重難點(diǎn)突破11圓錐曲線中的探索性與綜合性問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值...............................................2

題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值...........................................3

題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等.....................................................5

題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立.....................................................6

題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值...............................................7

題型六：存在定直線問題.........................................................9

題型七：存在定圓問題..........................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

解決存在性問題的技巧：

（1）特殊值（點(diǎn)）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，

然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.

（2）假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論.若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在.

題型一：存在點(diǎn)使向量數(shù)量積為定值

f21

【典例1-1］（2024?北京通州?二模）己知橢圓E：3+與v=1（。＞人＞0）的長軸長為4,離心率為二.

a2b12

⑴求橢圓E的方程；

⑵直線/過橢圓E的左焦點(diǎn)凡且與E交于兩點(diǎn)（不與左右頂點(diǎn)重合），點(diǎn)T&0）在x軸正半軸上，

直線7M交丫軸于點(diǎn)P,直線力V交V軸于點(diǎn)。，問是否存在/,使得并?費(fèi)為定值？若存在，求出/的值

及定值；若不存在，請說明理由.

fv21

【典例1-2】己知橢圓與+多=1（。＞6＞0）橢圓的離心率e=彳.左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為BC是線段02

ab2

的中點(diǎn)，其中以曲=孚.

（1）求橢圓方程.

⑵過點(diǎn)的動直線（斜率存在）與橢圓有兩個交點(diǎn)尸，Q.在y軸上是否存在點(diǎn)T使得NPTQ為銳角？

若存在求出這個T點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由.

22=1(?！?〉0)的左焦點(diǎn)為片，右焦點(diǎn)為B，離心率e=g，過片

【變式1-1】如圖所示，橢圓E?工+21

a2b2

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△A3鳥的周長為8.

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)動直線/：>=后+機(jī)與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)尸，且與直線尤=4相交于點(diǎn)。，試探究：在坐標(biāo)平

面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M使得以P。為直徑的圓恒過定點(diǎn)M?若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請說明理由.

22

【變式1-2](2024?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知橢圓C：T+2=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,過右焦點(diǎn)歹

a~b'

且平行于y軸的弦PQ=A尸=3.

⑴求△AP。的內(nèi)心坐標(biāo)；

(2)是否存在定點(diǎn)。，使過點(diǎn)。的直線/交C于",N,交PQ于點(diǎn)R,且滿足標(biāo).而=礪.麗？若存在，

求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

題型二：存在點(diǎn)使斜率之和或之積為定值

22

【典例2力(2。24.四川宜賓三模)已知橢圓風(fēng)爭?1的左右焦點(diǎn)分別為%工，過焦點(diǎn)與斜率為

K的直線《與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，過焦點(diǎn)F?斜率為履的直線4與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，且

119

—I------二

發(fā)k24,

（1）求直線K與4的交點(diǎn)N的軌跡M的方程；

（2）若直線。4,OB,0C,的斜率分別為七4，&koc,心°,問在（1）的軌跡M上是否存在點(diǎn)P,

滿足eA+%B+心c+左”=0,若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【典例2-2】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）已知橢圓C:「+/=1（。>6>0）的離心率為乎，過點(diǎn)尸（0M）的

直線/與橢圓C相交于A8兩點(diǎn)，當(dāng)/過坐標(biāo)原點(diǎn)。時，|AB|=2.

⑴求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)/斜率存在時，線段0P上是否存在定點(diǎn)。，使得直線QA與直線。8的斜率之和為定值.若存在，求

出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22

【變式2-1］（2024?高三?河北?期末）已知4，4分別是橢圓E：2+2=16>6>0）的左、右頂點(diǎn)，P是

橢圓E的上頂點(diǎn)，且/尸44=30。，△必4的周長為4+2石.

⑴求橢圓E的方程.

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為;的直線/與橢圓E相交于M,N兩點(diǎn)，直線ON,ON的斜率分別為峭也是

k+k

否存在常數(shù)4,使得I:"一為定值?若存在，求出幾的值；若不存在，說明理由.

1-Akxk2

【變式2-2］（2024?新疆喀什?三模）已知雙曲線E：爐-3y2=3的左、右焦點(diǎn)分別為可，工，A是直線/：

y=-4^（其中。是實(shí)半軸長，c是半焦距）上不同于原點(diǎn)。的一個動點(diǎn)，斜率為尤的直線A片與雙曲線

a

E交于M,N兩點(diǎn)，斜率為履的直線A工與雙曲線E交于P,。兩點(diǎn).

