2025年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之四邊形（二）一．選擇題（共2小題）1．（2025?瀘州）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE上的點，且DF＝DC，則AF的長為（）A．2109 B．2105 C．2．（2025?自貢）如圖，正方形ABCD邊長為6，以對角線BD為斜邊作Rt△BED，∠E＝90°，點F在DE上，連接BF．若2BE＝3DF，則BF的最小值為（）A．6 B．62?5 C．35 D．45二．填空題（共18小題）3．（2025?揚(yáng)州）若多邊形的每個內(nèi)角都是140°，則這個多邊形的邊數(shù)為．4．（2025?長沙）如圖，五邊形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，則∠A+∠E＝．5．（2025?北京）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，CF⊥BE，垂足為F．若AB＝1，∠EBC＝30°，則△ABF的面積為．6．（2025?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件，使平行四邊形ABCD為菱形．7．（2025?吉林）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則∠F的大小為度．8．（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形ABCD中，AB＝45，對角線BD的長為16，E是AD的中點，F(xiàn)是BD上一點，連接EF．若BF＝3，則EF的長為．9．（2025?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，作點C關(guān)于直線EF的對稱點P，若PE⊥AC，則CF的長為．10．（2025?天津）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E在邊BC上，且EC＝2BE．（Ⅰ）線段AE的長為；（Ⅱ）F為CD的中點，M為AF的中點，N為EF上一點，若∠FMN＝75°，則線段MN的長為．11．（2025?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．動點M，N分別在邊AB，AD上，且AM＝AN，以MN為邊作等邊△MNP，使點P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．當(dāng)△MNP的面積最大時，DN的長為．12．（2025?湖北）一個矩形相鄰兩邊的長分別為2，m，則這個矩形的面積是．13．（2025?河北）平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為n．若n為整數(shù)，則n的值可以為．（寫出一個即可）14．（2025?湖南）如圖，圖1為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，圖2為其窗框的示意圖，多邊形ABCDEFGH為正八邊形，連接AC，BD，AC與BD交于點M，∠AMB＝．15．（2025?新疆）如圖，在?ABCD中．∠BCD的平分線交AB于點E，若AD＝2，則BE＝．16．（2025?福建）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)．若OA＝2，OD＝1，則△AOE與△DOF的面積之和為．17．（2025?江西）如圖，創(chuàng)意圖案中間空白部分為正多邊形，該正多邊形的內(nèi)角和為度．18．（2025?眉山）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上運動（不與點A、D重合），∠CDP＝45°，點F在射線DP上，且AE：DF＝1：2，連接BF，交CD于點G，連接EB、EF、EG．下列結(jié)論：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面積最大值是2；④若AE=13AD，則點G是線段19．（2025?山東）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．點P為邊AC上異于A的一點，以PA，PB為鄰邊作?PAQB，則線段PQ的最小值是．20．（2025?云南）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O．若AC＝6，BD＝5，則菱形ABCD的面積是．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之四邊形（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共2小題）題號12答案BD一．選擇題（共2小題）1．（2025?瀘州）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE上的點，且DF＝DC，則AF的長為（）A．2109 B．2105 C．【考點】正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】過點D作DQ⊥CE交CE于點P，交BC于點Q，過點F作MN⊥AB于點M，交CD于點N，先求出CE=5，證明△BCE和△CDQ全等得CE＝DQ=5，BE＝CQ＝1，證明△CPQ和△CBE相似得CP=255，PQ=55，則DP=455，F(xiàn)P＝CP=255，CF=455，EF=55，再證明四邊形BCMN是矩形得MN＝【解答】解：過點D作DQ⊥CE交CE于點P，交BC于點Q，過點F作MN⊥AB于點M，交CD于點N，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠DCB＝90°，CD∥AB，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE=12在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=B∴∠DCP+∠BCE＝90°，∵DQ⊥CE，∴∠CDQ+∠DCP＝90°，∴∠BCE＝∠CDQ，在△BCE和△CDQ中，∠BCE=∠CDQBC=CD∴△BCE≌△CDQ（ASA），∴CE＝DQ=5，BE＝CQ∵DQ⊥CE，∠B＝90°，∴∠CPQ＝∠B＝90°，又∵∠PCQ＝∠BCE，∴△CPQ∽△CBE，∴CPBC∴CP2∴CP=255，∴DP＝DQ﹣PQ=5∵DF＝DC，DQ⊥CE，∴FP＝CP=2∴CF＝FP+CP=4∴EF＝CE﹣CF=5∵CD∥AB，MN⊥AB，∴MN⊥CD，∴∠MNC＝∠DCB＝∠B＝90°，∴四邊形BCMN是矩形，∴MN＝BC＝2，由三角形的面積公式得：S△DCF=12CD?FN=12∴12∴FN=8∴FM＝MN﹣FN=2?8在Rt△EFM中，由勾股定理得：EM=E∴AM＝AE+EM=1+1在Rt△AFM中，由勾股定理得：AF=A故選：B．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．2．（2025?自貢）如圖，正方形ABCD邊長為6，以對角線BD為斜邊作Rt△BED，∠E＝90°，點F在DE上，連接BF．