第04講解三角形

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0OO0

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍

(1)掌握正弦定理、余弦定將以考查正余弦定理的基本使用、面積

理及其變形.公式的應(yīng)用為主.從近五年的全國卷的

2023年/卷〃卷第17題，10分

(2)能利用正弦定理、余弦考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主

2023年甲卷第16題，5分

定理解決一些簡單的三角形要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公

2()23年乙卷第18題，12分

度量問題.式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

(3)能夠運(yùn)用正弦定理、余

弦定理等知識(shí)和方法解決一

些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的

實(shí)際問題.

_________3=*=當(dāng)=2R

正弦定理

Q2=y4-c2—2bccosA

b2=(?+Q2-2accosB

余弦定理

c2=a2+b2—2abcosC

Lc=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC

I正弦定理變形-4=為皿箝K=點(diǎn)

解三角形(

Ab2+c2-a2

Ji

f口c2+a2-b2

4——_—

余弦定理變形1

\coSC=^^

\2ab

仰向和偏角

r方位角

方向角

城內(nèi)馬城度

夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△A8C中，角A,B,。所對的邊分別是小6c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=lr+c2-2bccosA；

abc…

公式----=----=----=2Rb2=c2+a2-2tzecosB；

sinAsinBsinC

222

c=a-\-b-2abcosCt

人b2+c2-a2

cosA=----------；

(1)a=27?sinA?Z?=27?sinB>c=2RsinC；2bc

D八/一從

常見變形(2)sin/l=—,sinB=—,sinC=-：cosB=----------；

2R2R2Rlac

222

「ab-c

cosC=---+-------.

lab

(2)面積公式：

6//?sinC=—Z?csinA=—?csinB

A222

S^ABC^-^-(a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,二)

4R2

知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:〃:c=sin4:sin8:sinC

②大邊對大角大角對大邊

?>Z?<=>/4>B<=>sinA>sinB<=>cosA<cosB

③合分比：a+b+c—='"b=b+c=…=4=上=,=2/?

sinA+sin8+sinCsin4+sin8sin54-sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)"AC內(nèi)角和定理：A+B+C=TT

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<=>c=acosB+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+13)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC-tan(A+B)=""'''u>tan4+tan4+tanC=tan/VtanA?tanC

1-lanA-tan5

公.4+久C,4+8、.C

(4)sin(-----)=cos—；cos(-----)=sin—

2222

⑤在A4BC中，內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列。8=工,4+。=衛(wèi).

33

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角，為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，，?為坡度）.坡度又稱為坡比.

【解題方法總結(jié)】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在△A8C中，已知小。和4時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

4,CC

Xx

圖形

AB?….B........B八B

AB

bsinA<a<b、,a>b

關(guān)系式a=bs\nAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有兒。的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用：

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到A+8+C=/r.

3、三角形中的射影定理

在，ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA：c=〃cosA+acos8.

一提升-必考題型歸納

題型一：正弦定理的應(yīng)用

例1.（2023?福建龍巖?高三校聯(lián)考期中）在A3C中，角A民。廳對的邊分別為若。=4,A=；,C=j|,

則人=（）

A.26B.2>/5C.2瓜D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)?=：,C=^|,所以3=兀—A—C=],

4xsin-4x3

b6/sinB

因?yàn)橐还?,所以〃=

sinAsinB十A

2

故迄C.

a_b_c

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在A4C中，設(shè)命題p：命題q：ABC是等邊工

sinCsiIL4sinB

角形，那么命題〃是命題g的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由正弦定理可知￡=上=$abc

=/,

smAsmtismCsinCsinAsinB

abc

則一=-=：=/,

cab

即a=tc,b=ta,c=bt,

BPubc=tiabc,即/=1,

則a=b=ct即AABC是等邊三角形,

若以BC是等邊三角形，則4=8=C=g，則-成立,

3smCsmAsinB

即命題〃是命題夕的充要條件，

故選：C.

例3.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在聞?。中,角4,從C的對邊分別為小3c,若sinA=sin3cosc

l▲兀...Ic+a/、

且tlEG，A飛，則；（）

A.8>/3B.4>/3C.8D.4

【答案】D

［解析］在.ABC中，由sinA=sin8cosc可得sin（4+C）=sinBcosC,

即sinBcosC+cosBsinC=sin8cosc

所以cos8sinC=0,因?yàn)?,Ce（O,兀），

所以sinCw0,且cosB=0,

所以8=g,又A=J,可得。=1,

263

c+ac2\/3,

由正弦定理"J得sinC+sinAsinC73.

