專題10復(fù)數(shù)7種常見考法歸類

知識五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點01復(fù)數(shù)的概念

2025·全國一卷2024·上海

考點02復(fù)數(shù)相等

2022·浙江2022·全國乙卷2021·浙江

考點復(fù)數(shù)的模

知識1數(shù)系的03

擴充與復(fù)數(shù)的2025·北京2025·天津

引入2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國乙卷2023·上海

全國甲卷北京

（5年5考）2022·2022·1.復(fù)數(shù)在高考中是每年必考內(nèi)

考點04復(fù)數(shù)模的最值容，命題較為穩(wěn)定，難度較低，主

2025·上海要以選擇題形式出現(xiàn)，通常位于前

題

考點05復(fù)數(shù)的幾何意義2

復(fù)數(shù)的四則運算作為復(fù)數(shù)部分的

2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京2.

核心內(nèi)容，是考查的重點之一。主

2021·新高考全國Ⅱ卷

要考查學(xué)生對復(fù)數(shù)加、減、乘、除

考點06共軛復(fù)數(shù)

運算法則的掌握程度。

2024·全國甲卷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷

2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·上海

知識2復(fù)數(shù)代2022·全國甲卷2021·新高考全國Ⅰ卷

數(shù)形式的四則2021·全國乙卷

運算考點07復(fù)數(shù)的四則運算

（5年5考）2025·全國二卷2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·北京

2024·天津2023·天津2023·全國甲卷

2022·天津2022·新高考全國Ⅱ卷2021·天津

2021·全國乙卷2021·北京2021·全國甲卷

考點01復(fù)數(shù)的概念

1．（2025·全國一卷·高考真題）(15i)i的虛部為（）

A．1B．0C．1D．6

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.

【詳解】因為15iii5i25i，所以其虛部為1，

故選：C.

2

2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知虛數(shù)z，其實部為1，且zmmR，則實數(shù)m為．

z

【答案】2

【分析】設(shè)z1bi,bR且b0，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【詳解】設(shè)z1bi，bR且b0.

22b23b3b

則z1bi22im，

z1bi1b1b

b23

m

1b2

mR，，解得m2，

b3b

0

1b2

故答案為：2.

考點02復(fù)數(shù)相等

3．（2022·浙江·高考真題）已知a,bR,a3i(bi)i（i為虛數(shù)單位），則（）

A．a(chǎn)1,b3B．a(chǎn)1,b3C．a(chǎn)1,b3D．a(chǎn)1,b3

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求a,b.

【詳解】a3i1bi，而a,b為實數(shù)，故a1,b3，

故選：B.

4．（2022·全國乙卷·高考真題）設(shè)(12i)ab2i，其中a,b為實數(shù)，則（）

A．a(chǎn)1,b1B．a(chǎn)1,b1C．a(chǎn)1,b1D．a(chǎn)1,b1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出．

【詳解】因為a,b?R，ab2ai2i，所以ab0,2a2，解得：a1,b1．

故選：A.

5．（2022·全國乙卷·高考真題）已知z12i，且zazb0，其中a，b為實數(shù)，則（）

A．a(chǎn)1,b2B．a(chǎn)1,b2C．a(chǎn)1,b2D．a(chǎn)1,b2

【答案】A

【分析】先算出z,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z12i

zazb12ia(12i)b(1ab)(2a2)i

由zazb0,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應(yīng)相等，

1ab0a1

得,即

2a20b2

故選:A

6．（2021·浙江·高考真題）已知aR，1aii3i，(i為虛數(shù)單位)，則a（）

A．1B．1C．3D．3

【答案】C

【分析】首先計算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實數(shù)a的值.

【詳解】1aiii+ai2=iaai3i，

利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：a3,a3.

故選：C.

考點03復(fù)數(shù)的模

7．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足iz22i，則|z|（）

A．2B．22C．4D．8

【答案】B

【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．

22i

【詳解】由iz22i可得，z22i，所以z222222，

i

故選：B.

8．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知z1i，則z（）

A．0B．1C．2D．2

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.

22

【詳解】若z1i，則z112.

故選：C.

9．（2023·全國乙卷·高考真題）2i22i3（）

A．1B．2C．5D．5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2i22i3，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2i22i3212i12i，

2

則2i22i312i1225.

故選：C.

10．（2022·全國甲卷·高考真題）若z1i．則|iz3z|（）

A．45B．42C．25D．22

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出．

【詳解】因為z1i，所以iz3zi1i31i22i，所以iz3z4422．

故選：D.

11．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足iz34i，則z（）

A．1B．5C．7D．25

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)四則運算，先求出z，再計算復(fù)數(shù)的模．

34i34ii22

【詳解】由題意有z43i，故|z|435．

iii

故選：B．

3+i

12．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則=．

i

【答案】10

3i

【分析】先由復(fù)數(shù)除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)模長公式即可計算求解.

i

3i3i22

【詳解】先由題得i3i13i，所以1310.

ii

故答案為：10

13．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知當(dāng)z1i，則1iz；

【答案】5

【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.

【詳解】1iz1i(1i)2i，|1iz||2i|5.

