2025年中考數學真題知識點分類匯編之銳角三角函數（一）一．選擇題（共4小題）1．（2025?深圳）如圖為人行天橋的示意圖，若高BC長為10米，斜道AC長為30米，則sinA的值為（）A．223 B．3 C．242．（2025?廣西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，則sinB＝（）A．710 B．37 C．3103．（2025?云南）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，則sinA＝（）A．15 B．112 C．1134．（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO平移，得到△EFG，點E，F(xiàn)在坐標軸上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），則點A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）二．填空題（共7小題）5．（2025?綏化）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC的比），堤壩高BC＝15m，則迎水坡面AB的長度是．6．（2025?內蒙古）如圖，因地形原因，湖泊兩端A，B的距離不易測量，某科技小組需要用無人機進行測量，他們將無人機上升并飛行至距湖面90m的點C處，從C點測得A點的俯角為60°，測得B點的俯角為30°（A，B，C三點在同一豎直平面內），則湖泊兩端A，B的距離為m（結果保留根號）．7．（2025?河北）2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，活動主題為“抓早抓小抓關鍵，更快降低近視率”．如圖是一幅眼肌運動訓練圖，其中數字1﹣12對應的點均勻分布在一個圓上，數字0對應圓心．圖中以數字0～12對應的點為端點的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長為．（參考數據：sin15°=6?2眼肌運動訓練圖使用方法：以0，1，2，3，…的順序沿著箭頭方向移動眼球．移動一圈后再回到原點，反復進行．8．（2025?浙江）無人機警戒在高速公路場景中的應用，是我國低空經濟高質量發(fā)展的重要實踐方向．如圖，在高速公路上，交警在A處操控無人機巡查，無人機從點A處飛行到點P處懸停，探測到它的正下方公路上點B處有汽車發(fā)生故障．測得A處到P處的距離為500m，從點A觀測點P的仰角為α，cosα＝0.98，則A處到B處的距離為m．9．（2025?揚州）如圖1，棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．將此正方體放在坡角為α的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其主視圖如圖2所示，則tanα＝．10．（2025?眉山）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具．如圖，若AB、AC的長都為2m，當α＝65°時，人字梯頂端離地面的高度是m．（結果精確到0.1m，參考依據：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）11．（2025?上海）如圖，某公司安裝了一個人臉打卡器，AB是高2.7m的門框，某人CD高1.8m，只有當∠CAB＝53°時，他才能開門，那么BD長為．（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小數）三．解答題（共4小題）12．（2025?長沙）如圖，某景區(qū)內兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上．為了進一步提升景區(qū)品質，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D．經測得景點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30°方向上，景點B位于景點D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度數；（2）求景點C與景點D之間的距離．（結果保留根號）13．（2025?廣東）綜合與實踐【閱讀材料】如圖1，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊長分別為a，b，c，則有asinA【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中A，B兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用洲距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖2，在空曠地找一點C；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得∠A≈43°，∠B≈51°；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC≈341m，AC≈388.5m．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結論計算A，B兩島間的距離．（參考數據：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）【評價反思】（2）設計其他方案計算A，B兩島間的距離．要求：選用【方案設計】中的工具，寫出你的方案和所用的數學知識．14．（2025?吉林）綜合與實踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹人中學的3D打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數據．項目報告表時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3D打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺灰?實施任務一測量數據以下是測得的相關數據，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高CD＝1.4m．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角∠ACE＝61°．3．測出測角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB＝42m．任務二計算實際高度根據上述測得的數據，計算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結果精項到1m）（參考數據：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任務三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打即模型的高度約為cm．（結果精確到1cm）項目結果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數據請結合上表中的測量草圖和相關數據，幫助該社團完成任務二和任務三．15．（2025?陜西）小涵和小宇想測量公園山坡上一個信號桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測量．測量示意圖如圖所示，他們在坡面FB上的點D處安裝測角儀DE，測得信號桿頂端A的仰角α為45°，DE與坡面的夾角β為72.5°，又測得點D與信號桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE＝1.7m，點A，B，C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號桿的高AB．（參考數據：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）

