專題5.3正方形的性質(zhì)與判定【十大題型】

【浙教版】

【逑型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】.........................................................1

【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長(zhǎng)度）】.......................................................6

【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長(zhǎng)）】......................................................12

【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】......................................................17

【題型5判定正方形成立的條件】..............................................................26

【題型6正方形判定的證明】..................................................................31

【題型7正方形的判定與性質(zhì)綜合】............................................................37

【題型8探究正方形中的最值何題】............................................................43

【題型9正方形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】............................................................48

【題型10正方形中的多結(jié)論問題】.............................................................53

"嶗A這三

【知識(shí)點(diǎn)1正方形的定義】

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

【知識(shí)點(diǎn)2正方形的性質(zhì)】

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角

線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).④兩條對(duì)角線將正方形分

成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸.

【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】

【例1】（2022春?建陽(yáng)區(qū)期中）如圖，在正方形A3CO中有一個(gè)點(diǎn)￡,使三角形4星是正三角形，

求：（I）NZME的大小

（2）NAEO的大小.

【分析】（I）根據(jù)正方形的性質(zhì)和正三角形的性質(zhì)、以及角的和差關(guān)系可求NA8石的度數(shù)，再根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)可求NB4E的大?。?/p>

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NE4O=15°,同理，ZADE=[50,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求

的大小.

【解答】解：（1）因?yàn)樗倪呅?8CZ）為正方形，

所以NABC=N8AO=90°,

因?yàn)椤鱁8C是正三角形，

所以NEBC=60°,BE=BC=EC,

所以NABEnBO。，AB=BE,

所以NR4￡：=NAE8=（180°-NABE）4-2=150°+2=75°.

（2）因?yàn)镹ZM￡=75°,

所以NE4O=90°-ZEAB=150,

同理，ZADE=\5°,

所以NAED=180°?NEA。-NAOE=180°-15°-15°=150°.

【變式1-1]如圖，已知正方形ABC。在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是8C上一點(diǎn)，以AE為邊

在直線MN上方作正方形AEFG.

（1）連接GD,求證：△人BE；

（2）連接rC,觀察并猜測(cè)N/C/V的度數(shù)，并說明理由.

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)及SAS定理求出再利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；

（2）過尸作F"J_MN于"，根據(jù)正方形及直角三角形的性質(zhì)可求出△人8E空根據(jù)三角形全等

可求出8七=〃凡AB=EH,通過等量代換可得C〃=W,利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】（1）證明：

???四邊形ABC。、AEFG都是正方形，

：.AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90a,

AZIIZ3=90°,Z2iZ3=90°,

即N1=N2,???△AOG@△ABE；

(2)解：ZFCN=45a,

理由如下：

過F作FHJ_MN于”，則/￡77尸=90°,

???四邊形ABC。、4EFG都是正方形，

；?AB=BC,AE=EF,ZABE=ZAEF=9Q°,

AZ1+Z4=9O°,N4+N5=90°,

AZ1=Z5,

又?：/ABE=/EHF=90°,

；?/XABE^AEHF,

：,BE=Iir,AD=Ell,

:?BC=EH,

:?HC=BE,

???在RlZ\C〃尸中，CH=FH,

:?/FCN=/CFH=45°.

【變式1-2］（2022?武威模擬）如圖，在正方形48C。中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)打在BC的延

長(zhǎng)線上，且BE=EF,EF交CD于點(diǎn)G.

（1）求證：DE=EFx

（2）求NOE/的度數(shù).

A

B

【分析】（1）證明△BCEgADCE,可得結(jié)論;

（2）結(jié)合（I）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】（I）證明：???四邊形人8CO是正方形,

:.BC=DC,NBCE=NDCE,

任△BCE和△￡>(?￡中,

8C=DC

乙BCE=cDCE

{CE=CE

：.^BCE^/\DCE(SAS),

：?BE=ED,

,:BE=EF,

：.DE=EF；

(2)解：???四邊形4/3CO是正方形,

工/DCB=NDCF=9a0,

???/尸+/FGC=90°,

,:△BCE//\DCE,

"CBE=/CDE,

?:BE=EF,

:?/CBE=NF,

:?NF=NCDE,

Y4FGC=NDGE,

：,ZCDE+ZDGE=W,

/.ZDEF=90°.

