專題15直線與圓10種常見(jiàn)考法歸類

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)01直線與直線的夾角

2021·上海

知識(shí)1直線的

考點(diǎn)02兩點(diǎn)間的距離

方程

2024·北京

（5年2考）1.圓的方程及相關(guān)應(yīng)用是考查核

考點(diǎn)03求點(diǎn)到直線的距離心：從數(shù)據(jù)來(lái)看，“圓的方程”相關(guān)

2024·北京考點(diǎn)考查覆蓋求圓的方程、圓心半

徑確定、直線與圓的位置關(guān)系、弦

考點(diǎn)04求圓的方程

長(zhǎng)、切線、對(duì)稱及最值問(wèn)題，幾乎

2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷

涵蓋圓的全部核心知識(shí)點(diǎn)。其中，

考點(diǎn)05由圓的方程確定圓心和半徑圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題和圓的最值問(wèn)題出

2023·上海2023·全國(guó)乙卷現(xiàn)頻率較高，體現(xiàn)了對(duì)直線與圓位

置關(guān)系、幾何性質(zhì)應(yīng)用的重點(diǎn)考

考點(diǎn)06直線與圓的位置關(guān)系

查，且在天津、北京等地區(qū)的考題

2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2022·上海2021·新高考全

國(guó)Ⅱ卷中尤為突出，穩(wěn)定性強(qiáng)。

直線方程相關(guān)考點(diǎn)考查較少但基

知識(shí)2圓的方考點(diǎn)07圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題2.

礎(chǔ)不減：直線的方程相關(guān)考點(diǎn)涉

程2025·天津2024·全國(guó)甲卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷“”

及夾角、距離等基礎(chǔ)內(nèi)容，雖頻率

（5年5考）2022·天津2021·北京

低，但作為解析幾何的基礎(chǔ)，其與

2021·天津

圓的綜合應(yīng)用（如直線與圓的位置

考點(diǎn)08圓的切線問(wèn)題

關(guān)系中涉及的距離公式）是隱含的

2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷

考查點(diǎn)，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)概念的間接

考點(diǎn)09圓的對(duì)稱問(wèn)題重視。

2022·北京

考點(diǎn)10圓的最值問(wèn)題

2025·全國(guó)一卷2023·全國(guó)乙卷2023·北京

2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷

考點(diǎn)01直線與直線的夾角

1．（2021·上?！じ呖颊骖}）求直線x2與直線3xy10的夾角為.

【答案】

6

【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．

【詳解】解：直線x2的斜率不存在，傾斜角為，

2

直線3xy10的斜率為3，傾斜角為，

3

故直線x2與直線3xy10的夾角為，

236

故答案為：．

6

考點(diǎn)02兩點(diǎn)間的距離

2．（2024·北京·高考真題）已知Mx,y|yxtx2x,1x2,0t1是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.

設(shè)d是M中兩點(diǎn)間距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則（）

A．d3，S1B．d3，S1

C．d10，S1D．d10，S1

【答案】C

yx2

【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域yx，結(jié)合圖形分析求解即可.

1x2

【詳解】對(duì)任意給定x1,2，則x2xxx10，且t0,1，

可知xxtx2xxx2xx2，即xyx2，

yx2

再結(jié)合x(chóng)的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域yx，

1x2

如圖陰影部分所示，其中A1,1,B2,2,C2,4，

22

可知任意兩點(diǎn)間距離最大值dAC121410，

1

陰影部分面積SS△121.

ABC2

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，

見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確

把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．

考點(diǎn)03求點(diǎn)到直線的距離

3．（2024·北京·高考真題）圓x2y22x6y0的圓心到直線xy20的距離為（）

A．2B．2C．3D．32

【答案】D

【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.

22

【詳解】由題意得x2y22x6y0，即x1y310，

132

32

則其圓心坐標(biāo)為1,3，則圓心到直線xy20的距離為2.

121

故選：D.

考點(diǎn)04求圓的方程

4．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線2xy10上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在M上，則M的方程

為．

【答案】(x1)2(y1)25

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.