11

⑴求/+二的值；

（2）若直線OM,ON,OP,。。的斜率分別為勺M，&kOP,原°,問是否存在點(diǎn)A,滿足

kOM+kON+kOP+kOQ=G,若存在，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

題型三：存在點(diǎn)使兩角度相等

【典例3-1］（2024.重慶?一模）已知點(diǎn)”為圓C:（X-2）2+/=4上任意一點(diǎn)，5（-2,0）,線段"8的垂直

平分線交直線MC于點(diǎn)。.

（1）求。點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)C的直線/與。點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)P,且點(diǎn)尸在第一象限內(nèi).已知A（-L0）,請問是否存在常數(shù)X,

使得々C4=4NR4c恒成立？若存在，求2的值，若不存在，請說明理由.

22

【典例3-2】（2024?湖南邵陽?一模）已知橢圓C:\+與=1（。>6>0）的短軸長為6,右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距

a-b

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn).過點(diǎn)（3,0）的直線/與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)瓦/，且都在*軸的

上方.在x軸上是否存在點(diǎn)p,使NAPE=/OPF,若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式3-1］（2024?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）已知橢圓G：*+y2=l（q>l）的左右焦點(diǎn)分別為小居，A,B分

a

別為橢圓C］的上，下頂點(diǎn)，居到直線做的距離為百.

⑴求橢圓C1的方程；

(2)直線x=x。與橢圓Cj交于不同的兩點(diǎn)C,D,直線AC,4。分別交x軸于P,Q兩點(diǎn).問：y軸上是否存在點(diǎn)

R,使得NOAP+NOR。：］?若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22

【變式3-2］己知橢圓C:a+方=1(。>6>0)經(jīng)過點(diǎn)人(-2,0)且兩個焦點(diǎn)及短軸兩頂點(diǎn)圍成四邊形的面積

為4.

⑴求橢圓C的方程和離心率；

(2)設(shè)P,。為橢圓C上不同的兩個點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)E,直線AQ與y軸交于點(diǎn)尸，且尸、0、Q

三點(diǎn)共線.其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).問：龍軸上是否存在點(diǎn)M,使得Z4ME=NE??若存在，求點(diǎn)/的坐標(biāo)，

若不存在，說明理由.

題型四：存在點(diǎn)使等式恒成立

【典例4-1】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是耳(-1,0),6(1,0),過點(diǎn)尸2垂直于長軸的直線/交橢圓c于8、D

兩點(diǎn),且囪=3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過定點(diǎn)尸(0,2)且斜率為左的直線/與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)M,N,試判斷：在x軸上是否存在點(diǎn)

A(m0),使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；若不存在，請

說明理由.

⑴求r的方程；

⑵已知點(diǎn)A(玉,%)，B(x2,y2),C(w，%)(王<尤2<%)為拋物線「上任意三點(diǎn)，記VABC面積為S1,分

別在點(diǎn)A、B、C處作拋物線「的切線4、4、4，4與6的交點(diǎn)為。，6與4的交點(diǎn)為E,4與4的交點(diǎn)為尸,

記ADEF面積為邑，是否存在實(shí)數(shù)X,使得邑？若存在，求出2的值，若不存在，請說明理由.

【典例4-2】(2024?高三?貴州?期中)己知橢圓C：的離心率為;，且經(jīng)過點(diǎn)11,-|：

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)作直線/與橢圓相交與A,5兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)。，使得兩條不同直線QA,

恰好關(guān)于x軸對稱，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【變式4-1](2024.北京.三模)已知橢圓C:=+[=l的離心率為逅，其長軸的兩個端點(diǎn)分別為4(-3,0),

ab3

B(3,O).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)P為橢圓上除A,B外的任意一點(diǎn)，直線AP交直線x=4于點(diǎn)E,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)：過點(diǎn)。且與直線

BE垂直的直線記為/,直線8尸交'軸于點(diǎn)交直線/于點(diǎn)N,問：是否存在點(diǎn)P使得AABE與△MON

的面積相等?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

題型五：存在點(diǎn)使線段關(guān)系式為定值

x2,2

【典例5-1】(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知橢圓C:—+乙=l(a>>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，4,橢圓c

"b2

3

的焦距是2,P(異于4,4)是橢圓c上的動點(diǎn)，直線AP與4尸的斜率之積為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)0耳分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，。是耳弱內(nèi)切圓的圓心，試問平面上是否存在定點(diǎn)M,N,使得

|Q〃|+|QN|為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.