2025年中考數學真題知識點分類匯編之銳角三角函數（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）題號1234答案DBDB一．選擇題（共4小題）1．（2025?深圳）如圖為人行天橋的示意圖，若高BC長為10米，斜道AC長為30米，則sinA的值為（）A．223 B．3 C．24【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據正弦三角函數的概念，結合圖形，可得到結果．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米，∴sinA=BC故選：D．【點評】本題考查了正弦三角函數的應用，熟練掌握正弦三角函數的概念是解題的關鍵．2．（2025?廣西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，則sinB＝（）A．710 B．37 C．310【考點】銳角三角函數的定義．【專題】解直角三角形及其應用；模型思想．【答案】B【分析】直接利用正弦的定義求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB=AC故選：B．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義：熟練掌握正弦的定義是解決問題的關鍵．3．（2025?云南）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，則sinA＝（）A．15 B．112 C．113【考點】銳角三角函數的定義．【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀．【答案】D【分析】根據正弦的定義即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，∴sinA=BC故選：D．【點評】本題考查銳角三角函數定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．4．（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO平移，得到△EFG，點E，F(xiàn)在坐標軸上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），則點A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）【考點】解直角三角形；坐標與圖形變化﹣平移．【專題】一次方程（組）及應用；平面直角坐標系．【答案】B【分析】過點A作AH⊥y軸，作BK⊥AH交HA的延長線于點K，證明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OAAB，根據點A的坐標，結合tan∠ABO的值，求出BK【解答】解：過點A作AH⊥y軸，作BK⊥AH交HA的延長線于點K，則∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO，∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO，∴△AHO∽△BKA，∴AHBK∴∠A＝90°，tan∠ABO=12，∴OH＝3，AH＝4，OAAB∴4BK∴BK＝8，AK＝6，∵將△ABO平移，∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，∴E（6，0），∴將點A先向右平移10個單位，再向下平移3個單位得到點E，∴將點O（0，0）先向右平移10個單位，再向下平移3個單位得到點G，∴G（10，﹣3）；故選：B．【點評】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質，坐標與圖形變換一平移，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．二．填空題（共7小題）5．（2025?綏化）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC的比），堤壩高BC＝15m，則迎水坡面AB的長度是153m．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】153m．【分析】根據坡度的概念求出AC，再根據勾股定理求出AB．【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：2，∴BC：AC＝1：2，∵BC＝15m，∴AC＝152m，由勾股定理得：AB=BC2+AC故答案為：153m．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．6．（2025?內蒙古）如圖，因地形原因，湖泊兩端A，B的距離不易測量，某科技小組需要用無人機進行測量，他們將無人機上升并飛行至距湖面90m的點C處，從C點測得A點的俯角為60°，測得B點的俯角為30°（A，B，C三點在同一豎直平面內），則湖泊兩端A，B的距離為1203m（結果保留根號）．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】1203．【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，根據題意可得：EF∥AB，從而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數的定義求出AD和BD的長，最后進行計算即可解答．【解答】解：如圖：過點C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：EF∥AB，∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，在Rt△ACD中，CD＝90m，∴AD=CDtan60°=903在Rt△BCD中，BD=CDtan30°=903∴AB＝AD+BD＝1203（m），∴湖泊兩端A，B的距離為1203m，故答案為：1203．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．7．（2025?河北）2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，活動主題為“抓早抓小抓關鍵，更快降低近視率”．如圖是一幅眼肌運動訓練圖，其中數字1﹣12對應的點均勻分布在一個圓上，數字0對應圓心．圖中以數字0～12對應的點為端點的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長為6+2（參考數據：sin15°=6?2眼肌運動訓練圖使用方法：以0，1，2，3，…的順序沿著箭頭方向移動眼球．移動一圈后再回到原點，反復進行．【考點】解直角三角形的應用；規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型；解直角三角形及其應用．【答案】6+【分析】如圖所示，設數字0記為圓心O，數字6記為A，數字7記為B，過點O作OD⊥AB于點D，首先得到線段AB的長與其他的都不相等，然后求出∠BOD＝75°，解直角三角形求出BD=6【解答】解：如圖所示，設數字0記為圓心O，數字6記為A，數字7記為B，過點O作OD⊥AB于點D，眼肌運動訓練圖使用方法：以0，1，2，3，…的順序沿著箭頭方向移動眼球．移動一圈后再回到原點，反復進行．由圖可得，線段AB的長與其他的都不相等，∵其中數字1﹣12對應的點均勻分布在一個圓上，∴360°÷12＝30°，∴相鄰兩個數字與圓心O組成的圓心角為30°，∴∠AOB＝30°×5＝150°，∴∠OAB=∠OBA=1∵OD⊥AB，∴∠BOD＝75°，∴sin∠BOD=sin75°=BD即6+∴BD=6∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AB=2BD=6∴這條線段的長為6+故答案為：6+【點評】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對等角，三線合一性質等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．8．（2025?浙江）無人機警戒在高速公路場景中的應用，是我國低空經濟高質量發(fā)展的重要實踐方向．如圖，在高速公路上，交警在A處操控無人機巡查，無人機從點A處飛行到點P處懸停，探測到它的正下方公路上點B處有汽車發(fā)生故障．測得A處到P處的距離為500m，從點A觀測點P的仰角為α，cosα＝0.98，則A處到B處的距離為490m．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】490．【分析】根據三角函數的定義即可得到結論．