2022年高考數(shù)學(xué)考前30天題型突破專題6：立體幾何一、高考規(guī)律揭秘1．規(guī)律小結(jié)我們通過比較近三年的高考題可以發(fā)現(xiàn)，對于空間向量與立體幾何的考查在素養(yǎng)要求的層級上有所提高，但難度不會(huì)提升太多，多為基礎(chǔ)性、綜合性題目。理科與新高考數(shù)學(xué)對創(chuàng)新能力的要求有所提高，所以我們認(rèn)為，2022年的高考，會(huì)加強(qiáng)對創(chuàng)新能力的考查，但總體基調(diào)不會(huì)發(fā)生太大變化。2．考點(diǎn)頻度理科：高頻考點(diǎn)：面面角，垂直關(guān)系的證明；中頻考點(diǎn)：三視圖，體積、球及球的切接，線線角、線面角，勞動(dòng)生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)文化；低頻考點(diǎn)：體積，平行關(guān)系的證明。文科：高頻考點(diǎn)：體積，垂直關(guān)系的證明，勞動(dòng)生活與數(shù)學(xué)文化；中頻考點(diǎn)：三視圖、表面積，球及球的切接，線線角，線面角，平行關(guān)系的證明，命題及其他。3．備考策略理科：（1）簡單幾何體和組合幾何體是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的一個(gè)很好的載體，可以單獨(dú)考查，如幾何體的識(shí)別，距離和截面面積的計(jì)算；也可以與體積、表面積結(jié)合考查，重點(diǎn)考查簡單幾何體的表面積或體積，理科為小題，多為低檔題．球與簡單幾何體的切接問題或與之有關(guān)的最值問題，題型為選擇題或填空題，這是一類重點(diǎn)問題，有時(shí)難度相對較大。（2）2022年高考仍將以小題形式考查平行與垂直的判定與性質(zhì)，多為基礎(chǔ)題，對于截面問題的考查，難度則有提升；解答題，第一小題多為證明線線、線面、面面垂直與平行；第二問，多數(shù)是利用空間向量的相關(guān)知識(shí)解決空間角的問題，為中檔題。（3立體幾何是高考命制創(chuàng)新試題的重要載體，它與社會(huì)實(shí)踐息息相關(guān)，并且有深厚的數(shù)學(xué)文化背景。①數(shù)學(xué)文化下的立體幾何問題要引起重視，中華文化源遠(yuǎn)流長，在對數(shù)學(xué)真理的探索道路上不斷前行，對人類的進(jìn)生作出了偉大的貢獻(xiàn)，因此立體幾何與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的命題是獨(dú)具特色的。②生活中的立體幾何問題，實(shí)際應(yīng)用問題常以幾何體的表面積、體積、角度和距離為載體，在解答時(shí)需要注意變量的實(shí)際意義，多為中檔題。③立體幾何與其他知識(shí)的交匯，多以考查體積、表面積、距離和角度為主，因此這類題目凸品獨(dú)特，立意較為新穎，有一定難度。高考試題精練1．【2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)】已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）A． B． C． D．2．【2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)】在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，的周長為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面3．【2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)】正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A． B． C． D．4．【2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．三、知識(shí)點(diǎn)精講一、空間幾何體的三視圖、表面積和體積1．空間幾何體的三視圖(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：正(主)側(cè)(左)一樣高，正(主)俯一樣長，側(cè)(左)俯一樣寬；看不到的線畫虛線．2．用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖的注意點(diǎn)(1)用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖時(shí)，要注意原圖與直觀圖中的“三變”、“三不變”：①“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長度改變（減半），,圖形改變.))②“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不變，,與x軸平行的線段長度不變，,相對位置不變.))(2)對于直觀圖，除了了解斜二測畫法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S′之間的關(guān)系：S′＝eq\f(\r(2),4)S，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算．3．多面體的側(cè)面積和表面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面積的和．4．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)若圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則S側(cè)＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r′，r，則S側(cè)＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半徑為R，則它的表面積S＝4πR2.5．空間幾何體的體積公式幾何體名稱體積棱(圓)柱V＝Sh(S為底面面積，h為高)棱(圓)錐V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)棱(圓)臺(tái)V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S為上、下底面面積，h為高)球V＝eq\f(4π,3)R3(R為球半徑)6.與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論(1)長方體的外接球：①球心：體對角線的交點(diǎn)；②半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長方體的長、寬、高)．(2)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球：①外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長)；②內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長)；③與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq\f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長)．(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)：①外接球：球心是正四面體的中心，半徑r＝eq\f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長)．②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心，半徑r＝eq\f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長)．二、線面平行與垂直的判定與性質(zhì)1．平面的基本性質(zhì)名稱圖形文字語言符號(hào)語言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?l?α公理2過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C不共線?A，B，C∈平面α，則α是唯一的公理2的推論推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面若點(diǎn)A?直線a，則A和a確定一個(gè)平面α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面a∩b＝P?有且只有一個(gè)平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面a∥b?有且只有一個(gè)平面α，使a?α，b?α公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線若P∈α，P∈β，則α∩β＝a，P∈a，且a是唯一的公理4平行于同一直線的兩條直線平行l(wèi)1∥l，l2∥l?l1∥l2要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線．2．空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系相交關(guān)系獨(dú)有關(guān)系3．直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理不在平面內(nèi)的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為線線平行?線面平行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α,a?α,l∥a))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為線面平行?線線平行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理中的三個(gè)條件缺一不可；線面平行的性質(zhì)定理可以作為線線平行的判定方法．4．平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為線面平行?面面平行)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∩b＝P,a∥β,b∥β))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b平面與平面平行的性質(zhì)定理實(shí)際上給出了判定兩條直線平行的一種方法，注意一定是第三個(gè)平面與兩平行平面相交，其交線平行．