《軸對稱小結(jié)（第二課時）》1.等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性質(zhì)：①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形的頂角平分線、底邊中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”.知識梳理1.等腰三角形（3）判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，即“等角對等邊”.也可以依據(jù)等腰三角形的定義來判斷一個三角形是否為等腰三角形.（4）應(yīng)用：在實(shí)際解題中，未說明邊是腰還是底邊，或者未說明角是頂角還是底角，都需要分情況進(jìn)行討論.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.（2）性質(zhì)：

①等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都是60°；②等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性質(zhì).2.等邊三角形（3）判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（4）在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.3.最短路徑問題（1）直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離和最短的問題.如圖，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C使得AC+BC的值最小，此時線段AB與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.BlAC3.最短路徑問題（2）直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離和最短的問題.如圖，點(diǎn)A，B是直線l同側(cè)的兩個點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C使得AC+BC的值最小，這時先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)C（也可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)C），此時點(diǎn)C就是所求作的點(diǎn).B′ABlC（3）兩線一點(diǎn)型問題.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小.此時過點(diǎn)A分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)A1，A2，連接A1A2分別交直線l1，l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.l1l2AA1NA2M3.最短路徑問題3.最短路徑問題（4）兩線兩點(diǎn)型問題.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點(diǎn)M，N，使得四邊形AMNB的周長最小.這時分別作點(diǎn)A，B關(guān)于直線l1，l2的對稱點(diǎn)A1，B1，連接A1B1分別交直線l1，l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.l2l1BAB1MA1N3.最短路徑問題（5）造橋選址問題.ABab??MNA′將AM沿著與直線a垂直的方向平移，點(diǎn)M移動到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動到點(diǎn)A′，連接A′B，線段A′B與直線b的交點(diǎn)即為所求的位置，即在點(diǎn)N處造橋MN.1.如圖，AD⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A.△ABD≌△ACDB.∠B=∠C

C.△ABC是等腰三角形D.△ABC是等邊三角形DABCDAD⊥BCD是BC中點(diǎn)△ABD≌△ACD∠B=∠C△ABC是等腰三角形重難剖析2.在△ABC中，AB=7，BC=13，DE是AC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)E，則△ABE的周長為____.20CEDBADE垂直平分ACAE=ECAB+BE+AEAB+BC=7+13=203.如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，

EC⊥BC，且EC=BD，

求證：△ADE是等邊三角形.

△ABC是等邊三角形

D是AC中點(diǎn)3ABCED1245△ABD≌△ACEEC⊥BC,EC=BD∠1=60°,∠5=30°

∠ADB=90°°AD=AE,∠4=∠1=60°結(jié)論得證在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,

∠5=∠3，BD=CE,∴△ABD≌△ACE（SAS）,∴AD=AE,∠1=∠4=60°.∴△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，∴AB=BC=AC，∠1=∠2=∠ABC=60°.∴∠ADB=∠CDB=90°,∠5=∠DBC=30°.∵EC⊥BC,

∴∠ECB=90°,∴∠3=30°.3ABCED12454.如圖，OA，OB分別是線段MC，MD的垂直平分線，MD=4，MC=7，CD=12，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA上任意一點(diǎn)E，再爬到OB上任意一點(diǎn)F，然后爬回M點(diǎn)處，則小螞蟻爬行的路徑最短為（）A.12B.10C.4D.8ABMCDFEOME+EF+MF=CD=12OA垂直平分MCOB垂直平分MDME=CEMF=DFA1.已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°,則頂角的度數(shù)為（）A.45°或135°B.45°C.135°D.90°

①如圖，若等腰三角形的頂角為銳角，則腰上的高在等腰三角形的內(nèi)部.∵BD⊥AC，∠ABD=45°,∴∠A=45°，即頂角的度數(shù)為45°.ABCDA能力提升

②如圖,若等腰三角形的頂角為鈍角,則腰上的高在等腰三角形的外部.∵BD⊥AC,交CA的延長線D,∠DBA=45°,

∴∠BAD=90°-∠DBA=45°.∴∠BAC=180°-∠BAD=135°,即頂角的度數(shù)為135°.CABD易錯警示：

當(dāng)涉及等腰三角形腰上的高的問題，且圖形未知時，要注意分類討論.

軸對稱1.

下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的圖形是(

B

)B12345678910112.

如圖，將一張三角形紙片

ABC

沿過點(diǎn)

B

的直線折疊，使點(diǎn)

C

落在

AB

邊上的點(diǎn)

E

處，折痕為

DB

，則下列結(jié)論一定正確的是(

D

)A.

AD

＝

BD

B.

AE

＝

AC

C.

ED

＋

EB

＝

DB

D.

AE

＋

CB

＝

AB

D12345678910113.

已知在平面直角坐標(biāo)系中，

A

，

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－2，3)和(2，

3)，有下列四個結(jié)論：①

A

，

B

關(guān)于

x

軸對稱；②

A

，

B

關(guān)于

y

軸對稱；③

A

，

B

之間的距離為6；④

A

，

B

之間的距離為4.其中正確的結(jié)論有

個.2

1234567891011

線段垂直平分線的判定4.

如圖，

AD

為△

ABC

的角平分線，

DE

⊥

AC

于點(diǎn)

E

，

DF

⊥

AB

于點(diǎn)

F

，

EF

交

AD

于點(diǎn)

M

.

