第一節(jié)計(jì)數(shù)原理高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求1.

通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.

通過實(shí)例，理解排列、組合的概念.3.

能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有

m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝

種不同的方法；（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同

的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

?

種不同的方法.m＋n

m×n

2.

排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素

中取出m

（m≤n）個(gè)元素并按照一定的

排成一列，叫做從n

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)

元素的一個(gè)組合順序

3.

排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出

m（m≤n）個(gè)元素的所

有不同排列的

?從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）

個(gè)元素的所有不同組合的

?公式

＝n（n－1）·（n－

2）…（n－m＋1）＝

＝

＝

性質(zhì)

＝n！，0?。?

＝1，

＝

，

＋

＝

個(gè)數(shù)

個(gè)數(shù)

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.

（

√

）（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)

的步驟都能完成這件事.

（

×

）（3）所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.

（

×

）

√×××2.

（人A選三P5練習(xí)1（1）題）一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)

用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這

項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是

?.解析：因?yàn)橐豁?xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，

另有4人只會(huì)用第2種方法完成，所以從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同

選法的種數(shù)是5＋4＝9.93.

（人A選三P25練習(xí)3（2）題改編）有政治、歷史、地理、物理、化

學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，現(xiàn)要從中選3門考試成績(jī).如果

物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有

種不同的選法.

124.

（人A選三P37復(fù)習(xí)參考題1（3）題）安排6名歌手演出順序時(shí)，要求某

歌手不是第一個(gè)出場(chǎng)，也不是最后一個(gè)出場(chǎng)，則不同排法的種數(shù)

是

?.

4805.

學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序.除第1個(gè)節(jié)目和最后1

個(gè)節(jié)目已確定外，4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2，5，7，10的位置，3個(gè)舞蹈

節(jié)目要求排在第3，6，9的位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4，8的位置，

有

種不同的排法.

288PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.

某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋

友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有（

）A.4種B.10種C.18種D.20種√解析：

贈(zèng)送1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)，需從4人中選取1人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余

贈(zèng)送集郵冊(cè)，有4種方法；贈(zèng)送2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)，只需從4人中選出2

人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余2人贈(zèng)送集郵冊(cè)，有6種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可

知，不同的贈(zèng)送方法共有4＋6＝10（種）.2.

用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A.243B.252C.261D.279解析：

組成的三位數(shù)可分兩類：一類有重復(fù)數(shù)字，另一類無重復(fù)數(shù)字.

先算無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)：第一步，排百位數(shù)字，有9種方法（0不

能排首位），第二步，排十位數(shù)字，有9種方法，第三步，排個(gè)位數(shù)字，

有8種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有9×9×8＝648（個(gè)）沒有重復(fù)

數(shù)字的三位數(shù).又組成的所有三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，所以有重

復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是900－648＝252.√3.

如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A.24種B.48種C.72種D.96種解析：

分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2

種，B，D有1種，有4×3×2×1＝24（種）；②A，C同色，先涂A，C

有4種，再涂E有3種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48（種）.故不同

的涂色方法有48＋24＝72（種）.√4.

〔多選〕現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工

廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工

廠，則下列說法正確的是（

）A.

共有43種不同的安排方法B.

若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C.

若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D.

若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種√√√解析：

對(duì)于A，A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)

行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)學(xué)生有4種選法，則三個(gè)學(xué)生有4×4×4＝43（種）選

法，故A正確；對(duì)于B，三人到4個(gè)工廠，有43＝64（種）情況，其中甲工

廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個(gè)工廠的情況有33＝27（種），

則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64－27＝37（種），故B正確；對(duì)于

C，若同學(xué)A必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個(gè)工廠即可，有42＝16

（種）安排方法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有

4×3×2＝24（種）安排方法，故D正確.5.

