ty）2+（V/9?）2J.

=（18+4+l）（2x+4j+9z）

=23X16

〃&4\/23（其中當(dāng)g=[=2時，即當(dāng)1=鬻,）=

it"懸時取等號）

故（6+4v/y+3V/T）皿=4V/23

注這里是應(yīng)用柯西不等式，在應(yīng)用公式時?如何構(gòu)造出已

知條件等式2%+6y+9N=16頗具技巧性和解題意義.

方法5：利用三角函數(shù)的有界性求最值

對于三角函數(shù)的極值，通常是利用三角函數(shù)的有界性來求.

如正、余弦函數(shù)的最大大、）值很明顯;y=asin”+6cosjr（a

0）引入輔助角凡則）=VOTPsin（z+夕）（其中ig6=2）,其

最值也一目了然.而對于其它的類型或用同角關(guān)系式、或用萬能

公式、或用正余弦定理作轉(zhuǎn)化，變?yōu)槎魏瘮?shù)問題來求解.

【例10】半圓O的直徑為2,A為直徑延長線上一點(diǎn),。4

=2,3為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊△工8c.問B

在什么位置時，四邊形OAC8的面積最大，異求這個最大值.

解如圖16—5所示，設(shè)ZAOB=a.

在△AO8中，???08=1,04=2,依余弦定理，

AB2=OA2+OB2—20A?OScosa=54cosa

設(shè)四邊形OAC6的面積為S,

S=2OA?OBsina+qM￥

則

Z4

=si.na.d--\--Z；-T(fc5.-4)cosa、)

4

=5+(sina-\/"3"cosa)

4

5\/~TS16-5

=2J7-^+2sin(a-60°)

4

當(dāng)且僅當(dāng)sin（。-60。）=1,即Q=150°時，四邊形AOBC的

面積最大，即

Sm『^^+2

4

【例11】已知所在的平面內(nèi)有一條直線/"過

其直角頂點(diǎn)C且使△ABC在直線的一側(cè)，求將以I為

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的最大體積.

解如圖16—6,過4,8分別作2的垂線，O,E分別為垂

足，設(shè)3￡?=廠.4。=/?,頊7=兒,?！?=兒,2\,48。的三邊分別為

a,b,c,/BCE=8

貝ljR=AosG,r=asin6,/i】=acosd,h2=桃in。

旋轉(zhuǎn)體的體積為

V=2”（兒+%）（/+尸區(qū)+火2）

0

2

—2Al—^nRh2

JJ

=[;r（acosG+加in夕）?

0

（a2sin2^+dfe>in5cos^+i2cos2^）

——jrn2sin26?〃cos6—^-/rZ>2cos25?Asin。

Jo

展開，合并，整理得

V=^^（asin6十加os。）?\/Z'+HnS+a）

JJ

^^sin（8+<p）

故所求旋轉(zhuǎn)體的最大體積丫“嘩

注從例10、例11不難看出對ynasini+Aosj^a,6K0)

引入輔助角9化為y=///sin(z+5)型在求最值時所起的

作用，必要時還可由此得出取最值時)的值?

【例12］求y=3sin2a—6sinocosa+llco62a的最值，

解1(利用降器公式)

3—3sin2a+11?1±興在

….匕;乙。乙

=7-3sin2a—4cos2a

=7-5sin（2?+夕）

3'M=7+5=12,、2=7-5=2

解2(用判別式法)

3sin2a—gsinacosa+1Icos'a

y=------——;----;-------

sina+cos'a

當(dāng)cosa=0時?j=3

當(dāng)ga#。時,，一迪混竽產(chǎn)

得>(l+tg2a)?3tg2a-6tga+11

整理，得()-3)tg2a+6tga+(y-l])=0

VyK3,又tgaCR

???A=36—4。-3)(?—11)20

解之，得24?W12

?e?ym?n=12,ymm=2

注本例還可以用萬能公式等方法來解.

方法6：利用參數(shù)換元求最值

對有些函數(shù)，直接求極值比較復(fù)雜或不方便,可根據(jù)題目的

特點(diǎn)作變量代換，然后運(yùn)用前面的幾種方法來解決?在換元時,

一定要注意新的變量的取值范圍??

【例13】求函數(shù))=1+\/日的極值.

解令Ml—￡=f,則f>0,z=l—￡?

