《公式法（第一課時）》因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.知識回顧提公因式法分解因式一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另外一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.知識回顧(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2-2ab+b2.完全平方公式:1.了解并掌握公式法分解因式的運算法則.2.熟練運用公式法分解因式的運算法則進(jìn)行實際的計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入由于整式的乘法與因式分解是方向相反的變形,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等號兩邊互換位置，就得到了a2-b2=(a+b)(a-b).多項式a2-b2有什么特點？回想平方差公式的特點，你能將它分解因式嗎？是兩個數(shù)的平方的差a2-b2=(a+b)(a-b).知識點1用平方差公式分解因式新知探究用平方差公式分解因式能用平方差公式分解因式的多項式的特點：多項式是一個二項式,兩項都能寫成平方的形式，且符號相反..“兩個數(shù)”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是單項式，也可以是多項式.兩個數(shù)的平方差,等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.

例1分解因式：(1)4x2-9；

(2)(x+p)2-(x+q)2

.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)；(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).新知探究跟蹤訓(xùn)練解：(1)x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；(2)a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)

.例2分解因式(1)x4-y4；

(2)a3b-ab.

注意：分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式都不能再分解為止.首、末兩項和是兩個數(shù)的平方和的形式，而中間的一項是這兩個數(shù)的積的2倍.多項式a2+2ab+b2與a2-2ab+b2有什么特點？回想完全平方公式的特點，你能將它們分解因式嗎？新知探究知識點2用完全平方公式分解因式新知探究完全平方式:我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.符合兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍這個特點的式子就是完全平方式.把整式乘法的完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號兩邊互換位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.用完全平方公式分解因式:兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方.注意:公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式.能用完全平方公式分解因式的多項式的特點多項式是三項式，其中首、末兩項分別是兩個數(shù)（或兩個式子）的平方，且這兩項符號相同，中間一項是這兩個數(shù)（或者兩個式子）的積的2倍，符號正負(fù)都可以；公式法：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.a2-b2=(a+b)(a-b);a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.跟蹤訓(xùn)練新知探究例3分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2；(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例4把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)

(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解；(2)中，將a+b看成一個整體，設(shè)原式化為m,則原式化為完全平方式m2-12m+36.檢查是否分解徹底，若沒有則繼續(xù)分解一提考慮是否可用公式法分解，兩項考慮平方差公式，三項考慮完全平方公式二套看多有無公因式，若有應(yīng)先提取公因式因式分解的一般步驟：三查不能直接套公式時可適當(dāng)變形整理隨堂練習(xí)1.（桂林）因式分解a2-4的結(jié)果是（）A.(a+2)(a-2)B.(a-2)2C.(a+2)2D.a(a-2)A2.將下列各式分解因式：(1)4x2-25y2；

(2)(a+2)2-1；

(3)16(a-b)2-25(a+b)2；

(4)x5-16x

.

解：(1)4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y);(2)(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1);(3)16(a-b)2-25(a+b)2=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b);(4)x5-16x=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2).2.將下列各式分解因式：(1)4x2-25y2；

(2)(a+2)2-1；

(3)16(a-b)2-25(a+b)2；

(4)x5-16x

.

因式分解平方差公式法完全平方公式法課堂小結(jié)a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)21.已知k為正整數(shù)，試判斷(2k+1)2-1能否被8整除，并說明理由.拓展提升點撥：通過因式分解，并結(jié)合數(shù)的奇偶性，先確定因式分解后的式子含有哪些因數(shù)，再根據(jù)倍數(shù)關(guān)系確定能被什么數(shù)整除.解：(2k+1)2-1能被8整除，理由如下：(2k+1)2-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1).因為k為正整數(shù)，所以k，k+1為兩個相鄰的正整數(shù)，則其中必有一個為偶數(shù)，即2的倍數(shù).所以4k(k+1)為8的倍數(shù)，所以(2k+1)2-1能被8整除.解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2

.因為m-4n=-3，mn=4，所以原式=-4×(-3)2=-4×9=-36.2.已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.

直接用平方差公式分解因式123456789101112131415161.

在下列各多項式中，不能用平方差公式因式分解的是(

D

)A.

a2－16

b2B.

－1＋4

m2C.

－36

x2＋

y2D.

－

m2－1D【解析】A.原式＝(

a

－4

b

)(

a

＋4

b

)，不符合題意；B.原式＝(2

m

＋1)(2

m

－1)，不符合題意；C.原式＝(6

x

＋

y

)(

y

－6

x

)，不符合題意；D.原式不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，符合題意.123456789101112131415162.

下列分解因式正確的是(

B

)A.

3

x2＋

x

＝3

x

(

x

＋1)B.

－

a2＋9＝－(

a

＋3)(

a

－3)C.

xy

＋

x

＋1＝

x

(

y

＋1)＋1D.

x

＋

y

＋

x

－

y

＝2(

x

＋

y

)B123456789101112131415163.