如圖所示，該電路從A到B共有

條不同線路可以通電；合上兩只

開關(guān)可以接通電路，有

種不同的方法.713解析：先“分類”再“分步”.從總體上看由A到B的通電線路可分三類，

第一類：2×1＝2（條）；第二類：1條；第三類：2×2＝4（條），根據(jù)

分類加法計(jì)數(shù)原理，共有2＋1＋4＝7（條）不同線路可以通電；由題知合

上兩只開關(guān)可以接通電路的情況分兩類：第一類：中路的開關(guān)不合上，有

2×1＋2×2＝6（種）；第二類：中路的開關(guān)合上，有7種，因此共有6＋7

＝13（種）不同的方法.練后悟通1.

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題的一般步驟2.

對(duì)于分類過多的問題，可以采用間接法，利用正難則反的原則，先計(jì)算

出全部的再減去不符合要求的.簡(jiǎn)單的排列與組合問題（師生共研過關(guān)）

（1）（2025·煙臺(tái)、德州一模）將8個(gè)大小、形狀完全相同的小球放

入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)

為（

B

）A.3B.6C.10D.15B

（2）（2024·日照一模）今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、

《飛馳人生2》引爆了電影市場(chǎng)，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三

部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（

B

）A.9種B.36種C.38種D.45種B

（3）（2025·江西名校聯(lián)盟）甲、乙、丙三名同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、

化學(xué)、生物興趣小組.已知每人參加兩個(gè)興趣小組，三人不能同時(shí)參加同

一個(gè)興趣小組，每個(gè)興趣小組至少有一人參加，則不同的報(bào)名參加方式共

有（

C

）A.45種B.81種C.90種D.162種C

解題技法1.

對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，

在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元

素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法.2.

組合問題常見的兩類題型（1）“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再

由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑?/p>

中去選?。唬?）“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，用直接

法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.

1.

（2023·新高考Ⅰ卷13題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選

修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1

門，則不同的選課方案共有

種（用數(shù)字作答）.

642.

從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人

服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有

種不同的選法（用

數(shù)字作答）.660

排列與組合的綜合問題（定向精析突破）考向1

相鄰與相間問題

（1）（2025·濱州一模）某單位安排5名同志在5月1日至5日值班，每

天安排1人，每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相鄰兩天，丙不安

排在5月3日，則不同的安排方案共有（

）A.42種B.40種C.36種D.30種√

（2）（2024·河南九師聯(lián)盟）有除顏色外大小相同的9個(gè)小球，其中有2個(gè)

紅球，3個(gè)白球，4個(gè)黑球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，要求2

個(gè)紅球相鄰，3個(gè)白球兩兩互不相鄰，不同的排列種數(shù)為（

）A.100B.120C.10

800D.21

600√

解題技法相鄰、相間問題的解題策略（1）求相鄰問題時(shí)用捆綁法，即把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一

起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；（2）求不相鄰問題時(shí)用插空法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將

不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.考向2

定序問題

元宵節(jié)燈展后，懸掛的8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取

1盞，則不同的取法共有（

）A.32種B.70種C.90種D.280種√

解題技法定序問題的求解方法

提醒

對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全

排列.考向3

分組、分配問題

按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

解題技法1.

分配問題屬于“排列”問題，要按排列模型求解；而分組問題屬于“組

合”問題，要按組合模型求解.區(qū)分是分組問題還是分配問題的關(guān)鍵是看

有無分配對(duì)象，若沒有分配對(duì)象，則為分組問題；若有確定的分配對(duì)象，

則為定向分配問題，否則，為不定向分配問題.

2.

對(duì)不同元素分組、分配問題的求解策略

1.

甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的三項(xiàng)不同活動(dòng)，每人

只能報(bào)其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有一個(gè)人參加，則甲、乙、丙三位同

學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（

）A.

B.

C.

D.

√

2.

〔多選〕甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是

（

）A.

如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B.

最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.

甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D.

甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有30種√√√

3.

