202X通遼市中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題易錯匯編一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上，（1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，并延長交邊AD于點F．求∠AEF的度數(shù)；（2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點P落在點P'處．若正方形ABCD的邊長為4，AD的中點為S，求P'S的最小值．問題拓展：如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點M、N分別為邊AB、CD上的點，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點A，C'N交AD于點F．分別過點A、F作AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，垂足分別為G、H．若AG＝，請直接寫出FH的長．解析：問題情境：.理由見解析；問題探究：（1）；（2）的最小值為；問題拓展：.【分析】問題情境：過點B作BF∥MN分別交AE、CD于點G、F，證出四邊形MBFN為平行四邊形，得出NF＝MB，證明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出結(jié)論；問題探究：（1）連接AQ，過點Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點H、I，證出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC交BD于點O，則△APN的直角頂點P在OB上運動，設(shè)點P與點B重合時，則點P′與點D重合；設(shè)點P與點O重合時，則點P′的落點為O′，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，當(dāng)點P在線段BO上運動時，過點P作PG⊥CD于點G，過點P′作P′H⊥CD交CD延長線于點H，連接PC，證明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性質(zhì)得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，點P'在線段DO'上運動；過點S作SK⊥DO'，垂足為K，即可得出結(jié)果；問題拓展：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，則EG＝AG＝，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，證明△ABE∽△QCE，得出QE＝AE＝，AQ＝AE+QE＝，證明△AGM∽△ABE，得出AM＝，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝，AC'＝1，證明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝，證明△DFP∽△DAQ，得出FP＝，得出FH＝FP＝．【詳解】問題情境：因為四邊形是正方形，所以.過點作分別交于點.所以四邊形為平行四邊形.所以.所以，所以，又因為，所以.，所以.因為，所以，所以.問題探究：（1）連接，過點作，分別交于點.易得四邊形矩形.所以且.因為是正方形的對角線，所以.所以是等腰直角三角形，.所以.因為是的垂直平分線，所以.所以.所以.所以.所以.所以是等腰直角三角形，，即.（2）如圖所示，連接交于點，由題意易得的直角頂點在上運動.設(shè)點與點重合，則點與點重合；設(shè)與點重合，則點的落點為.易知.當(dāng)點在線段上運動時，過點作的垂線，垂足為，過點作，垂足為點.易證：，所以，因為是正方形的對角線，所以，易得，所以.所以.所以，故.所以點在線段上運動.過點作，垂足為，因為點為的中點，所以，則的最小值為.問題拓展：解：延長AG交BC于E，交DC的延長線于Q，延長FH交CD于P，如圖4：則EG＝AG＝，PH＝FH，∴AE＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，∴△ABE∽△QCE，∴∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴，即，解得：，由折疊的性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，∴B'M＝，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，∴△AFC'∽△MAB'，∴，解得：∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴，即，解得：FP＝，∴FH＝．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【點睛】考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.3．（問題情境）如圖1，點E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點，連接BE、CE．求證：S平行四邊形ABCD．（說明：S表示面積）請以“問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究（探究應(yīng)用1）如圖2，以平行四邊形ABCD的邊AD為直徑作⊙O，⊙O與BC邊相切于點H，與BD相交于點M．若AD＝6，BD＝y(tǒng)，AM＝x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（探究應(yīng)用2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，點F在CD上，連接AF、BF，AF與CE相交于點G，若AF＝CE，求證：BG平分∠AGC．（遷移拓展）如圖4，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中點，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，過D分別作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，請直接寫出DG：DH的值．解析：【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用1】；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移拓展】.【分析】（1）作EF⊥BC于F，則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，即可得出結(jié)論；（2）連接OH，由切線的性質(zhì)得出OH⊥BC，OH＝AD＝3，求出平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝18，由圓周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即可得出結(jié)果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，得出AF×BM＝CE×BN，證出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，由直角三角形的性質(zhì)得出BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，由三角形的面積關(guān)系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：作EF⊥BC于F，如圖1所示：則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，∴．