原函數(shù)變?yōu)閥=—〃+z+l=—(￡—^)2+y

,1.--

V￡二.￡10-8)

?*.當(dāng)￡=4■，即1=J時，3皿=?

注這種換元雖然卜分簡單，但具有代表性.

【例14]求函數(shù))，=(1+/T=?/1-VT^(.r>

0）的最大、最小值及其對應(yīng)的X值.

解由1-Z2>0及1-MT二？，。知0WN41

易見y20,即.的最小值為0,此時1=0.

令z=sin3,

y=11十Vl-sinu)v1sin?〃

二(l+cosd)M1—cos。

=VrT(l+cos(9)./-^^=\/T(H-cos0)sin-y

V4w

=2\/~2cos2ysin

2Q4夕?2'",80',26、

y"=8cos-sin4'—=4Leos—?cos2”—?2s〔n，-J

wMCC

由于cos2--+cos2y+2sin2-y=2(定值)

44L

應(yīng)用平均值不等式，得

re,18….28

J44?cos27+cos7+2sin732

13.27

應(yīng)用平均值不等式，得

3

2002夕］

cos'-r-+cos2z方+2sin“萬32

V44?44u

1J=行

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時可取得，，

乙乙

即，sm2=§，sm5=-y-(?sin5？0)

:.當(dāng)5=2arcsin飛^時，%=券

即當(dāng)x-sin(2arcsin)=聾\/^時,

OOO

故當(dāng)1=0時,ynin=0；當(dāng)6

O2/

注三角代換是常用的換元法之一.這里是利用均值不等

式來求及最值，通常三角代換后也極便『用三角函數(shù)的有界性

來探求極值.

【例15]已知橢圓茶+弓=1和直線八4工+5k40=0.

10

求橢圓上的點(diǎn)到直線/的最大、最小距離.

解設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

(T=5cosa

(04a42幻、

Iy=4sma'

則橢圓上任一點(diǎn)P(5cosa,4sina)f?JI的距離

._|4X5cosa+5X4sina-401

―

_20|sina+cosa-21

=\AI

=MTsin(a+J)-2|

414

當(dāng)a=?時,乩^=組守(2—MT)，得最近點(diǎn)尸】的坐標(biāo)

441

為得C，2VT);當(dāng)a=^時,—=*e(2+MT),得

Z441

最遠(yuǎn)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(一—2n).

W

4

注運(yùn)用直線、橢圓、圓的三角函數(shù)式的參數(shù)方程求與它們

有關(guān)的極值問題是參數(shù)思想的運(yùn)用，亦便于化歸為求三角函數(shù)

的極值問題.

方法7：利用圖形對稱性求最值

利用幾何圖形中的某些特定點(diǎn)關(guān)于某直線(或某平面)的對

稱點(diǎn),將圖形局部進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使最值問題獲解，這也是一類極值

問題求解的常用方法?

【例16】已知點(diǎn)4(4,1),6(0,4)和直線八3]一》—1=0,

試在/上找一點(diǎn)P,使IPAI-IP創(chuàng)最大?求P點(diǎn)的坐標(biāo).

解設(shè)8關(guān)于/的對稱點(diǎn)為8("⑶),則B131的中點(diǎn)得,

償1)在/上，有

一

3?4^^7=0①

又有《4一專

聯(lián)立①、②得8'的坐標(biāo)(3,3).

由A(4,1),E(3,3)得直線半斤的方程的+y—9=0

設(shè)AE與/交于點(diǎn)?易求P點(diǎn)坐標(biāo)

為(2.5).

在/上任取一點(diǎn)P,則

|PA|一|P'8|=|PA|一|P8|

4|A?|=|PA|一|PB|

故點(diǎn)P(2,5)為所求.

注這里是運(yùn)用對稱性化歸為“三角

形兩邊之差小于第三邊”這一直觀問題而圖16-7

獲解.

【例17］在一個銳二面角內(nèi)有一

個與兩面都相切的球O,分別在球面和

二面角的兩個半平面上各求一點(diǎn)A,3,

C,使△48。的周長最短.

分析如圖16—8,在二面角a-I

T內(nèi)的一點(diǎn)A，在兩半平面a，B內(nèi)有

兩點(diǎn)3,C,構(gòu)成△4BC.要使其周長困16-8

/4網(wǎng)最短，我們可分別作A關(guān)于平面明p的對稱點(diǎn)A,A”.連

AA”,分別交兩平面于B,C,則不難證明此時心少時最短.

