第二章內(nèi)積空間

一、基本要求

1、掌握歐氏空間和酉空間的定義與性質(zhì)，掌握Hermite矩陣的定義，理解

歐氏(酉)空間中度量的概念.

2、掌握線性無(wú)關(guān)組的Schmidt正交化與對(duì)角化方法，理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的性

質(zhì).

3、理解Hermite二次型的定義.

4、掌握在一組基下的度量矩陣的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣的性質(zhì)及兩

組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的度量矩陣的關(guān)系.

5、了解歐氏子空間的定義.

6、掌握正交矩陣與酉矩陣的定義與性質(zhì)，理解正交(酉)變換與正交(酉)矩陣

的關(guān)系.

7、掌握對(duì)稱矩陣與Hermite矩陣的定義與性質(zhì)，理解對(duì)稱(Hermite)變換與

對(duì)稱(Hermite)矩陣的關(guān)系.

8、掌握矩陣可對(duì)角化的條件，會(huì)求一個(gè)正交(酉)矩陣把實(shí)對(duì)稱(Hermile)矩

陣化為對(duì)角形矩陣，會(huì)求一組標(biāo)準(zhǔn)正交基使線性變換在該基下對(duì)應(yīng)的矩陣是對(duì)角

形矩陣.

二、基本內(nèi)容

1、內(nèi)積空間

設(shè)數(shù)域/上的線性空間匕(尸)，若匕(尸)中任意兩個(gè)向量夕都有一個(gè)確定

的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為(。,0,且滿足下列三個(gè)條件

(1)對(duì)稱性：(a,0)=(0,a),其中也方表示對(duì)數(shù)(￡,a)取共甄；

(2)線性性：伏］%2a2，4)=4(%,尸)+&2(%，4)；

(3)正定性：(a,a)NO,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，(a,a)=0,

則稱(a,0為向量。與夕的內(nèi)積.當(dāng)尸=火時(shí)，稱匕(R)為歐氏空間；當(dāng)b二C時(shí),

稱匕(C)為酉空間.

注意：在R"中，(a,k(3)=k(a,p)；在C〃中，(%幼)=.

通常的幾個(gè)內(nèi)積：

TT

(1)R”中，(a,/3)=^xiyj=a=fta

1=1

C〃中，(a，B)=Zx*=aH0.

1=1

其中a二(芭,々，…，居)丁，/二()'"2產(chǎn)”")丁?

(2)A""中，A=(a3d，(4,B)=EA〃B)=￡Z%4?

i=\j=\

(3)在實(shí)多項(xiàng)式空間E』月及［。,加上連續(xù)函數(shù)空間中，函數(shù)/(x),g(x)

的內(nèi)積為

(/*)，g(x))=￡f(x)g(x)dx

2、向量的長(zhǎng)度、夾角、正交性

定義國(guó)=向而，稱為a的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量，

=0同是a的單位向量.

長(zhǎng)度有三個(gè)性質(zhì)：

(1)非負(fù)性：同之()，且(a,a)=O<=>a=O；

(2)齊次性：|煙=網(wǎng)磯網(wǎng)表示數(shù)2的絕對(duì)值;

(3)三角不等式:.+<<囪+懈.

定理(Cauchy-Schwarz不等式)|(a,￡)|<\ol\0\.

a與6的夾角0定義為。=arccos(a；').

當(dāng)(a,尸)=0時(shí)，稱c與p正交，記a_L/7.

若非零向量組4兩兩正交，即(%?,%)=0，稱a5是一個(gè)

正交組：又若|%|=1"=1,2,…則稱名….a,為標(biāo)準(zhǔn)正交組，即

定理(勾股定理)|a+M2=|a『+?o(a,0=o,即a_1￡.

3、標(biāo)準(zhǔn)正交基

標(biāo)準(zhǔn)正交基指歐氏(酉)空間中由兩兩正交的單位向量構(gòu)成的基.

構(gòu)造方法：對(duì)歐氏(酉)空間的一個(gè)基進(jìn)行Schmidt正交化可得正交基，再對(duì)

正交基進(jìn)行單位化可得標(biāo)準(zhǔn)正交基.

