2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之銳角三角函數(shù)（二）一．解答題（共20小題）1．（2025?天津）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津站附近世紀(jì)鐘建筑AB的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②所示，點(diǎn)A，E，C依次在同一條水平直線上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部B的仰角為22°，在F處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部B的仰角為31°，CE＝32m．根據(jù)該學(xué)習(xí)小組測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算世紀(jì)鐘建筑AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．2．（2025?湖北）如圖，甲、乙兩棟樓相距30m，從甲樓A處看乙樓頂部B的仰角為35°，A到地面的距離為18m，求乙樓的高．（參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.7）3．（2025?山西）項(xiàng)目學(xué)習(xí)項(xiàng)目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個(gè)景點(diǎn)，主體設(shè)計(jì)包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見(jiàn)底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測(cè)量與計(jì)算”開(kāi)展項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成了如下活動(dòng)報(bào)告．項(xiàng)目主題景物的測(cè)量與計(jì)算驅(qū)動(dòng)問(wèn)題如何測(cè)量?jī)?nèi)欄墻圍成泉池的直徑活動(dòng)內(nèi)容利用視圖、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算活動(dòng)過(guò)程方案說(shuō)明圖1為該景點(diǎn)俯視圖的示意圖，點(diǎn)A，D是正八邊形中一組平行邊的中點(diǎn)，BC為圓的直徑，圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上．圖2為測(cè)量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，外欄墻AE與DF均與水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的寬，BE＝CF．圖中各點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．?dāng)?shù)據(jù)測(cè)量在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)C的俯角分別為∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．圖中墻的厚度均忽略不計(jì)．計(jì)算…交流展示…請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．4．（2025?新疆）某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下：實(shí)驗(yàn)主題測(cè)量?；盏母叨裙ぞ邷?zhǔn)備測(cè)角儀，卷尺等實(shí)驗(yàn)過(guò)程1．站在與教學(xué)樓底部A同一水平地面的B處，由于大樹(shù)CD的遮擋，視線恰能看到懸掛的?；枕敳縀處（此時(shí)F，C，E三點(diǎn)在同一直線上）；2．測(cè)量A，D兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)間的距離；3．用測(cè)角儀測(cè)得從眼睛F處看校徽頂部E處的仰角∠EFG；4．向后退至點(diǎn)H處時(shí)，視線恰能看到校徽底部M處（此時(shí)N，C，M三點(diǎn)在同一直線上），測(cè)量B，H兩點(diǎn)間的距離；5．用測(cè)角儀測(cè)得從眼睛N處看校徽底部M處的仰角∠MNG．實(shí)驗(yàn)圖示測(cè)量數(shù)據(jù)1．AD＝4m2．BD＝10m3．BH＝13.5m4．∠EFG＝43°5．∠MNG＝21.8°備注1．圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；2．AE，CD，F(xiàn)B，NH均與地面垂直．參考數(shù)據(jù)：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．請(qǐng)你根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)過(guò)程和測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算校徽的高度EM的值．5．（2025?湖南）如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱AB和CD分別垂直地面水平線l于點(diǎn)B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在點(diǎn)A，C之間的晾衣繩上有固定掛鉤E，AE＝13分米，一件連衣裙MN掛在點(diǎn)E處（點(diǎn)M與點(diǎn)E重合），且直線MN⊥l．（1）如圖1，當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)N剛好接觸到地面水平線l時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離EG等于12分米，求該連衣裙MN的長(zhǎng)度；（2）如圖2，為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤F處再掛一條長(zhǎng)褲（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），若∠BAE＝76.1°，求此時(shí)該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線l的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）6．（2025?宜賓）如圖，扇形OPN為某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)內(nèi)的投擲區(qū)，PN所在圓的圓心為O，A、B、N、O在同一直線上．直線AP與PN所在⊙O相切于點(diǎn)P，此時(shí)測(cè)得∠PAO＝45°；從點(diǎn)A處沿AO方向前進(jìn)8.0米到達(dá)B處．直線BQ與PN所在⊙O相切于點(diǎn)Q，此時(shí)測(cè)得∠QBO＝60°．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，（1）求圓心角∠PON的度數(shù)；（2）求PN的弧長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1米）．7．（2025?威海）小明同學(xué)計(jì)劃測(cè)量小河對(duì)面一幢大樓的高度AB．測(cè)量方案如圖所示：先從自家的陽(yáng)臺(tái)點(diǎn)C處測(cè)得大樓頂部點(diǎn)B的仰角∠1的度數(shù)，大樓底部點(diǎn)A的俯角∠2的度數(shù)．然后在點(diǎn)C正下方點(diǎn)D處，測(cè)得大樓頂部點(diǎn)B的仰角∠3的度數(shù)．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大樓的高度AB．（精確到1m）．參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1．8．（2025?甘肅）如圖1，位于嘉峪關(guān)的長(zhǎng)城第一墩，又稱天下第一墩，是明代萬(wàn)里長(zhǎng)城最西端的一座墩臺(tái)，始建于明嘉靖十八年（1539年）．該墩臺(tái)雄踞于討賴河峽谷的懸崖之上，扼守絲綢之路咽喉要道，與嘉峪關(guān)關(guān)城、懸壁長(zhǎng)城共同構(gòu)成河西走廊的軍事防御體系．隨著歲月的變遷和自然的風(fēng)化，長(zhǎng)城第一墩的高度在慢慢降低．為了解長(zhǎng)城第一墩的現(xiàn)存高度．