T

故選：D.

變式1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在人BC中，內(nèi)角A￡Ci勺對邊分別是a/,c,若acosB-AoS=c,

且。=（,則N3=（）

7T7T-3乃一2九

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcos8-sin8cos4=sinC,

即sinAcossin^cos4=sin（4+B）=sinAcos^+sinBcosA,

整理可得sin3cosA=0,由于8w（0,7i）,故sin3>0,

據(jù)此可得cosA=0,A=］,

貝=—A-C=7t—巴一汽=里.

2510

故選:C.

變式2.（2023?河南鄭州?高三鄭州外國語中學(xué)?？茧A段練習(xí)）叫b,c分別為叢BC內(nèi)角A,4,C的

對邊.已知。=4,absinAsinC=csinB,則4?C外接圓的面積為（）

A.164B.647rC.1281D.256乃

【答案】B

【解析】因?yàn)?sinAsinC=csin8,由正弦定理得4/?csinA=〃c,可得sin人=■!".

4

設(shè)M8C外接圓的半徑為，則二■=2r=16,即/*=8,

故,ABC外接圓的面積為647r.

故選：B.

變式3.（2023?甘肅蘭州?高三蘭州五十一中?？计谥校鰽8C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,

c,若asinAsinB+〃cos?A=6〃，則一=（）

a

A.72B.GC.2V2D.273

【答案】B

【解析】由正弦定理得asin4=/?sinA,化簡得bsin?A+〃cos?A=〃=G”，

則2=6,

a

故選：B

變式4.（2023?寧夏?高三六盤山高級中學(xué)?？计谥校┰?，A4C中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別是小b,

c—?jiǎng)t普產(chǎn)的值為（）

A.—B.—C.1D.!

242

【答案】A

【解析】依題意？=：，

a2

由正弦定理得迫上包工=宜工=2⑶1=2邛）1=」.

sin2Aa2UJUJ2

故選：A

變式5.（2023?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為“，力,

c,己知。COSA="（G-COS4）,4=2,貝Ijc=（）

A.4B.6C.2V2D.2J3

【答案】D

【解析】因?yàn)閹譕SA=4G-COS8）,根據(jù)正弦定理得

sinBcos/\=>/3sin/I-sinAcosB，

移項(xiàng)得sinAcosA+sinAcos3=&sinA,

即sin（A+8）=V5sinA,即sinC=V5sinA,

則根據(jù)正弦定理有c=Ga=26.

故選:D.

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對角；.

大角求小角一解（銳）

兩解一sinA<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一（一解一sinA=l（直角）

無角軍一sinA>1

（3）兩邊一對角，求第三邊.

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例4.（2023?全國-高三專撅練習(xí)）已知.A3C的內(nèi)角A,3,C所對的功分別為a也。滿足力2+/一〃？=/“且

A.2B.3

C.4D.2N/3

【答案】A

【解析】由題尸+/-4=兒，.?.COSA=2土=^=生=’,

2bc2bc2

乃b_a

乂0<A<乃，A=—,sinBsinA6，

D----

2

故選:A.

例5.（2023?河南?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在AA8c中，角4爪C的對邊分別為。也c,若

sinBsinC

tanA=則4=()

sin2B+sin2C-sin2A

A.三B.JC.g或充D.g或4

346633

【答案】C

be

【解析】由正弦定理，得tanA=h^-7,

h~+c~-a~

e,s.sinAbe

又b~+c~-a~=20ccosA,所以----=—-------,

cosA2bccosA

所以sinA=g,因?yàn)锳e(0,;r),所以A=2或苧，

266

故選：C.

例6.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sinA=sin8,且

c2=2a2(l+sinC),則。=()

冗一兀n八3幾

A.-B.-C.-D.—

6434

【答案】D

【解析】因?yàn)閟inA=sii由，由正弦定理有a=0,

根據(jù)余弦定理有c2=a1+b2-2abcoaC=2cr-2a2cosC,

且c2=2^z2(I+sinC),故有sinC=-cosC,HPtanC=-l,

又Ce（O㈤,所以C=亍.

故選：D.

變式6.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在AABC中，角A,B,。的對邊分別為小b,

I11

,a2+b2=3c?2,則)

tanAtanBtanC

A.0B.IC.2D.-j

【答案】A

［解析］由余弦定理以及/+b2=3c2可得：2他cosC=2c2=sinAsinBcosC=sin?Cn嘩=.，丫

sinCsinAsin8

乂在三角形中有sin(A+B)=sinC,即sin(A+3)=sinAcos3+cosAsin3,

cosCsinAcosL+cosAsinBcosBcosA

所以--------1--------

sinCsinAsinBsinBsinA

111

------+----------------=0.

tanAtanBtanC

故選:A.