5．直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b6.平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α三、空間角1．兩條異面直線所成的角過空間任意一點(diǎn)分別引兩條異面直線的平行直線，那么這兩條相交直線所成的銳角或直角叫作這兩條異面直線所成的角．若記這個(gè)角為θ，則θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩直線平行、相交不可能或證明兩直線共面不可能，從而可得兩直線異面．3．線面角(1)當(dāng)l⊥α?xí)r，線面角為90°.(2)當(dāng)l∥α或l?α?xí)r，線面角為0°.(3)線面角θ的范圍：0°≤θ≤90°.4．二面角(1)如圖所示的二面角α-l-β，若①O∈l，②OA?α，OB?β，③OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB就叫作二面角α-l-β的平面角．(2)二面角θ的范圍：0°≤θ≤180°.5．技巧歸納(1)“線線角抓平移，線面角定射影，二面角求平面角”．計(jì)算二面角的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，方法較為靈活，還可以通過“割”或“補(bǔ)”找二面角的平面角．對于無棱二面角，可以先找出棱或借助于平面法向量的夾角求解，也可以利用射影面積公式cosθ＝eq\f(S射,S原)求解．(2)空間距離的求法一般都化歸為點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)到面的距離來求．不管是求角還是距離，都涉及怎樣確定平面的法向量問題，這可以利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理予以確定．6．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；④a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑤a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；⑥|a|2＝a·a?|a|＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化)；⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取無關(guān)，這是因?yàn)橐粋€(gè)確定的幾何體，其“線線”夾角、“點(diǎn)點(diǎn)”距離都是固定的，坐標(biāo)系的位置不同，只會(huì)影響其計(jì)算的繁簡．(2)進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，在能建系的情況下盡量建系，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算．7．直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)找直線的方向向量：在直線上任取一非零向量可作為它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))8．兩條異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θa與b的夾角a，b范圍0<θ≤eq\f(π,2)0<a，b<π求法cosθ＝|cosa，b|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)9.直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cosa，n|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).10．點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).11．二面角設(shè)n1，n2分別為二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其二面角為θ，則θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．其中cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|).求向量的夾角時(shí)需注意線線角、線面角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量的夾角范圍是[0，π]，二面角的范圍是(0，π]．四、高考試題精講1．【2020年新高考全國Ⅰ卷】日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A．20° B．40°C．50° D．90°2．【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．3．【2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)】如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.五、內(nèi)容檢測立體幾何與空間向量(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖所示，在三棱臺(tái)ABC－A′B′C′中，截去三棱錐A′－ABC后，剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺(tái)2．下列說法正確的是()A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)3．下列命題中是真命題的是()A．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行B．與同一個(gè)平面夾角相等的兩條直線互相平行C．平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行4．圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為90°，則圓錐的表面積是底面積的________倍()A．2B．3C．4D．55．《九章算術(shù)》卷五商功中記載了一個(gè)問題：今有圓亭：下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何？答曰：五百二十七尺，九分尺之七．術(shù)曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一，文中給出了如三視圖所示幾何體體積的一種近似算法：(上底面周長×下底面周長＋上底面周長的平方＋下底面周長的平方)×高×eq\f(1,36)，如此求出的體積的近似值與實(shí)際值的比值為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(3,π)C.eq\f(22,7π)D.eq\f(7π,22)6．已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()A.eq\f(4,3)cm3B．2cm3C.eq\f(8,3)cm3D．4cm37．一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD(如圖所示)，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這個(gè)平面圖形的面積為()A.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),4) B．2＋eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)＋eq\r(2)8．已知直線l⊥平面α，平面β⊥平面γ，()A．若α∥γ，則l∥β B．若α⊥γ，則l⊥βC．若l∥γ，則α∥β D．若l⊥γ，則α⊥β9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形BCC1B1為正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，則異面直線AC1與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(2\r(2),3)10．已知球O是直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球，若AA1＝AC＝eq\r(2)BC，BA＝BC＝1，則球O的體積為()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(32,3)πC．4πD.eq\f(9,2)π11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，則平面AD1E與平面ABCD的交線與直線C1D1所成角的正切值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．212．已知三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝2，底面△ABC滿足AC＝eq\r(3)，∠ABC＝eq\f(π,3)，則該三棱錐體積的最大值為()A.eq\f(5\r(3),3)B.eq\f(2\r(3)＋3,6)C.eq\f(2\r(3)＋3,3)D.eq\f(2\r(3)＋3,4)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知直線a，b和平面α，若a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系是________．14.已知圓柱Ω的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A，B是下底面圓周上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，BC是母線，如圖．若直線OA與BC所成角的大小為eq\f(π,6)，則eq\f(l,r)＝________.15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2，Q為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在線段AB，CD上運(yùn)動(dòng)(其中M不與A，B重合，N不與C，D重合)，且MN∥AD，沿MN將△DMN折起，得到三棱錐D－MNQ，則三棱錐D－MNQ體積