若2BE＝3DF，則BF的最小值為（）A．6 B．62?5 C．35 D．45【考點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】D【分析】過點F作EF的垂線，過點D作BD的垂線，兩垂線交于點M，構(gòu)造△MDF∽△DBE，求出MD，取MD中點為O，得到點F在以O(shè)圓心，半徑為22的圓上運動，連接OB，當(dāng)F在線段OB上時，即O、F、B三點共線時，BF取得最小值，即可解答．【解答】解：∵2BE＝3DF，∴BEDF如圖，過點F作EF的垂線，過點D作BD的垂線，兩垂線交于點M，∴∠FMD＝∠EDB，∴△MDF∽△DBE，∴BDMD∵正方形ABCD邊長為6，∴BD=DC2∴MD＝42，取MD中點為O，∴OD＝22，∴點F在以O(shè)圓心，半徑為22的圓上運動，連接OB，OF，在Rt△BDO中，OB=OD2當(dāng)F在線段OB上時，即O、F、B三點共線時，BF取得最小值，∵OF+BF≥BO，∴BF≥OB﹣OF＝45?22故選：D．【點評】本題考查了正方形與三角形綜合．熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共18小題）3．（2025?揚(yáng)州）若多邊形的每個內(nèi)角都是140°，則這個多邊形的邊數(shù)為9．【考點】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力．【答案】9．【分析】先根據(jù)多邊形的一個內(nèi)角與它相鄰的外角的和為180°，求出多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°，求出邊數(shù)即可．【解答】解：∵多邊形的每個內(nèi)角都是140°，∴多邊形的每個外角都是180°﹣140°＝40°，∴這個多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°＝9，故答案為：9．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練多邊形的外角和為360°．4．（2025?長沙）如圖，五邊形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，則∠A+∠E＝205°．【考點】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力．【答案】205°．【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，從而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根據(jù)已知條件求出答案即可．【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°，故答案為：205°．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理．5．（2025?北京）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，CF⊥BE，垂足為F．若AB＝1，∠EBC＝30°，則△ABF的面積為38【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】38【分析】過點F分別作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，垂足為M，N，連接AM，則∠FMC＝90°，先根據(jù)平行線間的距離處處相等得出FN＝BM，繼而得出S△ABF＝S△ABM，通過解直角三角形得出BM=BC?CM=3【解答】解：過點F分別作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，垂足為M，N，連接AM，則∠FMC＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FMC，∴AB∥FM，∴FN＝BM，∵S△ABF=1∴S△ABF＝S△ABM，∵CF⊥BE，垂足為F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，∴∠BFC＝90°，CF=1∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CM=1∴BM=BC?CM=3∴S△ABF故答案為：38【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2025?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件AC⊥BD（答案不唯一），使平行四邊形ABCD為菱形．【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）．【分析】由菱形的判定方法，即可判斷．【解答】解：∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴添加一個條件AC⊥BD，使平行四邊形ABCD為菱形．故答案為：AC⊥BD（答案不唯一）．【點評】本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，四條邊都相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．7．（2025?吉林）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則∠F的大小為36度．【考點】多邊形內(nèi)角與外角；對頂角、鄰補(bǔ)角；三角形內(nèi)角和定理．【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力．【答案】36．【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC＝∠BCD=(5?2)×180°5=108°，然后再根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)，可得：∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，即可求出∠FBC，∠BCF【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝∠BCD=(5?2)×180°∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣72°﹣72°＝108°﹣72°＝36°．故答案為：36．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和公式，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形ABCD中，AB＝45，對角線BD的長為16，E是AD的中點，F(xiàn)是BD上一點，連接EF．若BF＝3，則EF的長為85．【考點】菱形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】85．