【變式1-3］（2022春?新市區(qū)校級(jí)期末）如圖，在給定的正方形A8CD中，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā).沿邊8。方

向向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，。尸_LAE交A3于點(diǎn)尸，以FD,尸E為鄰邊構(gòu)造平行四邊形OFEP,連接CP,則NOF&

NEPC的度數(shù)的變化情況是（）

A.一直減小B.一直減小后增大

C.一直不變D.先增大后減小

【分析】根據(jù)題意NQFE+NEPC=NQPC,作P”_L4C交8c的延長(zhǎng)線于"證明CP是NQC”的角平

分線即可解決問題.

【解答】解：作P”_L8C交8C的延長(zhǎng)線于從

???四邊形ABC。是正方形，

:,AD=AB=BC,

NDAF=NABE=NDCB=NDCH=90°,

VDFIAE,

：.ZBAE+ZDAE=90°,ZADF'+ZDAE=90°,

：.ZBAE=ZADF,

A(ASA),

：.DF=AE,

???四邊形。PEP是平行四邊形，

：.DF=PE,NDFE=NDPE,

VZBA￡+ZAEB=90<>,ZAEB+ZPEH=9O0,

：?/BAE=/PEH,

?：/ABE=NH=90°,AE=EP.

:.△ABE9AEHP(AAS),

:?PH=BE,AB=EH=BC,

:,BE=CH=PH,

，NPCH=45°,

VZDC/7=90°,

:?/DCP=NPCH,

???CP是NOC”的角平分線，

???點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是的角平分線，

*/NDFE+NEPC=ZDPE+ZEPC=NDPC,

觀察圖象可得，NQPC一直減小，

故選：A.

【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長(zhǎng)度）】

【例2】（2022春?牡丹江期末）如圖，正方形44CD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)￡,/在正方形內(nèi)部，AE=CF=8,

BE=DF=6,則線段E尸的長(zhǎng)為（）

A.26B.4C.4—6D.4+72

【分析】延長(zhǎng)。尸交AE于G,,再根據(jù)全等三角形的判定得出△AGO與AABE全等，得出AG=3E=6,

由AE=8,得出EG=2,同理得出G尸=2,再根據(jù)勾股定理得出EF的長(zhǎng).

【解答】解：延長(zhǎng)。尸交AE于G,如圖：

???48=10,AE=S,BE=6,

：.AE2+BE2=AB2,

???是直角三角形，

，同理可得，△Q”C是直角三角形，

???四邊形A3co是正方形，

AABAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD,

???N8AE+NOAG=90°,

在△ABE和△C。尸中，

:.XABE9XCDF(S55),

，ZBAE=ZDCF,

又"：/DCF+/CDF=NADF+/CDF=9。",

AZDCF=ZADG,

：,ZBAE=ZADG,

???NBAE+NOAG=90°,

???NAOG+NQ4G=90°,

???/OG4=90°,即△4G。是直角三角形，

在△AG。和△區(qū)4E中，

LAGD=LBEA

LADG=LBAL

{AD^BA

9

A^AGD^/\BAE(ASA),

???4G=8E=6,DG=AE=S,

，EG=8-6=2,

同理可得：GF=2,

-22422=75

??.R【Z\EFG中，EFVv2v,

故選：4.

【變式2-1](2022春?巴南區(qū)期末)如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)石在邊CD上，且?！?/p>

=1,作E尸〃8C分別交AC、AB于點(diǎn)G、F,P、”分別是工G,BE的中點(diǎn)，則P”的長(zhǎng)是（)

C.3D.4

【分析】連接CAPF.證明FPJ_AC,則ACP尸是直角三角形，利用PH是RtZ\C尸尸斜邊上的中線,

可得PH“C,因?yàn)槭珻=BE,再利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可.

【解答】解：連接C/，PF.如圖所示，

???四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形.

??.C8=CQ=4,且AC平分NMO.

，/BAC=45°.

,JEF/ZBC.

NAFE=NABC=90°.

???△4FG是等腰直角三角形.

???P為AG中點(diǎn).

：.PFLAG.

???△CP”是直角三角形.

\'DE=\.

工CE=CD-DE=3.

'：EF//BC.

???四邊形BCEF是矩形.

???點(diǎn)、H為BE的中點(diǎn).

過點(diǎn)H.即點(diǎn)”為CF的中點(diǎn).

=2

在RtaCPF中，PH

■:EF=BC=4.

???在RI△叩中，CF-產(chǎn)=V3^F=5.

PH=4=

-2.5.

故選:B.

【變式2-2］（2022?越秀區(qū)一模）將正方形ABCO與正方形BEFG按如圖方式放置，點(diǎn)F、B、C在同一直

=

線上，已知,8c=3,連接。尸，W是。尸的中點(diǎn)，連接AM,則AM的長(zhǎng)是（）

邛H羋

A.-B.C.D.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出B",進(jìn)而利用勾股定理解答即可.