某校同學(xué)們開(kāi)展了“測(cè)量長(zhǎng)城第一墩高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng)．如圖2是他們測(cè)量長(zhǎng)城第一墩高度AB的示意圖，點(diǎn)A為最高點(diǎn)，點(diǎn)B、F，D是地面同一直線上的三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)D，F(xiàn)都在保護(hù)柵欄外），在D，F(xiàn)處分別用測(cè)角儀測(cè)得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（測(cè)角儀的高度），DF＝CE＝5.5m，求長(zhǎng)城第一墩的高度AB（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）9．（2025?山東）【問(wèn)題情境】2025年5月29日“天問(wèn)二號(hào)”成功發(fā)射，開(kāi)啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3D打印完成，如圖1．【問(wèn)題提出】部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)一個(gè)可以得到l的長(zhǎng)度的方案，以檢測(cè)該部件中l(wèi)的長(zhǎng)度是否符合要求．【方案設(shè)計(jì)】興趣小組通過(guò)查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法．測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．操作步驟：如圖3，將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D．用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC′的長(zhǎng)度y．【問(wèn)題解決】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的長(zhǎng)度要求是1.9cm～2.1cm．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測(cè)得y＝7.52cm．根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該部件l的長(zhǎng)度是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)：3≈【結(jié)果反思】（3）本次實(shí)踐過(guò)程借助圓柱將不可測(cè)量的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長(zhǎng)度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫(xiě)出一個(gè)；如果不能，說(shuō)明理由．10．（2025?安徽）某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營(yíng)造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段AB和CD表示，彩帶用線段AD表示．工作人員在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的俯角為23.8°，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的長(zhǎng)（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．11．（2025?煙臺(tái)）【綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過(guò)往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)10海里的速度向碼頭A航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西14°方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔B北偏東53°方向的C處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔B東北方向的D處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭A附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請(qǐng)注意防范．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）求漁船在航行過(guò)程中到燈塔B的最短距離；（2）若不改變航行速度，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明漁船能否在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭A（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．12．（2025?廣安）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖，O，C是同一水平線上的兩點(diǎn)，無(wú)人機(jī)從O點(diǎn)豎直上升到A點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的俯角為30°，A，C兩點(diǎn)的距離為24m．無(wú)人機(jī)繼續(xù)豎直上升到B點(diǎn)，在B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的俯角為36.9°．求無(wú)人機(jī)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的上升高度AB（結(jié)果精確到0.1m）．（點(diǎn)O，A，B，C在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，3≈1.7313．（2025?連云港）如圖，港口B位于島A的北偏西37°方向，燈塔C在島A的正東方向，AC＝6km，一艘海輪D在島A的正北方向，且B、D、C三點(diǎn)在一條直線上，DC=52（1）求島A與港口B之間的距離；（2）求tanC．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°14．（2025?內(nèi)江）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃測(cè)量?jī)?nèi)江麻柳壩大橋橋塔AD的高度（如圖甲）．他們?cè)O(shè)計(jì)了如下方案：如圖乙，點(diǎn)B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測(cè)得橋塔頂部A的仰角（∠ABD）為45°，在C處測(cè)得橋塔頂部A的仰角（∠ACD）為30°，又測(cè)得BC＝80m，AD⊥BC，垂足為D，求橋塔AD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．15．（2025?遂寧）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)得摩天輪的高度CF，在A處用高為1.6米的測(cè)角儀AD測(cè)得摩天輪頂端C的仰角α＝37°，再向摩天輪方向前進(jìn)30米至B處，又測(cè)得摩天輪頂端C的仰角β＝50°．求摩天輪CF的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）16．（2025?涼山州）某型號(hào)起重機(jī)吊起一貨物M在空中保持靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，貨物M與點(diǎn)O的連線MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，結(jié)果精確到1米）（1）求直吊臂OB的長(zhǎng)；（2）直吊臂OB與BM的長(zhǎng)度保持不變，OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OBM＝36°時(shí)，貨物M上升了多少米？17．（2025?成都）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量校園西門A與東門B之間的距離．如圖，無(wú)人機(jī)從西門A處垂直上升至C處，在C處測(cè)得東門B的俯角為30°，然后沿AB方向飛行60米到達(dá)D處，在D處測(cè)得西門A的俯角為63.4°．