第十一節(jié)圓錐曲線中的證明、探究性問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點解讀1.

證明問題：圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系的證明，如相

切、平行、垂直、共線等；數(shù)量關(guān)系的證明，如恒成立、值相等（不

等）、角相等（不等）等，在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，常把

幾何量用坐標表示，建立某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.2.

探究性問題：先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出含相應(yīng)參數(shù)的方程，

若方程有解，則探究的元素存在（或命題成立），否則不存在（或不成

立）.需要注意的是：（1）當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；（2）當

給出結(jié)論需要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；（3）當

要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.目錄CONTENTS考點·分類突破01.課時·跟蹤檢測02.PART01考點·分類突破精選考點|課堂演練

位置關(guān)系的證明（師生共研過關(guān)）

（1）求kMP·kMF的值；

（2）連接FM并延長交橢圓C于點Q，求證：E，N，Q三點共線.

解題技法樹立“轉(zhuǎn)化”意識，證明位置關(guān)系

（2）點A，B，D是雙曲線C上不同的三點，且B，D兩點關(guān)于y軸對

稱，△ABD的外接圓經(jīng)過原點O.

求證：直線AB與圓x2＋y2＝1相切.

數(shù)量關(guān)系的證明（師生共研過關(guān)）

（2024·武漢五調(diào)）已知雙曲線E：x2－y2＝1，直線PQ與雙曲線E

交于P，Q兩點，直線MN與雙曲線E交于M，N兩點.（1）若直線MN經(jīng)過坐標原點，且直線PM，PN的斜率kPM，kPN均存

在，求kPMkPN；

解題技法

解決此類問題，一般方法是“設(shè)而不求”，通過“設(shè)參、用參、消

參”的推理及運算，借助幾何直觀，達到證明的目的.

（1）求E和Γ的標準方程；

因為圓E與x軸相切，故半徑r＝｜a｜＝1，所以圓E的標準方程為（x＋2）2＋（y＋1）2＝1.

點、線的探究性問題（師生共研過關(guān)）

（1）求E的方程；

（2）設(shè)直線PA與E的另一交點為D，直線PB與E的另一交點為C，問是

否存在點P，使得四邊形ABCD為梯形？若存在，求點P的坐標；若不存

在，請說明理由.

解題技法點、線的探究性問題的求解方法（1）解決探究性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.

一般步驟如下：①假設(shè)滿足條件的曲線（直線或點等）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；③若方程（組）有實數(shù)解，則曲線（直線或點等）存在，否則不存在.（2）反證法與驗證法也是求解探究性問題常用的方法.

（2）是否存在直線l，使得l與橢圓C相交于A，B兩點，且點F恰為

△EAB的垂心？若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由.

含參數(shù)的探究性問題（師生共研過關(guān)）

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）當直線l與雙曲線C交于異于A，B的兩點P，Q時，記直線AP的斜

率為k1，直線BQ的斜率為k2.是否存在實數(shù)λ，使得k2＝λk1成立？若存

在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

解題技法含參數(shù)的探究性問題的求解方法

求解含參數(shù)的探究性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)

值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，

若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存

在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同

時推理與計算的過程就是說明理由的過程.

（1）試判斷動點G的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程C；

PART02課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

12345678910111213141516171819202022232425（2）已知直線y＝kx＋2與橢圓C有兩個不同的交點A，B，P為x軸上一

點，是否存在實數(shù)k，使得△PAB是以點P為直角頂點的等腰直角三角

形？若存在，求出k的值及點P的坐標；若不存在，說明理由.

2.

（2024·湖北七市州調(diào)研）如圖，O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝2x的

焦點，過F的直線交拋物線于A，B兩點，直線AO交拋物線的準線于點

D，設(shè)拋物線在B點處的切線為l.（1）若直線l與y軸的交點為E，求證：｜DE｜＝｜EF｜；

（2）過點B作l的垂線與直線AO交于點G，求證：｜AD｜2＝｜

AO｜·｜AG｜.

3.

已知點P是動點，直線PA與直線y＝x垂直，垂足為點A且位于第一象

限，直線PB與直線y＝－x垂直，垂足為點B且位于第四象限，四邊形

OAPB（O為坐標原點）的面積為2，動點P的軌跡記作Ω.（1）求Ω的方程；

（1）求C的方程；

（2）已知點M0（1，4），證明：線段F1M0的垂直平分線與C恰有一個公

共點；

（3）設(shè)M是坐標平面上的動點，且線段F1M的垂直平分線與C恰有一個

公共點，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程.

法三設(shè)線段F1M的垂直平分線l與C恰有一個公共點為P，則當點P不在長軸時，線段F1M的垂直平分線l即為點P處的切線，也為∠F1PM的平分線，作∠F1PF2的平分線PH，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)得PH⊥l，所以∠F1PE＋∠F1PH＝90°，則∠F2PH＋∠EPM＝90°，故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°，所以M，P，F(xiàn)2三點共線，所以｜MF2｜＝｜MP｜＋｜PF2｜＝｜PF1｜