【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓

∵點(diǎn)M在直線2xy10上，

∴設(shè)點(diǎn)M為(a,12a)，又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在M上，

∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，

∴(a3)2(12a)2a2(2a)2R，

a26a94a24a15a2，解得a1，

∴M(1,1)，R5，

M的方程為(x1)2(y1)25.

故答案為：(x1)2(y1)25

[方法二]：圓的幾何性質(zhì)

由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線2xy10的交點(diǎn)(1,-1).R5,

M的方程為(x1)2(y1)25.

故答案為：(x1)2(y1)25

5．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．

222

2222476582169

【答案】x2y313或x2y15或xy或xy1．

339525

【分析】方法一：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；

【詳解】[方法一]：圓的一般方程

依題意設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，

F0F0

（1）若過(guò)0,0，4,0，1,1，則164DF0，解得D4，

11DEF0E6

22

所以圓的方程為x2y24x6y0，即x2y313；

F0F0

（2）若過(guò)0,0，4,0，4,2，則164DF0，解得D4，

1644D2EF0E2

22

所以圓的方程為x2y24x2y0，即x2y15；

F0

F0

8

（3）若過(guò)0,0，4,2，1,1，則11DEF0，解得D，

3

1644D2EF0

14

E

3

22

228144765

所以圓的方程為xyxy0，即xy；

33339

16

F

11DEF05

16

（4）若過(guò)1,1，4,0，4,2，則164DF0，解得D，所以圓的方程為

5

1644D2EF0

E2

2

22161682169

xyx2y0，即xy1；

55525

22

22224765

故答案為：x2y313或x2y15或xy或

339

2

82169

xy1．

525

[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）

設(shè)點(diǎn)A0,0，B4,0，C1,1，D4,2

（1）若圓過(guò)A、B、C三點(diǎn)，圓心在直線x2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，

2

則4a29a1a3,r4a213，所以圓的方程為(x2)2(y3)213；

（2）若圓過(guò)A、B、D三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，則4a24(a2)2a1,r4a25，所以圓

的方程為(x2)2(y1)25；

（3）若圓過(guò)A、C、D三點(diǎn)，則線段AC的中垂線方程為yx1，線段AD的中垂線方程為y2x5，

4765427265

聯(lián)立得x,yr，所以圓的方程為(x)(y)；

333339

（4）若圓過(guò)B、C、D三點(diǎn)，則線段BD的中垂線方程為y1，線段BC中垂線方程為y5x7，聯(lián)立得

81382169

x,y1r，所以圓的方程為(x-)2y1．

55525

22

22224765

故答案為：x2y313或x2y15或xy或

339

2

82169

xy1．

525

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；

方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．

考點(diǎn)05由圓的方程確定圓心和半徑

6．（2023·上海·高考真題）已知圓x2y24xm0的面積為π，則m．

【答案】3

【分析】根據(jù)圓的面積求出圓的半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出半徑即可列方程求解.

【詳解】圓x2y24xm0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x2)2y24m，

圓的面積為S=πr2π，圓的半徑為r1，

4m1，解得m3．

故答案為：3

7．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域x,y1x2y24內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，

π

記該點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）

4

1111

A．B．C．D．

8642

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

22

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域x,y|1xy4表示以O(shè)0,0圓心，外圓半徑R2，內(nèi)圓半徑r1的圓環(huán)，

ππ

則直線OA的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角MON，

44

1

3π

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率1.

P4

3π4

故選：C.

考點(diǎn)06直線與圓的位置關(guān)系

8．【多選】（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知直線l:axbyr20與圓C:x2y2r2，點(diǎn)A(a,b)，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離

C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切

【答案】ABD

【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為a2b2,r2的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位

置關(guān)系即可得解.

r2

【詳解】圓心C0,0到直線l的距離d，

a2b2

r2

若點(diǎn)Aa,b在圓C上，則a2b2r2，所以d=r，

a2b2

則直線l與圓C相切，故A正確；

r2

若點(diǎn)Aa,b在圓C內(nèi)，則a2b2r2，所以d>r，

a2b2

則直線l與圓C相離，故B正確；

r2

若點(diǎn)Aa,b在圓C外，則a2b2r2，所以d<r，

a2b2

則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；

若點(diǎn)Aa,b在直線l上，則a2b2r20即a2b2=r2，

r2

所以d=r，直線l與圓C相切，故D正確.

a2b2

故選：ABD.