求校園西門A與東門B之間的距離．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈18．（2025?重慶）為加強(qiáng)森林防火，某林場(chǎng)采用人工瞭望與無(wú)人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測(cè)森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺(tái)，某一時(shí)刻，觀測(cè)到甲無(wú)人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無(wú)人機(jī)位于A的南偏西30°方向20千米的D處．兩無(wú)人機(jī)同時(shí)飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，5≈（1）求BD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）甲、乙兩無(wú)人機(jī)同時(shí)分別從B，D出發(fā)沿BC，DC往C處進(jìn)行巡視，乙無(wú)人機(jī)速度為甲無(wú)人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無(wú)人機(jī)相距20千米時(shí)，它們可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．請(qǐng)問(wèn)甲無(wú)人機(jī)飛離B處多少千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？19．（2025?白云區(qū)校級(jí)三模）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍(lán)，水更清，蓮花湖管委會(huì)定期利用無(wú)人機(jī)指引工作人員清理湖中垃圾，已知無(wú)人機(jī)懸停在湖面上的C處，工作人員所乘小船在A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為30°，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行30米到達(dá)B處，測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為45°，求無(wú)人機(jī)離湖面的高度．（結(jié)果不取近似值）20．（2025?瀘州）如圖，在水平地面上有兩座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．從A，B之間的E點(diǎn)（A，E，B在同一水平線上）測(cè)得D點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°，從C點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角為30°．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求建筑物AD的高度（計(jì)算過(guò)程和結(jié)果中的數(shù)據(jù)不取近似值）．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之銳角三角函數(shù)（二）參考答案與試題解析一．解答題（共20小題）1．（2025?天津）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津站附近世紀(jì)鐘建筑AB的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②所示，點(diǎn)A，E，C依次在同一條水平直線上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部B的仰角為22°，在F處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部B的仰角為31°，CE＝32m．根據(jù)該學(xué)習(xí)小組測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算世紀(jì)鐘建筑AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】世紀(jì)鐘建筑AB的高度約為40m．【分析】延長(zhǎng)DF與AB相交于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得DG∥CA，得出DF＝1.7m，在Rt△FGB中，tan∠GFB=GBGF，可得GF=GBtan31°．在Rt△DGB中，tan∠GDB=GBGD，可得GD=GB【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DF與AB相交于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得四邊形GAEF和四邊形FECD是矩形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°，∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m，在Rt△FGB中，tan∠GFB=GB∴GF=GB在Rt△DGB中，tan∠GDB=GB∴GD=GB∵GF+DF＝GD，∴GBtan31°∴GB=32×tan22°tan31°∴AB＝AG+GB≈1.7+38.4≈40（m），答：世紀(jì)鐘建筑AB的高度約為40m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2025?湖北）如圖，甲、乙兩棟樓相距30m，從甲樓A處看乙樓頂部B的仰角為35°，A到地面的距離為18m，求乙樓的高．（參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.7）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】39m．【分析】過(guò)A作AC⊥BC于C，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)A作AC⊥BC于C，則∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，AC＝30m，∴BC＝AC?tan35°≈30×0.7＝21（m），∴乙樓的高＝21+18＝39（m）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2025?山西）項(xiàng)目學(xué)習(xí)項(xiàng)目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個(gè)景點(diǎn)，主體設(shè)計(jì)包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見(jiàn)底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測(cè)量與計(jì)算”開(kāi)展項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成了如下活動(dòng)報(bào)告．項(xiàng)目主題景物的測(cè)量與計(jì)算驅(qū)動(dòng)問(wèn)題如何測(cè)量?jī)?nèi)欄墻圍成泉池的直徑活動(dòng)內(nèi)容利用視圖、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算活動(dòng)過(guò)程方案說(shuō)明圖1為該景點(diǎn)俯視圖的示意圖，點(diǎn)A，D是正八邊形中一組平行邊的中點(diǎn)，BC為圓的直徑，圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上．圖2為測(cè)量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，外欄墻AE與DF均與水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的寬，BE＝CF．圖中各點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．?dāng)?shù)據(jù)測(cè)量在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)C的俯角分別為∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．圖中墻的厚度均忽略不計(jì)．計(jì)算…交流展示…請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題；正多邊形和圓．