1函數(shù)及其表示法2函數(shù)的特性3初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示法3函數(shù)的概念是德國數(shù)學家狄利克萊在1837年抽象出的，至今仍為人們易于接受，并且較為合理的函數(shù)概念。定義設x和y是兩個變量。D是一個給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù)x

D，變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應，則稱y是x的函數(shù)，記作因變量自變量y=f(x)數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域。對應的y值的變化范圍叫做函數(shù)的值域，記作4由函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)概念有兩個要素：定義域和對應法則。如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應法則也相同，則這兩個函數(shù)就是相同的，否則是不同的。求函數(shù)定義域的常見方法：①分式的分母不為零；②偶次根式中被開方數(shù)非負；③對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1，真數(shù)大于零；④實際問題要考慮使問題有實際意義；⑤若函數(shù)由多個式子表示，求出它們的交集。5例1-1

求下列函數(shù)的定義域：（1）解：由解得所以函數(shù)定義域為（2）解：由解得所以函數(shù)定義域為6求函數(shù)解析式常見方法有定義法、待定系數(shù)法、換元法、配湊法。函數(shù)的表示方法一般有三種：公式法，圖示法，表格法。公式法也叫解析法，常用于理論研究，是我們使用最多的方法。

例1-2求，求。解：令，則，且由得。將代入中，得所以，注意：利用換元法時要考慮新變量的取值范圍。7

例1-3函數(shù)y=x2，

定義域D=(–

，+

)，值域W=[0，+

)yxy=x2OxOy=x3y

例1-4函數(shù)y=x3，

定義域D=(–

，+

)，值域W=(–

，+

)8

例1-5函數(shù)

，定義域D

和值域W

都是除去數(shù)0

之外的全體實數(shù)，圖像為等軸雙曲線。yxOOyxy=|x|

例1-6函數(shù)，這是絕對值函數(shù)，定義域D=(–

，+

)，值域W=[0，+

)9

例1-7符號函數(shù)

定義域D=(–

，+

)，值域W={–1，0，1}y=sgn

x1-1xyO10例1-8分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中，用不同的解析式表示的函數(shù)。分段函數(shù)是定義域上的一個函數(shù)，不是多個函數(shù)，分段函數(shù)需要分段求值，分段作圖。y=x2-1y=2x-1yxO1-1-1第二節(jié)函數(shù)的特性121.函數(shù)的有界性定義

設函數(shù)y=f(x)

的定義域為D，區(qū)間

。如果存在正數(shù)M，使得對于任意

x∈I，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無界。y=f(x)XM-MyxoxM-MyoX有界無界13顯然，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界，使上述不等式成立的常數(shù)M不是唯一的，有界性體現(xiàn)在常數(shù)M的存在性。函數(shù)的有界性依賴于區(qū)間，例如：在區(qū)間（1，2）內有界，而在區(qū)間（0，1）內無界。函數(shù)函數(shù)的有界性還可以表述為：如果存在常數(shù)M1、M2，使得對于任意

x∈I，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界，M1

稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的下界，有界，M2

稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的上界。142.函數(shù)的單調性定義

設函數(shù)y=f(x)

的定義域為D，區(qū)間

。如果對于區(qū)間I

內的任意兩點x1

及x2，當x1

<

x2時，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內是單調增加的（簡稱遞增）；如果對于區(qū)間I

內的任意兩點x1

及x2，當x1

<

x2時，恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內是單調減少的（簡稱遞減）。單調增加函數(shù)和單調減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。使函數(shù)保持單調的區(qū)間叫做單調區(qū)間。15xyoxyo單調增加單調減少單調增加函數(shù)的圖像是沿x

軸正向逐漸上升的，可以用符號↗表示；單調減少函數(shù)的圖像是沿x

軸正向逐漸下降的，可以用符號↘表示。例如：判斷函數(shù)單調性的方法有觀察圖像法、定義法、求導法等。函數(shù)y=x3，在區(qū)間(–

，+

)上↗；而函數(shù)y=x2，在區(qū)間(–

，0)上↘，在區(qū)間(0，+

)上↗。163.函數(shù)的奇偶性定義

設函數(shù)y=f(x)的定義域D關于原點對稱（即若x∈D，則-x∈D），如果對于任意

x∈D，有f(-

x)=f(x)則稱f(x)為偶函數(shù)；f(-

x)=-f(x)則稱f(x)為奇函數(shù)。yxOx–xyxOx–x17奇函數(shù)的圖形是關于原點中心對稱的，偶函數(shù)的圖形是關于軸對稱的。兩個奇函數(shù)之和仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)之和仍是偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)之積是偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)之積也是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。

例如：y=x3、y=sinx、y=tanx是奇函數(shù)；

y=x2

、y=cosx是偶函數(shù)。

而有：y=x3+sinx是奇函數(shù)；

y=x2+cosx是偶函數(shù)；

y=x3sinx、y=x2cosx都是偶函數(shù)；y=x3cosx是奇函數(shù)。184.函數(shù)的周期性定義

設函數(shù)y=f(x)的定義域為D。如果存在一個不為零的實數(shù)T，使得對于任意的

x∈D，有

x±T∈D，且f(x)

=f(x±T)

恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期。

例如：y=sinx、y=cosx是以2π

為周期的周期函數(shù)；

y=tanx是以π

為周期的周期函數(shù)。上述四種特性中，有界性和單調性是函數(shù)的局部特性，奇偶性和周期性是函數(shù)的整體特性。這四種特性是從不同角度來研究函數(shù)的。第三節(jié)初等函數(shù)20一、反函數(shù)在函數(shù)關系中，自變量和因變量的地位往往是相對的，可以把任意一個變量看作是自變量或因變量。定義

設函數(shù)y=f(x)的定義域為D，值域為W。如果對于W中的每一個

y，都有唯一的

x∈D，使得

f(x)

=y

，此時得到一個定義在W上的新函數(shù)，此函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù)，記作而y=f(x)稱為直接函數(shù)。由定義可見，反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是直接函數(shù)的定義域。21一、反函數(shù)函數(shù)的實質在于它的定義域和對應法則，而用什么字母表示自變量和因變量是無關緊要的。習慣上常以x

表示自變量，y

表示因變量，因此常常對調x與y，把反函數(shù)改寫成今后提到的反函數(shù)，一般就是指這種經(jīng)過改寫的反函數(shù)。函數(shù)與反函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱。yxOy=f-1

(x)y=f(x)y=xP(a,b)Q(b,a)22一、反函數(shù)例1-9求函數(shù)（）的反函數(shù)。解：由，解得，將

x與y互換，得一般地，求y=f(x)的反函數(shù)的步驟為：（1）先從y=f(x)中解出

x=f

–1

(y)；（2）再交換x，y，同時求出新的定義域（即直接函數(shù)的值域）。23二、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是最常見、最基本的函數(shù)?；境醯群瘮?shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。1.常數(shù)函數(shù)（C

為常數(shù)）y=Cy

xOC稱為常數(shù)函數(shù)。其定義域為(–

，+

)，

值域為{C}。圖像為一條垂直于y

軸的直線。函數(shù)24二、基本初等函數(shù)2.冪函數(shù)（k

為常數(shù)）稱為冪函數(shù)。對于任意的k，xk

在(0，+

)內都有定義；對于不同的k，xk的定義域有所不同。

冪函數(shù)的圖像過點（1，1）。函數(shù)O11y=xy=x2xy25二、基本初等函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)（a

為常數(shù)且a>0，a

≠1）稱為指數(shù)函數(shù)。其定義域為(–

，+

)，

值域為(0，+

)。函數(shù)的圖像過點（0，1）。函數(shù)yxO(0,1)y=axa>1y=ax0<a<1當0<a<1時，函數(shù)ax

單調減少；當a>1時，函數(shù)ax

單調增加。特別的，當a=e

時，指數(shù)函數(shù)為y=ex

（不提底數(shù)時默認特指）。26二、基本初等函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)（a

為常數(shù)且a>0，a

≠1）稱為對數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域為(0，+

)，

值域為(–

，+

)。函數(shù)的圖像過點（1，0）。函數(shù)當0<a<1時，函數(shù)logax

單調減少；當a>1時，函數(shù)logax

單調增加。特別的，當a=e

時，對數(shù)函數(shù)為y=lnx

（不提底數(shù)時默認特指）。yxO(1,0)y=logaxa>1y=logax

0<a<127二、基本初等函數(shù)5.三角函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx的定義域為(–

，+

)，

值域為[–1，1]。它是奇函數(shù)，是周期為2π

的周期函數(shù)。三角函數(shù)有六個，它們是正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)secx，余割函數(shù)cscx。yx-11余弦函數(shù)y=cosx的定義域為(–

，+

)，

值域為[–1，1]。它是偶函數(shù)，是周期為2π

的周期函數(shù)。yx-1128二、基本初等函數(shù)正切函數(shù)y=tanx的定義域為，

值域為(–

，+

)。它是奇函數(shù)，是周期為π

的周期函數(shù)。余切函數(shù)y=cotx的定義域為，

值域為(–

，+

)。它是奇函數(shù)，是周期為π

的周期函數(shù)。yxyx29二、基本初等函數(shù)6.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsinx是y=sinx的反函數(shù)，其定義域為[–1，1]，值域為，是單調增加的奇函數(shù)。yxO1-1反余弦函數(shù)y=arccosx是y=cosx（x∈[0，π]）的反函數(shù)，其定義域為[–1，1]，值域為[0，π]，是單減函數(shù)。1-1yxO30二、基本初等函數(shù)反正切函數(shù)y=arctanx是y=tanx的反函數(shù)，其定義域為(–

，+

)，值域為，是單調增加的奇函數(shù)。yxOxyO反余切函數(shù)y=arccotx是y=cotx（x∈(0，π)

）的反函數(shù)，其定義域為(–

，+

)，值域為(0，π)

，是單減函數(shù)。31三、復合函數(shù)簡單函數(shù)就是基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加減乘除四則運算得到的函數(shù)。例如就是簡單函數(shù)。而若設

y=u3

，u=1+2x，則后者代入前者可得函數(shù)

定義設函數(shù)y=f(u)的定義域為D，而函數(shù)u=φ(x)的值域為Z

；若D

∩

Z

，則稱函數(shù)y=f

[φ(x)]為變量x

的復合函數(shù)。此函數(shù)即為由

y=u3

、u=1+2x復合而成的復合函數(shù)。32