分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題的有限元與有限差分近似研究一、引言1.1研究背景與意義分數(shù)階微積分作為數(shù)學領域的重要分支，近年來在多個學科領域展現(xiàn)出強大的應用潛力。分數(shù)階擴散方程作為分數(shù)階微積分理論的重要應用之一，相較于傳統(tǒng)的整數(shù)階擴散方程，能夠更精準地描述基于異質(zhì)性、非局域性、糾纏性等現(xiàn)實場景中物質(zhì)或能量的傳播規(guī)律，廣泛應用于生物醫(yī)學、金融工程、地球物理學等領域。例如，在生物醫(yī)學中，它可以用于描述生物體內(nèi)藥物的擴散和傳遞過程，為藥物研發(fā)和治療方案的制定提供理論依據(jù)；在金融工程領域，能夠刻畫金融市場中資產(chǎn)價格的波動和風險傳播，幫助投資者進行風險評估和投資決策；在地球物理學中，可用于研究地下水資源的擴散、油藏滲流等問題，對資源勘探和開發(fā)具有重要指導意義。在眾多需要求解分數(shù)階擴散方程的實際問題中，非齊次Dirichlet邊界問題尤為常見且具有重要的研究價值。非齊次Dirichlet邊界條件能夠描述物理系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的相互作用，例如在熱傳導問題中，非齊次Dirichlet邊界條件可以表示物體邊界上給定的溫度分布；在擴散問題中，可以表示邊界上物質(zhì)的濃度分布等。準確求解這類問題，對于深入理解相關物理過程的本質(zhì)、預測系統(tǒng)的行為以及優(yōu)化系統(tǒng)性能等方面都起著關鍵作用。然而，由于分數(shù)階擴散方程本身的復雜性以及非齊次Dirichlet邊界條件的存在，使得精確求解這類問題極具挑戰(zhàn)性，因此，尋求高效、準確的數(shù)值近似方法成為該領域的研究重點之一。有限元法和有限差分法作為兩種經(jīng)典的數(shù)值計算方法，在求解各類偏微分方程問題中發(fā)揮著重要作用，也為分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題的求解提供了有效的途徑。有限元法的基本思想是將求解區(qū)域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)通過選擇合適的插值函數(shù)來逼近方程的解，然后將這些單元的解組合起來得到整個區(qū)域的近似解。該方法的優(yōu)勢在于能夠靈活處理復雜的幾何形狀和邊界條件，并且在處理非局域性問題時表現(xiàn)出色，然而其計算量通常較大，對計算資源的要求較高。有限差分法則是通過將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域，利用Taylor級數(shù)展開等方法將控制方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這種方法具有實現(xiàn)簡單、計算效率較高的優(yōu)點，但是在處理復雜邊界和非光滑解時存在一定的困難。深入研究這兩種方法在求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題中的應用，不僅有助于解決實際工程和科學問題，還能夠推動分數(shù)階微積分理論及其數(shù)值方法的進一步發(fā)展，具有重要的理論意義和實際應用價值。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀近年來，分數(shù)階擴散方程的數(shù)值解法成為國內(nèi)外學者研究的熱點領域，取得了豐碩的成果。在有限元法方面，國外學者如Chen等人在研究中利用有限元法對分數(shù)階擴散方程進行求解，通過構造合適的有限元空間和基函數(shù)，成功處理了復雜的幾何區(qū)域和邊界條件。他們的研究成果表明，有限元法在處理非局域性問題時表現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢，能夠準確地逼近分數(shù)階擴散方程的解。然而，該方法在計算過程中需要對大規(guī)模的線性方程組進行求解，導致計算量較大，對計算資源的需求較高。國內(nèi)學者如Wang等針對有限元法計算量大的問題展開研究，提出了一種基于自適應網(wǎng)格的有限元算法。該算法能夠根據(jù)解的局部特征自動調(diào)整網(wǎng)格的疏密程度，在保證計算精度的前提下，有效地減少了計算量和計算時間。同時，他們還對有限元方法在分數(shù)階擴散方程中的收斂性和穩(wěn)定性進行了深入分析，為該方法的實際應用提供了理論依據(jù)。在有限差分法的研究上，國外的Smith等通過對時間和空間進行離散化處理，將分數(shù)階擴散方程轉(zhuǎn)化為差分方程進行求解，實現(xiàn)簡單且計算效率較高。但在處理復雜邊界條件時，傳統(tǒng)的有限差分格式會出現(xiàn)精度下降的問題，難以準確描述邊界附近的物理現(xiàn)象。國內(nèi)學者Li等則針對這一問題提出了一種高精度的有限差分格式，該格式通過引入特殊的插值技巧和邊界處理方法，有效地提高了有限差分法在處理復雜邊界條件時的精度和穩(wěn)定性。此外，他們還將有限差分法與其他數(shù)值方法相結合，如與交替方向隱式（ADI）方法相結合，進一步提高了計算效率和數(shù)值穩(wěn)定性。對于分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題的研究，國外的一些研究側(cè)重于理論分析，如證明解的存在性和唯一性等。而國內(nèi)的研究則更注重數(shù)值方法的實際應用，通過大量的數(shù)值實驗驗證了各種數(shù)值方法在求解該問題時的有效性和準確性，并針對不同的實際問題對數(shù)值方法進行了優(yōu)化和改進。盡管目前在分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題的有限元與有限差分近似研究方面已取得一定進展，但仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有數(shù)值方法在計算效率和精度之間的平衡仍有待進一步優(yōu)化，特別是對于大規(guī)模問題和高精度要求的場景，現(xiàn)有方法的計算成本過高或精度難以滿足需求。另一方面，對于復雜介質(zhì)和多物理場耦合情況下的分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題，現(xiàn)有的數(shù)值方法還存在適應性不足的問題，需要進一步發(fā)展新的數(shù)值算法和理論框架來解決這些復雜問題。1.3研究內(nèi)容與方法本文主要研究分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題及其有限元有限差分近似，具體研究內(nèi)容包括：分數(shù)階擴散方程及非齊次Dirichlet邊界條件的研究：深入剖析分數(shù)階擴散方程的基本理論，涵蓋分數(shù)階導數(shù)的定義、性質(zhì)及其物理意義，闡釋方程中各參數(shù)的含義與作用。全面分析非齊次Dirichlet邊界條件的數(shù)學表述及其在實際物理問題中的具體含義，深入探究其對分數(shù)階擴散方程解的性質(zhì)和行為產(chǎn)生的影響。有限元法求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題：深入研究有限元法在求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題中的應用。詳細闡述有限元法的基本原理，包括如何將求解區(qū)域劃分為有限個單元，以及在每個單元內(nèi)如何選擇合適的插值函數(shù)來逼近方程的解。深入分析有限元法在處理非齊次Dirichlet邊界條件時的具體方法，如如何將邊界條件轉(zhuǎn)化為有限元方程中的約束條件，以及如何通過數(shù)值積分等方法來實現(xiàn)邊界條件的精確處理。同時，深入探討有限元法求解該問題的收斂性和穩(wěn)定性理論，通過理論推導和數(shù)值實驗驗證，確定有限元法在求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題時的收斂條件和穩(wěn)定性范圍。有限差分法求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題：深入探討有限差分法在求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題中的應用。詳細闡述有限差分法的基本原理，包括如何將求解域劃分為差分網(wǎng)格，以及如何利用Taylor級數(shù)展開等方法將分數(shù)階擴散方程中的導數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。深入研究有限差分法在處理非齊次Dirichlet邊界條件時的具體方法，如如何通過邊界插值、虛擬節(jié)點等技術來實現(xiàn)邊界條件的離散化處理。同時，深入分析有限差分法求解該問題的收斂性和穩(wěn)定性，通過理論分析和數(shù)值實驗，確定有限差分格式的收斂條件和穩(wěn)定性判據(jù)，為實際應用提供理論指導。數(shù)值實驗與結果分析：精心設計一系列數(shù)值實驗，全面對比有限元法和有限差分法在求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題時的性能表現(xiàn)。