正比例函數(shù)［8個必考點】

【知識點1正比例函數(shù)的定義】.................................................................1

【必考點1判斷正比例函數(shù)的個數(shù)】............................................................2

【必考點2根據(jù)正比例函數(shù)的定義求參】........................................................3

【知識點2正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】..........................................................4

【必考點3正比例函數(shù)的圖象】.................................................................5

【必考點4正比例函數(shù)的性質(zhì)】.................................................................8

【必考點5由正比例函數(shù)的增減性比較大小】....................................................9

【必考點6由正比例函數(shù)的增減性求參】.......................................................11

【知識點3確定正比例函數(shù)的解析式】.........................................................12

【必考點7求正比例函數(shù)的解析式】...........................................................13

【必考點8正比例函數(shù)與幾何圖形】...........................................................15

【知識點1正比例函數(shù)的定義】

1.正比例函數(shù)的定義：

一般地，形如為常數(shù)且，旬）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。其中，一叫做比例系數(shù)。

剖析：①自變量系數(shù)（比例系數(shù)）不能為旦。

②自變量次數(shù)一定是」_。

③正比例函數(shù)解析式中，自變量后面為旦。

【必考點1判斷正比例函數(shù)的個數(shù)】

x1

【例1】已知函數(shù)：@y=2x-1；（2）y=③>=一；@y=2x2,其中屬于正比例函數(shù)的有（）

Jx

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如（左為常數(shù)且左?0）,逐一判斷即可解答.

【解答】解：已知函數(shù)：①y=2x-l；(2)y=T；③)=一；④歹=2了,

。x

其中屬于正比例函數(shù)的有：②，只有1個，

故選：A.

1、

【變式1］下列函數(shù)(1)y—m；(2)y--2x+l；(3)y=~；(4)y—x2-1；(5)y—kx(左為常數(shù))

中，正比例函數(shù)的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：(l)y=Q是正比例函數(shù)，符合題意；

(2)y=2x+l,是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，不符合題意；

1

(3)y=1不是正比例函數(shù)，不符合題意；

(4)y=--1不是正比例函數(shù)，不符合題意；

(5)y=kx(左是常數(shù))，當(dāng)人=0時，不是函數(shù)，不符合題意；

所以是正比例函數(shù)的個數(shù)有1個，

故選：A.

2

【變式2】下列函數(shù)：①y=-&x；(2)y=kx；③y=(3+l)x；④y=J⑤y=2x-3.其中y是x的

正比例函數(shù)的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】形如＞=履(kWQ),這樣的函數(shù)是正比例函數(shù)，根據(jù)定義逐一分析即可.

【解答】解：y=—魚》是正比例函數(shù)，符合題意；

當(dāng)aW0時，y=區(qū)是正比例函數(shù)，不符合題意；

y=(F+l)x是一次函數(shù)，符合題意；

2

y=-不是正比例函數(shù)，不符合題意；

X

y=2x-3不是正比例函數(shù).不符合題意；

故是正比例函數(shù)的有①③，共2個，

故選：B.

【變式3】有函數(shù)：

11X

?y=3^；②y=③y=jp④了=2X-3；⑤y=2/；⑥y=3(2-無).

其中正比例函數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)用x表示成y的函數(shù)后，若符合夕=依的形式，是正比例函數(shù)解答即可.

11X

【解答】解：①y=F是正比例函數(shù)；②V=5G不是正比例函數(shù)；③y=三是正比例函數(shù)；④y=2x-

3不是正比例函數(shù)；⑤y=2x2不是正比例函數(shù)；⑥y=3（2-x）不是正比例函數(shù).

故選：B.

【必考點2根據(jù)正比例函數(shù)的定義求參】

【例1】若關(guān)于x的函數(shù)＞=（加是正比例函數(shù)，則〃？的值為（）

A.1B.-1C.±1D.2

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：???關(guān)于x的函數(shù)y=（%-1）x+汴-1是正比例函數(shù)，

.'.m-1WO,m2-1=0,

??YYl-1,

故選：B.

