第六節(jié)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算

性質(zhì).2.

理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然

對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

根式與有理數(shù)指數(shù)冪（1）根式①如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根；

x

根式

a

a

（2）有理數(shù)指數(shù)冪概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

＝

a＞0，

m，

n∈N*，n

＞1負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

＝

＝

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋sa＞0，b＞

0，r，

s∈Q（ar）s＝ars（ab）r＝arbr

2.

對(duì)數(shù)概念如果

（a＞0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N

的對(duì)數(shù)，記作x＝

，其中a叫做對(duì)數(shù)的

，N

叫做

?性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?

?負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)1的對(duì)數(shù)是

：loga1＝

?底數(shù)的對(duì)數(shù)是

：logaa＝

?對(duì)數(shù)恒等式：

＝

?ax＝N

logaN

底數(shù)

真數(shù)

x＝logaN

0

0

1

1

N

運(yùn)算性質(zhì)loga（MN）＝

?

?a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0loga

＝

?logaMn＝

（n∈R）換底公式logab＝

（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

1.

換底公式的變形

2.

換底公式的推廣logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

（3）log2x2＝2log2x.

（

×

）（4）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則loga（M＋N）＝logaM＋

logaN.

（

×

）××××

A.10B.1C.2D.lg

5

√3.

〔多選〕下列結(jié)論中，正確的是（

）A.

設(shè)a＞0，則

·

＝aB.

若m8＝2，則m＝±

C.

（

）8＝

D.

＝2－π√√

4.

（人A必修一P127習(xí)題3（6）題改編）若log35·log2527＝a，則a

＝

?.

5.

計(jì)算：（1）log345－log35＝

?；

2

14

PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值（基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)）

7

±1

3.

化簡(jiǎn)與求值：

練后悟通指數(shù)冪的運(yùn)算對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值（定向精析突破）考向1

對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與計(jì)算

計(jì)算下列各式：

解題技法對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路（1）拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的

形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并；（2）合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)

算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.提醒對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對(duì)數(shù)符號(hào)有意義的

前提下才成立的，不能出現(xiàn)log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）

＋log2（－4）的錯(cuò)誤.考向2

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的綜合應(yīng)用

A.

B.10C.20D.100

A（2）（2024·北京高考9題）已知（x1，y1），（x2，y2）是函數(shù)y＝2x的

圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

B

）A.log2

＜

B.log2

＞

C.log2

＜x1＋x2D.log2

＞x1＋x2

B解題技法指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧對(duì)于將指數(shù)恒等式ax＝by＝cz作為已知條件，求函數(shù)f（x，y，z）

的值的問題，通常設(shè)ax＝by＝cz＝k（k＞0），則x＝logak，y＝logbk，

z＝logck，將x，y，z的值代入函數(shù)f（x，y，z）求解.

64

A.

B.

C.3D.27指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的實(shí)際應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）√

解題技法解決指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用問題的步驟（1）理解題意，弄清楚條件和所求之間的關(guān)系；（2）運(yùn)用指數(shù)或?qū)?shù)的運(yùn)算公式、性質(zhì)等進(jìn)行運(yùn)算，把題目條件轉(zhuǎn)化為

所求.

A.

3N2＝2N1B.

2N2＝3N1C.

＝

D.

＝

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.2B.3C.

2x－1D.

x－2

√123456789101112131415

A.

－10B.

－8C.10D.8

√1234567891011121314153.

某品牌計(jì)算器在計(jì)算對(duì)數(shù)logab時(shí)需按“l(fā)og（a，b）”.某學(xué)生在計(jì)算

logab時(shí)（其中a＞1且b＞1）順序弄錯(cuò)，誤按“l(fā)og（b，a）”，所得結(jié)

果為正確值的4倍，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

a＝2bB.

b＝2aC.

a＝b2D.

b＝a2

√123456789101112131415

A.18

dBB.20

dBC.24

dBD.27

dB

√1234567891011121314155.

〔多選〕下列計(jì)算正確的是（

）A.

（

－60－（

＝－1B.

（

＋ln（ln

e）＝7C.log23×log34＝log67D.lg

25＋

lg

8－lg

200＋lg

2＝0√√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多選〕給出下列結(jié)論中正確的是（

）A.

當(dāng)a＜0時(shí)，（a2

＝a3B.

＝｜a｜（n＞1，n∈N*，n為偶數(shù)）C.

函數(shù)f（x）＝（x－2

－（3x－7）0的定義域是

D.

若2x＝16，3y＝

，則x＋y＝7√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

若ex＝2

026，e－y＝1

013，則x＋y＝

?.

ln

2

1234567891011121314158.

（2025·八省聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，a≠1），若f（ln

2）f（ln

4）＝8，則a＝

?.解析：由f（ln

2）f（ln

4）＝8，可得aln

2·aln

4＝8，即aln

2＋ln

4＝a3ln

2＝

8，即aln

8＝8，解得a＝e.e

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

A.

B.

C.

D.2

√12345678910111213141511.

（2025·云南部分名校聯(lián)考）已知2×3a＝5×7b＝1，則（

）A.

a＞b＞－1B.

b＞a＞－1C.

a＞－1＞bD.

b＞－1＞a

√12345678910111213141512.

〔多選〕已知正數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝6z，則下列說(shuō)法中正確的是

（

）A.

＋

＝

B.

3x＞4y＞6zC.

x＋y＞（

＋

）zD.

xy＞2z2√√√123456789101112131415

123456789101112131415

t3＝2t1＋t2

123456789101112131415

12345678910111213141514.

某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P

（單位：mg