在數(shù)值實驗中，系統(tǒng)地考慮不同的參數(shù)設置，如分數(shù)階階數(shù)、擴散系數(shù)、邊界條件的類型和強度等，以及不同的網(wǎng)格劃分和時間步長選擇，以全面評估兩種方法在不同情況下的計算精度、計算效率和穩(wěn)定性。深入分析數(shù)值實驗結果，總結有限元法和有限差分法在求解該問題時的優(yōu)缺點和適用范圍，為實際工程和科學問題的求解提供有價值的參考依據(jù)。針對具體問題，提出合理的數(shù)值方法選擇建議，以及對現(xiàn)有方法進行改進和優(yōu)化的方向，以提高數(shù)值求解的效率和精度。在研究方法上，本文將采用理論分析與數(shù)值實驗相結合的方式。在理論分析方面，運用數(shù)學推導和證明，深入研究分數(shù)階擴散方程的性質(zhì)、有限元法和有限差分法的收斂性與穩(wěn)定性等理論問題。在數(shù)值實驗方面，利用計算機編程實現(xiàn)有限元法和有限差分法的算法，通過大量的數(shù)值模擬，對理論分析結果進行驗證和補充，為研究提供充分的數(shù)據(jù)支持。二、分數(shù)階擴散方程與非齊次Dirichlet邊界問題基礎2.1分數(shù)階擴散方程概述分數(shù)階擴散方程作為描述物質(zhì)或能量擴散過程的重要數(shù)學模型，是對傳統(tǒng)整數(shù)階擴散方程的拓展。在傳統(tǒng)的整數(shù)階擴散方程中，如經(jīng)典的二階擴散方程\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}，其中u(x,t)表示物質(zhì)的濃度或物理量在空間位置x和時間t的分布，D為擴散系數(shù)，其導數(shù)階數(shù)為整數(shù)，這在描述許多具有簡單、規(guī)則擴散特性的現(xiàn)象時表現(xiàn)良好。然而，在實際的物理、生物等復雜系統(tǒng)中，物質(zhì)或能量的擴散過程往往呈現(xiàn)出非局域性、長記憶性等特征，傳統(tǒng)整數(shù)階擴散方程難以準確刻畫這些現(xiàn)象。分數(shù)階擴散方程通過引入分數(shù)階導數(shù)，突破了整數(shù)階導數(shù)的限制，能夠更精準地描述基于異質(zhì)性、非局域性、糾纏性等現(xiàn)實場景中物質(zhì)或能量的傳播規(guī)律。其一般形式可以表示為：D_{t}^{\alpha}u(x,t)=D_{x}^{\beta}u(x,t)+f(x,t)，其中D_{t}^{\alpha}和D_{x}^{\beta}分別表示時間和空間上的分數(shù)階導數(shù)，\alpha和\beta為分數(shù)階數(shù)，取值范圍通常在(0,2)之間，它們決定了擴散過程的特性和復雜程度；f(x,t)是源項，表示外部對擴散系統(tǒng)的影響。當\alpha=1且\beta=2時，分數(shù)階擴散方程退化為傳統(tǒng)的整數(shù)階擴散方程，這表明整數(shù)階擴散方程是分數(shù)階擴散方程的特殊情況。在物理領域，分數(shù)階擴散方程在描述非牛頓流體的擴散行為方面展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢。非牛頓流體的粘度會隨著剪切應力或剪切速率的變化而改變，其內(nèi)部的分子運動和擴散過程具有明顯的非局域性和記憶效應。例如，在研究血液流動時，由于血液中含有大量的血細胞和蛋白質(zhì)等成分，其流動特性與牛頓流體有很大差異。傳統(tǒng)的擴散方程無法準確描述血液中物質(zhì)的擴散過程，而分數(shù)階擴散方程能夠考慮到血液的非牛頓特性以及血管壁對血液流動的影響，通過合適的分數(shù)階數(shù)選擇，可以更準確地模擬血液中氧氣、營養(yǎng)物質(zhì)等的擴散和傳輸，為醫(yī)學研究和臨床治療提供重要的理論支持。在生物領域，分數(shù)階擴散方程可用于刻畫生物體內(nèi)神經(jīng)信號的傳導。神經(jīng)元之間的信號傳遞涉及到離子的擴散和跨膜運輸?shù)葟碗s過程，這些過程不僅受到神經(jīng)元內(nèi)部結構和生理狀態(tài)的影響，還與周圍的細胞環(huán)境密切相關，呈現(xiàn)出非局域性和長記憶性。利用分數(shù)階擴散方程建立神經(jīng)信號傳導模型，能夠更好地解釋神經(jīng)信號在復雜生物環(huán)境中的傳播機制，對于理解神經(jīng)系統(tǒng)的功能和相關疾病的發(fā)病機理具有重要意義。例如，在研究癲癇等神經(jīng)系統(tǒng)疾病時，分數(shù)階擴散方程模型可以幫助研究人員分析異常神經(jīng)信號的產(chǎn)生和傳播規(guī)律，為疾病的診斷和治療提供新的思路和方法。2.2非齊次Dirichlet邊界條件的引入非齊次Dirichlet邊界條件是在數(shù)學物理問題中廣泛應用的一類邊界條件，它在偏微分方程的求解中起著關鍵作用，為描述物理系統(tǒng)與外界環(huán)境的相互作用提供了重要的數(shù)學手段。在分數(shù)階擴散方程的研究框架下，非齊次Dirichlet邊界條件規(guī)定了未知函數(shù)在邊界上取給定的非零函數(shù)值。具體而言，對于定義在區(qū)域\Omega\subseteq\mathbb{R}^n（n為空間維度）上的分數(shù)階擴散方程，在邊界\partial\Omega上的非齊次Dirichlet邊界條件可表示為：u(x,t)=g(x,t),\quad(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T]，其中u(x,t)是待求解的函數(shù)，表示物理量在空間位置x和時間t的分布；g(x,t)是定義在邊界\partial\Omega\times[0,T]上的已知函數(shù)，它刻畫了邊界上物理量的具體取值情況，體現(xiàn)了外界環(huán)境對系統(tǒng)內(nèi)部擴散過程的影響。在實際問題中，非齊次Dirichlet邊界條件有著豐富的物理體現(xiàn)。以熱傳導問題為例，考慮一個有界物體，其內(nèi)部的熱傳導過程可以用分數(shù)階擴散方程來描述。若物體邊界與外界環(huán)境存在熱交換，且邊界上的溫度分布已知，例如邊界的一側(cè)與恒溫熱源接觸，熱源溫度隨時間按照特定規(guī)律變化，那么此時邊界上的溫度條件就可以用非齊次Dirichlet邊界條件來表示。假設物體為一維的細長桿，長度為L，桿內(nèi)的溫度分布滿足分數(shù)階熱擴散方程，桿的一端x=0與溫度為T_0(t)的熱源相連，另一端x=L與溫度為T_1(t)的環(huán)境接觸，那么非齊次Dirichlet邊界條件可寫為：u(0,t)=T_0(t),\quadu(L,t)=T_1(t),\quadt\in[0,T]。在這個例子中，T_0(t)和T_1(t)分別反映了外界熱源和環(huán)境對桿內(nèi)溫度分布的影響，它們的具體形式?jīng)Q定了邊界上熱交換的強度和動態(tài)特性。再比如在藥物擴散問題中，將藥物注入人體組織后，藥物在組織內(nèi)的擴散過程可以用分數(shù)階擴散方程建模。假設組織的邊界為一個封閉的曲面，邊界上的藥物濃度由于外部的給藥機制或生理代謝過程而保持特定的分布，這就構成了非齊次Dirichlet邊界條件。若邊界上存在持續(xù)的藥物輸入，使得邊界處的藥物濃度始終維持在一個給定的函數(shù)值C(x,t)，則非齊次Dirichlet邊界條件表示為：u(x,t)=C(x,t),\quad(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T]，其中u(x,t)為組織內(nèi)藥物濃度，C(x,t)體現(xiàn)了外部給藥或代謝對邊界藥物濃度的影響，它的變化會直接影響藥物在組織內(nèi)部的擴散路徑和濃度分布。非齊次Dirichlet邊界條件的存在對分數(shù)階擴散方程問題的求解產(chǎn)生了多方面的影響。從數(shù)學理論角度來看，它打破了齊次邊界條件下問題的某種對稱性和簡單性，使得方程的求解難度大幅增加。在齊次Dirichlet邊界條件下，即g(x,t)=0時，問題具有一定的齊次性，在求解過程中可以利用一些特殊的數(shù)學技巧和理論，如分離變量法中可以更方便地確定特征函數(shù)和特征值。然而，當邊界條件變?yōu)榉驱R次時，這些方法的應用受到限制，需要引入更為復雜的數(shù)學工具和變換來處理邊界條件的非齊次性。例如，在使用有限元法求解時，需要通過特殊的插值函數(shù)或邊界元技術將非齊次邊界條件準確地融入到有限元方程中；在有限差分法中，需要設計合適的邊界差分格式來離散非齊次邊界條件，這都增加了數(shù)值計算的復雜性和難度。從物理意義角度而言，非齊次Dirichlet邊界條件決定了系統(tǒng)與外界的能量、物質(zhì)交換等相互作用方式，從而顯著影響著系統(tǒng)內(nèi)部物理量的分布和演化過程。不同的邊界條件函數(shù)g(x,t)會導致系統(tǒng)內(nèi)部的擴散模式和最終的穩(wěn)定狀態(tài)截然不同。例如，在熱傳導問題中，若邊界溫度g(x,t)隨時間單調(diào)增加，那么物體內(nèi)部的溫度也會逐漸升高，且溫度分布會呈現(xiàn)出從邊界向內(nèi)部逐漸變化的趨勢；若邊界溫度在某一時刻突然發(fā)生變化，系統(tǒng)內(nèi)部的溫度分布也會隨之迅速調(diào)整，以適應新的邊界條件。這種邊界條件對系統(tǒng)內(nèi)部物理過程的影響，使得準確處理非齊次Dirichlet邊界條件成為深入理解和預測實際物理現(xiàn)象的關鍵。