某運(yùn)動(dòng)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等5人報(bào)名參加了A，B，C三個(gè)

項(xiàng)目的志愿者活動(dòng)，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者.若甲不能參加

A，B項(xiàng)目，乙不能參加B，C項(xiàng)目，那么共有

?種不同的選拔志愿者

的方案.（用數(shù)字作答）

21

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

123456789101112131415161718192020222324251.

汽車維修師傅在安裝好汽車輪胎后，需要緊固輪胎的五個(gè)螺栓，記為

A，B，C，D，E（在正五邊形的頂點(diǎn)上），緊固時(shí)需要按一定的順序固

定每一個(gè)螺栓，但不能連續(xù)固定相鄰的兩個(gè)，則不同固定螺栓順序的種數(shù)

為（

）A.20B.15C.10D.5√

2.

（2025·石家莊質(zhì)量檢測(cè)）某項(xiàng)活動(dòng)在周一至周五舉行五天，現(xiàn)在需要

安排甲、乙、丙、丁四位負(fù)責(zé)人值班，每個(gè)人至少值班一天，每天僅需一

人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班兩天且這兩天必須相

鄰，則不同安排方法的種數(shù)為（

）A.24B.10C.16D.12

√3.

按照編碼特點(diǎn)來分，條形碼可分為寬度調(diào)節(jié)法編碼和模塊組合法編碼.

最常見的寬度調(diào)節(jié)法編碼的條形碼是“標(biāo)準(zhǔn)25碼”，“標(biāo)準(zhǔn)25碼”中的每

個(gè)數(shù)字編碼由五個(gè)條組成，其中兩個(gè)為相同的寬條，三個(gè)為相同的窄條，

如圖就是一個(gè)數(shù)字的編碼，則共有不同的編碼的種數(shù)為（

）A.120B.60C.40D.10

√4.

〔多選〕甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念.要求

老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為

（

）A.

－

B.

－

C.

D.

√√√

5.

〔多選〕現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的說法正確的是（

）A.

將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，共有24種放法B.

將4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有兩個(gè)空盒的放

法共有18種C.

將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，恰有一個(gè)空盒的放

法共有144種D.

將編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒有一

個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種√√√

編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，沒有一個(gè)

空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同，若（2，1，4，3）代表編

號(hào)為1，2，3，4的盒子放入的小球編號(hào)分別為2，1，4，3，所有符合

要求的情況為（2，1，4，3），（4，1，2，3），（3，1，4，2），

（2，4，1，3），（3，4，1，2），（4，3，1，2），（2，3，4，

1），（3，4，2，1），（4，3，2，1），共9種放法，故D正確.6.

《醫(yī)院分級(jí)管理辦法》將醫(yī)院按其功能、任務(wù)不同劃分為三個(gè)等級(jí)：一

級(jí)醫(yī)院、二級(jí)醫(yī)院、三級(jí)醫(yī)院.某地有9個(gè)醫(yī)院，其中3個(gè)一級(jí)醫(yī)院，4個(gè)二

級(jí)醫(yī)院，2個(gè)三級(jí)醫(yī)院，現(xiàn)在要從中抽出4個(gè)醫(yī)院進(jìn)行藥品抽檢，則抽出的

醫(yī)院中至少有2個(gè)一級(jí)醫(yī)院的抽法種數(shù)為

?.51

7.

在如圖所示的5個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個(gè)區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域

種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)

是

?.1

920解析：如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域分別是A，B，C，D，E.

第一

步：選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第

二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，

有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；第四步：若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則區(qū)域D有3種

花卉可以選擇，區(qū)域E可選擇的花卉有4種，故不同的種植方法種數(shù)是6×5×4×（1×4＋3×4）＝1

920.

8.

（2025·淄博一模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常數(shù)

e≈2.718

28…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排

列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置

的不同密碼種數(shù)為（

）A.24B.16C.12D.10√解析：

若兩個(gè)2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；

172828；712828；828217；828271；782821；182827；178282；718282，

共12種；若兩個(gè)2之間是1或7，則有272818；818272；212878；878212，

共4種；則總共有16