微分幾何題庫及答案答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.曲線的曲率刻畫了曲線的（）A.彎曲程度B.扭轉(zhuǎn)程度C.長度D.位置2.曲面上的漸近曲線的測地曲率（）A.為0B.為1C.為-1D.不確定3.高斯曲率恒為零的曲面是（）A.球面B.柱面C.橢圓面D.雙曲面4.曲線的撓率為零，則曲線是（）A.直線B.平面曲線C.圓柱螺線D.拋物線5.空間曲線的基本三棱形由（）構(gòu)成A.切向量、主法向量、副法向量B.兩個(gè)切向量和一個(gè)法向量C.三個(gè)切向量D.三個(gè)法向量6.曲面上一點(diǎn)處的主方向是（）A.唯一的B.有兩個(gè)C.有三個(gè)D.無數(shù)個(gè)7.曲面的第一基本形式?jīng)Q定了曲面的（）A.形狀B.彎曲程度C.度量性質(zhì)D.拓?fù)湫再|(zhì)8.若曲線的參數(shù)方程為\(r(t)=(t,t^2,t^3)\)，則在\(t=1\)處的切向量為（）A.\((1,2,3)\)B.\((1,1,1)\)C.\((2,4,6)\)D.\((3,6,9)\)9.曲面上的測地線滿足（）A.法曲率為零B.測地曲率為零C.曲率為零D.撓率為零10.對于正則曲線\(r(t)\)，其弧長參數(shù)\(s\)滿足（）A.\(ds=\vertr^\prime(t)\vertdt\)B.\(ds=r^\prime(t)dt\)C.\(ds=\frac{1}{\vertr^\prime(t)\vert}dt\)D.\(ds=-\vertr^\prime(t)\vertdt\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是曲線的局部不變量（）A.曲率B.撓率C.弧長D.法向量2.曲面的第二基本形式涉及到（）A.曲面的切向量B.曲面的法向量C.曲面的形狀D.曲面的參數(shù)3.常見的可展曲面有（）A.柱面B.錐面C.切線面D.球面4.曲線的密切平面的性質(zhì)有（）A.包含切向量B.包含主法向量C.與副法向量垂直D.與曲線相切5.曲面上的臍點(diǎn)滿足（）A.主曲率相等B.平均曲率等于主曲率C.高斯曲率等于主曲率的平方D.法曲率為零6.決定曲線形狀的因素有（）A.曲率B.撓率C.初始位置D.初始切向量7.以下關(guān)于曲面的第一基本形式說法正確的是（）A.正定二次型B.與曲面的度量有關(guān)C.由切向量的內(nèi)積決定D.決定曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)8.空間曲線的基本定理表明曲線由（）唯一確定（不計(jì)空間位置）A.曲率B.撓率C.初始點(diǎn)D.初始切向量9.曲面上的法曲率與（）有關(guān)A.曲面的形狀B.方向C.第一基本形式D.第二基本形式10.以下哪些曲線是平面曲線（）A.曲率恒為零的曲線B.撓率恒為零的曲線C.直線D.圓三、判斷題（每題2分，共10題）1.曲線的弧長是曲線的不變量。（）2.曲面上的高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量。（）3.撓率不為零的曲線一定不是平面曲線。（）4.曲面上的漸近曲線一定是測地線。（）5.空間曲線的曲率和撓率完全決定了曲線的形狀。（）6.球面上的所有曲線都是測地線。（）7.曲面的第一基本形式和第二基本形式都與曲面的參數(shù)選取無關(guān)。（）8.曲線的主法向量的方向是固定不變的。（）9.高斯曲率為正的曲面是橢圓型曲面。（）10.曲面上一點(diǎn)處的切平面是唯一的。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述曲線的曲率和撓率的幾何意義。-答案：曲率刻畫曲線的彎曲程度，曲率越大，曲線彎曲越厲害；撓率刻畫曲線偏離平面的程度，撓率為零，曲線是平面曲線，不為零則曲線是空間曲線。2.說明曲面的第一基本形式和第二基本形式的作用。-答案：第一基本形式?jīng)Q定曲面的度量性質(zhì)，如弧長、夾角、面積等；第二基本形式反映曲面的彎曲狀況，與曲面的形狀有關(guān)，二者結(jié)合能深入研究曲面性質(zhì)。3.什么是可展曲面？常見的可展曲面有哪些？-答案：可展曲面是直紋面且高斯曲率恒為零的曲面。常見的有柱面、錐面、切線面，它們可由平面通過彎曲等方式形成。4.簡述空間曲線的基本三棱形。-答案：空間曲線的基本三棱形由切向量、主法向量、副法向量構(gòu)成。切向量沿曲線切線方向，主法向量指向曲線凹側(cè)，副法向量與切向量、主法向量都垂直，三者相互垂直且構(gòu)成右手系。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論曲線的曲率和撓率如何影響曲線的形狀。-答案：曲率決定曲線在局部的彎曲程度，曲率大彎曲劇烈，小則平緩。撓率決定曲線是否為平面曲線，撓率為零是平面曲線，非零則曲線在空間中扭轉(zhuǎn)，二者共同確定曲線具體形狀。2.探討曲面上的測地線在實(shí)際問題中的應(yīng)用。-答案：在大地測量中，測地線用于確定最短路徑；在航空航海領(lǐng)域，飛機(jī)、船只沿測地線航行可節(jié)省能源和時(shí)間；在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，用于優(yōu)化圖形繪制路徑等。3.分析高斯曲率在微分幾何中的重要性。-答案：高斯曲率是曲面重要不變量，反映曲面整體彎曲特性。它是內(nèi)蘊(yùn)量，與曲面局部性質(zhì)有關(guān)。通過高斯曲率可對曲面分類，如正、負(fù)、零高斯曲率對應(yīng)不同類型曲面，是研究曲面的關(guān)鍵因素。