【變式1］已知函數(shù)y=（m+1）%病-3是正比例函數(shù)，且圖象在第二、四象限內(nèi)，則機(jī)的值是（）

1

A.2B.-2C.±2D.--

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，正比例函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由題意，得

冽2-3=1,且加+1V0,

解得m--2,

故選：B.

【變式2】函數(shù)》=（加-什1）由-1"-2是正比例函數(shù)，貝IJ冽，〃應(yīng)滿足的條件是（）

A.加W-1,且〃=0B.加#1,且〃=0

C.-1,且〃=2D.加W1,且〃=2

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義（形如y=京的函數(shù)是正比例函數(shù)，其中左為常數(shù)且左W0）解決此題.

【解答】解：由題意得，m-篦+1#0、n-2—0且-1|=1.

?\n=2.

???加W1.

故選：D.

【變式3］已知函數(shù)＞=（m-2）物卜［+4是正比例函數(shù)，則加+〃=.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義：形如歹=履（左為常數(shù)且左/0）,可得|劑-1=1且加-2W0,4=

0,然后進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

|加|-1=1且加-2/0,n-4=0,

.?.冽=±2且機(jī)W2,〃=4,

??TH.~~-2,n~~4

m+n=-2+4=2,

故答案為：2.

【知識點2正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

1.正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì):

正比例函數(shù)的圖像是必經(jīng)過原點的一條直線。在畫正比例函數(shù)圖像時，還需確定除原點外的另一個

點即可。

【必考點3正比例函數(shù)的圖象】

【例1】正比例函數(shù)＞=依（左W0）的圖象如圖所示，則左的值可能是（)

x

111

A.-B.——C.-1D.——

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：由圖象知，函數(shù)值>隨X的增大而增大，

：.k>0,

1

??"的值可能是5，

故選：A.

【變式1】函數(shù)（m>0）的圖象大致是（）

【解答】解：?.加>0,

直線經(jīng)過一三象限，

故選：A.

4

【變式2】在下列各圖象中，表示函數(shù)丫=^的圖象大致是（）

VJL

/\0Xo/X

A.B.

【分析】一條經(jīng)過原點的直線.由＞=依(兀＞0)的圖象經(jīng)過一、三象限可得答案.

【解答】解：?.?正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，且當(dāng)上＞0時，經(jīng)過一、三象限.

4

.?.正比例函數(shù)丫的大致圖象是

故選：A.

【變式3］當(dāng)x＞0時，y與x的函數(shù)解析式為y=2x,當(dāng)xWO時，y與x的函數(shù)解析式為y=-2x,則在同

一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致為()

【分析】利用正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍得出符合題意的圖象.

【解答】解：???當(dāng)尤＞0時，y與x的函數(shù)解析式為y=2x,

...此時圖象則第一象限，

當(dāng)xWO時，y與x的函數(shù)解析式為y=-2x,

.?.此時圖象則第二象限，

故選：C.

,1

【變式4】已知三個函數(shù)的解析式分別為月=5久，竺=》，乃=2%.

(1)如圖，請在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出三個函數(shù)的大致圖象，并標(biāo)記好函數(shù);

(2)仔細(xì)觀察畫出的函數(shù)圖象，寫出3條函數(shù)的圖象特征.

y

4

3

2

1

I

I

—I二

O

2T

3

3

2

4

X

T

-2

7

；

可求解

象，即

的圖

函數(shù)

比例

個正

出三

意畫

據(jù)題

1）根

】（

【分析

解.

即可求

象特征

數(shù)的圖

3條函

寫出

圖象

結(jié)合

性質(zhì)

數(shù)的

例函

正比

根據(jù)

（2）

下，

表如

1）列

：（

】解

【解答

???

.??

1

0

X

???

1

???

0

yi

2

???

???

1

0

y2

???

???

2

0

為

大;

而增

增大

著x的

y都隨

數(shù)值

的函

函數(shù)

三個

質(zhì)1,

（2）性

；

0）

過（0,

都經(jīng)

圖象

數(shù)的

個函

2,三

性質(zhì)

，

象限

、三

過一

都經(jīng)

圖象

數(shù)的

個函

3,三

性質(zhì)

】

性質(zhì)

數(shù)的

例函

正比

點4

【必考

1

）

是（

確的

中正

結(jié)論

下列

y=

于函數(shù)

1】關(guān)

【例

A.函數(shù)的圖象必經(jīng)過點（1,3）

B.函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限

C.y隨x的增大而增大

D.不論x取何值，總有>>0

1

【分析】當(dāng)x=l時，y=由左函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，V隨x的增大而增大；當(dāng)x<0,

時，y<0.