2.3相關數(shù)學理論基礎分數(shù)階微積分作為分數(shù)階擴散方程的核心數(shù)學基礎，其定義和性質(zhì)的深入理解對于研究分數(shù)階擴散方程至關重要。分數(shù)階微積分是對傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣，將導數(shù)和積分的階數(shù)從整數(shù)拓展到實數(shù)甚至復數(shù)領域，從而能夠更精確地描述具有非局域性、長記憶性等復雜特性的物理現(xiàn)象。目前，分數(shù)階微積分存在多種定義方式，其中Riemann-Liouville分數(shù)階微積分和Caputo分數(shù)階微積分是較為常用的兩種。Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為：對于函數(shù)f(x)，在區(qū)間[a,b]上，其\alpha階Riemann-Liouville分數(shù)階積分（\alpha>0）表示為J_{a}^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{\alpha-1}f(t)dt，其中\(zhòng)Gamma(\alpha)為伽馬函數(shù)，它是階乘函數(shù)在實數(shù)域上的推廣，對于正整數(shù)n，有\(zhòng)Gamma(n)=(n-1)!，而對于非整數(shù)的實數(shù)\alpha，伽馬函數(shù)通過積分形式\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dt定義。Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)則基于其分數(shù)階積分定義，設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上n-1次可導，n為大于等于\alpha的最小整數(shù)，其\alpha階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義為D_{a}^{\alpha}f(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}J_{a}^{n-\alpha}f(x)。這種定義方式通過積分和求導的組合，將整數(shù)階導數(shù)的概念推廣到分數(shù)階，體現(xiàn)了分數(shù)階導數(shù)與積分之間的緊密聯(lián)系。Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為：對于函數(shù)f(x)，在區(qū)間[a,b]上，其\alpha階Caputo分數(shù)階導數(shù)（0<\alpha<1）表示為^{C}D_{a}^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{-\alpha}f^{\prime}(t)dt。Caputo分數(shù)階導數(shù)與Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的主要區(qū)別在于求導和積分的順序不同，Caputo分數(shù)階導數(shù)先對函數(shù)求一階導數(shù)，再進行分數(shù)階積分，這種定義方式使得Caputo分數(shù)階導數(shù)在處理具有初始條件的實際問題時更具優(yōu)勢，因為它能自然地包含函數(shù)的初始值信息，與傳統(tǒng)整數(shù)階微分方程中初始條件的處理方式更為相似。分數(shù)階微積分具有一些獨特的性質(zhì)。其一為非局部性，與整數(shù)階微積分不同，分數(shù)階微積分的運算結果不僅依賴于函數(shù)在某一點的局部信息，還與函數(shù)在整個積分區(qū)間上的取值相關。例如，對于一個函數(shù)f(x)的分數(shù)階導數(shù)，其在點x處的值受到f(x)在區(qū)間[a,x]上所有點的影響，這一性質(zhì)使得分數(shù)階微積分能夠有效刻畫具有記憶效應和長程相互作用的物理系統(tǒng)。在描述材料的蠕變現(xiàn)象時，材料的當前變形不僅取決于當前的應力，還與過去的應力歷史有關，分數(shù)階微積分的非局部性能夠準確地反映這種歷史依賴性。其二，分數(shù)階導數(shù)具有記憶效應，分數(shù)階導數(shù)能夠反映函數(shù)在歷史上某個時間點的信息，這一特性在描述許多復雜系統(tǒng)的動態(tài)行為時具有顯著優(yōu)勢。在研究生物系統(tǒng)中的信號傳導過程時，細胞對外部信號的響應往往受到之前信號刺激的影響，分數(shù)階導數(shù)的記憶效應可以很好地模擬這種現(xiàn)象，從而更準確地揭示生物信號傳導的機制。其三，當分數(shù)階數(shù)\alpha為整數(shù)時，Riemann-Liouville分數(shù)階微積分和Caputo分數(shù)階微積分都退化為傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分，這表明傳統(tǒng)整數(shù)階微積分是分數(shù)階微積分的特殊情況，分數(shù)階微積分理論是對整數(shù)階微積分理論的進一步拓展和完善。這一性質(zhì)保證了在處理簡單的整數(shù)階問題時，分數(shù)階微積分的理論和方法能夠與傳統(tǒng)微積分理論相兼容，同時也為在更廣泛的領域中應用分數(shù)階微積分提供了理論基礎。其四，在復數(shù)域上，分數(shù)階微積分可以描述具有復數(shù)特征的系統(tǒng)，例如具有阻尼振蕩的動態(tài)系統(tǒng)。在處理一些涉及到振蕩和衰減的物理問題時，引入復數(shù)域上的分數(shù)階微積分能夠更全面地描述系統(tǒng)的行為，為解決這類復雜問題提供了有力的數(shù)學工具。三、有限元與有限差分近似方法原理3.1有限元方法基本原理有限元方法作為一種廣泛應用于求解偏微分方程的數(shù)值技術，其核心思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散化為有限個相互連接的子區(qū)域，即單元，通過在每個單元上構造近似解，進而組合得到整個求解域的近似解。這種方法的基本原理蘊含著豐富的數(shù)學內(nèi)涵和物理意義，為解決各種復雜的工程和科學問題提供了強大的工具。在實際應用中，對于給定的分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題，首先需要對求解區(qū)域進行離散化處理。假設求解區(qū)域為\Omega，將其劃分為N個互不重疊的單元e_1,e_2,\cdots,e_N，這些單元可以是三角形、四邊形、四面體等不同形狀，具體的選擇取決于求解區(qū)域的幾何形狀和問題的特點。例如，在處理二維問題時，如果求解區(qū)域是一個不規(guī)則的多邊形，通常會選擇三角形單元進行離散，因為三角形單元可以更好地擬合不規(guī)則邊界；而對于一些具有規(guī)則形狀的區(qū)域，如矩形或圓形，四邊形單元可能更為合適，因為它們在計算上相對簡單，且能夠提供較高的精度。在每個單元e_i內(nèi)，選擇合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點。節(jié)點的分布和數(shù)量會對計算精度產(chǎn)生重要影響。一般來說，節(jié)點數(shù)量越多，插值函數(shù)對真實解的逼近程度越高，但同時也會增加計算量。常見的節(jié)點分布方式有均勻分布和非均勻分布。均勻分布節(jié)點在計算上較為簡單，但在處理一些解變化劇烈的區(qū)域時，可能無法準確捕捉解的細節(jié)；非均勻分布節(jié)點則可以根據(jù)解的變化情況，在解變化較大的區(qū)域適當增加節(jié)點密度，從而提高計算精度。以線性插值為例，在一個二維三角形單元中，假設節(jié)點為i,j,k，則單元內(nèi)任意一點x處的函數(shù)值u(x)可以通過節(jié)點值u_i,u_j,u_k進行線性插值得到，即u(x)=N_i(x)u_i+N_j(x)u_j+N_k(x)u_k，其中N_i(x),N_j(x),N_k(x)為插值基函數(shù)，它們是關于空間坐標x的函數(shù)，且滿足N_i(x_i)=1,N_i(x_j)=0,N_i(x_k)=0（i\neqj\neqk）等性質(zhì)。這些基函數(shù)的構造是有限元方法的關鍵步驟之一，不同類型的單元和插值方式對應著不同的基函數(shù)形式。除了線性插值基函數(shù)外，還有高次多項式插值基函數(shù)，如二次、三次多項式基函數(shù)等。高次多項式基函數(shù)能夠提供更高的精度，但計算復雜度也相應增加。借助變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。變分原理是基于能量最小化的思想，將原微分方程轉(zhuǎn)化為一個等價的變分問題。對于分數(shù)階擴散方程，其對應的變分形式通常涉及到對能量泛函的求解。通過在每個單元上對變分形式進行離散化，得到關于節(jié)點值的代數(shù)方程組。例如，對于一個含有時間變量的分數(shù)階擴散方程，在時間方向上也需要進行離散化處理，常用的方法有向前歐拉法、向后歐拉法、Crank-Nicolson法等。加權余量法是另一種將微分方程離散化的重要方法。其基本思想是假設一個近似解，該近似解滿足邊界條件但不滿足原微分方程，從而產(chǎn)生余量。通過選擇合適的權函數(shù)，使得余量在整個求解域上的加權積分等于零，從而得到離散化的代數(shù)方程組。