專題21.3一元二次方程的解法“配方法”【人教版】TOC\o"11"\h\u題型一：根據(jù)配方法進(jìn)行變形 2題型二：利用配方法求參數(shù)的值 5題型三：配方法解一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1） 8題型四：配方法解一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)不為1） 13題型五：配方法與不等式綜合 18題型六：選填中的最值問題 21題型七：配方法應(yīng)用之新定義問題 26題型八：幾何中配方法的應(yīng)用 30題型九：配方法綜合應(yīng)用之最值和比較大小問題 38知識(shí)點(diǎn)一：“配方法”解一元二次方程一元二次方程的配方法是一種通過將方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式來求解的方法。解題步驟：1.將方程變形為標(biāo)準(zhǔn)形式ax2+bx+c=0（其中去括號(hào)：如果一元二次方程中有括號(hào)，首先去括號(hào)。移項(xiàng)：將所有項(xiàng)移到等號(hào)同一側(cè)，確保方程右側(cè)為0。合并同類項(xiàng)：將方程中同類項(xiàng)相加或相減，變成標(biāo)準(zhǔn)形式。2.配方法解方程。原方程變形：化為標(biāo)準(zhǔn)形式ax常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊ax二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)x2加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方x配方：將方程左邊配成一個(gè)完全平方x+b2a利用直接開平方解一元二次方程。題型一：根據(jù)配方法進(jìn)行變形【答案】B故選：B．【答案】B【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的基本步驟及方法是解題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，再給方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可得出結(jié)果．故選：B．【答案】B【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是完全平方公式、配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法．結(jié)合完全平方公式進(jìn)行配方即可得解．故選：．【答案】C【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出答案．故選：C．【答案】C故選：C．【答案】A【分析】本題主要考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握解答的方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法的步驟解答，即可．故選：A．【答案】D【分析】此題考查了配方法解一元二次方程；方程左右兩邊同時(shí)除以變形后，將常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)方程右邊，方程左右兩邊都加上，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個(gè)常數(shù)，即可得到正確的選項(xiàng)．故選：D題型二：利用配方法求參數(shù)的值A(chǔ)．9 B．17 C．13 D．5【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵；故選：A.【答案】D【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．先化二次項(xiàng)系數(shù)為，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到、的值．故選：D．【答案】A【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，再配方，變形后即可求出m、n的值．故選：A．【答案】故答案為：．【答案】40【分析】本題主要考查了配方法，把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方確定m、n的值即可得到答案．故答案為：40．【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)除以2，接著把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，據(jù)此可得m、n的值，進(jìn)而可得答案．題型三：配方法解一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）例3（2425八年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）解下列方程．【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，求解即可；（2）移項(xiàng)后，提公因式法進(jìn)行因式分解，求解即可．（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用配方法求解即可．【變式訓(xùn)練31】（2425八年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）解方程．【分析】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的一般方法（直接開平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根據(jù)具體情況選擇合適的方法求解．【變式訓(xùn)練32】（2425八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）解方程：【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答的關(guān)鍵．（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【變式訓(xùn)練33】（2425八年級(jí)下·浙江紹興·期中）解方程：【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)鍵．（1）由配方法即可求解；（2）先移項(xiàng)，再根據(jù)因式分解法求解．【變式訓(xùn)練34】（2425九年級(jí)下·山東淄博·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋骸痉治觥勘绢}考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用直接開平方法進(jìn)行解方程，即可作答．（2）運(yùn)用配方法進(jìn)行解方程，即可作答．【變式訓(xùn)練35】（2425八年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）解下列方程：【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選取合適的解法是解題的關(guān)鍵；（1）用開平方法即可求解；（2）利用配方法即可求解．題型四：配方法解一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)不為1）例4（2324九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠獭痉治觥勘绢}考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【變式訓(xùn)練41】（2425八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）解下列方程：【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【分析】該題考查了解一元二次方程，變形后根據(jù)配方法求解即可．【變式訓(xùn)練43】（2425九年級(jí)上·江西新余·階段練習(xí)）解方程：【分析】此題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解方程即可．（2）利用配方法解方程即可．【變式訓(xùn)練44】（2425九年級(jí)上·青海西寧·階段練習(xí)）選擇合適的方法解下列方程【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵：（1）直接開方法解方程即可；（2）配方法解方程即可；（3）配方法解方程即可；（4）先展開，變成一般式，因式分解法解方程即可．【變式訓(xùn)練45】（2425九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）解下列方程：【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．題型五：配方法與不等式綜合【答案】A故選：A．【答案】A故選：A【答案】C故選：．【答案】C【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是配方法、平方的非負(fù)性及三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用．