1

【解答】解：4函數(shù)的圖象必經(jīng)過點（1,-）,故/錯誤；

3、.?.函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，故8錯誤；

C、；左>0,隨x的增大而增大，故C正確；

D、當(dāng)x<0時，y<0,故。錯誤；

故選：C.

【變式1】對于函數(shù)（左是常數(shù)，k￥0）的圖象，下列說法不正確的是（）

A.是一條直線

1

B.過點（7，k）

k

C.經(jīng)過一，三象限或二，四象限

D.y隨著x的增大而增大

【分析】先判斷出函數(shù)>=3x（無是常數(shù)，k豐0）圖象的形狀，再根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行逐一分析解答,

解答.

【解答】解：數(shù)（后是常數(shù)，左W0）符合正比例函數(shù)的形式.

/、正確，函數(shù)的圖象是一條直線；

~1

B、正確，函數(shù)的圖象過點（工，上）；

C、錯誤，是常數(shù)，人/0,.?.后>0,...函數(shù)的圖象經(jīng)過1,3象限；

D、正確，是增函數(shù),故y隨著x的增大而增大.

故選：C.

【變式2］已知正比例函數(shù)〉=h"W0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，則（）

A.y隨x的增大而減小

B.>隨x的增大而增大

C.當(dāng)x<0時，/隨x的增大而增大；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小

D.無論x如何變化，y不變

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】解：根據(jù)圖象經(jīng)過第二、四象限，知左<0,則y隨x的增大而減小.

故選：A.

【變式3］已知正比例函數(shù)卜=(2^+4)x.求：

(1)加為何值時，函數(shù)圖象經(jīng)過第一、第三象限；

(2)加為何值時，y隨x的增大而減??；

(3)加為何值時，點(1,3)在該函數(shù)圖象上.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限列出關(guān)于加的不等式，求出加的取值范圍即可；

(2)根據(jù)y隨x的增大而減小列出關(guān)于小的不等式，求出優(yōu)的取值范圍即可；

(3)直接把點(1,3)代入正比例函數(shù)>=(2%+4)x,求出加的值即可.

【解答】解：(1)???函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象，

；.2加+4>0,解得加>-2；

(2)隨x的增大而減小，

；.2加+4<0,解得加V-2；

(3)?.?點(1,3)在該函數(shù)圖象上，

1

(4)；.2加+4=3,解得力=一萬.

【必考點5由正比例函數(shù)的增減性比較大小】

1

【例1】已知點(-2,%)，(-5,乃)都在直線y=—5%上，則巾，拉大小關(guān)系是()

A.y\<yiB.力=及C.yi>y2D.為2竺

1

【分析】由左=—5<0,利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合-2>-5,即可得

出乃<絲?

1

【解答】解：：左=—5<o,

隨x的增大而減小，

1

又?.?點(-2,乃)，(-5,夕2)都在直線y=—5萬上，且-2>-5,

.".yi<y2-

故選：A.

【變式1】若正比例函數(shù)y=-質(zhì)的圖象經(jīng)過第一、第三象限，點P1（XI，刃），P2（X2,及），P3（X3,

73）都在函數(shù)了=（左-2）X的圖象上，且X1>X3>X2，則71，72，的大小關(guān)系為（）

A.力>夕3>?2B.yi>y2>y3C.為<為<以D.為>為>為

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得到左<0,可得后-2<0,根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得到力<乃<"，得

到答案.

【解答】解：???正比例函數(shù)y=-fee的圖象經(jīng)過第一、第三象限，

-k>0,

:.k<0,

：.k-2<0,

.?.函數(shù)歹="-2）x圖象經(jīng)過第二、四象限.