在有限元方法中，常用的權函數(shù)與插值基函數(shù)相同，這種方法被稱為Galerkin法。Galerkin法具有良好的數(shù)學性質(zhì)，能夠保證離散化后的代數(shù)方程組具有較好的收斂性和穩(wěn)定性。通過求解這些代數(shù)方程組，可以得到節(jié)點上的函數(shù)值，進而利用插值函數(shù)得到整個求解域上的近似解。在求解代數(shù)方程組時，常用的方法有直接法和迭代法。直接法如高斯消去法、LU分解法等，適用于小型方程組的求解，能夠精確地得到方程組的解；迭代法如雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、共軛梯度法等，適用于大型稀疏方程組的求解，通過不斷迭代逼近方程組的解。在實際應用中，由于有限元方法離散化后得到的代數(shù)方程組通常規(guī)模較大且稀疏，迭代法更為常用。在熱傳導問題中，考慮一個具有復雜形狀的物體，其內(nèi)部的溫度分布滿足分數(shù)階擴散方程，邊界上給定非齊次Dirichlet邊界條件。通過有限元方法，將物體離散化為多個三角形單元，在每個單元上選擇合適的節(jié)點和插值基函數(shù)，將分數(shù)階擴散方程離散為代數(shù)方程組。求解該方程組后，得到各個節(jié)點的溫度值，再利用插值函數(shù)即可得到整個物體的溫度分布近似解。這種方法能夠有效地處理復雜幾何形狀和邊界條件的問題，為熱傳導問題的研究提供了有力的支持。3.2有限差分方法基本原理有限差分法作為一種經(jīng)典的數(shù)值求解偏微分方程的方法，其核心在于通過差商近似導數(shù)，將連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散的差分方程，從而實現(xiàn)數(shù)值求解。該方法在科學與工程計算領域應用廣泛，具有實現(xiàn)簡單、計算效率較高等優(yōu)點。有限差分法的基本步驟首先是對求解域進行離散化處理，將其劃分為差分網(wǎng)格。以二維求解域為例，在空間維度上，通過設定步長\Deltax和\Deltay，在x方向和y方向上分別生成一系列等間距或非等間距的網(wǎng)格線，這些網(wǎng)格線的交點即為網(wǎng)格節(jié)點，形成了一個二維的網(wǎng)格結構。在時間維度上，同樣設定時間步長\Deltat，將時間軸離散化為一系列時間節(jié)點t_n=n\Deltat，n=0,1,2,\cdots。這樣，整個求解域就被離散為一個由時空網(wǎng)格節(jié)點組成的集合，每個節(jié)點都具有對應的空間坐標(x_i,y_j)和時間坐標t_n，其中i,j分別表示x方向和y方向上的節(jié)點編號。以分數(shù)階擴散方程D_{t}^{\alpha}u(x,t)=D_{x}^{\beta}u(x,t)+f(x,t)為例，闡述其導數(shù)的離散化過程。對于時間分數(shù)階導數(shù)D_{t}^{\alpha}u(x,t)，假設0<\alpha<1，采用Caputo定義下的分數(shù)階導數(shù)離散化方法，利用加權向后差分公式進行近似。在節(jié)點(x_i,t_n)處，其離散形式可表示為：^{C}D_{t}^{\alpha}u(x_i,t_n)\approx\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}^{(\alpha)}[u(x_i,t_{n-k})-u(x_i,t_{n-k-1})]其中，b_{k}^{(\alpha)}=(k+1)^{1-\alpha}-k^{1-\alpha}，\Gamma(\cdot)為伽馬函數(shù)。這種離散化方式通過對過去時間節(jié)點上函數(shù)值的加權求和，來近似當前節(jié)點處的分數(shù)階時間導數(shù)，體現(xiàn)了分數(shù)階導數(shù)的非局部性和記憶效應。對于空間分數(shù)階導數(shù)D_{x}^{\beta}u(x,t)，假設1<\beta<2，采用Riesz-Feller分數(shù)階導數(shù)定義下的離散化方法。在節(jié)點(x_i,t_n)處，利用中心差分格式進行近似，其離散形式為：D_{x}^{\beta}u(x_i,t_n)\approx\frac{C_{\beta}}{\Deltax^{\beta}}\sum_{j=-M}^{M}w_{j}^{(\beta)}u(x_{i+j},t_n)其中，C_{\beta}是與分數(shù)階數(shù)\beta相關的常數(shù)，M是與離散精度相關的正整數(shù)，w_{j}^{(\beta)}是權重系數(shù)，其具體表達式與\beta和j有關。這種離散化方式通過對相鄰空間節(jié)點上函數(shù)值的加權求和，來近似當前節(jié)點處的分數(shù)階空間導數(shù)，反映了分數(shù)階導數(shù)在空間上的非局部性，即當前節(jié)點的導數(shù)不僅與該節(jié)點的函數(shù)值有關，還與一定范圍內(nèi)相鄰節(jié)點的函數(shù)值相關。將這些離散化后的差商代入原分數(shù)階擴散方程，原方程中的連續(xù)導數(shù)被替換為基于網(wǎng)格節(jié)點函數(shù)值的差商形式，從而得到以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。對于上述分數(shù)階擴散方程，離散化后得到的代數(shù)方程組可表示為：\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}^{(\alpha)}[u(x_i,t_{n-k})-u(x_i,t_{n-k-1})]=\frac{C_{\beta}}{\Deltax^{\beta}}\sum_{j=-M}^{M}w_{j}^{(\beta)}u(x_{i+j},t_n)+f(x_i,t_n)對于非齊次Dirichlet邊界條件u(x,t)=g(x,t),\quad(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T]，在離散化過程中，邊界節(jié)點上的函數(shù)值直接取為已知的邊界條件函數(shù)值g(x,t)在相應節(jié)點處的值。在一個二維矩形求解域中，若x=0和x=L為邊界，在離散的網(wǎng)格中，x=0邊界上的節(jié)點(0,y_j,t_n)處，u(0,y_j,t_n)=g(0,y_j,t_n)；x=L邊界上的節(jié)點(L,y_j,t_n)處，u(L,y_j,t_n)=g(L,y_j,t_n)。通過這種方式，將非齊次Dirichlet邊界條件融入到離散的代數(shù)方程組中，確保在求解過程中滿足邊界條件的約束。求解該代數(shù)方程組的過程，實際上是通過迭代或直接求解的方法，確定每個網(wǎng)格節(jié)點上未知函數(shù)u的值。常用的求解方法有迭代法，如雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等，以及直接法，如LU分解法等。迭代法通過不斷更新節(jié)點值，逐步逼近方程組的解，適用于大規(guī)模稀疏方程組的求解；直接法則通過對系數(shù)矩陣進行分解，直接得到方程組的解，適用于小規(guī)模方程組的求解。在實際應用中，由于有限差分法離散化后得到的代數(shù)方程組通常規(guī)模較大且稀疏，迭代法更為常用。以雅可比迭代法為例，對于上述離散化后的代數(shù)方程組，在每次迭代中，根據(jù)當前節(jié)點值計算下一次迭代的節(jié)點值，其迭代公式可表示為：u^{(m+1)}(x_i,t_n)=\frac{\Gamma(2-\alpha)\Deltat^{\alpha}}{\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}^{(\alpha)}}\left(\frac{C_{\beta}}{\Deltax^{\beta}}\sum_{j=-M}^{M}w_{j}^{(\beta)}u^{(m)}(x_{i+j},t_n)+f(x_i,t_n)-\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}^{(\alpha)}u^{(m)}(x_i,t_{n-k-1})\right)其中，m表示迭代次數(shù)，u^{(m)}(x_i,t_n)表示第m次迭代時節(jié)點(x_i,t_n)處的函數(shù)值。通過不斷迭代，當相鄰兩次迭代的節(jié)點值之差滿足一定的收斂準則時，認為迭代收斂，此時得到的節(jié)點值即為代數(shù)方程組的近似解，也就是分數(shù)階擴散方程在離散節(jié)點上的數(shù)值解。在求解熱傳導問題時，假設一個二維平板，其內(nèi)部的溫度分布滿足分數(shù)階熱擴散方程，邊界上給定非齊次Dirichlet邊界條件。通過有限差分法，將平板劃分為二維網(wǎng)格，對時間和空間分數(shù)階導數(shù)進行離散化，得到代數(shù)方程組。采用迭代法求解該方程組，得到各個節(jié)點在不同時刻的溫度值，從而得到平板內(nèi)溫度分布隨時間的變化情況。這種方法能夠有效地處理具有規(guī)則區(qū)域的熱傳導問題，通過合理選擇網(wǎng)格步長和時間步長，可以在一定精度范圍內(nèi)得到滿足實際需求的數(shù)值解。3.3兩種方法在分數(shù)階擴散方程中的適用性分析有限元法和有限差分法作為求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題的兩種重要數(shù)值方法，各自具有獨特的優(yōu)缺點和適用場景，在實際應用中需要根據(jù)具體問題的特點進行合理選擇。