【解答】解：延長(zhǎng)4M交4C于H點(diǎn)，

G

二C

???四邊形A3CD和四邊形3EFG都是正方形，BG、，8C=3,

=c

:.BFBG=2,AB=AD=CD=BC=3,

???點(diǎn)F,B,。在同一直線上，

：.AD//CF,

ZDAM=NFHM,ZADM=NHFM,

???/是。尸中點(diǎn),

：.DM=FM,

在△AQM和中,

件)AM=LFHM

LDAf-fM

???△AQM絲△"FM(AAS)，

=-

：.AD=FH=3,AM=HM,AH,

：.BH=FH-BF=\,

在R&B“中，4"=所麗=存7?=網(wǎng),

=|=史

：.AM-AH

故選:A.

【變式2-3］（2022春?吳中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCO中，A8=4、'.E、b分別為邊AB、4C的

中點(diǎn)，連接AF、?！?點(diǎn)N、M分別為AF、?！甑闹悬c(diǎn)，連接MN,則MN的長(zhǎng)度為

【分析】先通過證明△ABrgZME得到角相等后，證明NMGN=90°,利用已知條件在RtAAOG與Rt

△AEG中求寓AG,EG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出GN,GM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出MN的長(zhǎng).

【解答】解：如圖所示,

???四邊形A8CO是正方形,

：,AD=BC=AB=4V'力5ZB=ZDAE=90°.

???￡、戶分別為邊A8、8c的中點(diǎn),

：.AE=BF=2".

一―一+八斤=J+收尸+(酒2

:.DEM10.

在△D4E和aABF中，

[AD-AB

卜DAE="

lAE=.BF

：,^DAE^/\ABF(SAS').

；?NAED=NBE\.AF=DE=\().

VZBM+Z^F=90°.

/.ZAED+ZBAF=90a.

/.ZAG￡=90°.

???NMGN=90°.

設(shè)EG的長(zhǎng)為x,則GD=10-A,

在Rl^AGE中，

AG2=AE2-EG2=20-x2.

在Rt△人0G中，

AG2=AD2-0G2=80-(1()7)2.

???20?f=80-(10-x)2.

解得x=2.即EG=2.

?4G=V20=7=4

???點(diǎn)N、M分別為AF、DE的中點(diǎn),

=￡=￡

:.AN：AF=5,EM，DE=5.

:?GM=EM-EG=3,GN=AN-AG=I.

在Rt/\MNG中，

MN==■rf?TF=阿

0

故答案為:

【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長(zhǎng)）】

【例3】（2022春?鄲州區(qū)期末）有兩個(gè)正方形A,B.現(xiàn)將4放在A的內(nèi)部得圖甲，將A,3構(gòu)造新的正方

形得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12,若三個(gè)正方形4和兩個(gè)正方形B得圖丙，則

羽影部分的面積為（圖丙

A.28D.31

【分析】設(shè)正方形4的邊長(zhǎng)為。，正方形4的邊長(zhǎng)為江觀察圖甲和圖乙可得關(guān)于小人的方程組，整理

可得：a-b=1,6?+/?=5?ab=6,觀察圖丙可得S陰影=（2a+Z?）2-3a2-2b2,再利用乘法公式整體代入

計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為。，正方形B的邊長(zhǎng)為4且

ja*一始—2b（a—b）=1

根據(jù)圖甲和圖乙，得：l（a+b）?一扶-b?=12,

(a2-2ab+b2=10

整理，得：上成工12②,

由①得：(a-b)2=],

,：a>b,

??a-b=\,

由②得："=6,

①+②X2,得：(a+b)2=25,

:.a+b=5,

觀察圖丙,得：S陰影=(2a+b)2-3a2-2b2

=(a+b)(a-b)+4ab

=5X1+4X6

=29.

故選：B.