9．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)A(2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于ya對(duì)稱的直線與圓

(x3)2(y2)21有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．

13

【答案】,

32

【分析】首先求出點(diǎn)A關(guān)于ya對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等

于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：A2,3關(guān)于ya對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A2,2a3，B0,a在直線ya上，

a3

所以AB所在直線即為直線l，所以直線l為yxa，即a3x2y2a0；

2

22

圓C:x3y21，圓心C3,2，半徑r1，

3a342a

依題意圓心到直線的距離d1，

l2

a322

2221313

即55aa32，解得a，即a,；

3232

13

故答案為：,

32

22

10．（2022·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知關(guān)于點(diǎn)集Ωx,yxkyk24k,kZ的

兩個(gè)結(jié)論：

①存在直線l，使得集合中不存在點(diǎn)在直線l上，而存在點(diǎn)在l的兩側(cè)；

②存在直線l，使得集合中存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在直線上.

則下列判斷正確的是（）

A．①成立，②成立B．①成立，②不成立

C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立

【答案】B

【分析】

對(duì)于①只需要找一條直線，使得一部分圓在直線的方程，余下圓在直線的下方即可.對(duì)于②從極限的思想考

慮.

【詳解】對(duì)于①，取直線y20.5,

則對(duì)于任意的0k4，有k22k1642020.5，

22

故圓xkyk24k均在直線y20.5的下方，

而對(duì)任意的k4，有k22k2520.5，

22

故圓xkyk24k均在直線y20.5的上方，

22

而當(dāng)k0時(shí)，xkyk24k表示原點(diǎn)，它在直線y20.5的下方，

故此時(shí)集合中所有的點(diǎn)均不在直線y20.5上，且存在點(diǎn)在直線y20.5的兩側(cè).

所以①成立.

2

2mkkt

對(duì)于②，設(shè)直線l的方程為ymxt，則圓心k,k到直線l的距離為d

1m2

mkk2t

當(dāng)k時(shí)d2kr所以直線l只能與有限個(gè)圓相交，所以②不成立.

1m2

故選：B

考點(diǎn)07圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

11．（2021·北京·高考真題）已知直線ykxm（m為常數(shù)）與圓x2y24交于點(diǎn)M，N，當(dāng)k變化時(shí)，若|MN|

的最小值為2，則m

A．1B．2C．3D．2

【答案】C

【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值得出m

【詳解】由題可得圓心為0,0，半徑為2，

m

則圓心到直線的距離d，

k21

m2

則弦長(zhǎng)為|MN|24，

k21

則當(dāng)k0時(shí)，MN取得最小值為24m22，解得m3.

故選：C.

12．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直線axbya2b0與圓C：x2y24y1=0交于A,B兩點(diǎn)，則AB

的最小值為（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過(guò)定點(diǎn)P1,2，從而可得當(dāng)PCAB時(shí)，AB的最小，結(jié)合勾股定理

代入計(jì)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€axbya2b0，即ax1by20，令x10，

則x1,y2，所以直線過(guò)定點(diǎn)1,2，設(shè)P1,2，

2

將圓C：x2y24y1=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為x2y25，

所以圓心C0,2，半徑r5，PC1

當(dāng)PCAB時(shí)，AB的最小，

2

此時(shí)AB2r2PC2514.

故選：C

13．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知b是a,c的等差中項(xiàng)，直線ax+by+c=0與圓x2y24y10交于A,B

兩點(diǎn)，則AB的最小值為（）

A．1B．2C．4D．25

【答案】C

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以2bac，c2ba，代入直線方程ax+by+c=0得

x10x1

axby2ba0，即ax1by20，令得，

y20y2

2

故直線恒過(guò)1,2，設(shè)P1,2，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:x2y25，

設(shè)圓心為C，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)PCAB時(shí)，AB最小，

PC1,ACr5，此時(shí)AB2AP2AC2PC22514.