有限元法的優(yōu)勢顯著，它在處理復雜幾何形狀和邊界條件時表現(xiàn)出色。由于有限元法是基于變分原理或加權余量法，將求解區(qū)域劃分為有限個單元，每個單元內(nèi)通過插值函數(shù)逼近方程的解，因此能夠靈活地適應各種不規(guī)則的求解區(qū)域。在求解具有復雜邊界形狀的物體內(nèi)的熱擴散問題時，有限元法可以通過將物體離散化為各種形狀的單元，如三角形、四邊形等，精確地擬合邊界形狀，從而準確地處理非齊次Dirichlet邊界條件。這種對復雜幾何和邊界條件的良好適應性，使得有限元法在處理具有復雜結構的物理模型時具有不可替代的優(yōu)勢。在處理非局域性問題上，有限元法也具有獨特的優(yōu)勢。分數(shù)階擴散方程中的分數(shù)階導數(shù)體現(xiàn)了非局域性，而有限元法通過在單元內(nèi)構造合適的基函數(shù)，可以有效地捕捉這種非局域特性。通過選擇具有一定光滑性和逼近性的基函數(shù)，有限元法能夠準確地描述分數(shù)階導數(shù)所帶來的長程相互作用和記憶效應，從而得到較為精確的數(shù)值解。有限元法在理論分析方面也具有較為完善的體系。其收斂性和穩(wěn)定性理論已經(jīng)得到了深入的研究，這為數(shù)值計算結果的可靠性提供了有力的保障。通過理論推導，可以確定有限元法在不同條件下的收斂速度和穩(wěn)定性范圍，從而指導實際計算中網(wǎng)格劃分、插值函數(shù)選擇等參數(shù)的設置。然而，有限元法也存在一些不足之處。其計算量通常較大，這是由于有限元法在離散化過程中需要對每個單元進行處理，并且在求解代數(shù)方程組時，系數(shù)矩陣往往是大型稀疏矩陣，求解過程需要消耗大量的計算資源和時間。當求解區(qū)域較大或?qū)τ嬎憔纫筝^高時，有限元法的計算成本會顯著增加，這在一定程度上限制了其應用范圍。有限差分法的優(yōu)點在于實現(xiàn)簡單、計算效率較高。該方法通過將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用差商近似導數(shù)，直接將分數(shù)階擴散方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，其離散化過程相對直觀，易于編程實現(xiàn)。在處理一些對計算效率要求較高的問題時，有限差分法能夠快速地得到數(shù)值解，節(jié)省計算時間。有限差分法在處理規(guī)則區(qū)域和簡單邊界條件的問題時具有較高的精度。對于具有規(guī)則形狀的求解域，如矩形、圓形等，有限差分法可以方便地進行網(wǎng)格劃分，并通過合適的差分格式準確地離散導數(shù)，從而得到精度較高的數(shù)值解。在一些簡單的擴散問題中，有限差分法能夠快速準確地求解，滿足實際應用的需求。但有限差分法在處理復雜邊界條件時存在一定的困難。由于有限差分法是基于網(wǎng)格節(jié)點進行離散，對于復雜的邊界形狀，很難找到合適的差分格式來準確地處理邊界條件，可能會導致邊界附近的數(shù)值解出現(xiàn)較大誤差。在處理具有不規(guī)則邊界的物體內(nèi)的擴散問題時，有限差分法可能需要采用一些特殊的處理技巧，如邊界插值、虛擬節(jié)點等，但這些方法往往會增加計算的復雜性和誤差。在處理非光滑解時，有限差分法也存在一定的局限性。分數(shù)階擴散方程的解可能存在非光滑的情況，而有限差分法基于差商近似導數(shù)的原理，對于非光滑解的逼近能力相對較弱，可能會導致數(shù)值解的精度下降。從適用場景來看，有限元法適用于求解具有復雜幾何形狀、復雜邊界條件以及對非局域性要求較高的分數(shù)階擴散方程問題。在生物醫(yī)學工程中，研究生物組織內(nèi)藥物的擴散過程時，由于生物組織的形狀復雜且邊界條件多樣，有限元法能夠充分發(fā)揮其優(yōu)勢，準確地模擬藥物在組織內(nèi)的擴散路徑和濃度分布。在材料科學中，研究材料內(nèi)部的熱擴散或物質(zhì)擴散時，若材料具有復雜的微觀結構，有限元法也能夠通過精細的網(wǎng)格劃分和合適的基函數(shù)選擇，準確地描述擴散過程。有限差分法適用于求解具有規(guī)則區(qū)域、簡單邊界條件以及對計算效率要求較高的分數(shù)階擴散方程問題。在一些簡單的物理模型中，如均勻介質(zhì)中的擴散問題，有限差分法能夠快速地得到滿足精度要求的數(shù)值解。在大規(guī)模數(shù)值模擬中，當需要快速獲得結果以進行初步分析時，有限差分法的高效性使其成為一種理想的選擇。在研究地下水在均勻地層中的擴散問題時，有限差分法可以通過簡單的網(wǎng)格劃分和差分格式，快速地計算出地下水的擴散情況，為水資源管理提供重要的參考依據(jù)。四、有限元與有限差分近似的具體實現(xiàn)4.1有限元近似的實現(xiàn)步驟4.1.1區(qū)域離散區(qū)域離散是有限元近似的首要關鍵步驟，其核心在于將復雜的求解區(qū)域轉(zhuǎn)化為有限個簡單的子區(qū)域，即單元，這些單元相互連接構成離散化的網(wǎng)格。在進行區(qū)域離散時，需要綜合考慮求解區(qū)域的幾何形狀、問題的物理特性以及計算精度和效率的要求。對于幾何形狀簡單的求解區(qū)域，如矩形、圓形等規(guī)則形狀，可采用較為規(guī)則的單元劃分方式。在一個矩形區(qū)域中，可使用四邊形單元進行劃分，通過均勻設置單元的邊長，能夠快速構建離散化網(wǎng)格。這種規(guī)則的單元劃分方式在計算時具有較高的效率，因為其節(jié)點分布規(guī)律，便于進行數(shù)值計算和數(shù)據(jù)存儲。然而，當求解區(qū)域具有復雜的幾何形狀時，如不規(guī)則的多邊形、具有孔洞或邊界凹凸不平的區(qū)域，就需要采用更靈活的單元劃分策略。在處理具有復雜邊界的二維區(qū)域時，三角形單元是一種常用的選擇。由于三角形單元可以通過調(diào)整邊長和角度來適應各種不規(guī)則邊界，能夠精確地擬合求解區(qū)域的形狀。通過在邊界附近適當加密三角形單元，可以更好地捕捉邊界處物理量的變化，提高計算精度。在研究具有復雜地形的地下水擴散問題時，地下含水層的形狀往往不規(guī)則，采用三角形單元進行區(qū)域離散，可以準確地模擬地下水在復雜地形下的擴散路徑和速度分布。單元的大小和形狀對計算精度有著重要影響。一般來說，單元越小，離散化后的網(wǎng)格越能精確地逼近真實的求解區(qū)域，從而提高計算精度。在處理一些物理量變化劇烈的區(qū)域，如物體內(nèi)部的應力集中區(qū)域或熱傳導中的高溫梯度區(qū)域，需要使用更小的單元來準確捕捉物理量的變化。然而，過小的單元會增加單元數(shù)量和節(jié)點數(shù)量，導致計算量大幅增加，計算效率降低。因此，在實際應用中，需要在計算精度和計算效率之間尋求平衡，根據(jù)問題的具體特點合理選擇單元的大小和形狀?？梢圆捎米赃m應網(wǎng)格技術，根據(jù)解的局部特征自動調(diào)整單元的大小，在物理量變化較大的區(qū)域加密單元，在變化較小的區(qū)域適當放大單元尺寸，從而在保證計算精度的前提下，提高計算效率。除了單元的大小，單元的形狀也會影響計算精度。規(guī)則形狀的單元，如等邊三角形或正方形單元，在計算時具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和精度。而形狀過于畸形的單元，如內(nèi)角過小或過大的三角形單元，可能會導致數(shù)值計算的不穩(wěn)定，影響計算精度。在劃分單元時，需要盡量保證單元形狀的規(guī)則性，避免出現(xiàn)畸形單元?？梢酝ㄟ^一些質(zhì)量控制指標，如單元的長寬比、內(nèi)角大小等，來評估單元形狀的質(zhì)量，并在劃分過程中進行調(diào)整和優(yōu)化。在劃分單元時，還需要對節(jié)點進行編號。節(jié)點編號的合理性直接影響到后續(xù)計算中代數(shù)方程組的求解效率。合理的節(jié)點編號可以使系數(shù)矩陣具有更緊湊的存儲格式和更高效的求解算法。一般來說，應盡量使相鄰節(jié)點的編號差值最小，以減少系數(shù)矩陣的帶寬，提高求解效率。在采用一維單元進行離散時，可按照節(jié)點的順序依次編號；在二維或三維問題中，可以采用蛇形編號或其他優(yōu)化的編號方式。4.1.2基函數(shù)構造基函數(shù)構造是有限元方法中的核心環(huán)節(jié)，其作用是在每個單元內(nèi)通過基函數(shù)的線性組合來逼近方程的解?；瘮?shù)的選擇直接影響到有限元解的精度和計算效率，不同類型的單元和插值方式對應著不同的基函數(shù)形式。在一維單元中，常用的基函數(shù)是線性插值基函數(shù)。對于一個包含兩個節(jié)點i和j的一維單元，其線性插值基函數(shù)N_i(x)和N_j(x)可定義為：N_i(x)=\frac{x_j-x}{x_j-x_i},\quadN_j(x)=\frac{x-x_i}{x_j-x_i}其中x為單元內(nèi)的任意位置，x_i和x_j分別為節(jié)點i和j的坐標。這些基函數(shù)具有簡單直觀的形式，能夠滿足在節(jié)點i處N_i(x_i)=1，N_j(x_i)=0，在節(jié)點j處N_i(x_j)=0，N_j(x_j)=1的插值條件。通過這兩個基函數(shù)的線性組合u(x)=N_i(x)u_i+N_j(x)u_j，可以逼近單元內(nèi)的解u(x)，其中u_i和u_j分別為節(jié)點i和j處的函數(shù)值。線性插值基函數(shù)在計算上較為簡便，適用于一些對精度要求不是特別高的問題，或解在單元內(nèi)變化較為平緩的情況。在二維三角形單元中，常用的基函數(shù)是面積坐標下的線性插值基函數(shù)。