【變式3-1］（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形A3CO為正方形，O為AC、8。的交點(diǎn)，4DCE

為R￡ZCED=90°,?！?2°,若CE?OE=3,則正方形4BC。的面積為()

W

B。

A.5B.6C.8D.10

【分析】過點(diǎn)。作OM_LCE于M,作ONJLOE交￡7)的延長(zhǎng)線于N,判斷出四邊形OMEN是矩形，根

據(jù)矩形的性質(zhì)可得NMON=90°,再求出NCOM=NQON,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OC=OD,然后利

用“角角邊”證明△CO用和△QON全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得。W=ON,CM=DN,然后

判斷出四邊形OMEN是正方形，可得NE=ON=2,得。E+CE=4,設(shè)。￡=a,CE=h,可得。+〃=4,

根據(jù)CK?OE=3,CD2=a2+b2=(a+Z?)2-2aZ?=42-2X3=10,即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作。M_LCE于M,作ON_LOE交E。的延長(zhǎng)線于N,

VZCED=90°,

???四邊形OMEN是矩形，

???NMON=90°,

*：NCOM+NDOM=NDON+NDOM,

/./COM=/DON,

四邊形ABCD是正方形，

：,OC=OD,

在和△OON中，

《"OM=U)ON

\LCM0-zJV

WC=0D9

：,4COMq4DON(AAS),

：?()M=ON,CM=DN,

四邊形OMEN是正方形，

在RtZXOEN中，

???OE=2

\2NE~=OE2=(2)2=8,

,?NE=0N=2,

???DE+CE=DE+EM+MC=DE+EM+DN=EN+EM=2EN=4,

設(shè)。CE=b,

：,a+b=4,

：CE*I)E=3,

：.CD2=a2+b2=(〃+〃)2-2時(shí)=42-2X3=10,

:?S正方形八8。。=10，

故選：D.

【變式3-2］（2022?臺(tái)州）如圖，在正方形A8CO中，A8=3,點(diǎn)石，尸分別在CO,A。上，CE=DF,BE,

CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為2：3,則aBCG的周長(zhǎng)為

【分析】根據(jù)陰影部分的面積與正方形48C。的面積之比為2：3,得出陰影部分的面積為6,空白部分

的面積為3,進(jìn)而依據(jù)aBCG的面積以及勾股定理，得出8G+CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其周長(zhǎng).

【解答】解：???陰影部分的面積與止方形A8C。的面積之比為2：3,

???陰影部分的面積為59=6,

???空白部分的面積為9?6=3,

由CE=O尸，BC=CD,NBCE=NCDF=90°,可得

???△3CG的面積與四邊形QEGr的面積相等，均為23

ZCBE=ZDCF,

ZDCF+ZBCG=90a,

???NC8G+N8CG=90°,即N8GC=90°,

設(shè)BG=a,CG=b,則2ab

又二片+從=32,

（T+lab+b2=9+6=15,

即（a+b）』15,

：.a+b=8,即8G+CG

:.ABCG的周長(zhǎng)=㈤,3,

故答案為：回吃.

【變式3-3】（2022?江北區(qū)一模）如圖，以RtZ\A8C的各邊為邊分別向外作正方形，NBAC=9（T,連結(jié)

DG,點(diǎn)〃為。G的中點(diǎn)，連結(jié)，B,HN,若要求出的面積，只需知道（）

A.8c的面積B.正方形AOE3的面積

C.正方形ACFG的面積D.正方形8NMC的面積

【分析】連接"A并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)P,交MN于點(diǎn)、Q,連接A￡,CE,AN,證明△8AC也△DAG,4ABN

SAEBC,進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：如圖，連接"A并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,交MN于點(diǎn)。，連接AE,CE,AN,

???四邊形人BED,四邊形/ICrG,四邊形3cMN是正方形,

：.AB=AD,AC=AG,N8/1C=NOAG=9()°，

在△ZMC和△QAG中,

AB-AD

乙8AC=rDAG=90?

{AC^AG

???△B4cg△O4G(SAS),

???NBCA=NOG4,

二點(diǎn)〃為QG的中點(diǎn),ND4G=90°,

:.AH=GH，

：.ZHAG=ZDGA,

:./HAG=/BCA,

???NHAG+NCAP=90°,

???NBC4+NC"=90°,

???N4PC=90°,

:?BN〃HQ,

:?SAHBN=S,"ABN，

■:BE//CD,

SAAEB=SMBE，

???/A8N=90°+ZABC,NEBC=90"+ZABC,

J/ABN=/EBC,

在△48N和△E8C中,

AB=EB

UBN?LEBC

BN=BC

:.AABN會(huì)/\EBC(SAS),

?*?S^ABN=SdCBE，

??S&AEB=S^HBN，

="1

■:S^AEB“SiE方彩八DE8，

=.1

?*?S^HHNS正方形AQE8,

???若要求出△”8N的面積，只需知道正方形4。助的面積.

故選：B.

【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】

【例4】（2022秋?中原區(qū)校級(jí)月考）如圖，線段A8=4,射線P為射線8G上一點(diǎn)，以AP為邊

作正方形APCD,且點(diǎn)C、。與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段。尸上取一點(diǎn)E,使NE4P=NRAP,直線CE

與線段48相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B不重合）.

