第七節(jié)指數(shù)函數(shù)高中總復習·數(shù)學課標要求

1.

通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.

能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝

（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，

定義域是R，a是底數(shù).提醒形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函數(shù)叫做

指數(shù)型函數(shù)，只有k＝1時，y＝ax才是指數(shù)函數(shù).ax

2.

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a＞10＜a＜1圖象

性質(zhì)定義域為

，值域為

?圖象過定點

?當x＞0時，恒有y＞1；當

x＜0時，恒有0＜y＜1當x＞0時，恒有0＜y＜1；當x＜

0時，恒有y＞1

?函數(shù)

?函數(shù)R

（0，＋∞）

（0，1）

增

減

提醒指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關，應分

a＞1與0＜a＜1來研究.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝3·2x與y＝2x＋1都不是指數(shù)函數(shù).

（

√

）（2）若am＜an（a＞0，且a≠1），則m＜n.

（

×

）（3）若函數(shù)f（x）是指數(shù)函數(shù)，且f（1）＞1，則f（x）是增函數(shù).

（

√

）√×√2.

（蘇教必修一P145例3（2）改編）函數(shù)y＝ax＋2＋1（a＞0，且a≠1）

的圖象過定點（

）A.

（－1，1）B.

（2，1）C.

（－2，2）D.

（2，－2）解析：

令x＋2＝0，則x＝－2，此時y＝a－2＋2＋1＝2，故函數(shù)y＝ax＋

2＋1的圖象過定點（－2，2），故選C.

√3.

〔多選〕下列函數(shù)中，值域為（0，＋∞）的是（

）A.

y＝x2B.

y＝

C.

y＝2xD.

y＝3x－1

√√4.

（人A必修一P119習題3題改編）已知2x－1＜23－x，則x的取值范圍

是

?.解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范圍

是（－∞，2）.5.

若函數(shù)f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值為2，則a＝

?.

（－∞，2）

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

指數(shù)函數(shù)的圖象及應用（師生共研過關）

（1）設a，b為實數(shù)，a＞0，a≠1.已知函數(shù)y＝ax＋b的圖象如圖

所示，則下列結(jié)論正確的是（

B

）BA.

a＞1，b＜0B.

a＞1，b＜－1C.0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1，b＜－1解析：

由題圖可知函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，即a＞1，所以a的取值

范圍為（1，＋∞）；由題圖可知當x＝0時，有y＝a0＋b＝1＋b＜0，解

得b＜－1，所以b的取值范圍為（－∞，－1）.（2）若直線y＝2a與函數(shù)y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的圖象有兩個

交點，則a的取值范圍是

?.

解題技法有關指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題策略（1）已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象

是否過這些點，若不滿足，則排除；（2）對于指數(shù)（型）函數(shù)圖象的問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖

象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到所求函數(shù)的圖象.特別地，當?shù)?/p>

數(shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.

√2.

已知函數(shù)y＝2｜x＋a｜的圖象關于y軸對稱，則實數(shù)a＝

?.解析：由于函數(shù)圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以2｜x＋a｜＝2｜

－x＋a｜.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有當a＝

0時，等式恒成立.故a＝0.0

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用（定向精析突破）考向1

比較指數(shù)式的大小

（人A必修一P117例3改編）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝

0.40.5，則（

）A.

a＞b＞cB.

a＞c＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞a解析：

由指數(shù)函數(shù)y＝0.3x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，得a＜b，由冪函數(shù)

y＝x0.5在定義域內(nèi)是增函數(shù)，得c＞b.√解題技法比較指數(shù)式大小的方法（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。唬?）不能化成同底數(shù)的，一般引入“0”“1”等中間量比較大小.考向2

解簡單的指數(shù)方程或不等式

[－3，

1]

解析：依題意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x

－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），則函數(shù)化為y＝t2－

5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，當t＝1時，得x＝0；當t＝4時，得x

＝2，所以函數(shù)f（x）的另一個零點為2.（2）若函數(shù)f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一個零點是0，那么它的另一個零

點為

?.2

解題技法解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)及方法（1）解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)：①af（x）＝ag（x）?f（x）＝g

（x）；②af（x）＞ag（x），當a＞1時，等價于f（x）＞g（x）；當0＜a

＜1時，等價于f（x）＜g（x）；（2）解指數(shù)方程或不等式的方法：先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，

再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

1.

（2023·天津高考3題）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，

b，c的大小關系為（

）A.

c＞a＞bB.

c＞b＞aC.

a＞b＞cD.

b＞a＞c解析：

∵指數(shù)函數(shù)y＝1.01x是增函數(shù)，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞

1.010.5，故b＞a.∵冪函數(shù)y＝x0.5是增函數(shù)，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞

0.60.5，故a＞c.故選D.