【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝α，∴AB＝AP?cosα＝500×0.98＝490（m），答：A處到B處的距離為490m．故答案為：490．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．9．（2025?揚州）如圖1，棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．將此正方體放在坡角為α的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其主視圖如圖2所示，則tanα＝49【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】49【分析】延長AN，交直線BC于點E，設DN＝xcm，則CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根據水的體積不變建立方程，解方程可得x的值，再根據平行線的性質可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根據正切的定義計算即可得．【解答】解：如圖，延長AN，交直線BC于點E，由題意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，設DN＝xcm，則CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，∵密封透明正方體容器水平放置在桌面上與放在坡角為α的斜坡上，容器里水的體積不變；且放在坡角為α的斜坡上時，水的體積等于長為9cm、寬為9cm、高為（9﹣x）cm的長方體的體積與長為9cm、寬為9cm、高為xcm的長方體的體積的一半之和，∴9×9(9?x)+1解得x＝4，即DN＝4cm，∵AN∥FG，∴∠AEF＝∠F＝α，∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠AEF＝α，∴tanα=tan∠DAN=DN故答案為：49【點評】本題考查了求角的正切值、一元一次方程的幾何應用、主視圖、平行線的性質等知識，熟練掌握正切的定義是解題關鍵．10．（2025?眉山）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具．如圖，若AB、AC的長都為2m，當α＝65°時，人字梯頂端離地面的高度是1.8m．（結果精確到0.1m，參考依據：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】1.8．【分析】過點A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可．【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC?sin65°＝2×0.91≈1.8（m），∴人字梯頂端離地面的高度1.8m．故答案為：1.8．【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．11．（2025?上海）如圖，某公司安裝了一個人臉打卡器，AB是高2.7m的門框，某人CD高1.8m，只有當∠CAB＝53°時，他才能開門，那么BD長為1.2．（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小數）【考點】解直角三角形的應用．【專題】計算題；解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】1.2m．【分析】過點C作CE⊥AB，利用矩形的性質和判定先得到BD與CE、CD與EB間關系，再利用線段的和差關系求出AE的長，最后利用直角三角形的邊角間關系得結論．【解答】解：過點C作CE⊥AB，垂足為E．由題意易知四邊形CDBE是矩形，∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．在Rt△ACE中，∵tanA=CE∴CE＝tanA?AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．∴BD＝1.2m．故答案為：1.2m．【點評】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、矩形的性質和判定是解決本題的關鍵．三．解答題（共4小題）12．（2025?長沙）如圖，某景區(qū)內兩條互相垂直的道路a，b交于點M，景點A，B在道路a上，景點C在道路b上．為了進一步提升景區(qū)品質，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D．經測得景點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30°方向上，景點B位于景點D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度數；（2）求景點C與景點D之間的距離．（結果保留根號）【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題；勾股定理的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）30°；（2）景點C與景點D之間的距離為（1200?4003）m【分析】（1）由題意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，進而可以解決問題；（2）根據銳角三角函數定義和勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，由題意點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30°方向上，景點B位于景點D的南偏西45°方向上，∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；（2）方法一：∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，由（1）得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m，在Rt△ACM中，sin∠ACM=AM∴AM=AC?sin∠ACM=800×sin30°=800×12=400CM=AC?cos∠ACM=800×cos30°=800×32=400∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，∴DC=DM?CM=1200?4003∴景點C與景點D之間的距離為(1200?4003方法二：∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．設AM＝xm，∴AC＝2xm，∴CM=3AM=3x（在Rt△BCM中，tan∠BCM=BM即3=解得x＝400，經檢驗得x＝400是原方程的解，∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴BM＝DM＝1200m，∴DC=DM?CM=1200?4003∴景點C與景點D之間的距離為（1200?4003）m【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣方向角問題，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．13．（2025?廣東）綜合與實踐【閱讀材料】如圖1，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊長分別為a，b，c，則有asinA【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中A，B兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用洲距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖2，在空曠地找一點C；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得∠A≈43°，∠B≈51°；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC≈341m，AC≈388.5m．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結論計算A，B兩島間的距離．