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】?jī)?nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)約為17米．【分析】根據(jù)題意可得：EF＝AD＝26，AD∥EF，從而可得∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，然后設(shè)BE＝CF＝x米，則CE＝（26﹣x）米，BC＝（26﹣2x）米，分別在Rt△ABE和Rt△ACE中，利用銳角三角函的定義求出AE的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：EF＝AD＝26，AD∥EF，∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，設(shè)BE＝CF＝x米，則CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=AE∴AE＝BE?tan∠ABE＝x?tan37°，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=AE∴AE＝CE?tan∠ACE＝（26﹣x）?tan8.5°，∴x?tan37°＝（26﹣x）?tan8.5°，解得：x≈13∴BC=26?2×13答：內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)約為17米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，正多邊形和圓，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2025?新疆）某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下：實(shí)驗(yàn)主題測(cè)量?；盏母叨裙ぞ邷?zhǔn)備測(cè)角儀，卷尺等實(shí)驗(yàn)過(guò)程1．站在與教學(xué)樓底部A同一水平地面的B處，由于大樹(shù)CD的遮擋，視線恰能看到懸掛的校徽頂部E處（此時(shí)F，C，E三點(diǎn)在同一直線上）；2．測(cè)量A，D兩點(diǎn)和B，D兩點(diǎn)間的距離；3．用測(cè)角儀測(cè)得從眼睛F處看?；枕敳縀處的仰角∠EFG；4．向后退至點(diǎn)H處時(shí)，視線恰能看到?；盏撞縈處（此時(shí)N，C，M三點(diǎn)在同一直線上），測(cè)量B，H兩點(diǎn)間的距離；5．用測(cè)角儀測(cè)得從眼睛N處看校徽底部M處的仰角∠MNG．實(shí)驗(yàn)圖示測(cè)量數(shù)據(jù)1．AD＝4m2．BD＝10m3．BH＝13.5m4．∠EFG＝43°5．∠MNG＝21.8°備注1．圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)；2．AE，CD，F(xiàn)B，NH均與地面垂直．參考數(shù)據(jù)：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．請(qǐng)你根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)過(guò)程和測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算?；盏母叨菶M的值．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】2.02m．【分析】由題意得，四邊形FGAB，四邊形NHAG為矩形，則FG＝AB＝AD+BD＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝27.5m，然后分別解Rt△EFG求出EG，解Rt△MNG求出MG，再由EM＝EG﹣MG即可求解．【解答】解：由題意得，四邊形FGAB，四邊形NHAG為矩形，∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m，∵在Rt△EFG中，tan∠EFG=EG∴tan43°=EG∴EG＝14×0.93＝13.02m，在Rt△MNG中，tan∠MNG=MG∴tan21.8=MG∴MG＝1lm，∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m，答：校徽的高度約為2.02m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確找到直角三角形進(jìn)行解直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2025?湖南）如圖，某處有一個(gè)晾衣裝置，固定立柱AB和CD分別垂直地面水平線l于點(diǎn)B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在點(diǎn)A，C之間的晾衣繩上有固定掛鉤E，AE＝13分米，一件連衣裙MN掛在點(diǎn)E處（點(diǎn)M與點(diǎn)E重合），且直線MN⊥l．（1）如圖1，當(dāng)該連衣裙下端點(diǎn)N剛好接觸到地面水平線l時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離EG等于12分米，求該連衣裙MN的長(zhǎng)度；（2）如圖2，為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤F處再掛一條長(zhǎng)褲（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），若∠BAE＝76.1°，求此時(shí)該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線l的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）該連衣裙MN的長(zhǎng)度為14分米；（2）該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線l的距離約為2分米．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，在Rt△AGM中利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，得到AB長(zhǎng)，即可得到結(jié)果；（2）結(jié)合圖形，在Rt△AGM中利用三角函數(shù)求出AK，可求出BK，即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵由題可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，∴AG=1∵AB＝19分米，∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），∴MN＝BG＝14（分米），∴該連衣裙MN的長(zhǎng)度為14分米；（2）如圖2，過(guò)M作MK⊥AB于K，∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，∴AK＝AM?cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），∵AB＝19分米，∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），∴該連衣裙下端N點(diǎn)到地面水平線l的距離約為2分米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2025?宜賓）如圖，扇形OPN為某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)內(nèi)的投擲區(qū)，PN所在圓的圓心為O，A、B、N、O在同一直線上．直線AP與PN所在⊙O相切于點(diǎn)P，此時(shí)測(cè)得∠PAO＝45°；從點(diǎn)A處沿AO方向前進(jìn)8.0米到達(dá)B處．直線BQ與PN所在⊙O相切于點(diǎn)Q，此時(shí)測(cè)得∠QBO＝60°．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，（1）求圓心角∠PON的度數(shù)；（2）求PN的弧長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1米）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；圓周角定理；切線的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】（1）45°；（2）24.1m．