把線性無(wú)關(guān)向量囚,由，…，4正交化為4，人，…，氏正交向量組:

設(shè)

P\—a\>

k-\

(%，0)

Pk=%-ZPi，k=2,3,…,s.

*=lGW

再把戊單位化：%=!“=1,2,…,s,則與血,…應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)正交組.

\Pi\

在標(biāo)準(zhǔn)正交組與,心,…,邑下，向量可表為:

a二將與+與三+…+匕％=(a，4)G+(a^2)s2+???+(a,￡“)%,

坐標(biāo)芭=(a,5)表示a在j上的投影長(zhǎng)度.

4、基的度量矩陣

度量矩陣是以歐氏(酉)空間的基中第i個(gè)元素與第，個(gè)元素的內(nèi)積為i行,列

元素構(gòu)成的方陣.

設(shè)歐氏(酉)空間丫的一個(gè)基為再,工2,…，X”，令％=(x.,x7)(/,j=1,2,???,?),則

該基的度量矩陣為力=(%)〃X”.

基的度量矩陣是實(shí)對(duì)稱(Hermite)正定矩陣，它的階數(shù)等于歐氏(酉)空間的維

數(shù)，正交基的度量矩陣是對(duì)角矩陣，標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是單位矩陣.

設(shè)酉空間V的一個(gè)基為王,它,…,x”，該基的度量矩陣為A，在該基

下的坐標(biāo)(列向量)分別為a與夕，那么戈與y的內(nèi)積(x,y)=aZ/.當(dāng)V為歐氏

空間時(shí),(x,y)=aTAfi.

當(dāng)此基為標(biāo)準(zhǔn)正交基，酉空間V的x與y的內(nèi)積=歐氏空間V的

x與)，的內(nèi)積(x,y)=aTp.

設(shè)歐氏空間E的兩個(gè)基分別為(I)和鳥(niǎo)，…，怎和(11)M，當(dāng)，％且由基

(1)改變?yōu)榛?11)的過(guò)渡矩陣為。，基(【)的度量矩陣為A,基(H)的度量矩陣為

B,則有：

(1)B=CTAC.

三、典型例題

例1、在R”中，設(shè)…，）〃二（7，〃2,…,%），分別定義實(shí)數(shù)3,4）

如下：

（I）（。，0=（￡，?：）%；

（2）30=（汽1）（宜力）；

1=17=1

判斷它們是否為R”中a與夕的內(nèi)積.

解（1）設(shè)keR,由

（3/）=（￡（￡.）2〃；）%=

f=l

IM這片一）％=陶3,夕）

f=l

知，當(dāng)/<0且（a,⑶工0時(shí),（ka，B）豐k（a，B）.故該實(shí)數(shù)不是R"中a與6豹內(nèi)

積.

（2）取。=（1,—1,0,…,0）=0,有

t&=0,（?,?）=0

r=l

故該實(shí)數(shù)不是R"中a與夕的內(nèi)積.

例2、中，向量組a1,如，…％線性無(wú)關(guān)的充要條件是

（%,四）（%,%）…（%，樂(lè)）

（%，%）（%，。2）…（。2，?！ǎ?/p>

■??■???■????

（即，%）（％,。2）…（%，%）

證方法一設(shè)A=（%,%,???%）,則

=*仆NM=|A『HOO

MhOo4,%,…,2〃線性無(wú)關(guān).

方法二設(shè)王岡+1202+…+￡/“=0，則

“陷1+x2a2+---+xwaM,a,）=0,z=1,2,???,/7,

即

%]3,%）+???+乙（即4,）=0,

為（。2，。]）+-?+乙（%,。”）=0,

V

X]（%,%）+??,+%（。〃,%）=0,

齊次方程組僅有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式|（q,巴）卜（），即

%,a2,…,%線性無(wú)關(guān).

例3、設(shè)歐氏空間P⑺3中的內(nèi)積為

(1)求基1/產(chǎn)的度量矩陣.

(2)采用矩陣乘法形式計(jì)算/⑺〃與&⑺=「4—5產(chǎn)的內(nèi)積.