（1）求證：XAEP烏XCEP：

（2）判斷。戶與AA的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）請(qǐng)直接寫出△4￡/"的周長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到。P平分NAPC,PC=PA,求得NAPO=NCPO=45°,根據(jù)全等

三角形的判定定理得到△AEP經(jīng)△CEP（SAS）；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NE4P=/ECP,求得NBAP=NFCP,根據(jù)垂直的定義得到C/_LA8：

（3）過點(diǎn)C作CMLP8.根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCPN=NPCF=/E4〃=N%8,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到CN=P4=B”，PN=AB,推出A￡=CE,于是得到△AEF的周長(zhǎng).

【解答】(1)證明：???四邊形4PCO正方形，

，。「平分NAPC,PC=PA,

AZAPD=ZCPD=45°,

在△4EP與△CEP中，

f4P=CP

LLAPE^LCPE

IPE=PE

:.AAEP叁ACEP(SAS)；

(2)CF±ABf理由如下:

*/AAEP出ACEP,

:./EAP=/ECP,

?：4EAP=/BAP,

：.4BAP=/FCP,

VZFCP+ZCA/P=90°,ZAMF=ZCMP,

：.ZAMF+ZPAB=90°,

，/AFM=90°,

：.CFA.AIi-

(3)過點(diǎn)C作CNLPB.

*：CFLAB,BG±AIL

:./PNC=NB=9G,FC//BN,

，ZCPN=ZPCF=ZEAP=ZPAB,

又AP=CP,

:APCN@XAPB(A4S),

:,CN=PB=BF,PN=AB,

*/4AEPq/\CEP,

***AE=CE,

???△AE產(chǎn)的周長(zhǎng)=AE+EF+AF

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

=2AB

=8.

【變式4-1]（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）在正方形ABCD中，NM4N=45°,該角可以繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，Z

M4N的兩邊分別交射線CB,DC于點(diǎn)M,N.

（1）當(dāng)點(diǎn)M,N分別在正方形的邊C8和。。上時(shí)（如圖1）,線段BM,DN,MN之間有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？你的猜想是：BM+DN=MN,并加以證明.

（2）當(dāng)點(diǎn)M,N分別在正方形的邊。8和QC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2）,線段BM,ON,WN之間的數(shù)

量關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論.

【分析】（I）在MB的延長(zhǎng)線上，截取8七=OM連接人￡則可證明△八8七且△人。M可得到

進(jìn)一步可證明且ZXANM,可得結(jié)論BM+DN=MN；

（2）在。C上截取Q〃=8M,連接4”，可先證明8M0進(jìn)一步可證明△MAN空△加M可

得到MN=NF,從而可得到DN-BM=MN.

【解答】證明：（1）猜想：BM+DN=MN,

證明如下:

如圖1,在的延長(zhǎng)線上，截取5K=QN,連接A￡,

在△ABE和△AON中

(48nAD

DN

9

:.XABEqXADN(SAS),

：.AE=AN,NEAB=/NAD,

VZfiAD=90°,NMAN=45°,

???NB4M+NOAN=45°,

???/E4B+NB4M=45°,

NEAM=NNAM,

在△AEM和△AN/中

AE-AN

LEAM=LNAM

{AM=AM

9

???△AEMdANM(SAS),

:.ME=MN,

乂ME=BE+BM=BM+DN,

：,BM+DN=MN；

故答案為：BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

證明如下：

如圖2,在OC上截取。r=8M,連接A八

△A8M和△4。/中

fAB=AD

Iz-ABM?n。

=DF

，△ABM/△A。產(chǎn)（SAS），

：.AM=AF,ZBAM=ZDAF,

：.ZBAM+ZBAF=ZBAF+ZDAF=90°,UPMAF=ZBAD=90a，

???NMAN=45°,

:?/MAN=NFAN=45°,

在△M/VV和△用N中

tAM=AF

]AfAN=LFAN

LN=AN

???△MANg△物N(SAS),

:?MN=NF,

??.MN=DN-DF=DN-BM,

：.DN-BM=MN.

【變式4-2］（2022春?莆田期末）如圖，已知正方形/WCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，HBE=AB,M、

N分別為從七、4c的中點(diǎn)，連DE交A3于。，MN交,ED于H點(diǎn)、.

(1)求證：AO=BO：

求證：/HEB=/HNB；

PETA

(3)過A作AP_LEO于P點(diǎn)，連8尸，則的值.