【分析】（1）由圓的切線的性質(zhì)得到∠APO＝90°，再由直角三角形銳角互余即可求解；（2）先解Rt△BQO，設(shè)BQ＝x，BO＝2x，OQ=OP=3x，再解Rt△APO，得到3x【解答】解：（1）∵直線AP與PN所在⊙O相切于點(diǎn)P，∴∠APO＝90°，∵∠PAO＝45°，∴∠PON＝90°﹣∠PAO＝45°；（2）∵直線BQ與PN所在⊙O相切于點(diǎn)Q，∴∠BQO＝90°，∵∠QBO＝60°，∴cos∠QBO=cos60°=BQ設(shè)BQ＝x，BO＝2x，∴OQ=OP=B∵AB＝8.0m，∴AO＝AB+BO＝（8.0+2x）m，∵在Rt△APO中，∠A＝45°，∴sinA=sin45°=PO∴3x解得：x=(46∴OP=3∴PN的弧長(zhǎng)為：45π×(122答：PN的弧長(zhǎng)為24．lm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，圓的切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．（2025?威海）小明同學(xué)計(jì)劃測(cè)量小河對(duì)面一幢大樓的高度AB．測(cè)量方案如圖所示：先從自家的陽(yáng)臺(tái)點(diǎn)C處測(cè)得大樓頂部點(diǎn)B的仰角∠1的度數(shù)，大樓底部點(diǎn)A的俯角∠2的度數(shù)．然后在點(diǎn)C正下方點(diǎn)D處，測(cè)得大樓頂部點(diǎn)B的仰角∠3的度數(shù)．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大樓的高度AB．（精確到1m）．參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】大樓的高度AB約為21m．【分析】過(guò)C作CG⊥AB于G，過(guò)D作DH⊥AB于H，則四邊形CDHG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG＝AG，設(shè)CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)C作CG⊥AB于G，過(guò)D作DH⊥AB于H，則四邊形CDHG是矩形，∴GH＝CD＝10m，CG＝DH，∵∠1＝45°，∴CG＝BG，設(shè)AH＝xm，∴AG＝（x+10），在Rt△ACG中，∵∠2＝52°，∴CG=AGtan52°∴BG＝CG=10+x1.3∴BH＝AB﹣AH＝（10+x1.3+10）在Rt△BDH中，∠3＝65°，∴tan65°=BH∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1，∴AB＝BH+AH≈21（m）．答：大樓的高度AB約為21m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2025?甘肅）如圖1，位于嘉峪關(guān)的長(zhǎng)城第一墩，又稱天下第一墩，是明代萬(wàn)里長(zhǎng)城最西端的一座墩臺(tái)，始建于明嘉靖十八年（1539年）．該墩臺(tái)雄踞于討賴河峽谷的懸崖之上，扼守絲綢之路咽喉要道，與嘉峪關(guān)關(guān)城、懸壁長(zhǎng)城共同構(gòu)成河西走廊的軍事防御體系．隨著歲月的變遷和自然的風(fēng)化，長(zhǎng)城第一墩的高度在慢慢降低．為了解長(zhǎng)城第一墩的現(xiàn)存高度．某校同學(xué)們開(kāi)展了“測(cè)量長(zhǎng)城第一墩高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng)．如圖2是他們測(cè)量長(zhǎng)城第一墩高度AB的示意圖，點(diǎn)A為最高點(diǎn)，點(diǎn)B、F，D是地面同一直線上的三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)D，F(xiàn)都在保護(hù)柵欄外），在D，F(xiàn)處分別用測(cè)角儀測(cè)得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（測(cè)角儀的高度），DF＝CE＝5.5m，求長(zhǎng)城第一墩的高度AB（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】長(zhǎng)城第一墩的高度AB約為8.3m．【分析】根據(jù)題意可得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m，然后設(shè)EG＝xm，則CG＝（x+5.5）m，分別在Rt△ACG和Rt△AEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m，設(shè)EG＝xm，∵CE＝DF＝5.5m，∴CG＝CE+EG＝（x+5.5）m，在Rt△ACG中，∠ACG＝16.7°，∴AG＝CG?tan16.7°≈0.3（x+5.5）m，在Rt△AEG中，∠AEG＝22°，∴AG＝EG?tan22°≈0.4x（m），∴0.4x＝0.3（x+5.5），解得：x＝16.5，∴AG＝0.4x＝6.6（m），∴AB＝AG+BG＝6.6+1.7≈8.3（m），∴長(zhǎng)城第一墩的高度AB約為8.3m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2025?山東）【問(wèn)題情境】2025年5月29日“天問(wèn)二號(hào)”成功發(fā)射，開(kāi)啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3D打印完成，如圖1．【問(wèn)題提出】部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)一個(gè)可以得到l的長(zhǎng)度的方案，以檢測(cè)該部件中l(wèi)的長(zhǎng)度是否符合要求．【方案設(shè)計(jì)】興趣小組通過(guò)查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法．測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．操作步驟：如圖3，將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D．用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC′的長(zhǎng)度y．【問(wèn)題解決】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的長(zhǎng)度要求是1.9cm～2.1cm．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測(cè)得y＝7.52cm．根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該部件l的長(zhǎng)度是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)：3≈【結(jié)果反思】（3）本次實(shí)踐過(guò)程借助圓柱將不可測(cè)量的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長(zhǎng)度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫(xiě)出一個(gè)；如果不能，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；由三視圖判斷幾何體；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）∠OAB＝30°；（2）該部件的長(zhǎng)度符合要求；（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理求解即可；（2）解直角三角形求得AB=OBtan30°=（3）能，將圓柱換成正方體．【解答】解：（1）∵⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D，∴AB＝AD，∠OAB=∠OAD=1（2）∵鋼柱的底面圓半徑為1cm，∴BC＝OB＝1，∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，∴AB=OB∴AC=BC+AB=1+3同理A′C′=1+3∴l(xiāng)=7.52?2(1+3∵1.9＜2.06＜2.1，該部件l的長(zhǎng)度符合要求；（3）能，將圓柱換成正方體．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理，解直角三角形的應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2025?安徽）某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營(yíng)造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段AB和CD表示，彩帶用線段AD表示．