解(1)設(shè)基的度量矩陣為A=(%)3,3,根據(jù)內(nèi)積定義計(jì)算%(浮力

an=(1,1)=jJ/=2,al2=(l,r)=jtdt=0,

2

^l3=(l,r)=￡r^r=|,a22=(/,/)=,「力二

〃23=Q，")=Jtydt-0,%3=(產(chǎn)/)=Jt4dt=.

由度量矩陣的對(duì)稱性可得為=%.{>/),于是有

■202/3一

A=02/30.

2/302/5

⑵/⑺和g⑺在基11,產(chǎn)下的坐標(biāo)分別為a=（l,—I」）7",尸=（1,-4,-5幾那么

202/3T1

(/送)=。74=(卜1,1)02/30-4=0.

2/302/5￡-5

例4、歐氏空間PI%中的多項(xiàng)式/⑺和g⑺的內(nèi)積為

(7,g)=f

取￡")=，記子空間卬=￡"(/)).

求卬丁的一個(gè)正交基;

(1)

⑵將分解為兩個(gè)正交的非零子空間的和.

解(1)設(shè)g(f)=《+%f+L/eW'，則有(九g)=。，即

，/⑺g⑺力=f/(%)+匕，+h/=0，

也就是匕=0.于是可得

卬，={g⑺卜⑺=-ko&eR].

取W7的一個(gè)基為L(zhǎng)b,并進(jìn)行正交化可得

g()二l，

……處),1

(&，?)

那么，g1⑺,g?⑺是W'的正交基?

(2)令V=L(g?)),%=L(g2?))，則匕與匕正交，且卬'=匕+匕?

例5、已知?dú)W氏空間已的基用,當(dāng)?shù)亩攘烤仃嚍?/p>

54

A=

45

采用合同變換方法求尸的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基(用已知基表示).

解因?yàn)锳對(duì)稱正定，所以存在正交矩陣Q,使得。7。二八(對(duì)角矩陣),

計(jì)算得

-1()]1「1「

A=,Q=—f=,

09j同TL

1「3I]

C=Q\2,

3⑸-34

則有C7AC=E.于是，由(凹,力)=。，々)。可得已的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為

1/、1/、

Ji二下區(qū)-%)，%+￡)?

例6、在歐氏空間中，定義。與夕的距離為：d(a,0=|a-〃|,試問(wèn)：保持

距離不變的變換是否為正交變換？

答不一定，例如史中向量的平移變換：

Va=(x,y)GR2,r(x,)，)=(x+l,y+l)，

2

%=(M，y)，％=(x2,J2)G/?,T(aI)=(xI+1,弘+1),7(%)=(%2+1，必+1)，

“(7(囚),7(%))=|7(。|)一7(%)|=-3)2+(>-％)=|4一%|="3，％)?

雖然保持距離不變，但平移變換不是線性變換，更不是正交變換.

例7、設(shè)%,%，…?！迸c4,△，…，凡是〃維歐氏空間兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，

證明存在正交變換7,使7(%)=舟,i=1,2,…/的充要條件是

(%.,%)=(/7,,0),i,j=1,2,-??,/?.

證必要性因?yàn)榱耸钦蛔儞Q：(7(%),7(%))=(%,%),又已知7(%)=4，

故有(4,%)=(4，%).

充分性定義變換r,使得〃％)=a?,i=l,2,???,〃,則丁是線性變換，且是唯

一的.下證T是正交變換.已知(%,%.)=3血)，則有(Tai,Taj)=(區(qū),%),

/=1>1

則

n〃n/

?/)=(Zza，Zy"=2>匕(%，%)，

；-i；-ij-l

(T(a),7⑶)=(X項(xiàng)TQ)，力匕7(%))=七力.力(TQ)，?、?)

1=1j=li=\j=1

二22七為(%，％)?

/=iJ=I

即Va,〃c匕，(T(a),T(0)=(%￡),故T是正交變換.

例8、設(shè)%,4，%是歐氏空間匕的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，求出匕的一個(gè)正交變換

兀使得

7(%)=4(2囚+2a2-%)，

7(%)二—(2%—6^2+2a3).