先利用配方法對(duì)含的式子和含有的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出和的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．三角形的三條邊為，，，又這個(gè)三角形的最大邊為，故選：．【分析】本題考查整式的加減、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可．【答案】16故答案為：16．題型六：選填中的最值問題【答案】【分析】本題考查的是代數(shù)式的最小值問題，利用配方法及平方的非負(fù)性是解答的關(guān)鍵.對(duì)代數(shù)式進(jìn)行配方，利用平方的非負(fù)性解答.故答案為：【答案】12【分析】本題考查了配方法求最小值的運(yùn)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．∴最小值為故答案為：12．【答案】4故答案為：4．【答案】【分析】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握配方法的一般步驟，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法把原式變成平方和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都大于等于0，綜上，該代數(shù)式的最小值是．故答案為：【答案】2故答案為：2．【答案】小0故答案為：，小，0．【答案】4故答案為：4．題型七：配方法應(yīng)用之新定義問題【答案】【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意理解新定義的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最小值即可．【詳解】解：分兩種情況：【答案】2020【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于與的方程組，求出方程組的解得到與的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．故答案為：2020．【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算和解一元二次方程，根據(jù)新定義運(yùn)算法則得到一元二次方程，求解后再對(duì)方程的解進(jìn)行判斷即可題型八：幾何中配方法的應(yīng)用A．3 B． C． D．【答案】A∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為，故選：A．【答案】【答案】故答案為：．∵該方程的一個(gè)正根是線段的長(zhǎng)，題型九：配方法綜合應(yīng)用之最值和比較大小問題例9（2425七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【感知】把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性來增加題目的已知條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．【應(yīng)用】根據(jù)上述材料，解答下列問題：【分析】本題考查配方及其應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是求解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式的特征求解．（2）先配方，再求最小值．探究：作差后配方比較大?。蚀鸢笧椋?6，6．【直接應(yīng)用】【類比應(yīng)用】【拓展應(yīng)用】（3）如圖，要圍成一個(gè)矩形雞場(chǎng)，一邊靠墻（墻長(zhǎng)24米），另三邊用總長(zhǎng)為40米的竹籬笆圍成．①請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；②當(dāng)為何值時(shí)，圍成的矩形雞場(chǎng)的面積最大？最大面積是多少？【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，一元一次不等式的應(yīng)用．（1）配方法把原式化為完全平方式與一個(gè)數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；∵墻長(zhǎng)24米，②設(shè)雞場(chǎng)的面積為平方米，則【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了等高三角形的在面積計(jì)算中的應(yīng)用．故答案為：故答案為：6；【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，解一元二次方程：故答案為：；試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：(3)知識(shí)遷移：【答案】(1)(3)20【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握配方法．（1）利用“配方法”計(jì)算即可；（2）兩式相減，差和0比較，確定大小；（3）大三角形面積減去小三角形面積，再把含有t的式子配方，求最小值．S的最小值為20．【變式訓(xùn)練95】（2425八年級(jí)下·安徽亳州·期中）閱讀材料．根據(jù)以上信息，解決下列問題：【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解此題的關(guān)鍵．于是小明給出一個(gè)定義：請(qǐng)結(jié)合小明的思考過程，運(yùn)用此定義解決下列問題：【答案】(1)3(2)(3)【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，靈活運(yùn)用配方法以及新定義判斷出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．（1）先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，再根據(jù)新定義判斷即可；（3）先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，再根據(jù)新定義判斷即可．故答案為：3．故答案為：．【答案】B故選：B．A．2022 B．2024 C．2025 D．2028【答案】A故選：A．【答案】A故選：A．【答案】D【分析】此題考查了配方法．把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊變成完全平方式即可．故選：D5．（2425九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）老師設(shè)計(jì)了一個(gè)“接力游戲”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如圖，老師把題目交給一位同學(xué)，他完成一步解答后交給第二位同學(xué)，…，依次進(jìn)行，最后完成計(jì)算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．接力中，自己負(fù)責(zé)的式子出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（

）．A．小明 B．小麗 C．小紅 D．小亮【答案】C【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．先用配方法解老師出示的一元二次方程即可判斷出錯(cuò)的同學(xué)．故選C．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉掌握解一元二次方程．依據(jù)題意，由海倫秦九韶公式轉(zhuǎn)化得到關(guān)于b的一元二次方程即可求解．故選：A【答案】故答案為：．【分析】根據(jù)完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案．【答案】10故答案為：10．10．（2425八年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）用適當(dāng)方法解方程：【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．(2)同意淇淇的說法，見解析【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握題目所給運(yùn)算式的運(yùn)算順序．（2）根據(jù)題目所給運(yùn)算式，得出代數(shù)式，然后利用配方法將其變形從而分析其最值，即可解答．（2）解：同意淇淇的說法，理由如下：輸出的多項(xiàng)式指定比1大．12．（2425九年級(jí)上·廣西河池·期中）用配方法完成下列推理過程．本題主要考查利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的過程，并進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)(2)最大值為10【分析】本題考查配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法，以及完全平方的非負(fù)性，是解題的關(guān)