（參考數據：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）【評價反思】（2）設計其他方案計算A，B兩島間的距離．要求：選用【方案設計】中的工具，寫出你的方案和所用的數學知識．【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用．【答案】（1）499m；（2）見解析．【分析】（1）利用三角形內角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根據題意可得BCsinA=AB（2）運用解直角三角形、勾股定理等數學知識設計方案即可．【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°，由題意得，BCsinA又∵BC≈341m，∴AB=BCsinC答：A，B兩島間的距離為499m；（2）工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點C，使得△ABC是銳角三角形；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得∠C的度數；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC＝am，AC＝bm．計算過程：過點A作AD⊥BC，則∠ADC＝∠ADB＝90°，∵在Rt△ACD中，sinC=ADAC，∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m），∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m），∵在Rt△ACD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB=(bsinC答：A，B兩島間的距離為(bsinC【點評】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意是解題的關鍵．14．（2025?吉林）綜合與實踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹人中學的3D打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數據．項目報告表時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3D打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺灰?實施任務一測量數據以下是測得的相關數據，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高CD＝1.4m．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角∠ACE＝61°．3．測出測角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB＝42m．任務二計算實際高度根據上述測得的數據，計算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結果精項到1m）（參考數據：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任務三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打即模型的高度約為19cm．（結果精確到1cm）項目結果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數據請結合上表中的測量草圖和相關數據，幫助該社團完成任務二和任務三．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】任務一，該城市規(guī)劃展覽館AB的高度約為77m；任務二，19．【分析】任務一，在Rt△AEC中利用三角函數求出AE長，結合測角儀的高度，得到結果；任務二，利用所給的比例對計算出的結果進行換算即可．【解答】解：任務二，計算實際高度，∵依題意，四邊形EBDC為矩形，∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，∴AE＝CE?tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），答：該城市規(guī)劃展覽館AB的高度約為77m；任務三，換算模型高度，設3D打即模型的高度為xm，∵x：77＝1：400，解得x＝0.1925，∴3D打即模型的高度為0.1925m，∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，∴3D打即模型的高度約為19cm，故答案為：19．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵．15．（2025?陜西）小涵和小宇想測量公園山坡上一個信號桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測量．測量示意圖如圖所示，他們在坡面FB上的點D處安裝測角儀DE，測得信號桿頂端A的仰角α為45°，DE與坡面的夾角β為72.5°，又測得點D與信號桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE＝1.7m，點A，B，C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號桿的高AB．（參考數據：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用．【答案】信號桿的高AB為16m．【分析】理解題意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH中，運用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入數值進行計算，得出HD，BH的值，然后證明四邊形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根據∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把數值代入AB＝AI+IH﹣BH進行計算，即可作答．【解答】解：過點E作EI⊥AC于點I，過點D作DH⊥AC于點H，如圖所示：∵AB，DE均與水平線FC垂直，∴DE∥AC，∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，∵DH⊥AC，∴∠DHI＝90°，在Rt△DBH中，BD=22m，sin72.5°=DH則HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），在Rt△DBH中，BD＝22m，cos72.5°=BH則BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m），∵過點E作EI⊥AC于點I，過點D作DH⊥AC于點H，DE∥AC，∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，∴四邊形EDHI是矩形，∴EI＝HD＝20.9m，∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，∴AI＝EI＝20.9m，∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），信號桿的高AB為16m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，三角形內角和性質，矩形的判定與性質，等角對等邊，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．

考點卡片1．規(guī)律型：圖形的變化類圖形的變化類的規(guī)律題首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．2．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．3．坐標與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標變化①向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個單位，坐標P（x，y）