3

解設(shè)T(%)=玉%+.。2+七%，使得丁(。),7(%)1(%)是標(biāo)準(zhǔn)正交的，

因7(4),7(%)已標(biāo)準(zhǔn)正交，則只要滿足

(丁(4),丁(%))=。,(丁(&)，7(4))=0，|7(%)|=1，即

22+2X2-X3=0,

'2工]-x2+2X3=0,

X12=1.

解得X]=-1/3,工2=2/3,占=2/3?即T(aJ=g(—生+2a2+2%)?得

TgjTXaz),八%)是標(biāo)準(zhǔn)正交基.因7把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基，故丁是正

交變換.

另法設(shè)7(q)的坐標(biāo)為區(qū)，修，與)%由

■2/32/3X,'

(丁(四),7\%),7(%))=(即%,%)2/3-1/3%=Q,%,aJA.

-1/32/3x3

丁是正交變換o4為正交陣.由A/A=￡,解得

X)=-1/3,A=x=2/3,則T(cz)=-(-?)+2a+2a).

233323

例9、設(shè)/是歐氏空間V中的單位元素，定義變換

TU)=x-2(xtx0)x0(XGV)

(1)驗(yàn)證/是線性變換；

(2)驗(yàn)證7既是正交變換，又是對(duì)稱變換；

(3)驗(yàn)證/是7的一個(gè)特征向量，并求其對(duì)應(yīng)的特征值.

證(1)設(shè).ywV,k,SR,則有

T(kx+ly)=(kx+ly)-2(kx+ly,x0)x0=k[x-2(x,x0)x0]+/[y-2(y,x0)x0]

二人（7（力）+/（/（），））,

故7是線性變換.

(2)因?yàn)?/p>

2

(T(X),T(X))=(x,x)-4(x,xQ)(x,x0)+4(x,x0)(x0,x0)=(x,x)

所以丁是正交變換.設(shè)ywV,貝ljT(y)=y_2(y,%)%,于是有

(TW,y)=(x,y)-2(x,x0)(x0,y)y

(%,T(y))=(x,y)-2(y,x0)(x,xQ)=(T(x),y).

故了也是對(duì)稱變換.

(3)直接計(jì)算可得

7'(A0)=X0-2(X0,X0)X0=%-2工0=(-1)%.

故/是丁的對(duì)應(yīng)于特征值4=-1的特征向量.

例io、證明歐氏空間丫"的線性變換r為反對(duì)稱變換，即

（T（x）,），）=-。,7（），））,（工,yEV〃）的充要條件是7在V"的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為

反對(duì)稱矩陣.

證設(shè)V”的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為內(nèi),它，…，％，線性變換7在該基下的矩陣為

A=（%?）“*”，即

?。ㄓ?，工2「一，%〃）=（玉，當(dāng)，…%）4?

則有

7=+a2ix2+???+%/〃，（丁（王）,勺）=%,

xaX

?。ㄉ祝?6盧+a2ji+…+njn，（如T（Xj））=%?

必要性設(shè)丁是反對(duì)稱變換，則有（7（七）,x.）=-（知7（巧）），即a..=-%,

-2,…，*故A'=-A.

充分性設(shè)*=-A,則對(duì)任意的有

工二區(qū)，…,4）:,T(x)=a，…，怎)A:

4117

)=(%,???,5)：,r(y)=(x”…,:

因?yàn)槲?々,…，瑞是標(biāo)準(zhǔn)正交基,所以

7i

(T(x),y)=?「?，￡)”一白，…,j”)-A:=-(x,T(y)).

故r是反對(duì)稱變換.

例11、設(shè)歐氏空間丫”的正交變換了的特征值都是實(shí)數(shù)，證明存在V"的標(biāo)準(zhǔn)

正交基，使得丁在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣.

分析正交矩陣是實(shí)的正規(guī)矩陣，當(dāng)它的特征值都是實(shí)數(shù)時(shí)，它能夠正交相

似于對(duì)角矩陣.

