重難點(diǎn)突破06證明不等式問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................2

題型一：直接法..................................................................2

題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）........................3

題型三：分析法..................................................................4

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)......................................................5

題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友..................................................7

題型六：放縮法..................................................................8

題型七：虛設(shè)零點(diǎn)...............................................................10

題型八：同構(gòu)法.................................................................11

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理.............................................12

題型十：分段分析法、主元法、估算法.............................................14

題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值...................15

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題.................................................16

題型十三：三角函數(shù).............................................................18

03血至癡證二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二.二二二二二二二二二二19

亡法牯自與.柒年

//\\

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

題型一：直接法

【典例1-1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=a(2x+4)-lnx.

⑴討論〃力的單調(diào)性；

⑵證明:當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>91na.(參考數(shù)據(jù)：In2?0.693)

【典例1-2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)="(e'+/)-尤.

⑴討論Ax)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>41n?+2.

【變式1-1](2024.四川.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力=爐-全3-1.

⑴若/⑺有3個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若xNO,a-~'證明：f[x)>ajC-￥x.

【變式1-2】已知函數(shù)〃無)=￡-lnx,a>0.

⑴求/(x)的最小值g(a);

(2)證明：g(a)<<7+--1.

3

【變式1-3](2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ae*-x-：(aeR).

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)〃〉0時(shí)，f(x)>2\na-a2.

題型二：構(gòu)造函數(shù)(差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造)

【典例2-1】(2024.河北滄州?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于函數(shù)/⑺和g(x),設(shè)ae{x"(x)=0},￡e{x|g(x)=0},若

存在a,尸使得|a-￡|喳1,則稱/(%)和g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.設(shè)/(x)=h(a+xXaeR),

g(x)=x(x+l),且/(X)和g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.

(1)求a的取值范圍；

(2)令〃(x)=g，(x)—/(x)(g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù))，分析從司與g(x)是否互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”；

,1<0

(3)若。=1,無>0,證明：f

【典例2-2】(2024?湖北荊州三模)已知函數(shù)/(x)=?lnx

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

(2)求證：函數(shù)y=〃x)的圖象位于直線丁=%的下方；

【變式2-1】已知函數(shù)〃x)=ln(x+a)-x有且只有一個(gè)零點(diǎn)，其中a>0.

⑴求。的值；

⑵若對(duì)任意的xe(O,+?),有"x"小成立，求實(shí)數(shù)％的最大值；

⑶設(shè)/<x)=〃x)+x,對(duì)任意玉,馬(-1,y)(玉工赴)，證明：不等式+/+1恒成立.

【變式2-2】設(shè)〃x)=(l+x)e必，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，求證：

【變式2-3](2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/5)=a1”-/+1(0<芯2).

(1)求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

a2+b2,a2b2

(2)若<3>5>0,證明:In

題型三：分析法

【典例3-1】已知函數(shù)〃x)=(62-2x+3)e*-x-3(aeR),當(dāng)時(shí)，證明：f(x)+l>x.

【典例3-2】已知函數(shù)/'(x)=〃7e"+x2-2(meR),g(x)=xlnx.

(1)若直線>=xT是函數(shù)/(x)的圖象的切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)當(dāng)加<—1時(shí),證明：對(duì)于任意的無?0,4w),不等式〃x)<g(x)+x-2恒成立.

【變式3-1](2024?山東.模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃x)=e『尤2一」二元+竺呼士￡,其中相彳0.

mmJ

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,f(2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)/(x)的極小值小于0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)證明：2e'-2(x+l)lnx-x>0.

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)

【典例4-1]已知函數(shù)/(尤)=在一￡,證明：當(dāng)尤20時(shí)，/(%)>1.

【典例4-2】(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/。)=媽-，.

xe

⑴求了(%)的最大值；

(2)證明：當(dāng)X>0時(shí)，/(X)<XQX.

【變式4-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%e"+a,g[x)=x\nx+a,

⑴若函數(shù)/(X)的最小值與g(x)的最小值之和為-土求。的值.

e

(2)若a=0,x>0,證明：/(x)>g'(x).

r\-t

【變式4-2】已知/(x)=lnx+@,a>~,b>l,求證：/(lnZ?)>-.

xeb

【變式4?3】(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑴=：e2x+(〃—2)eX-2ax.