變式7.（2023唉國侑三專題練N）在.ABC中，角AB,C的對邊分別為，，Ac,且『+造=當(dāng)

bcsinC

則2,的值為（）

A.1B.V3C.—D.2

2

【答案】A

?A,>4.r-fecosBcosCsinA

【解析】因?yàn)橐?一+----=「;，

bcsinC

所以，由正弦定理與余弦定理得1+d一、=@,化簡得力=i

2abe2abcc

故選：A

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

>0,則AABC為銳角三角形

若余弦值、=0,則AABC為直角三角形.

<0,則AABC為鈍角三角形

題型三；判斷三角形的形狀

例7.（2023?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）在.ABC中內(nèi)角ABC的對邊分別為a,若,=sinAcxM,則人肥

b~sin8cosA

的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

,2222212

【解析】由正弦定理,余弦定理及娟Sin2=〃cosgsia4得."?」.《廠+1

2bc2ac

a2（Z?2+c2-a2）=b-（a1+/-⑹，即/一"+/打一片）=0,

則W+/）（〃2）+<2僅2_°2）=0,即卜/一力2乂/+力2_。2）=0,

.?.。=力或/+b1=c）.；ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

例8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在.ABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,且c-0cosA<0,

則MAC形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】c-Z?cosA<0,

所以由正弦定理可得2RsinC-2/?sinBcosA<0

所以sinC-sin3cosA<0,

所以sin（A+8）-sinAcosA<0,

所以sinAcoscosAsin8—sin8cosA<0,

所以sinAcos4<0,

在三角形中sinA>。

所以cos8v0,

所以8為鈍角，

故選：C.

例9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在A4c中，若空若二十二,貝IJ工6c的形狀為（）

c?cosBl-coszC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

b-cosC_sinB-cosC_1-cos2B_2sin2B

【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知,

c-cosBsinCcosB1-cos2C2sin2C

即cos'=sin',整理為sinAcosB=sinCcosC,

cosBsinC

BP-sin2B=-sin2C,得28=2C,或28+2C=180=8+C=90,

22

所以MAC的形狀為等腰三角形或直角三角形.

故選:D

變式8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè).的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,若從=c?+/一以，

且siiiA=2siuC,貝ij「A6c的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

22

［解析】因?yàn)榉?=/+/_ca-c+a-IcacosB,

所以cos3=L

2

又Bw（0,兀），所以3=鼻,

因?yàn)閟inA=2sinC,由正弦定理得a=2c,

貝ljb2=c2+a2-ca=c2+4c2-2c2=3c2，

則從+c2=a2，

所以54C為有一個(gè)角為g的直角三角形.

故選：B.

變式9.（2023?河南周口?高三?？茧A段練習(xí)）已知工BC的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為。，4c.若

sin2A+csinA=sinAsinB+/>sinC?則該三角形的形狀一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.銳角三角形

【答案】C

【解析】因?yàn)閟in,A+csin4=sinAsinB+bsinC,

由正弦定理/二=工=三=2寵（2寵為.A3C外接圓的直徑），

sinAsinBsine

—rm〃?Aab.、ic

可"$---sinA+---c=---sinA-^-b----,

2R2R2R2R

所以a（sinA+c）=>（sinA+c）.

又因?yàn)閟inA+c>0,所以“=〃.即/BC為等腰三角形.

故選:C

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè).工6。的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

/cosAsinB=/『sinAcos8,則4?C的形狀為（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

【答案】B

[解析】由a，cosAsinB=b2sinAcosB彳導(dǎo)a'bcosA=ab'cosB=>acosA=bcosB=sinAcosA=sin8cosB,

由二倍角公式可得sin2A=sin28=>2A=2B+2履或24+2B=n+2lat,keZ,

由于在ABC,Ae(O,兀),540㈤、所以A=4或4+8=9，故0AAe為等腰三角形或直角三角形

故選:B

變式11.(2023?北京?高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,

若/cosAsin8=6sinAcos8，則ABC的形狀為()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【解析】已知等式利用正弦定理億簡得:ba'cosA=ab~cosB?

