第4講功能關(guān)系能量守恒定律學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握幾種常見(jiàn)的功能關(guān)系，知道能量守恒定律。2.理解摩擦力做功與能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系。3.會(huì)應(yīng)用能量的觀(guān)點(diǎn)解決綜合問(wèn)題。1.幾種常見(jiàn)的功能關(guān)系及其表達(dá)式力做功能的變化定量關(guān)系合力的功動(dòng)能變化W＝Ek2－Ek1＝ΔEk重力的功重力勢(shì)能變化(1)重力做正功，重力勢(shì)能減少(2)重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2彈簧彈力的功彈性勢(shì)能變化(1)彈力做正功，彈性勢(shì)能減少(2)彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加(3)W彈＝－ΔEp＝Ep1－Ep2只有重力、彈簧彈力做功機(jī)械能不變化機(jī)械能守恒，ΔE＝0除重力和彈簧彈力之外的其他力做的功機(jī)械能變化(1)其他力做多少正功，物體的機(jī)械能就增加多少(2)其他力做多少負(fù)功，物體的機(jī)械能就減少多少(3)W其他＝ΔE一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力的總功機(jī)械能減少，內(nèi)能增加(1)作用于系統(tǒng)的一對(duì)滑動(dòng)摩擦力一定做負(fù)功，系統(tǒng)內(nèi)能增加(2)摩擦生熱Q＝Ffx相對(duì)安培力做功電能變化(1)克服安培力做的功等于電能增加量(2)W克安＝E電2.能量守恒定律1.思考判斷(1)力對(duì)物體做了多少功，物體就具有多少能。(×)(2)一個(gè)物體的能量增加，必定有別的物體的能量減少。(√)(3)在物體的機(jī)械能減少的過(guò)程中，動(dòng)能有可能是增大的。(√)(4)滑動(dòng)摩擦力做功時(shí)，一定會(huì)引起機(jī)械能的轉(zhuǎn)化。(√)(5)除重力以外的其他力做的功等于物體動(dòng)能的改變量。(×)(6)克服與勢(shì)能有關(guān)的力(重力、彈簧彈力、靜電力)做的功等于對(duì)應(yīng)勢(shì)能的增加量。(√)2.(多選)(根據(jù)人教版必修第二冊(cè)P92圖8.4－4改編)一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在雪道上下滑了一段路程，重力對(duì)他做功3000J，他克服阻力做功500J，則在此過(guò)程中這名運(yùn)動(dòng)員()A.重力勢(shì)能增加了3000JB.動(dòng)能增加了3000JC.動(dòng)能增加了2500JD.機(jī)械能減少了500J答案CD考點(diǎn)一功能關(guān)系的理解和應(yīng)用功的正負(fù)與能量增減的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)物體動(dòng)能的增加與減少要看合外力對(duì)物體做正功還是做負(fù)功。(2)勢(shì)能的增加與減少要看對(duì)應(yīng)的作用力(如重力、彈簧彈力、靜電力等)做負(fù)功還是做正功。(3)機(jī)械能的增加與減少要看重力和彈簧彈力之外的力對(duì)物體做正功還是做負(fù)功。角度功能關(guān)系的應(yīng)用例1(2024·山東卷，7)如圖所示，質(zhì)量均為m的甲、乙兩同學(xué)，分別坐在水平放置的輕木板上，木板通過(guò)一根原長(zhǎng)為l的輕質(zhì)彈性繩連接，連接點(diǎn)等高且間距為d(d<l)。兩木板與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，彈性繩勁度系數(shù)為k，被拉伸時(shí)彈性勢(shì)能E＝12kx2(x為繩的伸長(zhǎng)量)。現(xiàn)用水平力F緩慢拉動(dòng)乙所坐木板，直至甲所坐木板剛要離開(kāi)原位置，此過(guò)程中兩人與所坐木板保持相對(duì)靜止，k保持不變，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g，則FA.(μmg)22k＋μmg(l－d) B.3(μmgC.3(μmg)22k＋2μmg(l－d) D.(μmg答案B解析當(dāng)甲所坐木板剛要離開(kāi)原位置時(shí)，對(duì)甲及其所坐木板整體有μmg＝kx0，解得彈性繩的伸長(zhǎng)量x0＝μmgk，則此時(shí)彈性繩的彈性勢(shì)能為E0＝12kx02＝μ2m2g22k;水平力F緩慢拉動(dòng)乙所坐木板，可認(rèn)為乙與其所坐木板的動(dòng)能變化量為零，從開(kāi)始拉動(dòng)乙所坐木板到甲所坐木板剛要離開(kāi)原位置的過(guò)程，乙所坐木板的位移為x1＝x0＋l－d，由功能關(guān)系可知該過(guò)程F所做的功W＝E0銜接教材(魯科版教材必修第二冊(cè)P29節(jié)練習(xí)T5)如圖所示，輕彈簧k一端與墻相連，質(zhì)量m＝4kg的木塊沿光滑水平面以v0＝5m/s的初速度向左運(yùn)動(dòng)。求:(1)彈簧在被壓縮過(guò)程中的最大彈性勢(shì)能;(2)木塊壓縮彈簧后速度減小到3m/s時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能。銜接分析教材上的第5題與2024年山東高考第7題均考查功能關(guān)系在“滑塊—彈簧”模型中的應(yīng)用，不同點(diǎn)在于山東卷7題有兩木板(包括人)，并且結(jié)合了共點(diǎn)力平衡的臨界與極值問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力要求進(jìn)一步提高。