⑴若曲線y=/(x)在，，。-11處的切線方程為4公+2y+l=0,求。的值及的單調(diào)區(qū)間.

(2)若“X)的極大值為〃ln2),求。的取值范圍.

53

(3)當(dāng)〃=0時(shí)，求證：/(x)+5ex-->—x2+xlnx.

白“ITIV

【變式4-4】已知函數(shù)=T-,求證：二.

x+x+1e

【變式4-5](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃尤)=lnx+?+2x.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若相求證：[2/(尤)一4尤-l}e*>2.

題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友

【典例5-1】（2024?陜西榆林?三模）已知函數(shù)〃%）=疝甘+彳2-工"（彳）的導(dǎo)函數(shù)為/'（同.

⑴討論的單調(diào)性；

2ex]

(2)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，證明：f(x+l)<-^=+--^+x-l.

【典例5-2】（2024.青海.模擬預(yù)測(cè)）己知質(zhì)數(shù)"力=〃把,-％2+座_〃?，且曲線y=/（x）在點(diǎn)（2,/（2））處的

切線方程為4/尤-y-4/=0.

⑴求m的值；

（2）證明：對(duì)一切無20,都有“外哀2f.

【變式5-1］（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=e'”-2/+加，且曲線〃x）在點(diǎn)（0,〃0））處的切線

方程為2x-y+l=0（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

⑴求實(shí)數(shù)加的值.

（2）當(dāng)“=3時(shí)，證明：對(duì)Vxe［0,+8）,都有〃%）次2彳2+1.

【變式5-2］（2024.廣西.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)〃x）=lnx+依+6,曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程為

y=6x-3,

⑴求〃，。的值；

2

(2)證明：f(x)>---1.

【變式5-3](2024.河北保定.三模)已知函數(shù)〃x)=x2—G+lnx,x=l為了⑴的極值點(diǎn).

⑴求a；

(2)證明：/(X)<2X2-4X.

題型六：放縮法

【典例6-1】(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=lnx.

⑴求函數(shù)g(x)=/產(chǎn)的最值.

12-3

(2)證明：xex--x4-一e^x3-ef(x)>0(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【典例6-2】已知函數(shù)"x)=e'—Inx,/(x)為的導(dǎo)函數(shù).

(1)求函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵證明：/(x)>a+l+(l-a)ln<2.

【變式6-1](2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(彳)=2/+彳-111(》+根)，meR.

⑴當(dāng)m=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)〃狀1時(shí)，證明：/(%)>0.

【變式6-2］（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=e'-ax2-無，/（》）為了⑺的導(dǎo)數(shù)

⑴討論了'（X）的單調(diào)性；

（2）若x=0是/（X）的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍；

（3）若,證明：eSin'T+eC°e+ln（sinOcosO）＜l.

【變式6-3］（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè)）定義：若曲線/（尤》）=0或函數(shù)y=/（x）的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處

的切線互相重合，則稱該切線為曲線y）=0或函數(shù)y=f（x）的圖象的“自公切線”.

⑴設(shè)曲線C：x2+/-x-|x|-l=0,在直角坐標(biāo)系中作出曲線C的圖象，并判斷C是否存在“自公切線”？

（給出結(jié)論即可，不必說明理由）

⑵證明：當(dāng)xNO時(shí)，函數(shù)/(x)=sinx+cosx-e”不存在“自公切線"；

(3)證明：當(dāng)x20,“eN*時(shí)，sinx+cosx>ln(2x+l)+2-1-e*

【變式6-4】已知函數(shù)/(x)=-ln(ar)+ax-2(aw0),證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(^)>lnx-xex+1+sinx+l.

題型七：虛設(shè)零點(diǎn)

【典例7-1】(2024?山東濟(jì)南?二模)己知函數(shù)/(%)=加一111%-1，8(%)=祝*-62(。€耳.

⑴討論“X)的單調(diào)性；

⑵證明：/(x)+g(x)>x.

【典例7-2](2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(x)=e2—aln(x+l).

(1)若。=2,討論/'(x)的單調(diào)性.

⑵若x>0,a>1,求證：/(x)>--alni?.

【變式7-1】已知函數(shù)/(x)=e'-at-l.

