四次方程考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.方程$x^4-1=0$有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.四次方程$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$（$a≠0$）的一般形式中，最高次項(xiàng)系數(shù)是（）A.aB.bC.cD.d3.方程$x^4=16$的解是（）A.2B.-2C.±2D.±44.下列方程是四次方程的是（）A.$x^2+3x+1=0$B.$x^3-2x^2+1=0$C.$x^4-5x^2+4=0$D.$2x+1=0$5.用換元法解方程$x^4-5x^2+6=0$，可設(shè)$y=$（）A.$x$B.$x^2$C.$x^3$D.$x^4$6.方程$x^4-3x^2-4=0$的正根為（）A.1B.2C.3D.47.若四次方程$x^4+kx^2+1=0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則$k$的值為（）A.2B.-2C.1D.-18.方程$x^4-2x^2-8=0$的根的情況是（）A.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根B.有四個(gè)實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根D.有三個(gè)實(shí)數(shù)根9.已知方程$x^4-4x^2+m=0$，當(dāng)$m=3$時(shí)，方程的根為（）A.±1，±$\sqrt{3}$B.1，$\sqrt{3}$C.-1，-$\sqrt{3}$D.±110.方程$x^4-7x^2+12=0$的解集中元素個(gè)數(shù)是（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于四次方程$x^4-2x^2-3=0$說法正確的是（）A.可通過換元法求解B.有四個(gè)實(shí)數(shù)根C.可因式分解求解D.最高次項(xiàng)是$x^4$2.四次方程$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$（$a≠0$）的特點(diǎn)有（）A.是整式方程B.次數(shù)為4C.一定有四個(gè)實(shí)數(shù)根D.系數(shù)a、b、c、d、e均為實(shí)數(shù)3.方程$x^4-9x^2=0$的解是（）A.0B.3C.-3D.94.對于方程$x^4-4x^2+4=0$，下列說法正確的是（）A.可化為$(x^2-2)^2=0$B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有四個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.解為$x=±\sqrt{2}$5.以下哪些方法可以用來求解四次方程（）A.因式分解法B.換元法C.求根公式法D.配方法6.方程$x^4-6x^2+8=0$的根是（）A.$\sqrt{2}$B.-$\sqrt{2}$C.2D.-27.四次方程$x^4+5x^2+6=0$（）A.無實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)虛數(shù)根C.可通過換元轉(zhuǎn)化為二次方程求解D.判別式小于08.方程$x^4-10x^2+9=0$的解集中包含（）A.1B.-1C.3D.-39.若四次方程$x^4+bx^2+c=0$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可能的情況是（）A.$b^2-4c=0$B.$b^2-4c\gt0$且兩根異號C.$b^2-4c\lt0$D.方程可化為完全平方式10.關(guān)于四次方程$x^4-5x^2+6=0$，正確的是（）A.因式分解為$(x^2-2)(x^2-3)=0$B.解為$x=±\sqrt{2}$，$x=±\sqrt{3}$C.是雙二次方程D.有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程$x^4+1=0$有實(shí)數(shù)根。（）2.四次方程最多有四個(gè)實(shí)數(shù)根。（）3.用換元法解四次方程$x^4-3x^2+2=0$，設(shè)$y=x^2$后得到方程$y^2-3y+2=0$。（）4.方程$x^4-4x^2=0$只有兩個(gè)根0和2。（）5.四次方程一定是整式方程。（）6.方程$x^4+2x^2+1=0$有四個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。（）7.若四次方程$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$（$a≠0$）的各項(xiàng)系數(shù)之和為0，則$x=1$是它的一個(gè)根。（）8.方程$x^4-7x^2+10=0$的根為$x=±\sqrt{2}$，$x=±\sqrt{5}$。（）9.四次方程$x^4-6x^2+10=0$無實(shí)數(shù)根。（）10.所有四次方程都可以用因式分解法求解。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述用換元法解四次方程$x^4-4x^2-5=0$的步驟。-設(shè)$y=x^2$，則原方程化為$y^2-4y-5=0$。-解$y^2-4y-5=0$，因式分解得$(y-5)(y+1)=0$，解得$y=5$或$y=-1$。-當(dāng)$y=5$時(shí)，$x^2=5$，$x=±\sqrt{5}$；當(dāng)$y=-1$時(shí)，$x^2=-1$，無實(shí)數(shù)根。2.如何判斷四次方程$x^4+3x^2+2=0$是否有實(shí)數(shù)根？-設(shè)$y=x^2$，方程化為$y^2+3y+2=0$。-其判別式$\Delta=3^2-4×2=1\gt0$，但$y=x^2≥0$。-而$y^2+3y+2=0$的解為$y=-1$或$y=-2$，都小于0，所以原方程無實(shí)數(shù)根。3.用因式分解法解方程$x^4-5x^2+4=0$。-因式分解得$(x^2-1)(x^2-4)=0$。-即$(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)=0$。-解得$x=1$，$x=-1$，$x=2$，$x=-2$。4.四次方程與二次方程在求解方法上有哪些聯(lián)系？-很多四次方程可通過換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解，如設(shè)$y=x^2$。-二者都可用因式分解法，二次方程的一些求解思路和技巧可為四次方程求解提供借鑒。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論四次方程$x^4-8x^2+12=0$在不同實(shí)數(shù)范圍內(nèi)根的情況。-在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)$y=x^2$，方程化為$y^2-8y+12=0$。-因式分解得$(y-2)(y-6)=0$，$y=2$或$y=6$。-當(dāng)$y=2$時(shí)，$x=±\sqrt{2}$；當(dāng)$y=6$時(shí)，$x=±\sqrt{6}$，有四個(gè)實(shí)數(shù)根。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，同樣是這四個(gè)根。2.對于四次方程$x^4+kx^2+1=0$，討論$k$的取值對方程根的影響。-設(shè)$y=x^2$，方程化為$y^2+ky+1=0$，判別式$\Delta=k^2-4$。-當(dāng)$\Delta\lt0$，即$-2\ltk\lt2$時(shí)，$y$無實(shí)數(shù)解，原方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)$\Delta=0$，即$k=±2$時(shí)，$y$有一個(gè)非負(fù)解，原方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)$\Delta\gt0$，$k\gt2$或$k\lt-2$時(shí)，$y$有兩個(gè)解，需看是否非負(fù)確定原方程根的個(gè)數(shù)。3.比較不同求解四次方程方法的優(yōu)缺點(diǎn)。-換元法：優(yōu)點(diǎn)是將四次方程轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程求解，思路清晰；缺點(diǎn)是可能出現(xiàn)增根情況，且對于復(fù)雜方程換元不易想到。-因式分解法：優(yōu)點(diǎn)是直接得出根，計(jì)算量??；缺點(diǎn)是很多方程難以因式分解。-求根公式法：優(yōu)點(diǎn)是通用；缺點(diǎn)是公式復(fù)雜，計(jì)算量大。4.舉例說明四次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用場景。-在物理中，某些物體運(yùn)動軌跡的方程可能是四次方程，比如特定條件下物體的位移與時(shí)間關(guān)系。-在工程設(shè)計(jì)里，對于一些復(fù)雜曲面的構(gòu)建，其數(shù)學(xué)模型可能涉及四次方程，用于精確計(jì)算形狀和尺寸等。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.C