（2）解：連接OH，如圖2所示：∵⊙O與BC邊相切于點H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即xy＝9，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝；（3）證明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如圖3所示：同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．（4）解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如圖4所示：∵平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中點，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，則△CDE的面積＝△ADF的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝．【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的判定等知識；本題綜合性強，需要添加輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．探究：如圖1和2,四邊形中,已知，，點，分別在、上，．（1）①如圖1,若、都是直角，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則能證得，請寫出推理過程；②如圖2，若、都不是直角，則當(dāng)與滿足數(shù)量關(guān)系_______時，仍有;（2）拓展：如圖3,在中，,，點、均在邊上,且．若，求的長．解析：（1）①見解析；②，理由見解析；（2）【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3?x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】（1）①如圖1，∵把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，∴，，∵，，∴，∴，即，在和中∴，∴，∵，∴；②，理由是：把繞點旋轉(zhuǎn)到，使和重合，則，，，∵，∴，∴，，在一條直線上，和①知求法類似，，在和中∴，∴，∵，∴；故答案為：（2）∵中，，∴，由勾股定理得：，把繞點旋轉(zhuǎn)到,使和重合，連接．則，，，∵，∴，∴，在和中∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，，∴，由勾股定理得：，，解得：，即．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．5．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D與點C重合，點E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點D沿CA方向移動，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請求出具體數(shù)值：若不變，請說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至點F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點E作EG⊥AD于點G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點E作EG⊥AD于點G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．6．小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時，請問邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)，時，則長為________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請畫出點的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．解析：（1）①；②4，（2）；理由見解析，（3）存在；【分析】（1）①首先證明是含有的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．（2）與的數(shù)量關(guān)系為，如圖5，延長到，使，連接、，先證四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題．（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，做直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，先證明，，再證明，即可得出結(jié)論，再在中，根據(jù)勾股定理，即可求出的長．【詳解】（1）①如圖2，∵是等邊三角形，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是邊上的中線，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴在中，，，∴．故答案為：．②如圖3，∵，，∴，即和為直角三角形，∵把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴在和中，∴，∴，∵是邊上的中線，為直角三角形，∴，又∵，∴．故答案為：．（2），如圖5，延長到，使，連接、，圖5∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵，∴在和中，∴，∴，∴．（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，作直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，圖6∵，∴，∵，∴，在中，∵，，，∴，，，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，在中，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系，在中，∵，，，∴．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題．掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、直角三角形斜邊中線定理、解直角三角形、勾股定理、中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在處理三角形的邊旋轉(zhuǎn)問題時，旋轉(zhuǎn)前后邊長不變，根據(jù)已知角度變化，求得線段之間關(guān)系．在證明某點是否存在問題時，先假設(shè)這點存在，能求出相關(guān)線段或坐標(biāo)，即證實存在性．7．如圖1，邊長為4的正方形與邊長為的正方形的頂點重合，點在對角線上．問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，與的數(shù)量關(guān)系為______．類比探究（2）如圖2，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)度（）．請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請說明理由．拓展延伸（3）若為的中點，在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點，，在一條直線上時，線段的長度為______．