22

【典例5-2】(2024.河南濮陽?模擬預(yù)測)已知雙曲線C:=-==l(a>0,b>0),用工分別是C的左、右焦

ab

點(diǎn).若C的離心率e=2,且點(diǎn)(4,6)在C上.

⑴求C的方程；

(2)若過點(diǎn)F?的直線/與C的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線V=16x交于P,Q兩點(diǎn)，試問是否存

12

在常數(shù)2,使得兩一兩為定值？若存在，求出常數(shù)X的值；若不存在，請說明理由.

22

【變式5-1](2024.全國.模擬預(yù)測)已知橢圓G：二+與=1(。>6>。)的一個頂點(diǎn)在圓

ab

2

C2:x+/-mj=0(weR)±,對任意實(shí)數(shù)％,G上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線/：依7+1=0對稱，直線/與C1交

于點(diǎn)4,4,與c2交于點(diǎn)耳線心在吊血之間，且左=0時>4|+|4閔=3如—2.

⑴求G的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)是否存在與G不重合的定點(diǎn)c,使得|c4111GdkCAllSl成立，若存在，求出點(diǎn)c的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

22

【變式5-2](2024?廣東江門?模擬預(yù)測)已知橢圓E:J+2=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為歹(2,0),順次連接橢

ab

圓E的四個頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個邊長2g的菱形.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線/：>=履+機(jī)與橢圓E有唯一的公共點(diǎn)過點(diǎn)M且與/垂直的直線乙分別交x軸、、軸于

A(x,0),3(0,y)兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，是否存在兩定點(diǎn)工Z，使得點(diǎn)尸(羽、)滿足|也|+戶刈恒為定值？若

存在，請求出定點(diǎn)入%的坐標(biāo)若不存在，請說明理由.

(3)對于第(2)問，如果推廣到一般的橢圓.求點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

題型六：存在定直線問題

22

【典例6-1】（2024.上海虹口.二模）已知橢圓的焦距為2g,點(diǎn)/0,1）在橢圓1上,

動直線/與橢圓r相交于不同的兩點(diǎn)48,且直線PAP8的斜率之積為1.

（I）求橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線PA為的法向量為n=（1,-2）,求直線/的方程；

（3）是否存在直線/,使得△上鉆為直角三角形？若存在，求出直線/的斜率；若不存在，請說明理由.

22

【典例6-2］（2024?安徽阜陽.三模）已知雙曲線C：與-，=1（。>0,6>0）,直線/在尤軸上方與x軸平行,

ab

交雙曲線C于A,2兩點(diǎn)，直線/交y軸于點(diǎn)D當(dāng)/經(jīng)過C的焦點(diǎn)時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,4）.

⑴求C的方程；

（2）設(shè)OD的中點(diǎn)為是否存在定直線/,使得經(jīng)過M的直線與C交于P,Q,與線段A2交于點(diǎn)N,

PM=XPN，詼=4畫均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

【變式6-1］（2024?河南安陽?一模）如圖，已知直線4：丁=&4：丁=-瓜，M是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，

MA/4且K4與4相交于點(diǎn)A（A位于第一象限），MBHI,,且MB與4相交于點(diǎn)8（B位于第四象限），若

四邊形。4MB（。為原點(diǎn)）的面積為

2

（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;

（2）過點(diǎn)產(chǎn)（2,0）的直線/與C相交于P,。兩點(diǎn)，是否存在定直線八%=心使以PQ為直徑的圓與直線/，相

交于E,尸兩點(diǎn)，且任\E女F\為定值，若存在，求出/，的方程，若4不存在，請說明理由.

22

【變式6-2］（2024?上海?三模）已知橢圓C：土+匕=1,居、工分別為左、右焦點(diǎn)，直線/過工交橢圓

84

于A、8兩點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)/￡AB=90。，且點(diǎn)A在無軸上方時，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶若直線AE交>軸于直線B4交y軸于N,是否存在直線/,使得S.w=S"即？若存在，求出直線

/的方程；若不存在，請說明理由.