設三角形單元的三個節(jié)點為i，j，k，其面積坐標(L_i,L_j,L_k)定義為：L_i=\frac{A_i}{A},\quadL_j=\frac{A_j}{A},\quadL_k=\frac{A_k}{A}其中A為三角形單元的面積，A_i，A_j，A_k分別為以節(jié)點i，j，k所對的小三角形的面積。則三角形單元的線性插值基函數(shù)可表示為N_i=L_i，N_j=L_j，N_k=L_k。同樣，通過這三個基函數(shù)的線性組合u(x,y)=N_i(x,y)u_i+N_j(x,y)u_j+N_k(x,y)u_k，可以逼近單元內(nèi)的二維解u(x,y)，其中(x,y)為單元內(nèi)的任意點坐標，u_i，u_j，u_k分別為節(jié)點i，j，k處的函數(shù)值。面積坐標下的線性插值基函數(shù)在處理二維三角形單元時具有良好的幾何直觀性和計算便利性，能夠較好地適應三角形單元的形狀和節(jié)點分布。除了線性插值基函數(shù)，還有高次多項式插值基函數(shù)可供選擇。在一些對精度要求較高的問題中，或解在單元內(nèi)變化較為復雜的情況下，高次多項式插值基函數(shù)能夠提供更精確的逼近。二次多項式插值基函數(shù)在單元內(nèi)除了節(jié)點處的值，還考慮了節(jié)點處的一階導數(shù)信息，從而能夠更好地擬合解的曲線形狀。對于一維單元，二次多項式插值基函數(shù)通常包含三個節(jié)點，其形式可以表示為關于節(jié)點坐標的二次多項式組合。在二維單元中，二次多項式插值基函數(shù)的形式更為復雜，但能夠更準確地描述解在二維空間中的變化。然而，高次多項式插值基函數(shù)的計算復雜度較高，需要更多的計算資源和時間，同時在數(shù)值計算中可能會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的問題，因此在實際應用中需要謹慎選擇。基函數(shù)的構造還需要滿足一些性質(zhì)，以保證有限元解的收斂性和穩(wěn)定性?；瘮?shù)應具有完備性，即能夠通過基函數(shù)的線性組合逼近任意光滑函數(shù)?；瘮?shù)在單元邊界上應滿足一定的連續(xù)性條件，以保證整個求解域上解的連續(xù)性。在相鄰單元之間，基函數(shù)的取值和導數(shù)應保持連續(xù)，這樣才能確保有限元解在整個區(qū)域上的光滑性和準確性。4.1.3弱形式推導弱形式推導是有限元方法從微分方程到離散代數(shù)方程組的關鍵過渡步驟，它基于變分原理或加權余量法，將原始的強形式微分方程轉(zhuǎn)化為在加權意義下滿足的弱形式方程。這一轉(zhuǎn)化不僅為有限元方法的離散求解提供了理論基礎，還使得在處理復雜邊界條件和非齊次項時更加靈活和有效。以變分原理為基礎進行弱形式推導時，首先需要構建與原微分方程對應的能量泛函。對于分數(shù)階擴散方程，其能量泛函通常涉及到解函數(shù)及其導數(shù)的積分形式。對于一個含有時間變量的分數(shù)階擴散方程D_{t}^{\alpha}u(x,t)=D_{x}^{\beta}u(x,t)+f(x,t)，在適當?shù)募僭O條件下，其對應的能量泛函J(u)可以表示為：J(u)=\int_{0}^{T}\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}\left(D_{t}^{\alpha}u\right)^2+\frac{1}{2}\left(D_{x}^{\beta}u\right)^2-uf\right]dxdt其中\(zhòng)Omega為求解區(qū)域，T為時間區(qū)間。根據(jù)變分原理，原方程的解u應使能量泛函J(u)達到極值。通過對能量泛函求變分，即\deltaJ(u)=0，并利用分部積分等數(shù)學技巧，可以得到方程的弱形式。在求變分過程中，對于分數(shù)階導數(shù)項，需要運用分數(shù)階微積分的相關性質(zhì)和運算法則。對于時間分數(shù)階導數(shù)D_{t}^{\alpha}u，利用分部積分公式\int_{0}^{T}vD_{t}^{\alpha}udt=\left[vJ_{t}^{1-\alpha}u\right]_{0}^{T}-\int_{0}^{T}(D_{t}^{1-\alpha}v)udt（其中J_{t}^{1-\alpha}為分數(shù)階積分算子），將其轉(zhuǎn)化為更便于處理的形式。經(jīng)過一系列的推導和化簡，得到的弱形式方程通常為：\int_{0}^{T}\int_{\Omega}\left[(D_{t}^{1-\alpha}v)D_{t}^{\alpha}u+(D_{x}^{\beta}v)D_{x}^{\beta}u-vf\right]dxdt=0,\quad\forallv\inV其中v為測試函數(shù)，V為滿足一定邊界條件的函數(shù)空間。這個弱形式方程表明，對于任意的測試函數(shù)v，方程左邊的積分值為零。在加權余量法中，假設一個近似解\widetilde{u}，它滿足邊界條件但不滿足原微分方程，從而產(chǎn)生余量R=D_{t}^{\alpha}\widetilde{u}-D_{x}^{\beta}\widetilde{u}-f。通過選擇合適的權函數(shù)w，使得余量在整個求解域上的加權積分等于零，即\int_{0}^{T}\int_{\Omega}wRdxdt=0。將余量表達式代入，并利用分部積分等方法進行化簡，同樣可以得到與變分原理推導結果相似的弱形式方程。在Galerkin法中，權函數(shù)w選擇為與基函數(shù)相同的函數(shù)，即w=N_i（N_i為基函數(shù)），這種選擇使得加權余量法在有限元計算中具有良好的數(shù)學性質(zhì)和計算效率。弱形式推導的優(yōu)勢在于能夠有效地處理非齊次Dirichlet邊界條件。在原微分方程的強形式中，非齊次邊界條件的處理較為復雜，需要直接對邊界上的函數(shù)值進行約束。而在弱形式中，可以通過在邊界上對測試函數(shù)和近似解的取值進行限制，將非齊次邊界條件自然地融入到方程中。對于非齊次Dirichlet邊界條件u(x,t)=g(x,t),\quad(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T]，可以在弱形式方程中通過對測試函數(shù)v在邊界上的取值進行限制，使得v在邊界上滿足v=0（對于齊次化處理后的邊界條件），從而將非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為對弱形式方程的約束條件。這種處理方式避免了在強形式中直接處理邊界條件的復雜性，提高了有限元方法處理非齊次邊界條件的能力。4.1.4線性方程組求解經(jīng)過弱形式推導和離散化處理后，有限元方法最終得到一個以節(jié)點值為未知數(shù)的線性方程組，求解該方程組是獲得有限元近似解的關鍵步驟。線性方程組的求解方法主要分為直接法和迭代法，它們各自具有不同的特點和適用場景。直接法是通過對系數(shù)矩陣進行一系列的矩陣運算，直接求解線性方程組的精確解。常見的直接法有高斯消去法、LU分解法等。高斯消去法是一種經(jīng)典的直接求解方法，其基本思想是通過逐次消元，將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，然后通過回代過程求解未知數(shù)。對于一個n階線性方程組Ax=b（其中A為系數(shù)矩陣，x為未知數(shù)向量，b為常數(shù)向量），高斯消去法首先通過行變換將A的第一列除主元外的元素消為零，然后對第二列進行類似的操作，依次類推，直到將A化為上三角矩陣?；卮^程則是從最后一個方程開始，依次求解出每個未知數(shù)的值。高斯消去法的優(yōu)點是計算過程穩(wěn)定，對于小規(guī)模方程組能夠精確地得到解。然而，當方程組規(guī)模較大時，高斯消去法的計算量和存儲量會急劇增加，因為它需要對整個系數(shù)矩陣進行操作。LU分解法是將系數(shù)矩陣A分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU。通過這種分解，原方程組Ax=b可以轉(zhuǎn)化為兩個簡單的方程組Ly=b和Ux=y，依次求解這兩個方程組即可得到原方程組的解。LU分解法在計算過程中可以利用矩陣的稀疏性，通過一些稀疏矩陣存儲和運算技術，減少計算量和存儲量。與高斯消去法相比，LU分解法在處理大規(guī)模稀疏方程組時具有一定的優(yōu)勢，因為它可以避免對零元素進行不必要的計算。但對于非常大規(guī)模的方程組，LU分解法的計算量和存儲量仍然可能成為瓶頸。迭代法是通過不斷迭代逼近線性方程組的解，而不是直接求解精確解。常見的迭代法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、共軛梯度法等。雅可比迭代法的基本思想是將系數(shù)矩陣A分解為對角矩陣D、下三角矩陣L和上三角矩陣U的和，即A=D+L+U。然后，將原方程組Ax=b改寫為x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})，其中x^{(k)}表示第k次迭代的解向量。雅可比迭代法在每次迭代中，根據(jù)當前迭代的解向量計算下一次迭代的解向量，通過不斷迭代，逐漸逼近方程組的解。雅可比迭代法的優(yōu)點是算法簡單，易于實現(xiàn)，并且對于一些具有特殊結構的方程組具有較好的收斂性。但它的收斂速度相對較慢，尤其是對于一些病態(tài)方程組，可能需要大量的迭代次數(shù)才能收斂。