證設(shè)V"的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為七,々，…,Z，正交變換丁在該基下的矩陣為

4,那么A是正交矩陣，也是實(shí)的正規(guī)矩陣.因?yàn)槎〉奶卣髦刀际菍?shí)數(shù)，所以4

的特征值都是實(shí)數(shù).于是存在正交矩陣。，使得

def

QrAQ=流…，4")=A,

其中4（i=L2,…是A的特征值.令

（、，%「一，）'“）=（再，當(dāng)「一，5）。，

則）3乃，…,）1是V"的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且丁在該基下的矩陣為

Q-lAQ=QTAQ=A

【評(píng)注】本例結(jié)果表明，特征值都是實(shí)數(shù)的正交變換是對(duì)稱變換.

例12、設(shè)T是歐氏空間V的正交變換，構(gòu)造子空間

匕={^x）=x,xeV}y2={）\y=x-T（x\xeV},

證明匕二匕1.

證先證任取與￡匕，則有T*o）=%.對(duì)于任意的yc匕，有

(%,y)=(xQ,x-T(x))=(x0,x)-(x0,T(x))

=(x0,x)-(T(x0),T(x))=(x0,x)-(xo,x)=O

所以％ou%''，故h<=v?.

再證匕1u%,任取與￡匕，，那么(/-7(%))￡匕，從而有

(x0,x0-TUo))=0,

(x0-T(X0),A0-T(X0))=(X0,X0)-2(X(),T(X0))+(7'(X0),T(X0))

=(Xo,XO)-2(%,r(x0))+(x0,x0)=2(%,x0-T(x0))=0.

所以與-7(%)=0,即7(%)二%)，也就是與￡匕，故%1u%.

例13、設(shè)AwC"M,酉空間C〃'中的向量?jī)?nèi)積為通常的，證明

E(A)]'N(A").

分析設(shè)C，n中的向量。=&&，…&)'與向量夕=(小,〃2,…力"的為積

為

(。，尸)=。7+芻/+…+&,/〃1="8

則a7=0的充要條件是a"2=0,或者/％=0.

證劃分A=(〃],〃2,…，凡)，則有

R(A)=L(6M2,…

[R(4)f={囚A，僅必+…+工閂)勺￡。,萬(wàn)￡右〃}

={"/_L%,J=1,2一.1,￡￡C〃}

={加浮=0,/=1,2,…,〃，四wC"}

=⑷〃萬(wàn)=(),/?€Cm}=N(A〃).

例14、設(shè)酉空間C”中的內(nèi)積為通常的，證明：R(A)與H(B)正

交的充要條件是A〃2=O.

證劃分A=(q,〃2,…,4”)，8=(仇，仇，…,勿)，則有

R(A)=〃卬,心,…M”)，R(B)=L也力2,…也)

根據(jù)例15結(jié)果可得，R(4)與R(8)正交的充要條件是

R(3)u[R(4)產(chǎn)=N(A〃),

即

4wR(B)uN(A”)0=1,2,-??,/?)，

或者

H

Ab：l=0(j=1,2,..-,/?),

也就是A'8=().

例15、在R』中，求一單位向量與及(2,11,3)均正交.

解設(shè)"?&&&)和已知向量正交，即

'4+多—。3+幺=。，

<…2-43+44=0，

2。+幺+4+3g4=0.

該齊次線性方程組的一個(gè)非零解為A=(4,04,-3)，單位化可得

)，=色'=(二看,0,表,高)，即y為所求的單位向量.

例16、設(shè),為〃維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，試證：.一?為正交變換的充

分必要條件是

|"(a)-，必劃=眄-維

證必要性

(0)一?〃(倒=《(.；/(a)-0),.&/(。)一(夕))

=J(a,a)一(尸,a)一(a,月)+(-0)

=d(a_p,a_/3)=忱-例.

充分性取4=0,于是有(叫=|同，即"保持V中的向量長(zhǎng)度不變，

所以."為正交變換.

-22-2

例17、對(duì)于矩陣其=25-4,求正交(酉)矩陣尸，使產(chǎn)么「=":4尸

-2-45

為對(duì)角矩陣.

解可求得det(AZ->4)=(/l-l)2(/l-10),于是A的特征值為

Aj=22=1,23=10.對(duì)應(yīng)4=4=1的特征向量為

為=（一2,1,0）7,工2=（2,0，1）7'.