下面再考慮：當(dāng)A到二面角的梭的距離越近，△小,就越

短.

不妨設(shè)二面角的平面角為弧A4交。于交產(chǎn)于F.

因?yàn)?1AEJ1AF,則/J_平面AEF，設(shè)平面AEF交I于G,則

NEGF為二面角。一/一月的平面角，即NEGF=G,且4G為A

到/的距離.

易證A,E,G,F四點(diǎn)共圓，且AG為其直徑.依正弦定理知

EF“、

砧=心

綜上所述知，/皿比=4力"=2EF=2AGsin。，但sind為定

值，故AG越小則L△板越短.

由于4必須在球面上，根據(jù)以上分析，可以這樣確定A點(diǎn)：

過球心O作/的垂線段OG,反向延KOG交球面于4再分別

作A關(guān)于兩半平面的對稱點(diǎn)如前面所說得B,C兩點(diǎn)，則

△A3C為所求.

注以上分析過程中，對△4以；的探測先抓住關(guān)鍵點(diǎn)4.

然后分兩步進(jìn)行逐步推進(jìn)，對多因素的最值的探求，這種方法是

可取的.

方法8：利用圓錐曲線的切線求最值

由于二次曲線的切線是其圖形的一種極端情形，所以有時

可以用來求最值.

【例18］如圖16—9,四邊形A8CO內(nèi)接于橢圓普+白

1，且知A(4,O),C(O,5),求四邊形ABCD的最大面積.

分析要使四邊形ABCD的面積最大，因?yàn)锳,C已為定

點(diǎn)，只要AABC與△A0C面版分別最大，即AC上的高取鼓大

值，因此只要求出平行于AC的兩條切線之間的距離即可.

解VH,C的坐標(biāo)分別為

(4,0),(0,5)

???八=一了

設(shè)平行尸AC的橢圓的切線方程

為|>=—+6

代入橢圓方程后化簡得

25/-206/+8〃―200=0圖16-9

V直線與橢圓相切，

???△=4006?-4X25X(8/-200)=0

解得6=±5VT

兩切線方程為)=一亳*±5\/￥

兩切線之間的距離為4=工?^^="今

1,,__

???Sz=+|AC|*4=20\/T

【例19】在拋物線y=4/上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線》=

4丁一5的距離最短.

解將》=41-5代入)=4*2,得

4/—41+5=0.

V此方程無實(shí)數(shù)解

???直線與拋物線不相交

V平行于直線y=4z-5且與拋物線相切的切點(diǎn)到已知

直線的距離最短，即切點(diǎn)為所求的點(diǎn).

設(shè)此切線方程為y=4z+〃.代入y=4J,得

令△=42+426=0,得b=-1

由k產(chǎn)I解得IV

尸41尸］

故點(diǎn)()，1)到已知直線,=4/-5的距離最短.

注從上兩例不難體會用切線法求有關(guān)最值的思路和方

法.

方法9：利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求最值

涉及復(fù)數(shù)的最值問題，通常是求復(fù)數(shù)模的最值和求播角的

最值這兩種,或它們的綜合運(yùn)用.

【例20】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2,求|1+口￡+之|的極

值?.

解1設(shè)z=2(cos6+isin&)(V|N|=2)

A|1+\/Ti+zI=1(1+2cos。)+(\/T+2sinG”1

=V(l+2cos^)2+(\/T+2sinff)2

=2,2+2sinS+日)

故|l+MTi+N|ax=4,|l+/Tf+z|i=0

解2依gI一INZI&M+NZ1&1之1I+1物1

有|l+'/y“一|N|&|l+\/Ti+N|<|l+V/Tf|+|N|

即2—2<|l+VTi+N|42+2

:.ll+VTi+z1mHi=0，|l+\/Ti+z|M=4

注求復(fù)數(shù)模的最值通常可用代數(shù)法、三角法(解1)、利用

1?1=2*￡及公式1向I-1物|&|/+&l&I孫I+I卷I，此外還

有數(shù)形結(jié)合法，本例這五種方法均可通行，但以上兩種解法最為

簡捷,

【例21】求滿足方程lz+3-的輻角主值最

小的復(fù)數(shù)Z?(1986年全國高考文科試題)

解由|z+3—Ci|=y知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的

點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)A(-3,C)為圓心，以C為半徑的圓,

如圖16—10,。4與n軸切于點(diǎn)3(—3,0).易見|AO|=

2MT,所以NAO8=300.