√

（－∞，4]

指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題（師生共研過關）

（1）（2023·新高考Ⅰ卷4題）設函數(shù)f（x）＝2x（x－a）在區(qū)間（0，

1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

D

）A.

（－∞，－2]B.

[－2，0）C.

（0，2]D.

[2，＋∞）D

A.

不等式｜f（x）｜＜

的解集是（－1，1）B.

?x∈R，有f（－x）＝f（x）C.

f（x）在R上是減函數(shù)D.

f（x）的值域為（－1，1）AD

解題技法指數(shù)型函數(shù)問題的求解策略

對于指數(shù)型函數(shù)問題，關鍵是判斷其單調(diào)性，對于形如y＝af（x）的函

數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f（x）的單調(diào)區(qū)間有關：若a＞1，則函數(shù)f

（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即為函數(shù)y＝af（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間；

若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即為函數(shù)y＝af（x）的單

調(diào)遞減（增）區(qū)間.

1.

若函數(shù)f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域為[1，＋∞），則f

（－4）與f（1）的關系是（

）A.

f（－4）＞f（1）B.

f（－4）＝f（1）C.

f（－4）＜f（1）D.

不能確定解析：

由題意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）.√

A.

或3B.

或2C.3D.2√

PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習1.

已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，

則實數(shù)a＝（

）A.

B.1C.

D.2

12345678910111213141516√2.

（2024·天津高考5題）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，則

a，b，c的大小關系為（

）A.

a＞b＞cB.

b＞a＞cC.

c＞a＞bD.

b＞c＞a解析：

由函數(shù)y＝4.2x是增函數(shù)可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜

0，故b＞a＞c，故選B.

√123456789101112131415163.

若函數(shù)y＝2－x＋1＋m的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍是

（

）A.

（－∞，－2]B.

[－2，＋∞）C.

（－∞，－1]D.

[－1，＋∞）

√123456789101112131415164.

已知函數(shù)f（x）＝1＋2x－｜1－2x｜，則f（x）的值域是（

）A.

（－∞，2]B.

（0，2]C.

（0，3]D.

[1，2]解析：

①當x≤0時，0＜2x≤1，所以f（x）＝1＋2x－1＋2x＝2·2x，

又因為0＜2x≤1，所以0＜2·2x≤2，所以0＜f（x）≤2；②當x＞0時，2x

＞1，所以f（x）＝1＋2x＋1－2x＝2.綜上，f（x）的值域為（0，2].故

選B.

√12345678910111213141516

A.

[0，6]B.

[－2，0]C.

[6，＋∞）D.

（6，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)B.

函數(shù)f（x）g（x）是奇函數(shù)C.

函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關于原點對稱D.

g（2x）＝[f（x）]2＋[g（x）]2√√√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

寫出一個值域為（－∞，1），在區(qū)間（－∞，＋∞）上是增函數(shù)的函

數(shù)f（x）＝

?.

12345678910111213141516

[2，6]

12345678910111213141516

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

12345678910111213141516

10.

已知f（x）＝2x－2－x，則使f（x）＜f（－3x2＋4）成立的實數(shù)x的

取值范圍是（

）A.

（－

，1）

B.

（－1，

）C.

（－∞，1）∪（

，＋∞）

D.

（－∞，－

）∪（1，＋∞）

√1234567891011121314151611.

對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，滿足f（－x0）＝－f

（x0），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”.已知f（x）＝－aex－1在R上為

“局部奇函數(shù)”，則a的取值范圍是（

）A.

[－1，＋∞）B.

（－∞，－1]C.

[－1，0）D.

（－∞，1]

√1234567891011121314151612.

〔多選〕已知非零實數(shù)a，b滿足3a＝2b，則下列不等關系中正確的是

（

）A.

a＜bB.

若a＜0，則b＜a＜0C.

｜a｜＜｜b｜D.

若0＜a＜log32，則ab＜ba解析：

如圖，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，0＜a＜

b或者b＜a＜0，所以A錯誤，B、C正確；D選項中，0

＜a＜log32?0＜a＜b＜1，則有ab＜aa＜ba，所以D

正確.√√√1234567891011121314151613.

已知函數(shù)y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在區(qū)間[－1，1]上的最大值

是7，則a＝

?.

1234567891011121314151614.

已知定義域為R的函數(shù)f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是

奇函數(shù).（1）求實數(shù)k的值；解：

∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2，經(jīng)檢驗k＝2符合題意，∴k＝2.12345678910111213141516（2）若f（1）＜0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，若f（m