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，由勾股定理可求AO的長，通過證明△EGD∽△AOD，可求EG=12AO＝2，DG=【解答】解：如圖，連接AC交BD于O，過點E作EG⊥BD于G，∵四邊形ABCD是菱形，對角線BD的長為16，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，∴AO=A∵E是AD的中點，∴AD＝2DE，∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴△EGD∽△AOD，∴EGAO∴EG=12AO＝2，DG=∵BF＝3，∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9，∴EF=E故答案為：85．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2025?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，作點C關(guān)于直線EF的對稱點P，若PE⊥AC，則CF的長為3或9．【考點】矩形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．【答案】3或9．【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，連接PC，交直線EF于點G，延長PE交AC于點H，當(dāng)點P在AC上方時，由勾股定理求出CD=63進(jìn)而得到CE=12CD=33由點C關(guān)于直線EF的對稱點P，得到PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，進(jìn)而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE=12（180°﹣∠PEC）＝30°，證明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH=92，進(jìn)而求解；當(dāng)點P在AC下方時，先求出\∠CEP＝60°，CH=92，結(jié)合對稱的性質(zhì)易證△CEP是等邊三角形，易求EH＝PH=【解答】解：如圖所示，連接PC，交直線EF于點G，延長PE交AC于點H，當(dāng)點P在AC上方時，∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12，CD=A點E是邊CD的中點，∴CE=1∵點C關(guān)于直線EF的對稱點P，∴PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CEH＝∠CAD＝60°，∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，∴∠CPE=∠PCE=1∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，∴∠CPE＝∠EFC＝30°，∴△CEF是等腰三角形，CH=FH=1在Rt△CEH中，CE=33∠HCE＝30°，CH＝CE?cos∠HCE＝33×∴CF＝2CH＝9；如圖，當(dāng)點P在AC下方時，∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°，CH＝CE?cos∠ACD＝33×由對稱的性質(zhì)得PE＝CE，∴△CEP是等邊三角形，∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝33，∴∠HEF＝30°，EH=PH=12PE=∴CF＝CH﹣HF＝3；綜上，CF的長為3或9．故答案為：3或9．【點評】本題考查了對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．10．（2025?天津）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E在邊BC上，且EC＝2BE．（Ⅰ）線段AE的長為5；（Ⅱ）F為CD的中點，M為AF的中點，N為EF上一點，若∠FMN＝75°，則線段MN的長為153【考點】矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）153【分析】（Ⅰ）求出BE＝1，由勾股定理可求AE的長；（Ⅱ）由SAS可證△ABE≌△ECF，可得AE＝EF=5，∠BAE＝∠CEF，由等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求MN【解答】解：（Ⅰ）∵EC＝2BE，BC＝3，∴BE＝1，EC＝2，∴AE=A故答案為：5；（Ⅱ）如圖，過點M作MH⊥EF于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，∵F為CD的中點，∴CF＝DF＝1，∴BE＝CF＝1，AB＝EC＝2，∴△ABE≌△ECF（SAS），∴AE＝EF=5，∠BAE＝∠CEF∴∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CEF+∠AEB，∴∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠AFE＝45°，AF=2EF=∵M(jìn)為AF的中點，∴MF=10∵M(jìn)H⊥EF，∴∠MFH＝45°＝∠FMH，MH＝HF=5∵∠FMN＝75°，∴∠NMH＝30°，∴MN=MH故答案為：153【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．11．（2025?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．動點M，N分別在邊AB，AD上，且AM＝AN，以MN為邊作等邊△MNP，使點P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．當(dāng)△MNP的面積最大時，DN的長為5．【考點】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】5．【分析】由題意可得AM＝AN，MP＝NP，則點P在AH上運動，由點P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．則AP的最大值為AH的長，通過證明△ABH是等邊三角形，可得AB＝AH＝6，即可求解．【解答】解：如圖，連接AP，交BC于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等邊三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面積=34MP∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS），∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP=3AM，AP＝2AM∴MP=32∴△MNP的面積=3316∴當(dāng)AP最大時，△MNP的面積的面積最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝AH＝6，∵AM＝AN，MP＝NP，∴點P在AH上運動，∵點P始終在?ABCD的內(nèi)部或邊上．