2024年高中數(shù)學知識小結(jié)

高中數(shù)學知識小結(jié)

第一篇：《高中數(shù)學必修1知識點總結(jié)及典型題》

高一數(shù)學必修1各章知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如油HAPPY的字母組成的集合｛H,ARY｝(3)元素的無序性：如：｛a,b?

和｛aqb｝是表示同一個集合

3.集合的表示：｛?｝如：｛我校的籃球隊員｝，｛太平洋,大西洋，印度

洋，北冰洋｝

(1)用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝.B=｛123,4,5｝(2)集合的表示方法：列舉

法與描述法。?注意：常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

1)列舉法：｛a,b,c??｝

2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集

合的方法。｛x?R|x-3>2｝,｛x|x-3>2｝3)語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角

形｝4)Venn圖：

4、集合的分類:

（1）有限集含有有限個元素的集合（2）無限集含有無限個元素的集合

2

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x=-5}

二、集合間的基本關系1."包含"關系一子集

注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

?8或8??人反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?2."相等"關系：

A=B（5>5，且545,則5=5）

2

實例：設A={x|x-l=O}B={-L1}“元素相同則兩集合相等"即：①任何一個集合是它本

身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作高中數(shù)學必修1知識點

總結(jié)。

AB（或BA）

③如果A?B,B?C,那么A?C@如果A?B同時B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為①

規(guī)定：空集是彳土可集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

?有n個元素的集合，含有2個子集，2個直子集

例題：

1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C-

切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)2.集合{a,b,c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x-2x+l,x?R},N={x|x>0},則M與N的關系是.

2

4.設集合A=x?x?2,B=xx?a，若A?B,貝Ua的取值范圍是

??

?

?

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正

確得有31人,

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0}fC={x|x-mx+m-19=0},若BnC二①，

ACK二①，求m的值高中數(shù)學必修1知識點總結(jié)。

2

2

2

2

二、函數(shù)的有關概念1.函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關

系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱

f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x),XWA.其中，x叫做自變量，x的

取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的V值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|XGA}

叫做函數(shù)的值域.注意：

1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列

不等式組的主要依據(jù)是：⑴分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有

意義的x的值組成的集合.⑹指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

?母無關)；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2.值域：先考慮

其定義域Q)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(xwA)中的x為橫坐標，函數(shù)值v為縱坐

標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xWA)的圖象C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)

關系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.(2)

畫法A、描點法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的

任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A?B為從集合

A到集合B的一個映射。記作"f(對應關系)：A(原象)？B(象)"對于映射f:A-B來說，

則應滿足：

Q)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象,并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元

素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原

象。6.分段函數(shù)

Q)在定義域的不同部分上有不同的'解析表達式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(u￡M),u=g(x)(xCA),則y=f[g(x)]=F(x)(x€A)稱為f、g的復合函數(shù)。

二,函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的高中數(shù)學必修1知識點

總結(jié)。

任意兩個自變量xl,x2,當xl<x2時，都有f(xl)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上

是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值xl,x2,

當xl<x2時,都有f(xl)>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的

單調(diào)減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有I嚴格

的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).

函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：

1任取x,D,且>:<x;。高中數(shù)學必修1知識點總結(jié)。

2作差f(x)-f(x);c

3變形(通常是因式分解和配方)；。

4定號(即判斷差f(x?-f(x)的正負);。

5下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).。

1

2

1

2

1

2

1

2

(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數(shù)的單調(diào)性

復合函數(shù)飽(刈的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律「‘同

增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其

并集.8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1)偶函數(shù)

T殳地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函

數(shù).(2).奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函

數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y相對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步

驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；。

2確定f(-x)與f(x)的關系；。

3作出相應結(jié)論:若f(-x);f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)o

是偶函數(shù)；若f(-X)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).注意:函數(shù)定義域關

于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則

函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，⑴再根據(jù)定義判定;⑵由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l來iq］定;

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出

它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：1)湊

配法

2)待定系數(shù)法3)換元法4)消參法

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值。

2利用圖象求函數(shù)的最大(小)值。

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：。

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b

處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b

處有最小值f(b);例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：

⑴y?

⑵

y?2.設函數(shù)f(x)的定義域為［0,1］,則函數(shù)f(x2)的定義域為__

3若函數(shù)f(x?l)的定義域為［?2,3］,則函數(shù)f(2x?l)的定義域是

?x?2(x??l)

?4.函數(shù)，若f(x)?3,則x=f(x)??