第1課時(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸模型1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)

準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.2.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線(xiàn)性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)

計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線(xiàn)性回歸模型參數(shù)的最小二

乘估計(jì)方法.4.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類(lèi)突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散

點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是（

）A.①②③B.

②③①C.②①③D.

①③②解析：

第一個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)

域，則是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下

角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒(méi)有什么規(guī)律，

則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是①③②.2.已知函數(shù)模型為

y

＝sin2α＋2sinα＋1，若將其轉(zhuǎn)化為

y

關(guān)于

t

的經(jīng)

驗(yàn)回歸方程，則需令

t

＝（

）A.sin2αB.

（sinα＋1）2C.（sinα＋

）2D.

以上都不對(duì)解析：

y

是關(guān)于

t

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，即

y

是關(guān)于

t

的一次函數(shù).因

為

y

＝（sinα＋1）2，若令

t

＝（sinα＋1）2，則可得

y

＝

t

，此時(shí)

變量

y

與變量

t

是線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.3.在一元線(xiàn)性回歸模型

Y

＝

bx

＋

a

＋

e

中，下列說(shuō)法正確的是（

）A.

Y

＝

bx

＋

a

＋

e

是一次函數(shù)B.響應(yīng)變量

Y

是由解釋變量

x

唯一確定的C.響應(yīng)變量

Y

除了受解釋變量

x

的影響外，可能還受到其他因素的影

響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差

e

的產(chǎn)生D.隨機(jī)誤差

e

是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過(guò)精確計(jì)算避免隨機(jī)誤

差

e

的產(chǎn)生解析：

對(duì)于A，一元線(xiàn)性回歸模型

Y

＝

bx

＋

a

＋

e

中，方程表示

的不是確定性關(guān)系，因此不是一次函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，響

應(yīng)變量

Y

不是由解釋變量

x

唯一確定的，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，響應(yīng)

變量

Y

除了受解釋變量

x

的影響外，可能還受到其他因素的影響，

這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差

e

的產(chǎn)生，所以C正確；對(duì)于D，隨機(jī)誤差

是不能避免的，只能將誤差縮小，所以D錯(cuò)誤.

x

0134

y

2.24.34.86.7A.1B.1.6C.2D.2.6

PART2考點(diǎn)分類(lèi)突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練變量間相關(guān)關(guān)系的判斷

A.

x

與

y

正相關(guān)，

x

與

z

負(fù)相關(guān)B.

x

與

y

正相關(guān)，

x

與

z

正相關(guān)C.

x

與

y

負(fù)相關(guān)，

x

與

z

負(fù)相關(guān)D.

x

與

y

負(fù)相關(guān)，

x

與

z

正相關(guān)

2.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系

數(shù)的比較，正確的是（

）A.

r

2＜

r

4＜0＜

r

3＜

r

1B.

r

4＜

r

2＜0＜

r

1＜

r

3C.

r

4＜

r

2＜0＜

r

3＜

r

1D.

r

2＜

r

4＜0＜

r

1＜

r

3解析：

由散點(diǎn)圖知圖（1）與圖（3）是正相關(guān)，故

r

1＞0，

r

3＞

0，圖（2）與圖（4）是負(fù)相關(guān)，故

r

2＜0，

r

4＜0，且圖（1）與圖

（2）的樣本點(diǎn)集中在一條直線(xiàn)附近，因此

r

2＜

r

4＜0＜

r

3＜

r

1.3.已知相關(guān)變量

x

和

y

的散點(diǎn)圖如圖所示，若用

y

＝

b

1·ln（

k

1

x

）與

y

＝

k

2

x

＋

b

2擬合時(shí)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為

r

1，

r

2，則

r

1

r

2.

（填“＞”“＜”或“＝”）＜解析：由散點(diǎn)圖可知，用

y

＝

b

1ln（

k

1

x

）擬合比用

y

＝

k

2

x

＋

b

2擬合的程度高，故｜

r

1｜＞｜

r

2｜.又因?yàn)?/p>

x

，

y

負(fù)相關(guān)，所以－

r

1＞－

r

2，即

r

1＜

r

2.

樣本相關(guān)系數(shù)【例1】

（2022·全國(guó)乙卷19題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒

山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了

10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量

（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)

i

12345678910總

和根部橫截面積

xi

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量

yi

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材

積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)

（精確到0.01）；

解題技法樣本相關(guān)系數(shù)

r

的統(tǒng)計(jì)含義及應(yīng)用（1）由

r

的正、負(fù)可判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩相關(guān)變量是正相關(guān)還是負(fù)

相關(guān)；（2）可根據(jù)｜

r

｜的大小從量的角度判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否具有線(xiàn)性

相關(guān)性，進(jìn)而可知能否用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)；（3）當(dāng)｜

r

｜≤0.25時(shí)，即便求得了經(jīng)驗(yàn)回歸方程也沒(méi)有任何統(tǒng)

計(jì)意義.

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估

計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（

xi

，

yi

）（

i

＝1，2，…，20）的相關(guān)系數(shù)（精確到

0.01）；

解：分層隨機(jī)抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再

對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣.理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地

塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機(jī)抽樣的方法

較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代

表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).經(jīng)驗(yàn)回歸模型考向1

線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題【例2】某研究機(jī)構(gòu)為調(diào)查人的最大可視距離

y

（單位：米）和年齡

x

（單位：歲）之間的關(guān)系，對(duì)不同年齡的志愿者進(jìn)行了研究，收集

數(shù)據(jù)得到下表：

x

2025303540

y

167160150143130（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出

y

關(guān)于

x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

考向2

非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題【例3】數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9

盤(pán)面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿(mǎn)足每一行、每

一列、每一個(gè)粗線(xiàn)宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛(ài)好

者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽，賽前小

明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度

y

（秒）與訓(xùn)練天數(shù)

x

（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：

x

（天）1234567

y

（秒）990990450320300240210

（2）請(qǐng)用第（1）題的結(jié)論預(yù)測(cè)，小明經(jīng)過(guò)100天訓(xùn)練后，每天解題

的平均速度

y

約為多少秒？

解題技法

有些非線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫(huà)出

已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過(guò)的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)

數(shù)函數(shù)等）的圖象進(jìn)行比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函

數(shù)，用適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行變換，如通過(guò)換元或取對(duì)數(shù)等方法，把問(wèn)題化

為線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決.