題型七：存在定圓問題

22

【典例7-1】（2024?高三?湖北武漢?期末）已知雙曲線C:'-臺=1（。>0,6>0）,點(diǎn)*4,0）是C的右焦

ab

點(diǎn)，c的一條漸近線方程為y=6x.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)尸的直線與C的右支交于A8兩點(diǎn)，以為直徑的圓記為是否存在定圓與圓M內(nèi)切？若存

在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由.

22

【典例7-2】（2024?江蘇宿遷?三模）已知雙曲線C:三-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，點(diǎn)

ab

在雙曲線C上，且直線MF2的傾斜角是直線MFX的傾斜角的2倍.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A,8是雙曲線C上的兩個動點(diǎn)，且恒有=方，是否存在定圓與直線48相切？若存在，求出定

圓的方程，若不存在，請說明理由.

丫2

【變式7-1]（2024?安徽?一模）橢圓E:土+9=1的上頂點(diǎn)為尸，圓。：（%-1）2+丁2=/（廠＞（））在橢圓石內(nèi).

4-

（1）求『的取值范圍；

（2）過點(diǎn)尸作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B,切線出與橢圓E的另一個交點(diǎn)為N,切線PB與橢圓E的另

一個交點(diǎn)為M.是否存在圓C,使得直線MN與之相切，若存在求出圓C的方程，若不存在，說明理由.

0

//過關(guān)測試卡

22

1.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知橢圓C：=+當(dāng)=1但＞》＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為4（—0）,月（G。）,

過外的直線與橢圓C交于N兩點(diǎn)，且△初西的周長為8,居的最大面積為6.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)6＞1,是否存在x軸上的定點(diǎn)P,使得APMN的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在,

請說明理由.

2.（2024?廣東?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若A,8兩點(diǎn)在一曲線C上，曲線C在A,8均存在不垂直于

x軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線A8的斜率，則稱A8是曲線C的一條“切線相依割線”.

(1)證明：準(zhǔn)線平行于X軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”;

22

(2)試探究雙曲線+-3=1(。,6＞0)在第一象限內(nèi)是否存在“切線相依割線”，若存在，請求出所有的“切線

ab

相依割線”，若不存在，請說明理由.

22

3.已知橢圓0=+斗=1(。＞6＞0)的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為

a"b~

4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點(diǎn)歹的直線,與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為試問AEPN的面積是否

存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

4.已知圓G的方程為(x+2f+y2=24,點(diǎn)C/勺坐標(biāo)為(2,0).點(diǎn)尸為圓C1上的任意一點(diǎn)，線段尸C2的垂直

平分線與尸C交于點(diǎn)O.

(1)求點(diǎn)。的軌跡E的方程；

⑵點(diǎn)。是圓f+y2=/(廠＞0)上異于點(diǎn)出一,0)和8&,0)的任一點(diǎn)，直線A。與軌跡E交于點(diǎn)“，N,直

線8。與軌跡E交于點(diǎn)s,T.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM,ON,OS,or的斜率分別為七M(jìn)，k0N,kos,

的7，問：是否存在常數(shù)「，使得后.+壇N=QS+勺7恒成立？若存在，求,的值；若不存在，請說明理由.

22

5.設(shè)片為橢圓,+方=1(。＞石)的左、右焦點(diǎn)，直線/過耳交橢圓于A,2兩點(diǎn).試從①若點(diǎn)N

在該橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對稱，尸為該橢圓上異于M,N的一點(diǎn)，且⑥②8的周長為8；

@\AF^+\AF^的最小值為8這三個條件中選擇一個作為已知條件，并解答問題.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)是否存在直線/,使得AAB鳥的重心為若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

6.（2024.高三.北京海淀.開學(xué)考試）已知橢圓G:'+y2=i,與x軸不重合的直線/經(jīng)過左焦點(diǎn)小且與橢

圓G相交于A、3兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M,直線與橢圓G相交于C、O兩點(diǎn).

（1）若直線1的斜率為1,求直線OM的斜率；

（2）是否存在直線/,使得|4河「=|。0卜］。加|成立？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

22

7.（2024?廣西桂林?三模）雙曲線C：：-}=10>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、工，過片且傾斜角為60°

的直線為4,過工且傾斜角為60°的直線為%已知4，4之間的距離為4TL

⑴求C