∴AP的最大值為AH的長，即AP＝6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識點，確定點P的軌跡是解題的關(guān)鍵．12．（2025?湖北）一個矩形相鄰兩邊的長分別為2，m，則這個矩形的面積是2m．【考點】矩形的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【答案】2m．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積，根據(jù)矩形的面積是長x寬即可解答．【解答】解：根據(jù)題意可得矩形的面積是2m，故答案為：2m．【點評】該題考查了列代數(shù)式，正確列出式子是解題的關(guān)鍵．13．（2025?河北）平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為n．若n為整數(shù)，則n的值可以為2或3或4或5或6．（寫出一個即可）【考點】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；運算能力．【答案】2或3或4或5或6．【分析】由平行四邊形兩個鄰邊長分別為3和4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求得它的一條對角線長n的取值范圍．【解答】解：如圖，∵平行四邊形兩個鄰邊長分別為3和4，∴它的一條對角線長n的取值范圍是：4﹣3＜n＜4+3，即它的一條對角線長L的取值范圍是：1＜n＜7．∴n＝2或3或4或5或6．故答案為：2或3或4或5或6．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系．此題比較簡單，注意掌握三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．14．（2025?湖南）如圖，圖1為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，圖2為其窗框的示意圖，多邊形ABCDEFGH為正八邊形，連接AC，BD，AC與BD交于點M，∠AMB＝45°．【考點】多邊形內(nèi)角與外角；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】45°．【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可．【解答】解：如圖，設(shè)正八邊形的外接圓的圓心為O，∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠AOB＝∠COD=360°∴∠AMB＝∠ACB+∠CBD=12∠AOB+＝45°．故答案為：45°．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的關(guān)鍵．15．（2025?新疆）如圖，在?ABCD中．∠BCD的平分線交AB于點E，若AD＝2，則BE＝2．【考點】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力．【答案】2．【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得BC＝AD＝2，AB∥CD，則∠DCE＝∠BEC，再根據(jù)CE平分∠BCD得∠BCE＝∠DCE，進(jìn)而得∠BCE＝∠BEC，然后根據(jù)“等角對等邊”即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AD＝2，∴BC＝AD＝2，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，理解“等角對等邊”是解決問題的關(guān)鍵．16．（2025?福建）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)．若OA＝2，OD＝1，則△AOE與△DOF的面積之和為1．【考點】菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】1．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面積＝△BOE的面積，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DO＝BO＝1，CD∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴△DOF的面積＝△BOE的面積，∴△AOE與△DOF的面積之和＝△BOA的面積=1故答案為：1．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的面積，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2025?江西）如圖，創(chuàng)意圖案中間空白部分為正多邊形，該正多邊形的內(nèi)角和為720度．【考點】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力．【答案】720．【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：觀察圖形可知：該正多邊形是正六邊形，∴該正多邊形的內(nèi)角和為：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°．故答案為：720．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式．18．（2025?眉山）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上運動（不與點A、D重合），∠CDP＝45°，點F在射線DP上，且AE：DF＝1：2，連接BF，交CD于點G，連接EB、EF、EG．下列結(jié)論：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面積最大值是2；④若AE=13AD，則點G是線段CD的中點．其中正確結(jié)論的序號是【考點】正方形的性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】①③④．