整理得：acosA=〃cosB.HPsinAcosA=sin7?cosB,

/.2sin4cosA=2sin“cosB,即sin2A=sin2B,

sm[(A+B)+(A-B)]=sin[(A+B)-(A-B)],

sin(A+B)cos(A—B)+cos(A+^)sin(.4—A)=sin(A+B)cos(A—B)—cos(A+A)sin(A—B)

.,.cos(A+B)sin(A-8)=(),

?jO<A+8<兀,-it<A-B<TI,

則A=8或A+8=],即A4c為等腰三角形或直角三角形.

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

(1)求最大角的余弦，判斷八43。是銳角、直角還是鈍角三角形.

(2)用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

題型四：正、余弦定理與的綜合

例10.(2023?河南南陽?統(tǒng)考二模)銳角AAC是單位圓的內(nèi)接二角形.角A.8,C的對邊分別為a也c.

且a2+Z?2-c2=4?2COSA-2?ccosB,則a等于()

A.2B.2>/2C.GD.1

【答案】C

【解析】由/+/J?-/=442cosA-cosB,

2.22

zn.a~+b~-c~_.

得b----------------=2acosA-ccosBD,

lab

由余弦定理，可得bcosC=2acosA-ccosB,

又由正弦定理，可得sinBcosC=2sinAcosA-sinCeos

所以sinBcosC+sinCcos4=sin(6+C)=sinA=2sinAcosA,

得cosA=g,又所以4=所以sin4=

又，一=」-=，一=2r=2,

所以a=,

sinAsinBsinC

故選：C

例H.（2023?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在/AC中，角A,B,C所對的邊分別為“，

absh\AabsinB

b,c------1-----=-a2+b2-c2.

2sinB2sin>4

(1)求證：0<C<p

⑵若一■—=---+---,求coM.

lanBtaiiAtanC

absinAabsinB

【解析】（1）在，ABC中，因?yàn)?=a2+b2-c2

2sin52sinA

由正弦定理可得包+包=/+6一/,化簡可得上宜=c2,

2b2a2

22

2『a+b

由余弦定理可得「a2+b2-c2a+b—一廠a2+b22ab1,當(dāng)忖僅當(dāng)〃=力時(shí)取等號(hào)，所以

cosC=----------=-----------——=------>----=—

2ab2ab4ab4ab2

cosC>^-,因?yàn)榻?。是，ABC的內(nèi)角，所以0<CV7T,

2

所以

,一、,111cosAcosCsinCcosA+cosCsinA

(2)由----=----+----=-----+-----=--------------------

tan8taaAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(C+A)sinBcos8.sin2Bb1

=---------=---------=-----,則cosB=---------=—,

sinAsin。sinAsinCsinBsinAsinCac

Hn+c——h~b~山I、［22c,2T?+b~,

即---------=一，所以C「+C-=3/r,又------=c~,

lacac2

所以b=金嗎正c,在.NBC中，由余弦定理可得,

22

,+c-er

cosA=----------,A______4

2bc7^/F-~6,

2c---c

2

例12.(2023?重慶統(tǒng)考三模)已知/3C的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為。、〃、c,sin(A-B)tanC=sinAsinB.

⑴求一

2

(2)若cos8=—,求sinA.

3

【解析】(1)因?yàn)閟in(A—0tanC=sinAsin4,

所以sin(A-4)^^=sinAsinB,所以sin(A-B)sinC=sinAsin8cosc,

cosC

即sinAcos^?sinC-cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定叫!可得accosB-becosA=abcosC,

由余弦理可得ac------------------he-----------------=ab-----------------,

lac2bclab

所以"2+。2_/?2_力2_c2+a2=a>+//一02,

即/+。2=3從，

所以《_芋1=3.

b-

(2)由題意可知cos5=《i^二Q=2,又/+°2=3必，可得/+02-2衣=0,

2ac3

所以〃=c,即，人BC為等腰三角形，

由8$4=2(：032g-1='1,解得cos」=或cos0=-^^，

232626

因?yàn)?40,小,所以裊(0,外,所以cos&=畫，

I2)2I4J26

麗n...(兀"IB標(biāo)

所以sinA=sin-------=cos—=--------.

U2)26

變式12.(2023?山東濱州?統(tǒng)考二模)已知..AbC的三個(gè)角A,B,C的對邊分別為。，。，c,且

2cos(8-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(B+C).

(1)若3=C,求A；

(2)求幺「的值.

a'

【解析】(1)若8=c,則cos(3-c)=l.

因?yàn)?cos(8-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(3+C).

所以2cosA+cos2A=1+28s(乃一/l)cosA,

2cosA+2cos24-1=1-2COS2A,

整理得2cos?A+cosA-1=0.