:點修（XI，為），尸25,V2），尸33,為）都在函數(shù)丁=（k-2）X的圖象上，且X1>X3>X2，

^yi<ys<y2-

故選：c.

【變式2】如圖，三個正比例函數(shù)的圖象分別對應(yīng)表達(dá)式：（l）y=ax,@y=bx,@y=cx.將a,b,c按從

小到大排列并用連接，正確的是（）

A.a〈b〈cB.c〈b〈aC.b〈c〈aD.a〈c〈b

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷a、氏c的正負(fù)情況，再根據(jù)圖象越陡，困越大，即可判斷

a、b、c的大小情況.

【解答】解：由圖象可得，

a<0<c<b,

故選：D.

【變式3］若>=（m-2）x+m2-4是歹關(guān)于x的正比例函數(shù)，如果點A（m,a）和點3（-加，b）在該函

數(shù)的圖象上，那么。和6的大小關(guān)系是（）

A.a〈bB.a>bC.aWbD.a^b

【分析】利用正比例函數(shù)的定義可求出加值，進(jìn)而可得出正比例函數(shù)解析式，由左=-4<0,利用正比

例函數(shù)的性質(zhì)可得出>隨x的增大而減小，再結(jié)合加<-〃?，即可得出。>6.

【解答】解：??？=（%-2）無+/-4是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，

.（m—2W0

,,tm2-4=0，

：?m=-2,

???正比例函數(shù)的解析式為y=-4x.

?:k=-4<0,

，歹隨x的增大而減小，

又\,點4（m,a）和點5（-m,b）在該函數(shù)的圖象上，且m<-m,

:?d>b.

故選：B.

【必考點6由正比例函數(shù)的增減性求參】

【例1】已知正比例函數(shù)〉=（左+2）x（其中左為常數(shù)，且左W-2）,如果歹的值隨x的值增大而增大，那

么下列左的值中，不可能的是（）

A.-3B.-1C.0D.2

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義得出關(guān)于人的不等式，求出左的取值范圍即可.

【解答】解：??,正比例函數(shù)y=（葉2）x（其中左為常數(shù)，且左W-2）中，歹的值隨x的值增大而增大，

J上+2>0,

解得k>-2,

V-3<-2<-1<0<2,

:?k不可能是-3.

故選：A.

【變式1】已知正比例函數(shù)y=（2m-1）x的圖象上兩點A（?1，bp,5（〃2，歷），當(dāng)即時，有田>

歷，則m的取值范圍是（）

11

A.B.C.m<2D.m>0

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的增減性解答.

【解答】解：?.,正比例函數(shù)歹=（2冽-1）%的圖象上兩點4（6Zi，仇），B5,歷），當(dāng)田〈。2時，有

仇〉歷,

：.2m-IVO,

1

解得m<~.

故選：A.

【變式2】對于正比例函數(shù)y=H,當(dāng)自變量、的值增加2時，對應(yīng)的函數(shù)值歹減少6,則左的值為（）

A.3B.-2C.-3D.-0.5

【分析】由于自變量x增加2,歹的值減小6,貝！Jy-6=左（x+2）,然后把歹=點代入可求出左的值.

【解答】解：根據(jù)題意得丁-6=左（x+2）,

即y-6=kx+2kf

而y~~kxj

所以kx-6=kx+2k

2k=-6

解得:k=-3.

故選：C.

【變式3］已知函數(shù)y=m-3x+5,要使函數(shù)值〉隨x的增大而減小，則加的取值范圍是.

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的增減性得出關(guān)于冽的不等式，求出機(jī)的取值范圍即可.

【解答】解：,??函數(shù)y=Mt-3x+5的圖象是歹隨x的增大而減小，

?-3<0,

解得，m<3.

故答案為：m<3.

【知識點3確定正比例函數(shù)的解析式】

L待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

①設(shè)：設(shè)正比例函數(shù)解析式片fcr（ANO）0

②帶：把已知點帶入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于未知系數(shù)左的方程。

③解方程：解步驟②中得到的方程，得到比例系數(shù)4的值。

④反帶：將求得的比例系數(shù)帶入函數(shù)解析式即可

【必考點7求正比例函數(shù)的解析式】

【例1】如圖，正比