角度功能關(guān)系與圖像的結(jié)合例2(2024·河北邯鄲模擬)如圖所示，兩個(gè)傾角相同的斜面固定在水平地面上，底端通過(guò)光滑小圓弧連接，一物塊從右側(cè)斜面頂端由靜止下滑，滑上左側(cè)斜面至最高點(diǎn)，物塊與兩斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)相同，通過(guò)底端時(shí)無(wú)能量損失，此過(guò)程中下列圖像正確的是(v為速率，Ep為重力勢(shì)能，t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，Ek為動(dòng)能，E為機(jī)械能，s為路程，選取地面為零勢(shì)能面)()答案D解析根據(jù)牛頓第二定律，物塊沿斜面下滑時(shí)，有mgsinθ－μmgcosθ＝ma1，解得加速度大小a1＝gsinθ－μgcosθ，根據(jù)牛頓第二定律，物塊沿斜面上滑時(shí)，有mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2，解得加速度大小a2＝gsinθ＋μgcosθ，故a1<a2，v－t圖線(xiàn)的斜率表示加速度，故A錯(cuò)誤;Ep－t圖像的斜率大小表示重力的瞬時(shí)功率，物塊沿斜面下滑，速度越來(lái)越大，豎直方向的速度也越來(lái)越大，故重力的功率越來(lái)越大，故B錯(cuò)誤;動(dòng)能隨路程變化圖像的斜率大小表示合力，根據(jù)牛頓第二定律知，沿斜面下滑的合力F1＝ma1是定值，沿斜面上滑的合力F2＝ma2也是定值，故C錯(cuò)誤;根據(jù)功能關(guān)系知，摩擦力做負(fù)功，機(jī)械能減少，又機(jī)械能隨路程變化圖像的斜率大小表示摩擦力，根據(jù)題意知摩擦力為μmgcosθ，為定值，故D正確。跟蹤訓(xùn)練1.(多選)(2025·山東濟(jì)南一模)如圖甲所示，傾角為θ＝37°的光滑斜面固定在水平地面上，勻強(qiáng)電場(chǎng)沿斜面方向。帶正電的滑塊以一定的初速度從斜面底端開(kāi)始上滑。若斜面足夠長(zhǎng)，上滑過(guò)程中滑塊的機(jī)械能和動(dòng)能隨位移變化的關(guān)系圖線(xiàn)如圖乙所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則下列說(shuō)法正確的是()A.滑塊上升過(guò)程中動(dòng)能與電勢(shì)能之和增大B.滑塊的重力大小為5C.滑塊受到的靜電力大小為ED.滑塊上滑過(guò)程中，重力勢(shì)能增加了4E0答案BC解析滑塊上升過(guò)程中重力勢(shì)能增加，根據(jù)能量守恒定律可知，動(dòng)能與電勢(shì)能之和減少，故A錯(cuò)誤;由題圖知，上滑過(guò)程中，機(jī)械能減少，則靜電力對(duì)木塊做負(fù)功，滑塊的機(jī)械能減少了ΔE＝4E0－3E0＝E0，動(dòng)能減少ΔEk＝4E0，所以滑塊的重力勢(shì)能增加了ΔEp＝4E0－E0＝3E0，故D錯(cuò)誤;由圖乙可知滑塊上滑的距離為x0，則有Fx0＝E0，滑塊受到的靜電力大小為F＝E0x0，故C正確;滑塊上滑過(guò)程中，重力做負(fù)功，滑塊的部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，則有mgsin37°·x0＝3E0，則滑塊的重力大小為mg＝5E考點(diǎn)二摩擦力做功與能量轉(zhuǎn)化例3(2025·北京高三月考)一木塊靜止放在光滑水平面上，一顆子彈沿水平方向射入木塊，若子彈進(jìn)入木塊的最大深度為x1，與此同時(shí)木塊沿水平面移動(dòng)的距離為x2，設(shè)子彈在木塊中受到的摩擦力大小不變，則在子彈進(jìn)入木塊的過(guò)程中()①子彈損失的動(dòng)能與木塊獲得的動(dòng)能之比為(x1＋x2)∶x2②子彈損失的動(dòng)能與系統(tǒng)損失的動(dòng)能之比為(x1＋x2)∶x1③木塊獲得的動(dòng)能與因系統(tǒng)發(fā)熱損失的動(dòng)能之比為x2∶x1④木塊獲得的動(dòng)能與因系統(tǒng)發(fā)熱損失的動(dòng)能之比為x1∶x2A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④答案A解析設(shè)摩擦力大小為Ff，對(duì)子彈運(yùn)用動(dòng)能定理可得－Ff(x1＋x2)＝ΔEk彈，對(duì)木塊運(yùn)用動(dòng)能定理可得Ffx2＝ΔEk木，可知子彈損失的動(dòng)能與木塊獲得的動(dòng)能之比為ΔEk彈∶ΔEk木＝(x1＋x2)∶x2，根據(jù)能量守恒定律可知，因系統(tǒng)發(fā)熱損失的動(dòng)能為ΔEk系＝ΔEk彈－ΔEk木＝Ff(x1＋x2)－Ffx2＝Ffx1，則子彈損失的動(dòng)能與系統(tǒng)損失的動(dòng)能之比為ΔEk彈:ΔEk系＝(x1＋x2)∶x1，木塊獲得的動(dòng)能與因系統(tǒng)發(fā)熱損失的動(dòng)能之比為ΔEk木總結(jié)提升兩種摩擦力做功特點(diǎn)的比較類(lèi)型比較靜摩擦力做功滑動(dòng)摩擦力做功不同點(diǎn)能量的轉(zhuǎn)化只有機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，而沒(méi)有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能(1)一部分機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體(2)一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機(jī)械能的損失量不同點(diǎn)一對(duì)摩擦力的總功一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和總是負(fù)值，總功W＝－Ffs相對(duì)，即發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的熱量相同點(diǎn)做功情況兩種摩擦力對(duì)物體可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功跟蹤訓(xùn)練2.