解得cosA=-l(舍)，cosA=-,

因?yàn)?e(O㈤，所以A

(2)|i]2COS(B-C)cosA+cos2A=1+2cosAcos(B+C).

所以2cos(B-C)cosA-2cosAcos(B+C)=1-cos2A

2[cos(8-C)-cos(3+C)]coS=1-cos2A,

2[cos8cosC+sinBsinC-(cosBcosC-sinBsinC)]cosA=1-cos2A

整理得2sinHsinGcosA=sin?八

rh正弦定理得2bccosA=a2，

由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA=a2,

即6+。2=2/,

所以以±=2.

a-

變式13.(2023?全國?高三專題練習(xí))在A8C中，(a+c)(sinA-sinC)=b(s\n>4-sinB),則NC=()

【答案】B

【解析】因?yàn)?+c)(sinA-sinC)=仇sinA-sinB),

所以由正弦定理得3+。)(…)=b(a-b),即。2一/=〃力一〃,

a24-Z72-c2_ab_1

則下+濟(jì)一H=ab,故cosC=

lab~2^b~2

又OvCv兀，所以C=1.

故選:B.

變式14.(2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在JAC中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是小b,c,若ABC

的面積是由Q±6,則A=(

)

4

n八2兀_5兀

A.—B.——D.—

336

【答案】A

222

【解析】由余弦定理可得；Z?+C-?=2Z?CCOSA4C(0,7C)

由條件及正弦定理可得：

1\/3(b2+c2-a2}75

S=—hcsinA=——---------------=——becosA?

242

所以tanA=G,則A=1.

J

故選：A

變式15.(2023?全國?校聯(lián)考三模)已知mb,。分別為，AAC的內(nèi)角4B,。的對邊,

a~+c~=ac\3cos~---sin~一

I22

（1）求證：a，b,。成等比數(shù)歹|J；

Q）若而震正T求C的值.

fnD>

【解?析】（1）因?yàn)?。~+c~=ac［女?！猻irr不

X，乙）

,,->oJ1+cosB1-cos打、

所以a-+c-=ac(3x----------------I.

所以a?+/=ac(\+2cos8).

根據(jù)余弦定理，得/+。2=。。1+2、此6二2],

I2")

所以M+c?=ac+a2+c2-b1.

所以從=?！?

所以mb,c成等比數(shù)列.

(2)由余弦定理，得cosB='+:一—=?+i-*=L

2ac2aclac2

因?yàn)楦卟苷齌所以由正弦定理，得號(hào)3

4

I411

所以cosZ?——x—

232-6

變式16.（2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在以4c中，角A,B,C所對的

邊分別為〃，b,c,已知csin」B+^C=〃sinC

*)

⑴求角A的大小;

(2)若。=1,sinB=與，求邊c及cos(23+A)的值.

【解析】（1）因?yàn)閏sin空工=〃sinC,可得csin|^Y^)=ccos3="sinC,

2

A

所以由正弦定理可得sinCeos—=sinAsinC,

2

又。為三角形內(nèi)角，sinC/0,

所以cos—=sin4=2sin—cos—,

222

A(ITcos^>0,

因?yàn)锳w(0,7t),—€0,—

所以嗚4可得咎,

所以A=g:

J

（2）因?yàn)锳=g,Z?=l?sinB=?

J7

2廠

所以由正弦定理號(hào)=號(hào)，可得。=與篙=二旨=曰>"

sinAsinBs,n,{v212

~n~

所以8為銳角，cosB=>/l-sin2B=>sin28=2sinBcosB=4",cos2B=2cos2B-\=^-,

777

由余弦定理/=b'+/-2Z;ccosA,可得：=l+c2-2xlxcxg,

整理可得4/-4c-3=0,解得c=（或-J（舍去），

22

所以cos（28+A）=cos28cosA-sin2BsinA=-^xi-x等=一卷.

【解題方法總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

方向1:距離問題

例13.（2023?全國-高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1）,其主體建筑

采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“8”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的

科技創(chuàng)新.如圖2,為了測量科技館最高點(diǎn)人與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測得點(diǎn)A

和點(diǎn)8的俯角分別為75。，30。，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)。，此時(shí)測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分

別為45。和60。（A,B,C,。在同一鉛垂面內(nèi)），則A,8兩點(diǎn)之間的距離為米.

【答案】100后

【解析】由題意，ZDCfi=30,ZCDB=60,所以NC3D=90,

所以在RtZXCBO中，BD=^CZ)=300,BC=—CD=300x/3，

22

乂NZ)CA=75,NCOA=45