工作人員在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的俯角為23.8°，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的長(zhǎng)（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】AD的長(zhǎng)約為37.5m．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：四邊形ABCE為矩形，從而可得CE＝AB＝13.20m，然后先在Rt△ACE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，由題意得：四邊形ABCE為矩形，所以CE＝AB＝13.20m，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE所以AE=CEtan∠CAE=在Rt△ADE中，cos∠DAE=AE所以AD=AEcos∠DAE=因此，AD的長(zhǎng)約為37.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．（2025?煙臺(tái)）【綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過(guò)往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)10海里的速度向碼頭A航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西14°方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔B北偏東53°方向的C處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔B東北方向的D處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭A附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請(qǐng)注意防范．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）求漁船在航行過(guò)程中到燈塔B的最短距離；（2）若不改變航行速度，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明漁船能否在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭A（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】（1）漁船在航行過(guò)程中到燈塔B的最短距離為15海里；（2）不改變航行速度，漁船能在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭A．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，設(shè)BE＝x，根據(jù)題意得出EC＝ED+DC＝x+5，解Rt△BCE，得出EC=4（2）求得AE的距離，計(jì)算AC的距離，根據(jù)路程除以速度得到航行時(shí)間，結(jié)合題意，即可求解．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，設(shè)BE＝x，依題意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×1∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x，∴EC＝ED+DC＝x+5，在Rt△BCE中，EC=BE∴43解得：x＝15，∴漁船在航行過(guò)程中到燈塔B的最短距離為15海里；（2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15，∴AE＝BE?tan14°≈15×0.25＝3.75，∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75，23.75÷10＝2.375小時(shí)＝142.5分鐘，從14：30，經(jīng)過(guò)142.5分鐘是16：52：30，在17：30之前到達(dá)，∴不改變航行速度，漁船能在濃霧到來(lái)前到達(dá)碼頭A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2025?廣安）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖，O，C是同一水平線上的兩點(diǎn)，無(wú)人機(jī)從O點(diǎn)豎直上升到A點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的俯角為30°，A，C兩點(diǎn)的距離為24m．無(wú)人機(jī)繼續(xù)豎直上升到B點(diǎn)，在B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的俯角為36.9°．求無(wú)人機(jī)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的上升高度AB（結(jié)果精確到0.1m）．（點(diǎn)O，A，B，C在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，3≈1.73【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題；含30度角的直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】無(wú)人機(jī)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的上升高度AB約為3.6m．【分析】根據(jù)題意可得：DB∥AE∥CO，從而可得∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°，然后在Rt△ACO中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出AO和CO的長(zhǎng)，再在Rt△BCO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BO的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：DB∥AE∥CO，∴∠DBC＝∠BCO＝36.9°，∠EAC＝∠ACO＝30°，在Rt△ACO中，AC＝24m，∴AO=12AC＝12（m），CO=3AO＝123在Rt△BCO中，BO＝CO?tan36.9°≈123×0.75＝93（m∴AB＝BO﹣AO＝93?12≈3.6（m∴無(wú)人機(jī)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的上升高度AB約為3.6m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，含30度角的直角三角形，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2025?連云港）如圖，港口B位于島A的北偏西37°方向，燈塔C在島A的正東方向，AC＝6km，一艘海輪D在島A的正北方向，且B、D、C三點(diǎn)在一條直線上，DC=52（1）求島A與港口B之間的距離；（2）求tanC．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】（1）4km；（2）tanC=8【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD，垂足為M，證明△BDM∽△CDA，得出BMCA=BDCD，結(jié)合DC=52BD，AC（2）在Rt△ABM中，利用三角函數(shù)求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出DMAD=BDCD=【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD，垂足為M，∵AC⊥AD，∴BM∥AC，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA∵DC=52BD，AC∴BM6得BM=12在Rt△ABM中，由sin∠BAD=sin37°=BM得AB＝4，答：島A與港口B之間的距離為4km；（2）在Rt△ABM中，AM=AB×cos37°≈4×4∵△BDM∽△CDA，∴DMAD∴AD=5在Rt△ADC中，tanC=AD【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，能根據(jù)DC=514．