(多選)如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M的木板，靜止在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，以水平初速度v0，從木板的左端滑向另一端，設(shè)物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)物塊與木板相對(duì)靜止時(shí)，物塊仍在長(zhǎng)木板上，物塊相對(duì)木板的位移為d，木板相對(duì)地面的位移為s，重力加速度為g。則在此過(guò)程中()A.摩擦力對(duì)物塊做功為－μmg(s＋d)B.摩擦力對(duì)木板做功為μmgsC.木板動(dòng)能的增加量為μmgdD.由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為μmgs答案AB解析根據(jù)功的定義W＝Flcosθ，其中l(wèi)指物體的位移，而θ指力與位移之間的夾角，可知摩擦力對(duì)物塊做的功W1＝－μmg(s＋d)，摩擦力對(duì)木板做的功W2＝μmgs，A、B正確;根據(jù)動(dòng)能定理可知木板動(dòng)能的增加量ΔEk＝W2＝μmgs，C錯(cuò)誤;由于摩擦而產(chǎn)生的熱量Q＝Ff·Δx＝μmgd，D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)三能量守恒定律的理解和應(yīng)用1.對(duì)能量守恒定律的兩點(diǎn)理解(1)某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等。(2)某個(gè)物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。2.能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題的解題思路(1)當(dāng)涉及摩擦力做功，機(jī)械能不守恒時(shí)，一般應(yīng)用能量守恒定律。(2)解題時(shí)，首先確定初、末狀態(tài)，然后分析變化過(guò)程中哪種形式的能量減少，哪種形式的能量增加，求出減少的能量總和ΔE減與增加的能量總和ΔE增，最后由ΔE減＝ΔE增列式求解。3.涉及彈簧的能量問(wèn)題兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過(guò)程，具有以下特點(diǎn):(1)能量轉(zhuǎn)化方面，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。(2)如果系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)或壓縮到最大程度時(shí)兩物體速度相同。例4(2024·河北石家莊模擬)如圖所示，傾角為θ＝37°的斜面與圓心為O、半徑R＝0.9m的光滑圓弧軌道在B點(diǎn)平滑連接，且固定于豎直平面內(nèi)。斜面上固定一平行于斜面的輕質(zhì)彈簧，現(xiàn)沿斜面緩慢推動(dòng)質(zhì)量為m1＝0.8kg的滑塊a使其壓縮彈簧至A處，將滑塊a由靜止釋放，通過(guò)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑塊a的彈力為零。已知A、B之間的距離為L(zhǎng)＝1.35m，滑塊a與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.25，C為圓弧軌道的最低點(diǎn)，CE為圓弧軌道的直徑，OD水平，滑塊a可視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，3≈1.73。(1)求滑塊a在C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大小;(2)求滑塊a整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生的熱量;(3)若僅將滑塊a換為質(zhì)量為m2＝0.05kg的滑塊b，滑塊b由A點(diǎn)彈出后立即撤去彈簧，求滑塊b第一次落在斜面上的位置到B點(diǎn)的距離(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。答案(1)24N(2)7.92J(3)1.8m解析(1)由題可知，滑塊a在D點(diǎn)處的速度為0，對(duì)滑塊a由C點(diǎn)至D點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理有－m1gR＝－12m1對(duì)滑塊a在C點(diǎn)由牛頓第二定律有F1－m1g＝m結(jié)合牛頓第三定律可知，滑塊a在C點(diǎn)對(duì)軌道壓力的大小FN＝F1＝24N。(2)設(shè)滑塊a在A處時(shí)彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為Ep，由能量守恒定律可知Ep＋m1gLsin37°＝μm1gLcos37°＋m1gRcos37°解得Ep＝1.44J最終滑塊a在B與B關(guān)于C對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，由能量守恒定律可