D

圖2

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AQ=A8,AD//I3C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論:

（2）延長(zhǎng)BC至凡且使。尸=8E,則8M=CE,由SAS證明aAB/且△OCE,得出NO￡C=NA/8,證

出MN為AAE/的中位線，得出MN〃AR得出NHNE=/AFB=NHEN,即可得出〃E=UN：

（3）過點(diǎn)、B作BQ上BP交DE于Q,由ASA證明△8EQgZX/MP,得出辦=。￡,QB=PB,證出△P8Q

是等腰直角三角形，由勾股定理得出PQ=&PB,即可得出答案；

【解答】(1)證明：???四邊形A8CO是正方形，

：.AD=AB,AD//BC,

???ZDAB=/ABE,ZADO=NBEO,

?；A8=BE,

：.AD=BE,

:.XAD(ya叢BEOCASA),

：,A()=BO；

(2)證明：延長(zhǎng)8c至凡且使。尸=8E,連接AF、DF,如圖1所示:

則BF=CE,

???四邊形4BCQ是矩形，

：,AB=DC,AD//BC,ZBAD=ZABC=ZDCB=90°,

fABDC

*LDCB

(or-rr

在AABr和△QCE中，~,

AAABF^ADCE(SAS),

NDEC=NA/?

,：EB=CF,BN=CN,

???N為E尸的中點(diǎn)，

???MN為△4E尸的中位線，

：.MN//AF,

???ZHNB=ZAFB=NHEB；

(3)解：過點(diǎn)B作8QJ_BP交OE于Q,如圖2所示：

則/PBQ=90°,

???/A8E=180°-ZAI3C=90°,

???NEBQ=NABP,

,:ADHBC,

???ZADP=/BEQ,

\*APLDE,ZBAD=9(r,

由角的互余關(guān)系得：NBAP=NADP,

，ZBEQ=ZBAP,

乙EBQ=LABF

BE=BA

｛LBEQ=Z.BAF

在△BEQ和△BAP中,

:ABEQ式ABAP(ASA),

：.PA=QE,QB=PR,

??.△PBQ是等腰直角三角豚

APQPB,

【變式4-3](2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)如圖，正方形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。點(diǎn)E是線段。。上一

點(diǎn)，連接CE.點(diǎn)尸是/OCE的平分線上一點(diǎn)，且B凡LC/7與CO相交于點(diǎn)G.點(diǎn)〃是線段CE上一點(diǎn),

且co=c〃.

(1)若。尸=5,求"/的長(zhǎng)；

(2)求證：BF=OH+CF.

【分析】（1）根據(jù)條件證明由全等的性質(zhì)就可以得出。尸="/而得出結(jié)論；

（2）在8戶上截取BK=C尸，連接0K.通過條件可以得出△O8KgZ\OCr.可以得出OK=OF,從而

得出0〃〃尸K,OK//FH,進(jìn)而可以得出四邊形0K-7是平行四邊形，就可以得出結(jié)論.

【解答】（1）解："平分/OCE,

:.ZOCF=ZECF.

'：OC=CH,CF=CF,

在△0C/和△”（7/中，

IOC=HC

ILOCF=乙ECF

3=CF

:.△OCF9XHCF(SAS).

:,FH=OF=5,

即FH的長(zhǎng)為5：

(2)證明：在8尸上截取8K=CR連接OK.

，ASD,N。4c=45°,

AZBOC=90°,

：.ZOCB=180°-ZBOC-ZDBC=45°.

：.ZOCB=ZDBC.

：.OB=OC.

VBF±CF,

：?/BFC=90°.

???/08K=1800-ZBOC-ZOGB=90°?/OGB,

NOC尸=180°-ZBFC-ZFGC=900-ZFGC,

且NOGB=N/GC,

："OBK=/OCF.

在△OBK和△OC/中，

OB=OC

LOBK*LOCF

{BK-CF

9

:AOBK沿AOCF(SAS).

：,OK=OF,/BOK=/COF.

?：/BOK+NKOG=NBOC=90°,

:?NCOF+NKOG=90°,即/HO產(chǎn)=90°.

_1

ZOHF=ZOFH2(180°-ZKOF)=450.

...ZOFC=NOFK+NBFC=135°.

?：4OCFQ/XHCF,

：.ZHFC=ZOFC=\35°,

.*.ZOm=360°-ZHFC-ZOFC=90°.

=1

：./FHO=4F0H2(180°-NOFH)=45°.

/.乙HOF=/OFK,Z1KOF=Z1OFH.