故答案為：5.

考點04復(fù)數(shù)模的最值

14．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知復(fù)數(shù)z滿足z2(z)2,|z|1，則|z23i|的最小值是．

【答案】22

【分析】先設(shè)zabi，利用復(fù)數(shù)的乘方運算及概念確定ab0，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計算即

可.

【詳解】設(shè)zabia,bR,zabi，

2

由題意可知z2a22abib2za22abib2，則ab0，

又za2b21，由復(fù)數(shù)的幾何意義知z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Za,b在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸

上運動，如圖所示即線段AB,CD上運動，

設(shè)E2,3，則z23iZE，由圖象可知BE10CE22，

所以

ZEmin22.

故答案為：22

考點05復(fù)數(shù)的幾何意義

15．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，13i3i對應(yīng)的點位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為13i3i38i3i268i，

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為6,8，位于第一象限.

故選：A.

16．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,3)，則z的共軛復(fù)數(shù)z（）

A．13iB．13i

C．13iD．13i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計算.

【詳解】z在復(fù)平面對應(yīng)的點是(1,3)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z13i，

由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，z13i.

故選：D

2i

17．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

13i

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

2i

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.

13i

2i2i13i55i1i11

【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,，

13i1010222

該點在第一象限，

故選：A.

考點06共軛復(fù)數(shù)

18．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)z2i，則zz（）

A．2B．2C．2D．2

【答案】D

【分析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算.

【詳解】依題意得，z2i，故zz2i22.

故選：D

19．（2024·全國甲卷·高考真題）若z5i，則izz（）

A．10iB．2iC．10D．2

【答案】A

【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運算直接求解.

【詳解】由z5iz5i,zz10，則izz10i.

故選：A

20．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若i(1z)1，則zz（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z，從而可求zz.

1i

【詳解】由題設(shè)有1zi，故z1+i，故zz1i1i2，

ii2

故選：D

1i

21．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知z，則zz（）

22i

A．iB．iC．0D．1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到z，從而解出．

1i1i1i2i11

【詳解】因為zi，所以zi，即zzi．

22i21i1i422

故選：A．

z

22．（2022·全國甲卷·高考真題）若z13i，則（）

zz1

1313

A．13iB．13iC．iD．i

3333

【答案】C

【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.

【詳解】z13i,zz(13i)(13i)134.

z13i13

i

zz1333

故選：C

2i

23．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)z，則z（）

1i2i5

A．12iB．12iC．2iD．2i

【答案】B

【分析】由題意首先計算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.

2i2ii2i2i1

【詳解】由題意可得z12i，

1i2i511ii21

則z12i.

故選：B.

24．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知z2i，則zzi（）

A．62iB．42iC．62iD．42i

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

2

【詳解】因為z2i，故z2i，故zzi2i22i=4+4i2i2i62i

故選：C.

25．（2022·上?！じ呖颊骖}）已知z1i（其中i為虛數(shù)單位），則2z；

【答案】22i

【分析】先由z1i求出z，從而可求出2z

【詳解】因為z1i，所以z1i，

所以2z21i22i，

故答案為：22i

26．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)2zz3zz46i，則z（）

A．12iB．12iC．1iD．1i

【答案】C

【分析】設(shè)zabi，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于a、b的等式，解出這兩個未知數(shù)

的值，即可得出復(fù)數(shù)z.

【詳解】設(shè)zabi，則zabi，則2zz3zz4a6bi46i，

4a4

所以，，解得ab1，因此，z1i.

6b6

故選：C.

考點07復(fù)數(shù)的四則運算

92i

27．（2021·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．

2i

【答案】4i

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.

92i92i2i205i

【詳解】4i.

2i2i2i5

故答案為：4i.

113i

28．（2022·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為．

1+2i

【答案】15i/5i1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出．

113i113i12i11625i

【詳解】15i．

1+2i1+2i12i5

故答案為：15i．

514i

29．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為．

23i

【答案】4i/i4

【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則，分子分母同時乘以23i，然后計算其運算結(jié)果即可.

514i514i23i5213i

【詳解】由題意可得4i.

23i23i23i13

故答案為：4i.

30．（2024·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5i52i．

【答案】75i

【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運算法則計算即可得.

【詳解】5i52i55i25i275i.

故答案為：75i.

31．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)iz43i，則z（）

A．–34iB．34iC．34iD．34i

【答案】C

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則即可求得z的值.

43i43ii4i3

【詳解】由題意可得：z34i.

ii21

故選：C.

32．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）(22i)(12i)（）

A．24iB．24iC．62iD．62i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求22i12i.

【詳解】22i12i244i2i62i，

故選：D.

1

33．（2025·全國二卷·高考真題）已知z1i，則（）

z1

A．iB．iC．1D．1

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.

111i

【詳解】因為z1i，所以i.

z11i1ii2

故選：A.

z

34．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若1i，則z（）

z1

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.

zz1111

【詳解】因為11i，所以z11i.

z1z1z1i

故選：C.

z

35．（2024·北京·高考真題）已知1i，則z（）．

i

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】