正交化可得%=（-2,1,0）『，8二弓（,1）丁；再單位化可得

JJ

_z21n、7_245

“（-丁一◎也=（訪'韭）T.

對(duì)應(yīng)4=10的特征向量為與=（-；,-1,1）丁，單位化可得

故正交矩陣

22￡

飛3石-3

142

336-3

52

0

3753

使

1

PTAP=1

10

例18、設(shè)A是〃階實(shí)對(duì)稱矩陣，且4=A（即A是哥等矩陣），證明存在正交

矩陣。使得

e-'Ag=^（i,-,o）.

證設(shè)A的屬于特征值％的特征向量為x,即Ar=/k,則有復(fù)工二不了.因

為A?=4且不。0,所以;12-4=0,即/1=0或I.再由4實(shí)對(duì)稱知，存在正交

矩陣。使得

。，。二小用"…』,。,…,。）.

例19、設(shè)乙匕是歐氏空間V的兩個(gè)子空間，證明

1i

（K+K）=vjnv2,

（v.nvj^v^+v/.

證先證第一式.設(shè)xe（匕I匕尸，即“_1（匕1匕）.于是xJ■匕且xJL%，

或者尤e匕1且不€匕七BPxGV/n^1.故

iL

（匕+%）u（vjnv2）.

又設(shè)龍￡Vjn彩匕即且XE%1.于是戈_LK且x_L%,或者x_L（K+匕），

即1￡（匕+匕尸.故

（匕，偌）匚（匕+5

因此第一式成立.

對(duì)VJ與%1應(yīng)用第一式，有

（X十《尸=（片尸n（《尸=Kn%,

故（hn匕尸=vj+z，即第二式成立.

例20、（1）設(shè)A為酉矩陣且是Hermite矩陣，則A的特征值為1或-1.

（2）若A是正規(guī)矩陣，且A的特征值風(fēng)=1,則A是酉矩陣.

證⑴因A為酉矩陣，則A的所有特征值％具有囚=1；乂A是Herm加矩

陣，則A的特征值皆為實(shí)數(shù)，故A的特征值為1或-1.

（2）因A是正規(guī)矩陣，且A的特征值風(fēng)=1,則有酉矩陣U,使得

故有4〃A=E,即A是酉矩陣.

例21、A為〃階正規(guī)矩陣，4a=12…,〃）是人的特征值，證明與AA”

的特征值為乩『，i=l,2,…,〃

證由A正規(guī)，則

一4

Uf,AU=

AJ4,

UHAHAU==UHAAHU,

故A'A與44〃的特征值皆為|4『,優(yōu)『，…,生『.

例22、設(shè)A為〃階正規(guī)矩陣，證明

(1)若對(duì)于正數(shù)〃?，有A"=0,則A=0.

(2)若A?=A,則4〃=A.

(3)若川=T,則T=A.

證(1)若4〃=(),則A的特征值皆為零，又A是正規(guī)矩陣，A可酉對(duì)角化,

UHAU=

故有A=0,

(2)4=A,則A的特征值為1或()，假定(4)=r；A可酉對(duì)角化為:

H(E()、〃M(E()VHH出()、

HrrHr

UAU=looj,(U“l(fā)AoU)Hoj=,UloAUoj=,

可得A"=A.

(3)*二42,且U"AU二,(U〃AU)

UHA2U=.UHA3U=

由A*=A?,得啰==o或4=i，不妨設(shè)

(0

EE「0、

UHAU=r,也有U'MUu

<0000>

故有A2=A.

例23、A為，階Hermite矩陣,設(shè)A的〃個(gè)特征值為4W%W…42〃，證明

XHAX%nin甘

max——n—

wXHX“XGC”XHX

證對(duì)于Hermile二次型/=X"AX,必有酉變換X=UY,使化為標(biāo)準(zhǔn)形

X=UY、、.

x"x=41y『+4M「+???+%」)，丁,

又|X『=X"X=W=|肅+昆|2+…+|y『,則

X“AX<乙(|凹|2+|%|2+…+|M)

XHX回『+昆『+???+"『”

設(shè)X.為A對(duì)應(yīng)于4“的特征向量,即AX”=%X〃，則

X/AX”=4X”〃

X：Xnx?x.