（2025?內(nèi)江）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃測(cè)量?jī)?nèi)江麻柳壩大橋橋塔AD的高度（如圖甲）．他們?cè)O(shè)計(jì)了如下方案：如圖乙，點(diǎn)B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測(cè)得橋塔頂部A的仰角（∠ABD）為45°，在C處測(cè)得橋塔頂部A的仰角（∠ACD）為30°，又測(cè)得BC＝80m，AD⊥BC，垂足為D，求橋塔AD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】橋塔AD的高度為（403?40）m【分析】設(shè)AD＝xm，解Rt△ABD得到BD＝xm，解Rt△ACD得到CD=3xm，再由BC＝BD+CD＝80m，得到x+3【解答】解：設(shè)AD＝xm，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD=ADtan∠ABD=在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD=ADtan∠ACD=∵BC＝BD+CD＝80m，∴x+3x解得x＝403?∴AD＝（403?40）m答：橋塔AD的高度為（403?40）m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2025?遂寧）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)得摩天輪的高度CF，在A處用高為1.6米的測(cè)角儀AD測(cè)得摩天輪頂端C的仰角α＝37°，再向摩天輪方向前進(jìn)30米至B處，又測(cè)得摩天輪頂端C的仰角β＝50°．求摩天輪CF的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】摩天輪CF的高度約為62.5米．【分析】連接DE，延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)G，設(shè)CG＝xm，在Rt△CEG中，利用tanβ=CGEG求出EG，然后在Rt△CDG中，利用tanα=CG【解答】解：連接DE，延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)G，∴DG⊥CF，∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，∴四邊形DEBA和四邊形EGFB是矩形，∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m，設(shè)CG＝xm，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ=CG∴EG=CG∴DG＝DE+EG＝30+x在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα=CG∴x30+解得x≈60.85，經(jīng)檢驗(yàn)x是方程的解，∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m），答：摩天輪CF的高度約為62.5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2025?涼山州）某型號(hào)起重機(jī)吊起一貨物M在空中保持靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，貨物M與點(diǎn)O的連線MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，結(jié)果精確到1米）（1）求直吊臂OB的長(zhǎng)；（2）直吊臂OB與BM的長(zhǎng)度保持不變，OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OBM＝36°時(shí)，貨物M上升了多少米？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；矩形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）10米；（2）5米，【分析】（1）根據(jù)OB=MBsin∠BOM，即可解Rt△（2）記旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，M′，延長(zhǎng)B′M′交OM于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥B′F于點(diǎn)E，可得四邊形EFMB為矩形，則BM＝EF＝3米，在Rt△BOF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M，求出B′F，再由M′F＝B′F﹣B′M′，即可求解．【解答】解：（1）由題意得，BM⊥OM，∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米，∴在Rt△BOM中，OB=MB答：直吊臂OB的長(zhǎng)為10米；（2）如圖，記旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，M′，延長(zhǎng)B′M′交OM于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥B′F于點(diǎn)E，則∠BEF＝90°，由題意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10米，∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°，∴四邊形EFMB為矩形，∴BM＝EF＝3米，在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米），∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米），∴貨物M上升了5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，正確理解題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2025?成都）在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量校園西門A與東門B之間的距離．如圖，無(wú)人機(jī)從西門A處垂直上升至C處，在C處測(cè)得東門B的俯角為30°，然后沿AB方向飛行60米到達(dá)D處，在D處測(cè)得西門A的俯角為63.4°．求校園西門A與東門B之間的距離．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】校園西門A與東門B之間的距離為207.6米．【分析】根據(jù)題意，易得，∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，分別解Rt△ACD，Rt△ABC，進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意，得：∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60米，在Rt△ACD中，AC＝CD?tan63.4°≈120米；在Rt△ABC中，AB=AC答：校園西門A與東門B之間的距離為207.6米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2025?重慶）為加強(qiáng)森林防火，某林場(chǎng)采用人工瞭望與無(wú)人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測(cè)森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．A是瞭望臺(tái)，某一時(shí)刻，觀測(cè)到甲無(wú)人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，乙無(wú)人機(jī)位于A的南偏西30°方向20千米的D處．兩無(wú)人機(jī)同時(shí)飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，5≈（1）求BD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）甲、乙兩無(wú)人機(jī)同時(shí)分別從B，D出發(fā)沿BC，DC往C處進(jìn)行巡視，乙無(wú)人機(jī)速度為甲無(wú)人機(jī)速度的2倍．當(dāng)兩無(wú)人機(jī)相距20千米時(shí)，它們可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．