：，OH//FK,OK//FH,

???四邊形OHFG是平行四邊形.

:.OH=FK.

?:BF=FK+BK,

：.BF=OH+CF.

【知識(shí)點(diǎn)3正方形的判定】

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.

【題型5判定正方形成立的條件】

【例5】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形ABC。為凸四邊形，點(diǎn)M、N、P、。分別為AB、BC、CD、

DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），下列說法正確的是①④（填序號(hào)）.

①對(duì)于任意凸四邊形A8C7）,一定存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；

②如果四邊形ABC。為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；

③如果四邊形A8CO為任意矩形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形：

④如果四邊形A8CD為任意菱形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形.

【分析】具體分析見解答.

【解答】解：①如圖，

圖1

點(diǎn)￡,F,G,，是四邊形ABC。各邊的中點(diǎn),

則EFG”是平行四邊形，

作MN//EF,PQ//EF,且PQ=MN,

則四邊形MNPQ是平行四邊形，

故存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MNPQ,

故①正確；

B

圖2

當(dāng)四邊形￡/；GH是矩形時(shí),

YAE//BC,EF//GH,

/.ZAEF=ZCGH,

■:EF=GH,ZA=ZC,

:.△AEF/ACGH(A4S),

：,AE=CG,

???點(diǎn)E和G關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱，

同理可得：點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)”關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，

???平行四邊形人BCO的中心是矩形的中心,

如圖3,

作碎過點(diǎn)O,存在以0E為圓心，OE為半徑的圓與任意平行四邊形有四個(gè)公共點(diǎn)，這樣的圓有無數(shù)個(gè),

故②正確，

③如圖，

當(dāng)4。長(zhǎng)遠(yuǎn)大于A8時(shí)，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)E5<4B,而時(shí),

易知：不存在正方形EFG”,

故③不正確；

④如圖5,

A

連接AC,BD,交點(diǎn)是O,作NAO8,N8OC的平分線，其所在的直線分別交四邊形八8co的邊于E,F,

G,H,

容易得四邊形EFFGH是正方形，

故④正確，

綜上所述，答案是：①②④.

【變式5-1]（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，E、F、G、，分別是A8、BC、CD、D4的中點(diǎn).要使四

邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是一8D=AC」LACAC.

【分析】依據(jù)條件先判定四邊形EFGH為菱形，再根據(jù)/FE”=90°,即可得到菱形EFG”是正方形.

【解答】解：滿足的條件應(yīng)為：AC=8D且AC_LM.

理由：???￡F,G,”分別是邊AB、BC、CD、OA的中點(diǎn)，

???在△4OC中，"G為△4。。的中位線，

1

="

:.HG〃AC且HGZACx

11

=.=.

同理E尸〃AC且所2AC,同理可得E”ED,

則”G〃E/且"G=E凡

???四邊形EFGH為平行四邊形,

又???AC=4Q,

：.EF=EH,

???四邊形為菱形，

VAC1BD,EF//AC,

:?EFLBD,

,:EH〃BD,

:.EFLEH,

；?NFEH=9（）°,

???菱形EFG”是正方形.

故答案為：AC=BDRACrBD.

【變式5?2】（2022春?漢壽縣期中）如圖，在口A8CO中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡,尸在AC

±,,^.OE=OF,連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)使DE=ME,連接M/7,DF,BE.

（1）當(dāng)。尸=M尸時(shí)，證明：四邊形EM8F是矩形；

（2）當(dāng)△QM/滿足什么條件時(shí)，四邊形EMB/是正方形？請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）證明四邊形?！闎b是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.進(jìn)而根據(jù)對(duì)角線相等的

平行四邊形是矩形即可解決問題；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半即可解決問題.

【解答】（1）證明：??泗邊形ABCD是平行四邊形，

：,OB=OD,

*：OE=OF,

???四邊形是平行四邊形.

：,DE//FB,且DE=FB,

又，：DE=ME,

:?ME=BF,>ME//BF,

???四邊形EMBF是平行四邊形.

???四邊形是平行四邊形,

：,DF=EB

,:DF=MF,

：.MF=EB,

在平行四邊形EM8/中，MF=EB,

???四邊形EMB尸是矩形；

（2）解：當(dāng)尸滿足。尸=MR且/。FM=90°時(shí)，四邊形是正方形，

證明：由（1）可知：當(dāng)?！?時(shí)，四邊形EMB/是矩形，

在△OA//7中，Z/??=90°,點(diǎn)E是斜邊OM的中點(diǎn)，

EF=：DM=EM

??