(1)若在定義域內(nèi)不單調(diào)，求a的取值范圍；

(2)證明：若a=tanxo，且則cos%>「也

【變式7-2](2024?高三?遼寧丹東?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=xei-lnx-x.

⑴求函數(shù)“X)的最小值；

(2)求證：e[/(x)+%]>ex-(e-l)ln%-^-.

【變式7-3](2024?河北張家口?三模)已知函數(shù)f(x)=lnx+5x-4.

(1)求曲線V=/(x)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程；

3

⑵證明：入)>0-2.

【變式7-4](2024?山東威海.二模)已知函數(shù)/(x)=lnx-ox+l.

⑴求/(x)的極值；

⑵證明：lnx+x+l<xev.

題型八：同構(gòu)法

【典例8-1】已知函數(shù)“X)=axlnx—x+1,aeR.

(1)討論了(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)p>q>l時(shí)，證明qlnp+Inq<plnq+Inp.

【典例8-2】已知函數(shù)/(%)=歷%+-----2(aeR).

x+1

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)[=2時(shí)，求證：/0)>0在(1,+00)上恒成立；

Y2

(3)求證：當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+1)>------.

ex-1

【變式8-1](2024?甘肅定西.一模)設(shè)函數(shù)/(x)=x：：：+2,g(x)=in(x+l),

(1)證明:g(x)N0.

⑵當(dāng)x>e-l時(shí)，證明：/(x)<ln(x+2).

2_|_Q_|_7

【變式8-2](2024?甘肅白銀?三模)設(shè)函數(shù)=xY:營(yíng)r，g(x)=x-ln(x+l).

⑴討論的單調(diào)性.

⑵證明：g(x)>0.

⑶當(dāng)x>e-1時(shí),證明：/(x)<ln(x+2).

【變式8-3](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(耳=朧儂(。>0).

⑴求/⑴在區(qū)間[T1]上的最大值與最小值；

(2)當(dāng)時(shí)，求證：/(x)>ln^+^+l.

【變式8-4](2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃力=尤(西-1),aeR.

⑴若曲線y=/(x)在尸-1處的切線/與直線x-ay+2=0垂直，求/的方程;

(2)若g(x)=/(x)+(2-lnx-x)e3+x,求證：當(dāng)時(shí)，g(x)>0.

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

【典例9-1】證明不等式：1+2-工(x>0).

28

【典例9-2】已知函數(shù)/(無)=Y+/%-ax.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若)(X)”2%2,對(duì)尤e[0,+co)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)a=l時(shí)，設(shè)晨x)=xe"""-x-l.若正實(shí)數(shù)4，%滿足4+4=1,x,,%e(0,+00)(^^%),證

明：g(4w(元)1+48(%).

【變式9-1](2024.河南周口.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x-l)ln(l-x)-x-cosx.

(1)求函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)“E”是一個(gè)求和符號(hào)，例如￡＞=l+2+L+”，￡(2/)=2彳+2尤2+1+2靖，等等.英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯

i=li=\

n/IV-Ir2z-2

克?泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)〃—時(shí)，cosx￡二：,這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用.

Z7⑵-2)!

〃/iy+i入27+3

證明：⑴當(dāng)〃―"時(shí)，對(duì)也＞0,都有￡二；、，＞0;

M⑵+3)!

【變式9-2】英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)無)在x=0處的”(weN*)階導(dǎo)數(shù)都存

在時(shí)，/⑼+廣⑼》+寧｝/+*^3+.-+甘L"+….注：廣⑺表示/(尤)的2階導(dǎo)數(shù),

即為/'(X)的導(dǎo)數(shù)，產(chǎn))(x)S23)表示“X)的〃階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.

(1)根據(jù)該公式估算sing的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；

/462

(2)由該公式可得：cosx=1-----+----------+….當(dāng)兀20時(shí)，試比較cosx與1------的大小，并給出證明(不

2!4!6!2

使用泰勒公式);

11

(3)設(shè)〃EN*,證明：g------------------->n-----------

〃

n+?k7)\t+an---1---4+2.

n+k

【變式9-3】閱讀材料一：“裝錯(cuò)信封問題”是由數(shù)學(xué)家約翰?伯努利(JohannBernoulli,1667~1748)的兒

子丹尼爾?伯努利提出來的，大意如下：一個(gè)人寫了,封不同的信及相應(yīng)的幾個(gè)不同的信封，他把這“封信

都裝錯(cuò)了信封，問都裝錯(cuò)信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler,1707~1783)

給出了解答：記都裝錯(cuò)”封信的情況為。"種，可以用全排列”!減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可

得公式：2=加［1一］+2----+其中〃cN*.