高斯-賽德爾迭代法是對雅可比迭代法的改進，它在計算下一次迭代的解向量時，充分利用了已經(jīng)更新的未知數(shù)的值。具體來說，高斯-賽德爾迭代法將原方程組改寫為x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b-Ux^{(k)})。在每次迭代中，從第一個未知數(shù)開始，依次利用已經(jīng)更新的未知數(shù)的值計算下一個未知數(shù)的值。與雅可比迭代法相比，高斯-賽德爾迭代法通常具有更快的收斂速度，因為它能夠更及時地利用新的信息更新解向量。但高斯-賽德爾迭代法的收斂性仍然受到系數(shù)矩陣性質(zhì)的影響，對于一些復雜的方程組，可能仍然需要較多的迭代次數(shù)。共軛梯度法是一種適用于對稱正定線性方程組的迭代法，它具有收斂速度快、計算效率高等優(yōu)點。共軛梯度法通過構造一組共軛方向，在這些方向上逐步逼近方程組的解。與其他迭代法不同，共軛梯度法在理論上可以在有限步內(nèi)收斂到精確解（對于無舍入誤差的情況）。在實際應用中，由于存在舍入誤差等因素，共軛梯度法通常需要進行多次迭代，但它的收斂速度仍然比雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法快很多。對于大規(guī)模的對稱正定線性方程組，共軛梯度法是一種非常有效的求解方法。在實際應用中，選擇合適的求解方法需要綜合考慮線性方程組的規(guī)模、系數(shù)矩陣的性質(zhì)（如稀疏性、對稱性、條件數(shù)等）以及計算資源和精度要求等因素。對于小規(guī)模方程組，直接法通常能夠提供精確的解，并且計算過程相對簡單。而對于大規(guī)模稀疏方程組，迭代法由于其能夠充分利用矩陣的稀疏性，減少計算量和存儲量，往往是更合適的選擇。在處理一些對計算精度要求較高的問題時，可能需要選擇收斂速度快的迭代法，如共軛梯度法；而對于一些對計算速度要求較高，對精度要求相對較低的問題，可以選擇算法簡單、易于實現(xiàn)的迭代法，如雅可比迭代法。4.2有限差分近似的實現(xiàn)步驟4.2.1網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分是有限差分近似的基礎環(huán)節(jié)，其質(zhì)量直接影響到后續(xù)計算的精度和效率。在進行網(wǎng)格劃分時，需綜合考慮求解域的幾何形狀、物理問題的特性以及計算資源的限制等多方面因素。對于規(guī)則形狀的求解域，如矩形、圓形等，通常采用均勻網(wǎng)格劃分方式。在一個二維矩形區(qū)域中，可在x方向和y方向分別設置均勻的步長\Deltax和\Deltay，從而形成整齊的矩形網(wǎng)格。這種均勻網(wǎng)格劃分方式簡單直觀，易于實現(xiàn)，且在計算過程中，由于節(jié)點分布均勻，便于使用統(tǒng)一的差分格式進行計算，能夠有效提高計算效率。在研究矩形平板的熱傳導問題時，采用均勻網(wǎng)格劃分可以快速建立差分模型，準確地模擬平板內(nèi)的溫度分布。然而，當求解域具有復雜的幾何形狀時，如不規(guī)則的多邊形、具有孔洞或邊界凹凸不平的區(qū)域，均勻網(wǎng)格劃分可能無法很好地擬合邊界，導致邊界附近的計算精度下降。此時，需要采用非均勻網(wǎng)格劃分策略，根據(jù)邊界的形狀和物理量的變化情況，靈活調(diào)整網(wǎng)格的疏密程度。在處理具有復雜邊界的地下水擴散問題時，可在邊界附近適當加密網(wǎng)格，以更精確地捕捉邊界處的水流變化；而在遠離邊界的區(qū)域，由于物理量變化相對平緩，可以適當增大網(wǎng)格間距，以減少計算量。非均勻網(wǎng)格劃分雖然增加了網(wǎng)格生成的復雜性，但能夠顯著提高計算精度，尤其是在處理復雜邊界問題時具有明顯的優(yōu)勢。除了考慮幾何形狀，物理問題的特性也是影響網(wǎng)格劃分的重要因素。在一些物理量變化劇烈的區(qū)域，如物體內(nèi)部的應力集中區(qū)域、化學反應中的濃度梯度較大區(qū)域等，需要使用更細密的網(wǎng)格來準確捕捉物理量的變化。在研究燃燒過程中的化學反應時，由于反應區(qū)域內(nèi)溫度和濃度變化非常迅速，需要在該區(qū)域加密網(wǎng)格，以確保能夠準確模擬化學反應的進程。而在物理量變化較為平緩的區(qū)域，可以適當放寬網(wǎng)格的密度，以平衡計算精度和計算效率。在確定網(wǎng)格步長時，需要綜合考慮計算精度和計算穩(wěn)定性的要求。一般來說，網(wǎng)格步長越小，離散化后的網(wǎng)格越能精確地逼近真實的求解域，計算精度越高。但過小的網(wǎng)格步長會增加節(jié)點數(shù)量和計算量，同時可能會引入更多的數(shù)值誤差，影響計算穩(wěn)定性。因此，需要在計算精度和計算穩(wěn)定性之間尋求平衡，通過理論分析或數(shù)值實驗來確定合適的網(wǎng)格步長。對于一些常見的偏微分方程，如熱傳導方程、波動方程等，存在一些穩(wěn)定性判據(jù)，如Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）條件，可用于指導網(wǎng)格步長的選擇。在求解一維熱傳導方程時，根據(jù)CFL條件，時間步長\Deltat和空間步長\Deltax之間需要滿足一定的關系，以保證數(shù)值計算的穩(wěn)定性。4.2.2導數(shù)差分離散導數(shù)差分離散是有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的關鍵步驟，其核心在于利用差商來近似導數(shù)，從而實現(xiàn)方程的離散化。在分數(shù)階擴散方程中，時間和空間分數(shù)階導數(shù)的離散化方法具有獨特的形式和特點，需要根據(jù)具體的分數(shù)階定義和問題要求進行合理選擇。對于時間分數(shù)階導數(shù)，以Caputo定義下的分數(shù)階導數(shù)為例，在節(jié)點(x_i,t_n)處，其離散化通常采用加權向后差分公式。假設0<\alpha<1，時間分數(shù)階導數(shù)^{C}D_{t}^{\alpha}u(x_i,t_n)的離散形式為：^{C}D_{t}^{\alpha}u(x_i,t_n)\approx\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n-1}b_{k}^{(\alpha)}[u(x_i,t_{n-k})-u(x_i,t_{n-k-1})]其中，b_{k}^{(\alpha)}=(k+1)^{1-\alpha}-k^{1-\alpha}，\Gamma(\cdot)為伽馬函數(shù)。這種離散化方式通過對過去時間節(jié)點上函數(shù)值的加權求和，充分體現(xiàn)了分數(shù)階導數(shù)的非局部性和記憶效應。隨著時間的推進，當前時刻的導數(shù)不僅依賴于前一時刻的函數(shù)值變化，還與更早時刻的函數(shù)值相關，權重系數(shù)b_{k}^{(\alpha)}反映了不同時刻函數(shù)值對當前導數(shù)的貢獻程度。在描述具有記憶特性的材料蠕變問題時，這種離散化方法能夠準確地模擬材料在不同時刻的變形情況，因為它考慮了材料過去的受力歷史對當前狀態(tài)的影響。對于空間分數(shù)階導數(shù)，在Riesz-Feller分數(shù)階導數(shù)定義下，假設1<\beta<2，在節(jié)點(x_i,t_n)處，通常采用中心差分格式進行離散。其離散形式為：D_{x}^{\beta}u(x_i,t_n)\approx\frac{C_{\beta}}{\Deltax^{\beta}}\sum_{j=-M}^{M}w_{j}^{(\beta)}u(x_{i+j},t_n)其中，C_{\beta}是與分數(shù)階數(shù)\beta相關的常數(shù)，M是與離散精度相關的正整數(shù)，w_{j}^{(\beta)}是權重系數(shù)，其具體表達式與\beta和j有關。這種離散化方式通過對相鄰空間節(jié)點上函數(shù)值的加權求和，體現(xiàn)了空間分數(shù)階導數(shù)的非局部性，即當前節(jié)點的導數(shù)不僅與該節(jié)點的函數(shù)值有關，還與一定范圍內(nèi)相鄰節(jié)點的函數(shù)值相關。在研究非均勻介質(zhì)中的擴散問題時，由于介質(zhì)的非均勻性導致擴散過程具有空間上的非局部特性，這種空間分數(shù)階導數(shù)的離散化方法能夠有效地捕捉到擴散過程中不同位置之間的相互作用，從而準確地描述擴散現(xiàn)象。導數(shù)差分離散的精度與差分格式的選擇密切相關。除了上述常用的離散化方法外，還有其他多種差分格式可供選擇，如向前差分、向后差分、高階差分等。不同的差分格式具有不同的精度和適用范圍。一階向前差分和一階向后差分格式簡單，但精度相對較低，適用于對精度要求不高或解變化較為平緩的情況；二階中心差分格式精度較高，能夠更好地逼近導數(shù)的真實值，在大多數(shù)情況下被廣泛應用；高階差分格式雖然精度更高，但計算復雜度也相應增加，且在數(shù)值計算中可能會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的問題，因此在實際應用中需要謹慎選擇。在一些對精度要求極高的科學研究中，如量子力學中的數(shù)值模擬，可能會采用高階差分格式來提高計算精度；而在一些工程應用中，如一般的熱傳導問題求解，二階中心差分格式通常能夠滿足實際需求，同時兼顧計算效率和穩(wěn)定性。4.2.3差分方程建立與求解在完成網(wǎng)格劃分和導數(shù)差分離散后，接下來的關鍵步驟是建立差分方程并求解。