請(qǐng)問(wèn)甲無(wú)人機(jī)飛離B處多少千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】（1）BD的長(zhǎng)度約為26.5千米；（2）甲無(wú)人機(jī)飛離B處3.8千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于F，由題意得，∠DAE＝30°，解Rt△ADE得到AE=103千米，DE＝10千米，證明四邊形AEFB是矩形，得到EF＝AB＝10千米，BF=AE=103千米，得到DF＝DE+EF＝20千米，再利用勾股定理即可求出（2）當(dāng)甲無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到M，乙無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到M時(shí)，此時(shí)滿足MN＝20千米，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥CD于T，由題意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，解Rt△FBC得到BC＝20千米，CF＝10千米，則CD＝DF+CF＝30千米，設(shè)BM＝x千米，則DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，解Rt△CMT得到CT＝（10﹣2x）千米，MT=(103?32x)【解答】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于F，∴∠AED＝∠BFC＝90°，由題意得，∠DAE＝30°，在Rt△ADE中，AE=AD?cos∠DAE=20?cos30°=103DE＝AD?sin∠DAE＝20?sin30°＝10（千米），∵無(wú)人機(jī)位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴AB∥CD，∴AE⊥AB，BF⊥AB，∴四邊形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10千米，BF=AE=103∴DF＝DE+EF＝20千米，∴BD=D答：BD的長(zhǎng)度約為26.5千米；（2）如圖所示，當(dāng)甲無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到M，乙無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，此時(shí)滿足MN＝20千米，過(guò)點(diǎn)M作MT⊥CD于T，由題意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°，在Rt△FBC中，BC=BFCF=BF∴CD＝DF+CF＝30千米，設(shè)BM＝x千米，則DN＝2x千米，CM＝（20﹣x）千米，在Rt△CMT中，CT=CM?cos∠MCT=(20?x)?cos60°=(10?1MT＝CM?sin∠MCT＝（20﹣x）?sin60°＝（103?∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10?12x）＝（20?在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2，∴20∴x=15?55或x=15+55（此時(shí)大于∴BM=15?55答：甲無(wú)人機(jī)飛離B處3.8千米時(shí)，兩無(wú)人機(jī)可以開(kāi)始相互接收到信號(hào)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2025?白云區(qū)校級(jí)三模）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍(lán)，水更清，蓮花湖管委會(huì)定期利用無(wú)人機(jī)指引工作人員清理湖中垃圾，已知無(wú)人機(jī)懸停在湖面上的C處，工作人員所乘小船在A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為30°，當(dāng)工作人員沿正前方向劃行30米到達(dá)B處，測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為45°，求無(wú)人機(jī)離湖面的高度．（結(jié)果不取近似值）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】無(wú)人機(jī)離湖面的高度為（153+【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BD＝x米，則AD＝（x+30）米，然后分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BD＝x米，∵AB＝x米，∴AD＝AB+BD＝（x+30）米，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝AD?tan30°=33（在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD?tan45°＝x（米），∴x=33（解得：x＝153+∴CD＝（153+∴無(wú)人機(jī)離湖面的高度為（153+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．（2025?瀘州）如圖，在水平地面上有兩座建筑物AD，BC，其中BC＝18m．從A，B之間的E點(diǎn)（A，E，B在同一水平線上）測(cè)得D點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°，從C點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角為30°．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求建筑物AD的高度（計(jì)算過(guò)程和結(jié)果中的數(shù)據(jù)不取近似值）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【答案】（1）45°；（2）建筑物AD的高度為（27+93）m．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，根據(jù)題意可得：CF∥AB，從而可得∠FCE＝∠CEB＝30°，進(jìn)而可得：∠DCE＝60°，再利用平角定義可得：∠DEC＝75°，然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，垂足為G，根據(jù)題意可得：AF＝BC＝18m，在Rt△EBC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出CE的長(zhǎng)，再在Rt△CEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG和EG的長(zhǎng)，然后在Rt△BEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長(zhǎng)，從而求出CD的長(zhǎng)，最后Rt△DFC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出DF的長(zhǎng)，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，由題意得：CF∥AB，∴∠FCE＝∠CEB＝30°，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝∠DCF+∠FCE＝60°，∵∠AED＝75°，∴∠DEC＝180°﹣∠AED﹣∠CEB＝75°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝45°；（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，垂足為G，由題意得：AF＝BC＝18m，在Rt△EBC中，BC＝18m，∠CEB＝30°，∴CE＝2BC＝36（m），在Rt△CEG中，∠ECD＝60°，∴CG＝CE?cos60°＝36×12=18（m），EG＝CE?sin60°＝36×32在Rt△BEG中，∠EDG＝45°，∴DG=EGtan45°=183∴CD＝CG+DG＝（18+183）m，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF=12CD＝（9+93）∴AD＝AF+DF＝18+9+93=（27+93）m∴建筑物AD的高度為（27+93）m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．2．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．②由勾股定理