依圖不難看出，當(dāng)點(diǎn)Z位于切點(diǎn)

。處時，復(fù)數(shù)之有最小輻角主值，且

NXOC=120。，

貝ij名=3(cos1200+isin1200)

故復(fù)數(shù)Z=一搟+當(dāng)耳為所

圖16—10

求?

注求復(fù)數(shù)輻角主值的最值通常采用數(shù)形結(jié)合的方法較為

直觀和方便.本例也體現(xiàn)了運(yùn)用動點(diǎn)軌跡的方法來探求極值的

思想.

方法10：利用數(shù)形結(jié)合方法求最值

有些代數(shù)和三角問題，若能借助其幾何背景，予以幾何直

觀,這時求其最值常能收到直觀、明快，化難為易的功效.

【例22】求k異鑒的最值,

解將函數(shù)式變形為

sinx-(-1)

,-cosz—(—2)

其幾何意義是在直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)"(coscvin」)和定點(diǎn)

4(一2,一1)連線的斜率.動點(diǎn)P的軌跡為單位圓，由圖16-11

知知片最小,4?酸大?顯然儲”=。

v乂*=3\A=B\2~2.

tgZ?|=tg2^=r^^=|

4K=g

“3

故加皿=0~2=告

注形如卷瀉的函數(shù)式,通圖16-11

常都可視作點(diǎn)（&（/，/（工））與點(diǎn)（6,°）的連線的斜率.

［例23）設(shè)才~￡8,且z+y=2.求\/口+4+My'+1

的最小值.

解構(gòu)圖16-12使C4_LAB,O5_1A3,且AB=AC=2,

3O=1.F為AB線段上一點(diǎn).

設(shè)AP=x,則BP=y，且CP=

MFR,OP=\/741，顯然CP+PP>

CD.當(dāng)P位于Q時取等號，此時CO=

V/V+P=VT3.

故（\<?+4+vVTT）m,?='/n

注對兩項(xiàng)的平方和形式，通常構(gòu)造

S16-12

直角三角形或視為兩點(diǎn)間的距閽之平方,

這不難理解,但如何使其符合條件等式來進(jìn)行構(gòu)圖，往往需要進(jìn)

行一番試驗(yàn)?方能使構(gòu)圖完全符合題意.

【例24】設(shè)滿足1/一/一2/?求S=JT+）的最大、

最小值.,

解y=M->-2Z=M1—（N十1>,其圖象為如圖16-

13所示的半圓的最大、最小值是直線y=-z+s和半圓

。'有公共點(diǎn)時截距5的最大、散小值.

VA（-2,0）.心力=-1,得D（0.

—2）,即Smic=—2

又==有

得|ocl=MT7=|o〃l

〃坐標(biāo)為（o,C-i）

即SM=MT-I

注運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題，關(guān)國16-13

鍵是要進(jìn)行合理的聯(lián)想和類比，將代數(shù)式通過轉(zhuǎn)化、變形、紿T

幾何解釋.通常這種轉(zhuǎn)化與變形的過程常是一種挖掘和發(fā)現(xiàn)的

過程，如本例中的半圓、直線的截距等幾何意義并不是“顯式

而是“隱式”，需挖掘.

【最值問題練習(xí)】

I.拋物線），二一9上的點(diǎn)到直線4無+3＞一8=0距離的最小值是（）

2.（05福建卷）設(shè)a,b￡R,/+2/=6,則〃+人的最小值是（）

36B一竽C-37

D

2

3.（06年江西）P兄雙曲線二一二=1的分支上一點(diǎn)，M、N分別是/（x+5）2+y2=4

916

和（x-5）?+/=1上的點(diǎn)，則|PM-|PN|的最大值為（）

A6B7C8D9

X2

4.（06年福建）己知雙曲線—：=13>0為>0）的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為

/?'