故有

XHAX

max=

XeCn4?

同理有

XHAX

min〃

x?"XHX=4?

例24、A是正規(guī)矩陣，證明

⑴A的特征向量也是A”的特征向量.

Q)VXGC\AX與A〃X的長(zhǎng)度相等.

證(1)A為正規(guī)矩陣，則有酉矩陣，使得

44

4

UnAU=UnA,rU=

(

其中U=[%,。2,卬，。2,…，a〃為A的特征向量,由上兩式可見(jiàn)A%=4%，

A"4=4%,故A與A”有相同的特征向量.

(2)由A"A=44",

|AWX|2=(AHX)H(AHX)=XHAAHX

=XHAHAX=(AX)"(AX)=|4X『.

證得

AHX\=\AX\.

例25、AB為〃階實(shí)對(duì)稱矩陣，8為正定矩陣，證明存在同一可逆矩隴P,

使

pHBP=I,PTAP=??=A.

證8為正定矩陣，必有可逆矩陣Q,使

Q'BQ=E.

因A為對(duì)稱矩陣，則Q,AQ也是對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣C,使得

1

CTQTAQC=,

令夕=QC,就有

PTAP='??=A.

.Un_

XC'Q'BQC=C'EC=CTC=E,即有故存在同一可逆矩陣尸，使

PlBP=E.PJAP=A.

例26、(1)設(shè)八丁,則的充要條件是4的〃個(gè)列(或者行)向量是

標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組.

(2)q的充要條件是=E.

證(1)必要性設(shè)

八二%%，…

端」

由于=所以有

邸出

a；%“一

2n=E,

于是可得

a?%=0,iwj

a"aj=1,i=j

這表明矩陣A的〃個(gè)列向量是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組.同樣可以證明A的〃個(gè)行

向量是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向星組.

充分性設(shè)矩陣A的〃個(gè)列向量是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組，那

么有

靖％=0,i手j

a：%=1,i=j

從而可知

?.?

aTa2a，a.

a；'%a"a???

2a/。”=E,

*[%,%，…，％]=■?

*■?

???

a一

此即A〃A=E,進(jìn)一步也有AA〃=E,這表明A為一個(gè)酉矩陣.類(lèi)似地可以證

明行的情況.

(2)必要性設(shè)矩陣q的/?個(gè)列向量/,是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組，

那么有

=0,iwj

a；'%=1,i=j

由此可得

U，U1a，%，…，％]=

充分性設(shè)

U]=14,22,…,aj

由于=￡r,所以有

于是可得

%"%=0,ij

a7%=1,i=j

這表明矩陣■的，?個(gè)列向量%是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組?

例27、已知

308

A=3-16

-20-5

試求酉矩陣U,使得是上三角矩陣.

解首先求出其特征多項(xiàng)式憶石-川=(/1+1)3.

當(dāng)4=-1時(shí)，求出屬于特征值-1?1的一個(gè)單位特征向量

解與小內(nèi)積為零的方程

-2xt+x2+x3=0,

求得一個(gè)單位解向量

%二

解與小,內(nèi)積為零的方程

-2x,+x2+x3=0

x1+x2+x3=0

乂求得一個(gè)單位解向量

于是取

2百

.

T0

V16

百

T/

V16

2

百

U6T顯

2

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得

7727百一

-1-------------------

23

U：AU、=04—

3

0----6

2

記

F45呵

A-3

「5幾J

---------6

L2J

可得

|檢-闋=(/1+1了.

對(duì)于2=-1時(shí)，求得一個(gè)單位特征向量

「屈樂(lè)］T

“I一三‘7’

再求得一個(gè)與為正交的向量七

,Vi5JiolT

Yi=

令

府V15

一_F亨

VBVio

經(jīng)計(jì)算可得

,2576

c二-1一一丁

0-1

令

100

VioV?5

%=0一,

55

岳Vio

0

55」

記

2而V5

UUI-巫o(hù)

=2F忑

6

—V302V5

森

36--V

7307而一

-1t-----

1520

If25n

UHAU=0-1

6

00-1

例28、設(shè)人后均為〃階正規(guī)矩陣，試證A與R相似的充要條件是4與區(qū)西相

似.