解析：（1）；（2）成立，見解析；（3）或【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，，，GH=HF=HE=HC，得出，，，由勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】[問題發(fā)現(xiàn)]解：，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴，；故答案為：；[類比探究]解：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接CE，如圖2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，，，∴△ACE∽△BCF，，；[拓展延伸]解：分兩種情況：①如圖3所示：連接CE交GF于H，∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，HF=HE=HC，∵點F為BC的中點，∴CF=BC=2，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴，∴；②如圖4所示：連接CE交GF于H，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴；故答案為：或．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．8．如圖1，在中，，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點.（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：(1)已知點，，分別為，，的中點，根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)（方法可類比（1）的方法）可得PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形；（3）把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長，由（2）可知PM=PN，，所以面積的最大值為.試題解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點，分別為，的中點∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE，且,同理可證PN=BD，且∴PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點：旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.9．（問題原型）如圖，在矩形中，對角線、交于點，以為直徑作．求證：點、在上．請完成上面問題的證明，寫出完整的證明過程．（發(fā)現(xiàn)結(jié)論）矩形的四個頂點都在以該矩形對角線的交點為圓心，對角線的長為直徑的圓上．（結(jié)論應(yīng)用）如圖，已知線段，以線段為對角線構(gòu)造矩形．求矩形面積的最大值．（拓展延伸）如圖，在正方形中，，點、分別為邊、的中點，以線段為對角線構(gòu)造矩形，矩形的邊與正方形的對角線交于、兩點，當(dāng)?shù)拈L最大時，矩形的面積為_____________________解析：問題原型：見解析；結(jié)論應(yīng)用：見解析；發(fā)現(xiàn)結(jié)論：2；拓展延伸：2【分析】問題原型：運用矩形對角線互相平分且相等，即可求證四點共圓；結(jié)論應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論矩形面積最大時為正方形，利用對角線的長求得正方形的面積；拓展延伸：由上一問的結(jié)論，可知四邊形為正方形,證明四邊形是正方形，繼而求得面積【詳解】解：【問題原型】∵為直徑，∴為半徑.令.∵四邊形為矩形，∴，，.∴.∴點、在上.【結(jié)論應(yīng)用】連續(xù)交于點，過點作于點.∴.由【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】可知，點在以為直徑的圓上，即，∴當(dāng)即時，矩形的面積最大.∴矩形的面積最大值為.【拓展延伸】如圖，連接,設(shè)與的交點為四邊形是正方形,，點、分別為邊、的中點,四邊形是矩形由【結(jié)論應(yīng)用】可知，時，矩形的面積最大為此時四邊形為正方形，此時最大，,四邊形是正方形正方形的面積為：【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，靈活運用矩形，正方形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．10．如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．（1）證明與推斷：①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：的值為：（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：（3）拓展與運用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG=6，GH=2，則BC=．解析：（1）①四邊形CEGF是正方形；②；（2）線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）3【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證∽即可得；（3）證∽得，設(shè)，知，由得、、，由可得a的值．【詳解】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四邊形CEGF是正方形；②由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴，故答案為；（2）連接CG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=、=，∴=，∴△ACG∽△BCE，∴，∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）∵∠CEF=45°，點B、E、F三點共線，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC=CD=AD=a，則AC=a，則由得，∴AH=a，則DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴由得，解得：a=3，即BC=3，故答案為3．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11．德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．如圖①，點C把線段分成兩部分，如果，那么稱點C為線段的黃金分割點．（1）特例感知：在圖①中，若，求的長；（2）知識探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：①作兩條相互垂直的直徑、；②作的中點P，以P為圓心，為半徑畫弧交于點Q；③以點A為圓心，為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦，連接；則五邊形為正五邊形．在該正五邊形作法中，點Q是否為線段的黃金分割點？請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．延長題（2）中的正五邊形的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點E是線段的黃金分割點，請利用題中的條件，求的值．解析：（1）61.8；（2）是，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義求解即可；（2）設(shè)⊙O的半徑為a，則OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，繼而求出OQ，MQ，即可作出判斷；（3）先求出正五邊形的每個內(nèi)角，即可得到∠PEA=∠PAE=，根據(jù)已知條件可知cos72°=，再根據(jù)點E是線段PD的黃金分割點，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，即，解得：AC≈61.8；（2）Q是線段OM的黃金分割點，理由如下：設(shè)⊙O的半徑為a，則OA=ON=OM=a，∴OP=，∴，∴OQ=PQ-OP=，∴MQ=OM-OQ=，，∴Q是線段OM的黃金分割點；（3）正五邊形的每個內(nèi)角為：，∴∠PEA=∠PAE=，∴cos72°=，∵點E是線段PD的黃金分割點，∴，又∵AE=ED，∴，∴cos72°=．