【分析】①在AB上截取AH＝AE，連接EH，設(shè)AE＝a，DF=2a，則AH＝AE＝a，HE=2a，∠BHE＝∠EDF＝135°，BH＝ED，由此可依據(jù)“SAS”判定△BHE和△EDF全等，則BE＝FE，∠HBE＝∠FED，再證明∠FED+∠AEB＝90°得∠BEF＝90°，由此得△BEF是等腰直角三角形，則∠BFE＝∠FBE＝45°，進(jìn)而得sin∠BFE＝sin45°②過點B作BM⊥BF，交DA的延長線于點M，證明△BAM和△BCG全等得AM＝CG，BM＝BG，則AE+CG＝ME，證明∠MBE＝FBE＝45°，進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定△MBE和△GBE全等，則ME＝EG，由此得AE+CG＝EG，據(jù)此可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；③過點F作FN⊥AD，交AD的延長線于點N，由（1）知設(shè)AE＝a，DF=2a，則ED＝4﹣a，證明△NDF是等腰直角三角形得DN＝FN＝a，進(jìn)而得△DEF的面積S=12(4?a)?a=?12④設(shè)CG＝x，則DG＝4﹣x，根據(jù)AE=13AD=43得DE=83，由②知AE+CG＝EG=x+43，在Rt△DEG中，由勾股定理得(x+4【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，連接EH，如圖1所示：∵AE：DF＝1：2，∴設(shè)AE＝a，DF=2∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AH＝AE＝a，∴△AHE是等腰直角三角形，∴∠AEH＝∠AHE＝45°，∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°，由勾股定理得：HE=A∴HE＝DF，∵∠CDP＝45°，∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°，∴∠BHE＝∠EDF＝135°，∵AB＝AD，AH＝AE，∴AB﹣AH＝AD﹣AE，即BH＝ED，在△BHE和△EDF中，HE=DF∠BHE=∠EDF△BHE≌△EDF（SAS），∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED，∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°，∴∠FED+∠BEH＝45°，∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°，即∠FED+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FBE＝45°，∴sin∠BFE＝sin45°=2故結(jié)論①正確；②過點B作BM⊥BF，交DA的延長線于點M，如圖2所示：∴∠MBF＝∠ABC＝90°，∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC，∴∠MBA＝∠GBC，∵∠BAD＝∠C＝90°，∴∠BAM＝∠C＝90°，在△BAM和△BCG中，∠MBA=∠GBCAB=CB∴△BAM≌△BCG（SAS），∴AM＝CG，BM＝BG，∴AE+CG＝AE+AM＝ME，∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°，∴∠ABE+∠GBC＝45°，∴∠ABE+∠MBA＝45°，即∠MBE＝45°，∴∠MBE＝FBE＝45°，在△MBE和△GBE中，BM=BG∠MBE=FBE∴△MBE≌△GBE（SAS），∴ME＝EG，∴AE+CG＝EG，故結(jié)論②不正確；③過點F作FN⊥AD，交AD的延長線于點N，如圖3所示：由（1）可知：設(shè)AE＝a，DF=2∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a，∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°，∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°，∴△NDF是等腰直角三角形，∴DN＝FN，由勾股定理得：DF=DN2∴DN＝FN=22DF=∴△DEF的面積S=12DE?FN整理得：S=?1∴當(dāng)a＝2時，S為最大，最大值為2，故結(jié)論③正確；④設(shè)CG＝x，則DG＝CD﹣CG＝4﹣x，∵AE=13AD∴DE＝AD﹣AE=4?4由②可知：AE+CG＝EG，∴EG=x+4在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2，∴(x+4解得：x＝2，∴CG＝2，∴DG＝4﹣x＝2，∴CG＝DG＝2，∴點G是線段CD的中點，故結(jié)論④正確，綜上所述：正確結(jié)論的序號是①③④．故答案為：①③④．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．19．（2025?山東）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．點P為邊AC上異于A的一點，以PA，PB為鄰邊作?PAQB，則線段PQ的最小值是4.8．【考點】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】4.8．【分析】過M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由勾股定理求出AC＝10，由平行四邊形的性質(zhì)推出AM=12AB＝3，PQ＝2PM，得到MN：8＝3：10，求出MN＝2.4，由PM≥MN，得到PQ≥2MN＝4.8，即可求出【解答】解：如圖，過M作MN⊥AP于N，∴∠ANM＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴MN：BC＝AM：AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵四邊形PAQB是平行四邊形，∴AM=12AB＝3，PQ＝2∴MN：8＝3：10，∴MN＝2.4，∵PM≥MN，∴PQ≥2MN＝4.8，∴PQ的最小值是4.8．故答案為：4.8．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)推出PQ＝2PM，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由垂線段最短得到PM≥MN．20．（2025?云南）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O．若AC＝6，BD＝5，則菱形ABCD的面積是15．【考點】菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】15．【分析】菱形面積=12ab（a、【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝5，∴菱形ABCD的面積=12AC?BD故答案為：15．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的面積公式．

考點卡片1．對頂角、鄰補(bǔ)角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角．（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（5）鄰補(bǔ)角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補(bǔ)角有兩個．鄰補(bǔ)角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．6．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．7．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．9．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外