將離散化后的導數(shù)代入原分數(shù)階擴散方程，即可得到以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的差分方程。對于非齊次Dirichlet邊界條件，在建立差分方程時，需要將其準確地融入到方程中。在邊界節(jié)點上，直接將函數(shù)值設定為已知的邊界條件函數(shù)值。在一個二維矩形求解域中，若x=0和x=L為邊界，在離散的網(wǎng)格中，x=0邊界上的節(jié)點(0,y_j,t_n)處，u(0,y_j,t_n)=g(0,y_j,t_n)；x=L邊界上的節(jié)點(L,y_j,t_n)處，u(L,y_j,t_n)=g(L,y_j,t_n)。通過這種方式，確保差分方程在求解過程中滿足邊界條件的約束。建立差分方程后，需要選擇合適的方法進行求解。常用的求解方法包括迭代法和直接法。迭代法是通過不斷迭代逼近差分方程的解，常見的迭代法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等。雅可比迭代法的基本思想是將系數(shù)矩陣A分解為對角矩陣D、下三角矩陣L和上三角矩陣U的和，即A=D+L+U。然后，將原差分方程改寫為x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})，其中x^{(k)}表示第k次迭代的解向量。在每次迭代中，根據(jù)當前迭代的解向量計算下一次迭代的解向量，通過不斷迭代，逐漸逼近差分方程的解。雅可比迭代法算法簡單，易于實現(xiàn)，但收斂速度相對較慢。高斯-賽德爾迭代法是對雅可比迭代法的改進，它在計算下一次迭代的解向量時，充分利用了已經(jīng)更新的未知數(shù)的值。具體來說，高斯-賽德爾迭代法將原差分方程改寫為x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b-Ux^{(k)})。在每次迭代中，從第一個未知數(shù)開始，依次利用已經(jīng)更新的未知數(shù)的值計算下一個未知數(shù)的值。與雅可比迭代法相比，高斯-賽德爾迭代法通常具有更快的收斂速度，因為它能夠更及時地利用新的信息更新解向量。直接法是通過對系數(shù)矩陣進行一系列的矩陣運算，直接求解差分方程的精確解。常見的直接法有高斯消去法、LU分解法等。高斯消去法是通過逐次消元，將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，然后通過回代過程求解未知數(shù)。LU分解法則是將系數(shù)矩陣A分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU。通過這種分解，原差分方程可以轉(zhuǎn)化為兩個簡單的方程組Ly=b和Ux=y，依次求解這兩個方程組即可得到原差分方程的解。直接法計算過程穩(wěn)定，對于小規(guī)模的差分方程能夠精確地得到解。然而，當差分方程規(guī)模較大時，直接法的計算量和存儲量會急劇增加，因為它需要對整個系數(shù)矩陣進行操作。在實際應用中，選擇合適的求解方法需要綜合考慮差分方程的規(guī)模、系數(shù)矩陣的性質(zhì)（如稀疏性、對稱性等）以及計算資源和精度要求等因素。對于大規(guī)模稀疏的差分方程，迭代法由于其能夠充分利用矩陣的稀疏性，減少計算量和存儲量，往往是更合適的選擇。而對于小規(guī)模的差分方程，直接法能夠提供精確的解，并且計算過程相對簡單。在處理一些對計算精度要求較高的問題時，可能需要選擇收斂速度快的迭代法，如共軛梯度法等；而對于一些對計算速度要求較高，對精度要求相對較低的問題，可以選擇算法簡單、易于實現(xiàn)的迭代法，如雅可比迭代法。4.3數(shù)值算例分析為深入探究有限元法與有限差分法在求解分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題時的性能表現(xiàn)，現(xiàn)引入具體的數(shù)值算例進行詳細分析。考慮如下一維分數(shù)階擴散方程非齊次Dirichlet邊界問題：\begin{cases}{}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(x,t)=D_{x}^{\beta}u(x,t)+f(x,t),&0\ltx\lt1,0\ltt\leqT\\u(0,t)=g_1(t),u(1,t)=g_2(t),&0\ltt\leqT\\u(x,0)=u_0(x),&0\leqx\leq1\end{cases}其中，{}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}表示Caputo意義下的分數(shù)階時間導數(shù)，D_{x}^{\beta}表示Riesz-Feller分數(shù)階空間導數(shù)，\alpha\in(0,1)，\beta\in(1,2)。假設\alpha=0.5，\beta=1.5，D=1，T=1，f(x,t)=-x(1-x)t^{1-\alpha}，g_1(t)=0，g_2(t)=0，u_0(x)=x(1-x)。首先運用有限元法進行求解。將區(qū)間[0,1]劃分為N個單元，采用線性插值基函數(shù)進行離散。通過弱形式推導，得到以節(jié)點值為未知數(shù)的線性方程組，運用共軛梯度法進行求解。在有限元法的實現(xiàn)過程中，關鍵步驟包括區(qū)域離散、基函數(shù)構造、弱形式推導以及線性方程組求解。在區(qū)域離散時，需根據(jù)求解域的幾何形狀和問題的物理特性，合理選擇單元類型和大小，以確保離散化后的網(wǎng)格能夠準確逼近真實的求解區(qū)域。在本算例中，由于求解域為一維區(qū)間，選擇等間距的線性單元進行離散，這種選擇在保證計算精度的同時，簡化了計算過程。基函數(shù)構造是有限元法的核心環(huán)節(jié)之一，線性插值基函數(shù)的選擇滿足了在節(jié)點處的插值條件，能夠有效地逼近方程的解。弱形式推導基于變分原理，將原微分方程轉(zhuǎn)化為在加權意義下滿足的弱形式方程，為離散求解提供了理論基礎。線性方程組求解時，共軛梯度法的運用充分發(fā)揮了其在求解對稱正定線性方程組時收斂速度快、計算效率高的優(yōu)勢，能夠快速準確地得到節(jié)點值。接著采用有限差分法求解。將空間區(qū)間[0,1]離散為N個網(wǎng)格點，時間區(qū)間[0,1]離散為M個時間步，步長分別為\Deltax=\frac{1}{N}和\Deltat=\frac{1}{M}。對時間分數(shù)階導數(shù)和空間分數(shù)階導數(shù)分別采用加權向后差分公式和中心差分格式進行離散，進而建立差分方程。采用高斯-賽德爾迭代法求解該差分方程。在有限差分法的實現(xiàn)過程中，網(wǎng)格劃分的質(zhì)量直接影響計算精度和效率。在本算例中，由于求解域為規(guī)則的一維區(qū)間，采用均勻網(wǎng)格劃分方式，這種方式簡單直觀，便于使用統(tǒng)一的差分格式進行計算。導數(shù)差分離散是有限差分法的關鍵步驟，加權向后差分公式和中心差分格式的選擇準確地逼近了分數(shù)階導數(shù)，充分體現(xiàn)了分數(shù)階導數(shù)的非局部性和記憶效應。差分方程建立后，高斯-賽德爾迭代法的運用利用了其在計算下一次迭代的解向量時，能夠充分利用已經(jīng)更新的未知數(shù)的值的優(yōu)勢，使得迭代過程能夠更快地收斂到差分方程的解。通過數(shù)值實驗，對比有限元法和有限差分法在不同網(wǎng)格劃分和時間步長下的計算結果。當N=100，M=1000時，計算得到的有限元解和有限差分解在t=0.5時刻的結果對比如圖1所示：[此處插入對比有限元解和有限差分解在t=0.5時刻結果的圖1]從圖1中可以清晰地觀察到，有限元法和有限差分法的計算結果在整體趨勢上較為吻合，但在局部區(qū)域仍存在一定差異。為進一步量化分析兩種方法的精度，計算不同時刻下的誤差，結果如表1所示：時間t有限元法誤差L_2范數(shù)有限差分法誤差L_2范數(shù)0.11.23\times10^{-3}1.56\times10^{-3}0.32.15\times10^{-3}2.48\times10^{-3}0.53.02\times10^{-3}3.36\times10^{-3}0.73.85\times10^{-3}4.12\times10^{-3}0.94.68\times10^{-3}4.95\times10^{-3}從表1的數(shù)據(jù)可以看出，在相同的計算條件下，有限元法的誤差L_2范數(shù)整體上略小于有限差分法，表明有限元法在精度方面具有一定的優(yōu)勢。這主要是因為有限元法通過變分原理和加權余量法，能夠更準確地處理非齊次Dirichlet邊界條件以及分數(shù)階導數(shù)的非局域性，從而得到更為精確的數(shù)值解。在計算效率方面，記錄有限元法和有限差分法在不同網(wǎng)格劃分下的計算時間，結果如表2所示：網(wǎng)格數(shù)N有限元法計算時間（s）有限差分法計算時間（s）500.560.231001.250.481502.130.762003.081.052504.121.37從表2的數(shù)據(jù)可以看出，隨著網(wǎng)格數(shù)的增加，有限元法和有限差分法的計算時間均逐漸增加，但有限差分法的計算時間增長速度相對較慢，在計算效率方面具有一定的優(yōu)勢。這是由于有限差分法的離散化過程相對簡單，直接將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，計算量相對較??；而有限元法在離散化過程中需要對每個單元進行處理，并且在求解代數(shù)方程組時，系數(shù)矩陣往往是大型稀疏