【點睛】本題考查黃金分割、勾股定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意正確解題．12．性質(zhì)探究如圖①，在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為________．理解運用⑴若頂角為120°的等腰三角形的周長為，則它的面積為________；⑵如圖②，在四邊形中，．①求證：；②在邊上分別取中點，連接．若，,直接寫出線段的長．類比拓展頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為________（用含的式子表示）．解析：性質(zhì)探究：；理解運用：（1）；（2）①見解析；②；類比拓展：.【分析】性質(zhì)探究：作CD⊥AB于D，則∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出結(jié)果；理解運用：（1）同上得出則AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周長得出4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，得出AB=4，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；（2）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；②連接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性質(zhì)得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四邊形內(nèi)角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFH=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出PE=EF=5，PF=PE=5，得出FH=2PF=10，證明MN是△FGH的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果；類比拓展：作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函數(shù)得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出結(jié)果．【詳解】性質(zhì)探究解：作CD⊥AB于D，如圖①所示：則∠ADC=∠BDC=90°，∵AC=BC，∠ACB=120°，∴AD=BD，∠A=∠B=30°，∴AC=2CD，AD=CD，∴AB=2AD=2CD，∴=；故答案為；理解運用（1）解：如圖①所示：同上得：AC=2CD，AD=CD，∵AC+BC+AB=8+4，∴4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，∴AB=4，∴△ABC的面積=AB×CD=×4×2=4；故答案為4（2）①證明：∵EF=EG=EH，∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；②解：連接FH，作EP⊥FH于P，如圖②所示：則PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，∵EF=EH，∴∠EFH=30°，∴PE=EF=5，∴PF=PE=5，∴FH=2PF=10，∵點M、N分別是FG、GH的中點，∴MN是△FGH的中位線，∴MN=FH=5；類比拓展解：如圖③所示：作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，∵sinα=，∴BD=AB×sinα，∴BC=2BD=2AB×sinα，∴=2sinα；故答案為2sinα．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、四邊形內(nèi)角和定理、就直角三角形等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．小圓同學(xué)對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進行了拓展探究.（一）猜測探究在中，，是平面內(nèi)任意一點，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．（1）如圖1，若是線段上的任意一點，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是，與的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，點是延長線上點，若是內(nèi)部射線上任意一點，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．（二）拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，是上的任意點，連接，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．求線段長度的最小值．解析：（一）（1）結(jié)論：，．理由見解析；（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由見解析；（二）的最小值為．【分析】（一）①結(jié)論：，．根據(jù)證明≌即可．②①中結(jié)論仍然成立．證明方法類似．（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．理由全等三角形的性質(zhì)證明，推出當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，求出的值即可解決問題．【詳解】（一）（1）結(jié)論：，．理由：如圖1中，∵，∴，∴，∵，，∴≌（），∴．故答案為，．（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由：∵，∴，∴，∵，，∴≌（），∴．（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于．∵，∴，∵，，∴≌（），∴，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，在中，∵，，∴，∵，∴，∴，在，∵，∴，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點與重合時，的值最小，∴的最小值為．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．14．如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．解析：（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長；（3）過點A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過點A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，F(xiàn)D＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問題”進行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點在上，，，求五邊形的面積．解析：（1）；（2）結(jié)論成立，證明看解析；（3）【分析】（1）由題目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均為直角三角形，又因為，則有∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，找到從而找到面積之間的關(guān)系；（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，從而找到面積之間的關(guān)系；（3）將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形，過點A作AHBP于點H，連接PD，BD，由此可知，，即可計算出，根據(jù)△ABP∽△EDP∽△CBD，從而有，由（2）結(jié)論有，最后即可計算出四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）∵△ABC是直角三角形，∴，∵△ABD、△ACE、△BCF均為直角三角形，且，∴∽∽，∴，，∴∴得證．