60”的直線與雙曲線的右支有吐只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范國是（）

A（1,2]B（1.2）c[2,+00）D（2,+00）

.八.-,3”、1+cos2x+8sin-x,...?/

5.當(dāng)0cxe—時，函數(shù)f(x)=------------------的最小值為()

2sin2x

A2B273

C4D4亞

6.（05天津卷）若函數(shù)/"）=log“（『-av）在區(qū)間（一;,0）內(nèi)單調(diào)遞增，

則。的取值范圍是（）

1399

A[―,1）B[―J）C（一,+8）D（1,一）

4444

7.（06年江西）若不等式x?+ax+120對于一切XG（0,L）位匯,則a的取值范圍是（）

2

A0B-2C--D-3

2

8.（05年重慶）若x,y是正數(shù)，則"+（y+」-『的最小值是（）

2y2x

79

A3B-C4D

22

二.填充題

9.已知定點(diǎn)A、B且IABI=4,動點(diǎn)P滿足IPAI—IPBI=3,則已Al的用小值是

t+v<3

10.（05上海）若滿足條件.一'，則z=3x+4），的最大值是

y<>2x

II.（06年江西卷）如圖，在直三楂柱ABC-AiBiCi中,底面為直角三

Ai

角形，ZACB=90°,AC=6,BC=CCi=&,P是BCI上一動點(diǎn)，則CP+PA1的最小值

是__________

12.對于滿足OK〃44的一切實(shí)數(shù)，不等式F+〃_1>4工+〃一3恒成立，則X的取值范

圍是.

三.計算題

13.（06年全國卷I）A48C的三個內(nèi)角為A、B、C,求當(dāng)A為何值時，

cosA+2cosB+C取得最大值，并求出這個最大值.

2

14.（05年重慶卷）」知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2,0）,右頂點(diǎn)為（JJ.O）.

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若宜線/：y=h+點(diǎn)與雙曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)A和從II.蘇?麗>2（其

中。為原點(diǎn)），求k的取值范圍.

15（05天津）已知〃設(shè)尸：用和必是方程『一4'-2:0的兩個實(shí)根，不等式

nf-5m-3|>X1-x21對任意實(shí)數(shù)a￡1,1］恒成

3，4

Q：函數(shù)f(x)=x+mx'+(/n+—)x+6/l：(-?,+oo)上有極值.

求使P正確且。正確的m的取值范圍.

16.（06年江西）如圖，橢圓Q：y=1(a>b>0)

的右焦點(diǎn)F（c,0）,過點(diǎn)F的,動宜線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動,

并1L交橢圓J-A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)

（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程

（2）在Q的方程中,4,a2=l+cos6+sin6,b2=sin0

（0<0^-）,確定0的值，使原點(diǎn)距橢圓的石

2

準(zhǔn)線/最遠(yuǎn)，此時，設(shè)/與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)自

線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD

的面枳最大？

答案解析

20

1.A提示：設(shè)拋物線上動點(diǎn)為P（x「f、）,所以，=LI—上3JV~+4E—）81.a4

553

2.C提示：a=J^sina,b=J5cosa,則a+b=3sin(a+<p),其中(p=arctan-^-,「.a+b的

最小值為-3.

3.B提示：設(shè)雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別是F,(-5,0)與F?(5,0),則這兩點(diǎn)正好是兩

圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、R三點(diǎn)共線以及P與N、F?三點(diǎn)共線時所求的值最大，

此時PMI-IPNI=(IPFjl-2)-(IPFzl-1)=10-1=9.

4.C提示：依題意百工2，結(jié)合，=C2-丁,得6=￡?2.

aa

..._一、1+cos2x+8sin2x2cos2x+8sin2xcosx4sinx

5.C提?。篺(A)=-----------------------=----------------------=-------+--------

sin2x2sinxcosxsinxcosx

cosx4sinx.八…cosx4sinxI4，，

>2j-----------=4.當(dāng)且僅當(dāng)------=-------,即UI1tanx=一時，取“=”，

Vsinxcosxsinxcosx2

,?'()<戈<三，，存在史tanx=一,這時/(x)g=4.