1.已知變量

x

與

y

，且觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表（其中6.5＞

a

＞4＞

b

＞1，

a

＋

b

＝6），則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（

）

x

12345

y

6.5

a

4

b

1A.

＝0.4

x

＋2.3B.

＝2

x

－2.4C.

＝－2

x

＋9.5D.

＝－0.3

x

＋0.44

2.“綠水青山就是金山銀山”的理念推動(dòng)了新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)

展.以下表格和散點(diǎn)圖反映了近幾年某新能源汽車(chē)的年銷(xiāo)售量情況.年份20192020202120222023年份代碼

x

12345某新能源汽車(chē)年銷(xiāo)售量y/萬(wàn)輛1.55.917.732.955.6（1）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，

y

＝

bx

＋

a

與

y

＝

cx

2＋

d

中哪一個(gè)更適宜

作為年銷(xiāo)售量

y

關(guān)于年份代碼

x

的回歸方程類(lèi)型；（給出判斷

即可，不必說(shuō)明理由）解：根據(jù)散點(diǎn)圖可知，

y

＝

cx

2＋

d

更適宜作為年銷(xiāo)售量

y

關(guān)于年份代碼

x

的回歸方程類(lèi)型.（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立

y

關(guān)于

x

的經(jīng)驗(yàn)回歸

方程，并預(yù)測(cè)2024年該新能源汽車(chē)的年銷(xiāo)售量.（精確到0.1）

刻畫(huà)擬合效果【例4】假定小麥基本苗數(shù)

x

與成熟期有效穗

y

之間存在相關(guān)關(guān)系，

今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下：

x

15.025.830.036.644.4

y

39.442.942.943.149.2

（1）計(jì)算各組殘差，并計(jì)算殘差平方和；

（2）求

R

2，并說(shuō)明回歸模型擬合效果的好壞.

解題技法刻畫(huà)擬合效果的三種方法（1）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用

的模型比較合適；

現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重

要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)

元）如下表所示：月份1234物流成本

x

8383.58086.5利潤(rùn)

y

114116106122殘差

＝

yi

－

0.20.61.8－3月份5678物流成本

x

8984.57986.5利潤(rùn)

y

132114

m

132殘差

＝

yi

－

－1－4.6－1

（3）通過(guò)殘差分析，懷疑殘差絕對(duì)值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次

核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤(rùn)應(yīng)該為116萬(wàn)元.請(qǐng)重新根據(jù)最小二乘法的

思想與公式，求出新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.下列說(shuō)法正確的是（

）A.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝3－5

x

，則變量

x

增加一個(gè)單位時(shí)，

y

平均增

加5個(gè)單位B.兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)

r

的

值越接近于1C.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精

度越低D.在一元線(xiàn)性回歸模型中，決定系數(shù)

R

2越接近于1，說(shuō)明回歸的效果

越好12345678910111213141516171819202122232425262728

2.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在5個(gè)數(shù)據(jù)（

x

，

y

）中去掉

D

（3，10）

后，下列說(shuō)法正確的是（

）A.殘差平方和變小B.樣本相關(guān)系數(shù)

r

變小C.決定系數(shù)

R

2變小D.解釋變量

x

與響應(yīng)變量

y

的相關(guān)性變?nèi)踅馕觯?/p>

從散點(diǎn)圖可分析出，若去掉

D

點(diǎn)，則解釋變量

x

與響應(yīng)

變量

y

的線(xiàn)性相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)

r

變

大，決定系數(shù)

R

2變大，殘差平方和變小，故選A.

A.

＝

v

－10B.

＝2

v

－5C.

＝4

v

－10D.

＝

v

－20

4.為研究變量

x

，

y

的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個(gè)樣本點(diǎn)（

x

，y

）：

x

56.5788.5

y

98643

A.（5，9）B.

（6.5，8）C.（7，6）D.

（8，4）

5.下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限

x

（單位：年）和所支出的維修費(fèi)用

y

（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)表.

x

23456

y

3.44.25.15.56.8

A.7B.8C.9D.10

x

681012

y

6

m

32A.變量

x

，

y

之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系B.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)

x

＝20時(shí)，

＝－3.7C.

m

＝4D.該經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（9，4）

7.某市物價(jià)部門(mén)對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品一天的銷(xiāo)售量及其價(jià)格進(jìn)

行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)

x

（元/件）和銷(xiāo)售量

y

（件）的數(shù)據(jù)如下表

所示：售價(jià)

x

99.5

m

10.511銷(xiāo)售量

y

11

n

865

10

85

x

1234

y

e2e3e5e6

A.6B.7C.8D.9

A.去除前變量

x

每增加1個(gè)單位，變量

y

一定增加2個(gè)單位B.去除后剩余樣本數(shù)據(jù)中

x

的平均數(shù)為2C.去除后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

＝2.5

x

＋1D.去除后樣本相關(guān)系數(shù)

r

變大

11.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地土豆畝產(chǎn)量的增加量

y

（百千克）與某種液

體肥料每畝使用量

x

（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示.（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合

y

與

x

的關(guān)系