（2）成立，理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴，∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，∴∽∽，∴，，∴∴得證．（3）過點A作AHBP于點H，連接PD，BD，∵，，∴，，∵，∴，∴PH=AH=，∴，，∴，∵，ED=2，∴，，∴，∵，∴△ABP∽△EDP，∴，，∴，，∴，，∵，∴∵，∴∵∴△ABP∽△EDP∽△CBD∴故最后答案為．【點睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性質(zhì)，若兩三角形相似，則有面積的比值為邊長的平方，根據(jù)此性質(zhì)找到面積與邊長的關(guān)系即可；（3）主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計算以及（2）的結(jié)論，其中合理正確利用前面得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．16．在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖13-1）．第二步：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，同時得到線段（如圖13-2）．猜想論證：（1）若延長交于點，如圖13-3所示，試判定的形狀，并證明你的結(jié)論．拓展探究：（2）在圖13-3中，若，當(dāng)滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片中剪出符（1）中的等邊三角形？解析：(1)是等邊三角形，理由見解析；（2），理由見解析【分析】（1）連接，由折疊性質(zhì)可得是等邊三角形，，，然后可得到，即可判定是等邊三角形．（2）由折疊可知，由（1）可知，利用的三角函數(shù)即可求得．【詳解】（1）解：是等邊三角形，證明如下：連接．由折疊可知：，垂直平分．∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形．（2）解：方法一：要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，，，∴，∵，∴，即，當(dāng)或（）時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊．方法二：要在矩形紙片上剪出等邊，則，在中，，，設(shè)，則，∴，即，得，∴，∵，∴，即，當(dāng)（或）時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確理解折疊性質(zhì)靈活運用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵．17．（閱讀理解）如圖1，，的面積與的面積相等嗎？為什么？解：相等，在和中，分別作，，垂足分別為，．，．，四邊形是平行四邊形，．又，，．（類比探究）問題①，如圖2，在正方形的右側(cè)作等腰，，，連接，求的面積．解：過點作于點，連接．請將余下的求解步驟補充完整．（拓展應(yīng)用）問題②，如圖3，在正方形的右側(cè)作正方形，點，，在同一直線上，，連接，，，直接寫出的面積．解析：①；②．【分析】①過點作于點，連接，可得，根據(jù)材料可知，再由等腰三角形性質(zhì)可知，即可求出；②連接CE，證明，即可得，由此即可求解．【詳解】解：①過點作于點，連接，∵在正方形中，，∴，∴，∵，，∴，∵在正方形中，，∴；②，過程如下：如解圖3，連接CE，∵在正方形、正方形中，∴，∴，∴，∵在正方形中，，，∴．【點睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)和平行線判定和性質(zhì)以及三角形面積，解題關(guān)鍵是理解閱讀材料，根據(jù)平行線找到等底等高的三角形．18．旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．（1）嘗試解決：如圖①，在等腰中，，點M是上的一點，，，將繞點A旋轉(zhuǎn)后得到，連接，則___________．（2）類比探究：如圖②，在“箏形”四邊形中，于點B，于點D，點P、Q分別是上的點，且，求的周長．（結(jié)果用a表示）（3）拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形，，求四邊形的面積．解析：（1）；（2）2a；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABM≌△ACN，從而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°，再根據(jù)勾股得出AM的長；（2）將繞點C旋轉(zhuǎn)后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，從而得出的周長（3）連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長BA，作B′E⊥BE；易證△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理計算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面積和即可．【詳解】（1）∵，∴∠B=∠ACB=45°，將繞點A旋轉(zhuǎn)后得到，此時AB與AC重合，由旋轉(zhuǎn)可得：△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，∴∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°，∠MAN=∠ABC=90°，∴∴；（2）∵，，∴將繞點C旋轉(zhuǎn)后得到，此時BC與DC重合，∴△BCP≌△DCM，∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，∵，∴，∴，∵PC=CM，QC=QC,∴△QCP≌△QCM，∴PQ=QM，∴的周長=AQ+AP+PQ=AQ+AP+QM=AQ+AP+DQ+DM=AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，∵，∴的周長=2a；（3）如圖3，連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長BA，作B′E⊥BE；∴△BCD≌△B′AD∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A，∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，∴∠BAB′=135°∴∠B′AE=45°，∵∴B′E=AE=，∴BE=AB+AE=2+=，∴∵等邊△DBB′，∴BB′上的高=，∴∴，∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，勾股定理，等積代換思想，類比思想等．構(gòu)造直角三角形，求出三角形的高是解決問題的關(guān)鍵．19．?dāng)?shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，∴；②當(dāng)，即時，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時等號成立）．猜想運用：（1）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)的值最??？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當(dāng)