求證：

AD

垂直平分

EF

.

1234567891011

1234567891011

等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)與判定5.

(廊坊霸州市期中)如圖，上午8時，漁船從

A

處出發(fā)，以20海里/

時的速度向正西方向航行，9時30分到達(dá)

B

處.從

A

處測得燈塔

C

在南偏

西30°方向，距

A

處30海里處.則

B

處到燈塔

C

的距離是(

C

)A.

20海里B.

25海里C.

30海里D.

35海里C1234567891011【解析】如圖，連接

BC

.

∴∠

BAC

＝90°－∠1＝60°.∵

AC

＝30海里，∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等邊三角形.∴

BC

＝

AC

＝30海里.12345678910116.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

邊的垂直平分線與

AC

所在直線相交所

得的銳角為40°，求∠

B

的度數(shù).解：此題分兩種情況討論：(1)如圖1，

AB

邊的垂直平分線與

AC

邊交于點(diǎn)

D

，與

AB

邊交于點(diǎn)

E

，

∠

ADE

＝40°，則∠

A

＝50°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－50°)÷2＝65°.1234567891011(2)如圖2，

AB

邊的垂直平分線與

CA

的延長線交于點(diǎn)

D

，與

AB

邊交于

點(diǎn)

E

，∠

ADE

＝40°，則∠

DAE

＝50°.∴∠

BAC

＝130°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－130°)÷2＝25°.綜上所述，∠

B

的度數(shù)為65°或25°.12345678910117.

如圖，△

ABC

是等邊三角形，

D

是邊

BC

上(除

B

，

C

外)的任意一

點(diǎn)，∠

ADE

＝60°，且

DE

交△

ABC

的外角∠

ACF

的平分線

CE

于點(diǎn)

E

.

求證：(1)∠1＝∠2；證明：(1)∵△

ABC

是等邊三角形，∠

ADE

＝60°，∴∠

ADE

＝∠

B

＝60°.又∵∠

ADC

＝∠2＋∠

ADE

＝∠1＋∠

B

，∴∠1＝∠2.1234567891011(2)

AD

＝

DE

.

證明：(2)如圖，在

AB

上取一點(diǎn)

M

，使

BM

＝

BD

，連

接

MD

，則∠

BMD

＝∠

BDM

.

∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

B

＝∠

ACB

＝60°，

AB

＝

BC

.

∴∠

BMD

＝60°.∴∠

AMD

＝120°.1234567891011

1234567891011

含30°角的直角三角形的性質(zhì)8.

(石家莊第48中學(xué)期末)如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

∠

ABC

＝60°，

BC

＝4

cm，

D

為

BC

的中點(diǎn)，若動點(diǎn)

E

以1

cm/s的速度

從

A

點(diǎn)出發(fā)，沿著

A

→

B

→

A

的方向運(yùn)動，設(shè)

E

點(diǎn)的運(yùn)動時間為

t

s(0≤

t

＜12)，連接

DE

，當(dāng)△

BDE

是直角三角形時，

t

的值為(

D

)A.

4B.

7或9C.

4或9D.

4或7或9第8題圖D1234567891011【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

＝60°，則∠

A

＝180°

－∠

ACB

－∠

ABC

＝30°，∵

BC

＝4

cm，∴

AB

＝2

BC

＝8

cm.∵

D

為

BC

中點(diǎn)，∴

BD

＝2

cm.∵0≤

t

＜12，∴點(diǎn)

E

的運(yùn)動路線為從

A

到

B

，再從點(diǎn)

B

到

AB

的中點(diǎn)，按運(yùn)動時間分為0≤

t

≤8和8＜

t

＜12兩種情況.第8題圖1234567891011

②當(dāng)8＜

t

＜12時，則此時

E

點(diǎn)又經(jīng)過

t

＝7秒時的位置，此時

t

＝8

＋1＝9.綜上所述，

t

的值為4或7或9.第8題圖12345678910119.

(邯鄲第23中學(xué)期末)如圖，已知∠

AOB

＝60°，

OP

平分∠

AOB

，

PC

⊥

OA

于點(diǎn)

C

，

D

是

OB

上的動點(diǎn)，若

PO

＝6

cm，則

PD

長

的最小值是

?.第9題圖3

cm

1234567891011

軸對稱的相關(guān)作圖10.

(唐山第12中學(xué)期末)如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

36°，點(diǎn)

D

，

P

分別是圖中所作直線和射線與

AB

，

CD

的交點(diǎn).根據(jù)圖

中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是(

D

)A.

∠

ABP

＝∠

A

B.

AD

＝

CD

C.

∠

PBC

＝∠

ACD

D.

∠

BPC

＝118°D1234567891011

1234567891011∵

DA

＝

DC

，∴B選項不符合題意.∵

DA

＝

DC

，∴∠

ACD

＝∠

A

＝36°.∴∠

PBC

＝∠

ACD

＝36°.∴C選項不符合題意.∵∠

PBC

＝36°，∠

ACD

＝36°，∴∠

PCB

＝36°.∴∠

BPC

＝180°－36°－36°＝108°.∴D選項符合題意.123456789101111.

要在一條筆直的公路

l

邊上建一個快遞配送點(diǎn)，方便為同側(cè)的

A

，

B

兩個居民