第五節(jié)空間向量與線、面位置關(guān)系1.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間

向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及

其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語言表述直線與直

線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關(guān)系.4.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

1.已知空間向量

a

＝（1，1，0），

b

＝（0，－1，4），則｜

a

＋

b

｜

＝（

）A.15B.

C.17D.

A.

B.

C.

D.

3.在空間直角坐標(biāo)系中，

a

＝（1，2，1）為直線

l

的一個方向向量，

n

＝（2，

t

，4）為平面α的一個法向量，且

l

∥α，則

t

＝（

）A.3B.1C.－3D.

－1解析：

因為

l

∥α，所以

a

＝（1，2，1）與

n

＝（2，

t

，4）垂

直，故

a

·

n

＝（1，2，1）·（2，

t

，4）＝2＋2

t

＋4＝0，解得

t

＝

－3，故選C.

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練空間向量的線性運算

A.

（－

a

＋

b

＋

c

）B.

（

a

＋

b

－

c

）C.

（

a

－

b

＋

c

）D.

（－

a

－

b

＋

c

）

A.－

B.

－

C.

D.

練后悟通空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點共線、共面向量定理的應(yīng)用

（2）判斷點

M

是否在平面

ABC

內(nèi).

解題技法證明三點共線和空間四點共面的方法比較

1.若

A

（－1，2，3），

B

（2，1，4），

C

（

m

，

n

，1）三點共線，

則

m

＋

n

＝

?.

－3

∈空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

如圖所示，四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面為平行四邊形，以頂

點

A

為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.（1）求

AC

1的長；

（2）求

BD

1與

AC

夾角的余弦值.

利用空間向量證明平行、垂直【例3】如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，

AD

⊥

AB

，

AB

∥

DC

，

AD

＝

DC

＝

AP

＝2，

AB

＝1，點

E

為棱

PC

的中點.證明：（1）

BE

⊥

DC

；

證明：依題意，以點

A

為原點建立空間直角

坐標(biāo)系（如圖），可得

B

（1，0，0），

C

（2，2，0），

D

（0，2，0），

P

（0，0，2）.由

E

為棱

PC

的中點，得

E

（1，1，1）.（2）

BE

∥平面

PAD

；

（3）平面

PCD

⊥平面

PAD

.

解題技法利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟

（1）

A

1

B

1⊥平面

AA

1

C

；

（2）

AB

1∥平面

A

1

C

1

C

.

PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.直線

l

的一個方向向量為（2，1，1），平面α的一個法向量為（4，

2，2），則（

）A.

l

∥αB.

l

⊥αC.

l

∥α或

l

?αD.

l

與α的位置關(guān)系不能判斷解析：

直線

l

的一個方向向量為（2，1，1），平面α的一個法向

量為（4，2，2），顯然它們共線，所以

l

⊥α.故選B.123456789101112131415161718192021222324252627282.已知

a

＝（2，1，－3），

b

＝（－1，2，3），

c

＝（7，6，λ），

若

a

，

b

，

c

三向量共面，則λ＝（

）A.9B.

－9C.－3D.3

A.1B.2C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.（

a

＋

b

）·

c

＝0B.

＜

a

＋

b

，

b

＋

c

＞＝

C.

＝

a

＋

b

－

c

D.

＝

b

＋

c

－

a

6.（多選）已知空間中三點

A

（0，1，0），

B

（2，2，0），

C

（－

1，3，1），則下列結(jié)論正確的有（

）A.

是共線向量B.與

共線的單位向量是（1，1，0）C.

夾角的余弦值是－

D.平面

ABC

的一個法向量是（1，－2，5）

8.如圖所示，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

CA

＝

CB

＝1，∠

BCA

＝

90°，棱

AA

1＝2，

M

，

N

分別是

A

1

B

1，

A

1

A

的中點.

（3）求證：

A

1

B

⊥

C

1

M

.

A.

B.

C.

D.

A.4

B.4C.4

D.2

11.（多選）如圖，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝3，點

M

，

N

分別在棱

AB

和

BB

1上運動（不含端點）.若

D

1

M

⊥

MN

，則下列

命題正確的是（

）A.

MN

⊥

A

1

M

B.

MN

⊥平面

D

1

MC

C.線段

BN

長度的最大值為

D.三棱錐

C

1-

A

1

D

1

M

體積不變

12.如圖，圓錐的軸截面

SAB

是邊長為2的等邊三角形，

O

為底面中

心，

M

為

SO

的中點，動點

P

在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）.若

AM

⊥

MP

，則點

P

在圓錐底面上形成的軌跡的長度為

?.

1

14.如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，

PD

⊥底面

ABCD

，底面

ABCD

為正

方形，

PD

＝

DC

，

E

，

F

分別是

AB

，

PB

的中點.（1）求證：

EF

⊥

CD

；

（2）在平面

PAD

內(nèi)求一點

G

，使

GF

⊥平面

PCB

，并證明你

的結(jié)論.

A.5B.6C.7D.8

16.如圖，棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的所有棱長都等于2，∠

ABC

和∠

A