??，

即EF=EM,

???當(dāng)△OM/滿足。尸=MF，且NO尸M=90°時(shí)，四邊形EMB尸是正方形.

【變式5-3]（2022春?沛縣期中）已知在△48C中，。為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊AC上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過O作直線MN〃8C,設(shè)MN與/BC4的平分線相交于點(diǎn)E,與NAC。的平分線相交于點(diǎn)F.

（1）求證：OE=OF；

（2）試確定點(diǎn)O在邊AC上的位置，使四邊形AEC尸是矩形，并加以證明.

（3）在（2）的條件下，且△A8C滿足乙4。=90、條件時(shí),矩形AKC”是正方形？.

【分析】（1）角平分線到角兩邊的距離相等，再利用全等三角形即可求解.

（2）探究性問題，歸根究底還是對(duì)矩形性質(zhì)的判定，再平行四邊形的基礎(chǔ)上，加上其對(duì)角線平分且相等

即可.

（3）正方形的判定，在（2）的基礎(chǔ)上，即在矩形的基礎(chǔ)上補(bǔ)充對(duì)角線垂直即可.

【解答】解：（1）如圖所示：作￡G_L3C,EJ±AC,FK1AC,FHVBC,

因?yàn)橹本€￡C,分別平分NAC8與NACQ,所以EG=EJ,FK=FH,

在與△/KO中，

少OE="OA

詞。=LFKO

fJ^FK

所以△E/OgZ\rKO,BPOE=OFx

（2）當(dāng)。4=OC,OE=OFIhf,四邊形4EC/是矩形，

證明：*：OA=OC,OE=OF,

???四邊形AEC尸為平行四邊形，

又???直線MN與N8CA的平分線相交于點(diǎn)E,與N/X;A（△/IBC的外角）的平分線相交于點(diǎn)E

AZACE=ZBCE,NACF=NFCD,

由NBCE+NACE+ZACF+NrCOnlSO。，

???NEC4+NAC尸=90°,即NEC尸=90°,

???四邊形AEC尸為矩形；

（3）由（2）可知，四邊形AEC產(chǎn)是矩形，要使其為正方形，再加上對(duì)角線垂直即可，即NACB=90°.

故答案為：Z4CB=90°

【例6】（2022春?虹口區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CO中，AB//CD,AD=CD,E是對(duì)角線上的一點(diǎn),

且AE=CE.

（1）求證：四邊形八BC。是菱形；

（2）如果AB=BE,^ZABE=2ZDCE,求證：四邊形ABC。是正方形.

【分析】（1）（1）首先證得AAO七gZ\CO從由全等二角形的性質(zhì)可得七，由AD//HC

可得/4OE=NCB。，易得NCDB=NCBD,可得RC=CD,易得AD=BC,利用平行線的判定定理可

得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得到NZME=NQCE,進(jìn)而得到乙48石=2ND4E,由菱形的性質(zhì)得到八8=4）,

進(jìn)而得到NA8￡=NAOE,由三角形的外角的性質(zhì)結(jié)合已知條件得到N84E=3ND4￡,可得N84O=4

NDAE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得4/D4E=90°,即/8AO=90°,即可得到四邊形/,8C。是正方

形.

【解答】證明：（1）在△ADE與ACOE中，

f4D='CD

]AE*CE

l0￡=W

AAADE^ACDE(SSS),

NADE=NCDE,

?:ABaCD,

???ZABD=ZCDE,

???ZABD=ZADE,

：,AB=AD,

?：AD=CD,

：,AB=CD,

???四邊形A/SCO為平行四邊形.

?：AD=CD,

???四邊形A4C。是菱形；

(2):△AOE經(jīng)△COE,

：,ZDAE=ZDCE,

NABE=2NDCE,

4ABE=24DAE,

由（1）知，四邊形A3。是菱形，

**AB—ADf

???ZABE=NADE=2NDAE

/.ZAEB=ZADE+ZDAE=3ZDAE,

VAfi=BE,

ZBAE=ZAEB=3ZDAE,

：,ZBAD=ZBAE+ZDAE=4ZDAE,

*/ZABE+ZADE+ZBAD=\^°,

：.2ZDAE+2ZDAE+4ZDAE=\S00,

/.4ZDAE=90°,

???N84D=90°,

???四邊形ABC。是菱形，

???四邊形ABC。是正方形.

【變式6-1］（2022春?宜城市期末）如圖，四邊形A8C。是平行四邊形，連接對(duì)角線AC,過點(diǎn)