(杭州中考)分解因式：4

a2－1＝(

A

)A.

(2

a

－1)(2

a

＋1)B.

(

a

－2)(

a

＋2)C.

(

a

－4)(

a

＋1)D.

(4

a

－1)(

a

＋1)【解析】A.3

x2＋

x

＝

x

(3

x

＋1)，故此選項不符合題意；B.－

a2＋9＝－(

a2－9)＝－(

a

＋3)(

a

－3)，故此選項符合題意；C.

xy

＋

x

＋1無法分解因式，故此選項不符合題意；D.

x

＋

y

＋

x

－

y

無法分解因式，故此選項不符合題意.A123456789101112131415164.

(上海中考)分解因式：－

n2＋9＝

?.5.

把下列各式因式分解.(3－

n

)·(3＋

n

)

(1)

x2－25

y2；解：原式＝(

x

＋5

y

)(

x

－5

y

).(2)－4

m2＋25

n2.解：原式＝(5

n

＋2

m

)(5

n

－2

m

).12345678910111213141516(3)

a4－1；解：原式＝(

a2－1)(

a2＋1)＝(

a

＋1)(

a

－1)·(

a2＋1).(4)81

a4－

b4.解：原式＝(9

a2－

b2)(9

a2＋

b2)＝(3

a

＋

b

)·(3

a

－

b

)(9

a2＋

b2).123456789101112131415166.

已知4

m

＋

n

＝40，2

m

－3

n

＝5，求(

m

＋2

n

)2－(3

m

－

n

)2的值.解：(

m

＋2

n

)2－(3

m

－

n

)2＝(

m

＋2

n

＋3

m

－

n

)(

m

＋2

n

－3

m

＋

n

)＝

－(4

m

＋

n

)(2

m

－3

n

)，當(dāng)4

m

＋

n

＝40，2

m

－3

n

＝5時，原式＝－40×5＝－200.12345678910111213141516

先提取公因式再用平方差公式分解因式7.

分解因式：

x3－4

x

＝(

C

)A.

x

(

x2－4

x

)B.

x

(

x

＋4)(

x

－4)C.

x

(

x

＋2)(

x

－2)D.

x

(

x2－4)C123456789101112131415168.

小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信

息：

a

－

b

，

x

－

y

，

x

＋

y

，

a

＋

b

，

x2－

y2，

a2－

b2分別對應(yīng)下列六個

字：中、愛、我、國、游、美，現(xiàn)將(

x2－

y2)

a2－(

x2－

y2)

b2因式分解，

結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是(

C

)A.

我愛美B.

中國游C.

愛我中國D.

美我中國C123456789101112131415169.

(哈爾濱中考)把多項式

mx2－16

m

分解因式的結(jié)果是

?

?.【解析】

mx2－16

m

＝

m

(

x2－16)＝

m

(

x

＋4)(

x

－4).10.

分解因式：2

m2－18＝

?.【解析】

2

m2－18＝2(

m2－9)＝2(

m

＋3)(

m

－3).m

(

x

＋4)

(

x

－4)

2(

m

＋3)(

m

－3)

12345678910111213141516

11.

如圖，邊長為

m

＋3的正方形紙片剪去一個邊長為

m

的正方形后，

用剩余部分剪拼成一個長方形(不重疊無縫隙).若拼成的長方形一條邊

長為3，則另一條邊長為(

A

)A.

2

m

＋3B.

2

m

＋6C.

m

＋3D.

m

＋6【解析】由題意得

S陰影＝(

m

＋3)2－

m2＝

m2＋6

m

＋9－

m2＝6

m

＋9＝

3(2

m

＋3)，∴拼成的長方形的另一條邊長為2

m

＋3.A1234567891011121314151612.

已知

x2－4

y2＝36，

x

＋2

y

＝18，求

x

，

y

的值.

1234567891011121314151613.

計算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12.解：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋(962－952)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋96＋95＋…＋2＋1＝5

050.1234567891011121314151614.

將一條40

cm長的彩帶剪成兩段，恰好可用來圍兩張大小不同的正

方形壁畫的邊(不計算接頭處).已知兩張壁畫的面積相差40

cm2，這條彩

帶應(yīng)剪成多長的兩段？解：設(shè)較大正方形的邊長為

x

cm，則較小正方形的邊長為(10－

x

)cm.由題意，得

x2－(10－

x

)2＝40，(

x

＋10－

x

)(

x

－10＋

x

)＝40，10(2

x

－

10)＝40，解得

x

＝7.∴4

x

＝28，4(10－

x

)＝12，故這條彩帶應(yīng)剪成28

cm和12

cm的兩段.1234567891011121314151615.

如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整

數(shù)為“神秘數(shù)”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”.(1)28和2

018這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？解：(1)∵28＝82－62，∴28是神秘數(shù)；2

018不是神秘數(shù)，它無法表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差.12345678910111213141516(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2

k

和2

k

＋2(

k

取非負(fù)整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)

造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？為什