證必要性由于A與8均為正規(guī)矩陣，所以分別存在正規(guī)矩陣使

得

4

U，AUi=4..

Al-

U；BU?=”

其中4>0(i=l,2，…,m為A的特征值，4>0(i=l,2,…,〃)為B的特征值.又A與

8相似，于是有4=從，5"人仆=u/5U2,此時(shí)(qu『)"Aqu丁=B,這表明A

與B相似.

充分性顯然.

例29、已知A為實(shí)矩陣，且有A『A=AA"證明A必為對(duì)稱矩陣.

證由A7=AA7可知，A為正規(guī)矩陣，那么存在酉矩陣U,使得

4■區(qū)

UHAU=,UHAHU="

4t

從而有

R.r

UHArAU=

又A，A為實(shí)矩陣，由上式可知其特征值也是實(shí)數(shù)，從而矩陣U是一個(gè)正交矩陣,

即U〃=U，=U"，從而有

I'

U]AU=*?.

.九

其中4,…,％”一定為實(shí)數(shù).同樣也有

工

U-lATU=

4,

由此可得力，即A為實(shí)對(duì)稱矩陣.

例30、設(shè)A8均為正規(guī)矩陣，旦有A3=84,證明：

至少有一個(gè)公共的特征向量；

(2)43可同時(shí)酉相似于上三角矩陣，即存在酉矩陣W,使得以及

均為上三角矩陣；

(3)A3可同時(shí)酉相似于對(duì)角矩陣；

(4)A8與8A均為正規(guī)矩陣.

證(1)設(shè)匕是矩陣A的屬于特征值2的特征子空間，若二￡匕，即

4a=4a,WiJBAa=ABa,由于AB=B4,所以有A(4a)=4(80,這表明

Ba從而匕是8的不變子空間，故在匕中存在B的特征向量夕，它也是A

的特征向量.

(2)對(duì)4B的階數(shù)用歸納法證明.當(dāng)?shù)碾A數(shù)均為1時(shí)，結(jié)論顯然成立.設(shè)

單位向量%是48的一個(gè)公共特征向量，再適當(dāng)選取〃-1個(gè)單位向量%

使得{4,%，為標(biāo)準(zhǔn)正交基，于是〃=[%，4，…,4」為酉矩陣，且有

Ba{=bct],BU=lbc(i，Ba>…，Ba“].

進(jìn)一步可得U〃8U=?f=8,這里〃是矩陣，用是一個(gè)〃-1階矩

陣，另外也有U〃AU=:7=A,這里"是1x5—1)矩陣，4是一個(gè)〃-1階

L°A」

矩陣.

由人又有((MU〃),(UBU")=(U8U")?(O4U"),于是可得A3=3A,

由此可推得A用=用4.故由歸納法假設(shè)，存在〃-1階酉矩陣匕，使得

=A,這里A為一個(gè)上三角矩陣，記

「1°l

V=,VV=UV.

|o乂

于是有

10)p叩。]_時(shí)0V]

WHBW=VH(UHBU)V=-

0匕vj[o△

顯然卬〃8W是一個(gè)上三角矩陣.容易驗(yàn)證W是西矩陣.同樣可得，卬〃AW也

是一個(gè)上三角矩陣.

(3)由(2)可設(shè)W〃AW=R,這里R是一個(gè)上三角矩陣，那么W"A"W=R〃，

從而可得

AAH=WRWH-\VRHWH=\V(RRH)WH,

AHA=WRHWHWRWH=W(RHR)WH.

又4A"=4〃A,所以可得RR"=R"R,從而知R為一個(gè)對(duì)角矩陣.同樣可證

也是一個(gè)對(duì)角矩陣.

(4)由(3)可設(shè)

%

WflBW=

于是有

44

WHABW=".

_J

由正規(guī)矩陣結(jié)構(gòu)定理可知A8為正規(guī)矩陣，那么也為正規(guī)矩陣.

【評(píng)注】教材中己給出一種證明