22

6.B提示：記g(x)=x'-or,則g'(x)=3x?-a,當(dāng)時，要使得/(x)是增數(shù)，則

(1\2寺

需有屋”)20恒成立，所以aW3-=.矛盾，排除C、D；當(dāng)0<avl時，要使得/(x)

<24

是增數(shù)，則需有屋(x)K0恒成立，所以=->排除A.本題答案選B

<274

7.C提示：設(shè)f(x)=x[+ax+1,則對稱軸為、=一色.若一色之上即皿一1時，則

222

I]SQ

f(x)在(0,-)上是減函數(shù)，應(yīng)有f(L)20=>一巳點(diǎn)4-1；若一240即Q0時，則

2222

f(x)在(0,』)上是增函數(shù)，應(yīng)有f(0)=1>0恒成立，故a20：若04一》41即一14a40,

222

則應(yīng)有f(一=上一上+1=1—上20恒成立，故一l《aW0.

2424

綜上，有一上4a故選C

2

8.C提小：(X+—)~+()，+—)~22(x+—)(y+—)28=4當(dāng)且僅當(dāng)

2y2x2y2x

.J7

，得X=y=?/時等號成立，選（C）

2v2

9.3.5提示：點(diǎn)P在以A.B為焦點(diǎn),2a=3的雙曲線的右支上，,IPAI的最小值為1.5+2=35.

10.11提示：求z=3x+4y的最大值，即求y軸上的截距最大值，由圖可知，過點(diǎn)（1,

2）時有最大值為11.

11.5V2提示：連AIB,沿BG將acBa展開與4人出仁

在同一個平面內(nèi)，如圖所示，

連AC，則A,C的長度就是所求的最小值.通過計兒可

得NA|CiC=90。又/BCiC=45。，

.?.ZA|CiC=1350由余弦定理可求得NC=56

I2.x>3或x<-l提示：將〃視為主無，設(shè)/（P）=〃（1—）+（丁一4x+3）,則

當(dāng)（）K〃K4時，/（〃）>0恒成立.

等價于：|"°）>°.即卜二一"+3>°,解得》>3曲<-1.

/（4）>0[x-1>0

13.

cosA+2cos史三=cosA+2cos-—―=cosA+2sin—=1-2sin2—+2sin-

22222

記，=sing（0<A<n）則原問題等價于求/。）=-2/+2/+1在（0,1]上的最大值

f⑴TV）+"2x（；）

當(dāng)，=L時，即4=71時，f⑴取得最大值上.

432

22

14.解：（I）設(shè)雙曲線方程為二一二二1（a>0,/?>0）.

ab'

由已知得a=J3,c=2,再由+。~=2、得力=1.

故雙曲線C的方程為土?_/=]

3-

2

（II）將y=E+&代入二一/二]得（1一3/）/一60&一9二0.

3

?3A2/0

由直線/與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得'

△二（6傷）2+36（1-3&-）=36（1-q）>0.

即k、；且獷<1.①設(shè)A（以，心）,3（見，）7），則

4+4=?呼與，一/8=,72,由萬?。方>2得3凡+%3%>2,

I-3K1-3K

2

而xAxH+yAyH=xAxH+(kxA+V2)(kxH+>/2)=(k+\]xAxH+無kg+M)+2

出+2=3k2+1

=(/+l)

l-3k3k'-I

于是然：+7>）即-3K+9>°.解此不等式得!<〃2<3②

3《一13K-13

由①、②得；</<1.故〃的取值范圍為手）5手,1）.

15解（I）由題設(shè)占和.是方程/一如-2=（）的兩個實(shí)根，得％+&=〃且%占=一2,

所以，IX|一工21=J（X]+4）2_4X]X?=JT+8

當(dāng)。時，T+8的最大值為9,U|JIX,-X2I<3.

由題意，不等式I/J-5m一3>1%一曲1對任意實(shí)數(shù)”w[1,1]恒成立的m的解集等于不

等式I//一5m一3123的解集.由此不等式得/一5"!-34-3①，或m~一5m一323②

不等式①的解為0W〃?W5,不等式②的解為〃?41或〃?26.

因?yàn)椋瑢Α?？?或。</〃45或〃？36時，P是正確的.

a）4

（H）對函數(shù)f（x）=1+mx-+（m+-）x+6求導(dǎo)f\x）=3r+2mx+m+-

令y(x)=0,即3A2+2mx+m+-=05t一元二次不等式的判別式

3

)4T7

A=4〃r-12(m+—)=4"?-12in-16.

3

若A=0,則/'。)=0有兩個相等的實(shí)根與，且/'(x)的符號如下:

X(一8,凡