故選：C

222

14．（2025·天津·高考真題）l1:xy60，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與(x1)(y3)r交

于C、D兩點(diǎn)，|AB|3|CD|，則r．

【答案】2

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得出|AB|62，再計(jì)算出圓心到直線的距離d，根據(jù)弦長(zhǎng)公式

|CD|2r2d2列等式求解即可.

22

【詳解】因?yàn)橹本€l1:xy60與x軸交于A6,0，與y軸交于B0,6，所以|AB|6662，所

以CD22，

2|136|

圓(x1)2y3r2的半徑為r，圓心(1,3)到直線l:xy60的距離為d2，

12

2

故CD2r2d22r2222，解得r2；

故答案為：2.

22

15．（2022·天津·高考真題）若直線xym0m0被圓x1y13截得的弦長(zhǎng)為m，則m的值

為．

【答案】2

【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.

22

【詳解】圓x1y13的圓心坐標(biāo)為1,1，半徑為3，

11mm

圓心到直線xym0m0的距離為，

22

22

mm

由勾股定理可得3，因?yàn)閙0，解得m2.

22

故答案為：2.

22

16．（2021·天津·高考真題）若斜率為3的直線與y軸交于點(diǎn)A，與圓xy11相切于點(diǎn)B，則

AB．

【答案】3

2

【分析】設(shè)直線AB的方程為y3xb，則點(diǎn)A0,b，利用直線AB與圓x2y11相切求出b的值，

求出AC，利用勾股定理可求得AB.

【詳解】設(shè)直線AB的方程為y3xb，則點(diǎn)A0,b，

2

由于直線AB與圓x2y11相切，且圓心為C0,1，半徑為1，

b1

則1，解得b1或b3，所以AC2，

2

22

因?yàn)锽C1，故ABACBC3.

故答案為：3.

2

17．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線l:xmy10與C:x1y24交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足

8

“VABC面積為”的m的一個(gè)值．

5

11

【答案】2（2,2,,中任意一個(gè)皆可以）

22

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)AB，以及點(diǎn)C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出．

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，由弦長(zhǎng)公式得AB24d2，

1284525

所以S△ABCd24d，解得：d或d，

2555

1122452251

由d，所以或，解得：m2或m．

1m21m21m251m252

11

故答案為：2（2,2,,中任意一個(gè)皆可以）．

22

考點(diǎn)08圓的切線問(wèn)題

18．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過(guò)點(diǎn)0,2與圓x2y24x10相切的兩條直線的夾角為，則sin（）

15106

A．1B．C．D．

444

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，

結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得k28k10，利用韋達(dá)定理結(jié)合

夾角公式運(yùn)算求解.

2

【詳解】方法一：因?yàn)閤2y24x10，即x2y25，可得圓心C2,0，半徑r5，

過(guò)點(diǎn)P0,2作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B，

22

因?yàn)镻C22222，則PAPCr23，

51036

可得sinAPC,cosAPC，

224224

10615

則sinAPBsin2APC2sinAPCcosAPC2，

444

22

226101，

cosAPBcos2APCcosAPCsinAPC0

444

即APB為鈍角，

15

所以sinsinπAPBsinAPB；

4

法二：圓x2y24x10的圓心C2,0，半徑r5，

過(guò)點(diǎn)P0,2作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B，連接AB，

22

可得PC22222，則PAPBPCr23，

2222

因?yàn)镻APB2PAPBcosAPBCACB2CACBcosACB

且ACBπAPB，則336cosAPB5510cosπAPB，

1

即3cosAPB55cosAPB，解得cosAPB0，

4

1

即APB為鈍角，則coscosπAPBcosAPB，

4

15

且為銳角，所以sin1cos2；

4

方法三：圓x2y24x10的圓心C2,0，半徑r5，

若切線斜率不存在，則切線方程為x0，則圓心到切點(diǎn)的距離d2r，不合題意；

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為ykx2，即kxy20，

2k2

則5，整理得k28k10，且644600

k21

設(shè)兩切線斜率分別為k1,k2，則k1k28,k1k21，

可得2，

k1k2k1k24k1k2215

k1k2sinsin

所以tan15，即15，可得cos，

1k1k2cos15

sin2

則sin2cos2sin21，

15

15

且0,π，則sin0，解得sin.

