2025年日本高次方程競賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z^3=1,則z^2025的值為?2.方程x^4-4x^3+4x^2-4x+3=0的實數(shù)根的個數(shù)為?3.已知a,b為實數(shù)，且a^2+b^2=1,則a^2+3b^2的取值范圍是?4.方程2x^3-3x^2+ax-b=0在x=1時有一個重根，則a+b的值為?5.若多項式f(x)=x^3+px^2+qx+r的三個根分別是1,2,-3,則p+q+r的值為?2.方程x^3-3x^2+2x=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的所有根為?4.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2且z^2的實部為0,則z^3的模長為?5.方程x^4+4x^2+3=0的實數(shù)解為?3.解方程2x^3-3x^2+ax-b=0,其中a,b為實數(shù)，且在x=1時有一個重根。4.若多項式f(x)=x^3+px^2+qx+r的三個根分別是1,2,-3,求p,q,r的值。5.已知復(fù)數(shù)z滿足z^3=1,求z^2025的值。1.設(shè)實數(shù)x滿足x^4-6x^2+5=0,證明x^2不是整數(shù)。2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2且z^2的實部為0,證明z^3的模長為4√3。答案與解析解析：z^3=1的根為1,@,w^2,其中w=e^(2πi/3)。因此，z^2025=(z^3)^671z^2=1^671z^2=z^2。由于z^3=1,z^2的模長為1,且z^2可能是1或-1。因此，z^2025的值為-i。解析：令f(x)=x^4-4x^3+4x^2-4x+3,則f'(x)=4x^3-12x^2+8x-4。解f'上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減。故實數(shù)根的個數(shù)為2。解析：由題意知，x=1是方程2x^3-3x^2+ax-b=0的重根，故x=1也是方程2x^2-x+a=0的根。解得a=1。將x=1代入原方程得b=-2。因此，a+b=3。解析：由韋達定理知，p=-(1+2-3)=0,q1.1或5解析：令t=x^2,則t^2-6t+5=0。解得t=1或5。因此，x^2的值為1或5。解析：x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)=0。因此，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的所有根為0,1,2。解析：設(shè)多項式f(x)=x^3-ax^2+bx-5的根為r,-r,s。由韋達定理知，r+(一8i。z^3的模長為8。解析：令t=x^2,則t^2+4t+3=0。解得t=-1或-3。由于x^2≥0,故t=-3不合題意。因此，x^2=-1,x=±i。但由于題目要求實數(shù)解，故無解。三、解答題1.證明：令f(x)=x^4-4x^3+4x^2-4x+3,則f'(x)=4x^3-12x^2+8x-4。解f'(x)=0得x=1。又f(1)=0,f(-1)=8,f(2)=3。因此，f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減。故f(x)在x=1處取得最小值0,且在x=1的兩側(cè)函數(shù)值均大于0。因此，f(x)=0在x=1處只有一個實數(shù)根，且沒有兩個相等的實數(shù)根。3.解：由題意知，x=1是方程2x^3-3x^2+ax-b=0的重根，故x=1也是方程2x^2-x+a=0的根。解得a=1。將x=1代入原方程得b=-2。因此，方程為2x^3-3x^2+x-4.解：由韋達定理知，p=-(1+2-3)=0,q=12+2(-3)+1(-3)=-9z^2025=(z^3)^671z^2=1^671z^2=z^2。由于z^3=1,z^2的模長為1,且z^2可能是1或-1。因此，z^2025的值為-i。1.證明：由x^4-6x^2+5=0,得(x^2-1)(x^2-5)=0。因此，x^2=1或x^2=5。當(dāng)2.證明