4

故選：B.

19．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）寫出與圓x2y21和(x3)2(y4)216都相切的一條直線的方

程．

35725

【答案】yx或yx或x1

442424

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】[方法一]：

顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為x+by+c=0，

|c||34bc|

于是1，4.

1b21b2

故c21b2①，|34bc||4c|.于是34bc4c或34bc4c，

244

bb

b073

再結(jié)合①解得或或，

c1255

cc

73

所以直線方程有三條，分別為x10，7x24y250，3x4y50.

(填一條即可)

[方法二]：

22

設(shè)圓xy1的圓心O(0,0)，半徑為r11，

22

圓(x3)(y4)16的圓心C(3,4)，半徑r24，

則|OC|5r1r2，因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x10符合題意；

又由方程(x3)2(y4)216和x2y21相減可得方程3x4y50，

即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x3y0，

4

直線OC與直線x10的交點(diǎn)為(1,)，

3

4

4k7

設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為yk(x1)，則3，解得k，

3124

k21

從而該切線的方程為7x24y250.(填一條即可)

[方法三]：

圓x2y21的圓心為O0,0，半徑為1，

22

圓(x3)(y4)16的圓心O1為(3,4)，半徑為4，

兩圓圓心距為32425，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

433

當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)閗，所以k，設(shè)方程為yxt(t0)

OO13l44

|t|

d1535

O到l的距離9，解得t，所以l的方程為yx，

1444

16

當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為kxyp0，其中p0，k0，

p7

1k

1k224725

由題意，解得，yx

3k4p252424

4p

2

1k24

當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為x1，

35725

故答案為：yx或yx或x1.

442424

考點(diǎn)09圓的對(duì)稱問(wèn)題

20．（2022·北京·高考真題）若直線2xy10是圓(xa)2y21的一條對(duì)稱軸，則a（）

11

A．B．C．1D．1

22

【答案】A

【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．

1

【詳解】由題可知圓心為a,0，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2a010，解得a．

2

故選：A．

考點(diǎn)10圓的最值問(wèn)題

21．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2y24x2y40，則xy的最大值是（）

32

A．1B．4C．132D．7

2

【答案】C

22

【分析】法一：令xyk，利用判別式法即可；法二：通過(guò)整理得x2y19，利用三角換元法即

可，法三：整理出圓的方程，設(shè)xyk，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

【詳解】法一：令xyk，則xky，

代入原式化簡(jiǎn)得2y22k6yk24k40，

2

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y，則0，即2k642k24k40，

化簡(jiǎn)得k22k170，解得132k132，

故xy的最大值是321，

22

法二：x2y24x2y40，整理得x2y19，

令x3cos2，y3sin1，其中0,2π，

π

則xy3cos3sin132cos1，

4

ππ9ππ7

0,2，所以,，則2π，即時(shí)，xy取得最大值321，

44444

法三：由x2y24x2y40可得(x2)2(y1)29，

|21k|

設(shè)xyk，則圓心到直線xyk的距離d3，

2

解得132k132

故選：C.

22．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）若圓x2(y2)2r2(r0)上到直線y3x2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2

個(gè)，則r的取值范圍是（）

A．(0,1)B．(1,3)C．(3,)D．(0,)

【答案】B

【分析】先求出圓心E0,2到直線y3x2的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

2

在圓x2y2r2r0中，圓心E0,2，半徑為r，

到直線y3x2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，

03212

∵圓心E0,2到直線的距離為：d2，

y3x222

31

故由圖可知，

當(dāng)r1時(shí)，

2

圓x2y2r2r0上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（A點(diǎn)）到直線y3x2的距離等于1；

當(dāng)r3時(shí)，

2

圓x2y2r2r0上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（B,C,D點(diǎn)）到直線y3x2的距離等于1；

當(dāng)則r的取值范圍為1,3時(shí)，

2

圓x2y2r2r0上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線y3x2的距離等于1.

故選：B.

22

23．【多選】（2021·新