閱讀材料二：英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(X)在x=0處”階可導(dǎo)，則有：

/(力=〃0)+:(0卜+^^2+…+』她/+…，注產(chǎn)')(x)523)表示/(%)的〃階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱

2!n\

麥克勞林公式.閱讀以上材料后請(qǐng)完成以下問題：

⑴求出0也，2的值；

(2)估算五的大小(保留小數(shù)點(diǎn)后2位)，并給出用e和”表示&的估計(jì)公式；

(3)求證：2tan』+4tanLH----i-27itan—<2n+l,其中〃eN*.

242n

題型十：分段分析法、主元法、估算法

【典例104】已知函數(shù)/(x)=e*+ox2-l.

(1)討論函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；

7_21

(2)若a2二求證：對(duì)X/xNO,Y+x恒成立.

42

【典例10-2】已知函數(shù)/(x)=O+l)%-機(jī)In%-根.

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)機(jī)￡1,且x〉］時(shí),

［變式10-1］若定義在尺上的函數(shù)/(%)滿足/(%)=.e2x-2+x2-2/(0)x,

g(x)=/9-%2+(l-a)x+a,a^R.

(I)求函數(shù)/(x)解析式；

(ID求函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間；

(III)若x、y＞加滿足,則稱x比y更接近m.當(dāng)a.2且x..l時(shí)，試比較'和e*T+a哪個(gè)

更接近歷X,并說明理由.

【變式10-2］已知函數(shù)f(%)=e*(sin%-加+2a-e),其中QGR,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=O時(shí)，討論函數(shù)了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng);張打1時(shí)，求證：對(duì)任意的工￡［0,+oo),/(x)＜0.

題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值

【典例11?1】(2024.河南.模擬預(yù)測(cè))已知〃＞。，函數(shù)〃x)=(x+a)ln(x+。)的圖象在點(diǎn)(1J。))處的切線

方程為％In2-y—In2=0.

(1)求〃，Z?的值；

⑵若方程〃力=,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉應(yīng)，且為＜馬，證明：尤2-玉＜1+'+工

eeeln2

【典例11-2】已知函數(shù)/(%)=釣11%.

⑴求函數(shù)/(元)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)—f有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)%,馬，且占(龍2.

①證明：」隨才的增大而增大;

x\

②證明：%％<(e+l*+L

【變式11-1】(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(尤)=a(ln元+1)+=(a>0).

(1)求證：l+xlnx>0；

,求證：,_&］<］一/一

(2)若占是AM的兩個(gè)相異零點(diǎn)

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題

【典例12-1］(2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(1=(x+2)ln(x+l).

(1)證明：x>0時(shí)，/(x)>2x；

n2

(2)證明：ln(?+l)>^——-.

署2k+l

【典例12-2】(2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(尤)=2sinx-?x

(1)若函數(shù)在［0,7t］內(nèi)點(diǎn)A處的切線斜率為20),求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

TT

(2)①當(dāng)。=1時(shí)，求g(%)=/(%)-ln(x+D在0,—上的最小值;

n+1

②證明:sin-+sin-++sin->ln-----(neN,n>2).

23n2

【變式12-1](2024.江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e"-ox-cosx,且〃x)在[0,+向上的最小值為0.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為若對(duì)任意實(shí)數(shù)》€(wěn)。恒成立,則稱函數(shù)

y=0(x)Oy=0'(x),e(x)>1

y=0(x)在區(qū)間D上具有性質(zhì)S.

(i)求證：函數(shù)/'(X)在(。,y)上具有性質(zhì)S；

n?.]J

(ii)記口夕(。=P⑴P⑵…P⑺，其中〃EN*,求證：f1/sin->——

z=li=l1n\n

【變式12-2](2024?天津?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=sinx+ln(l+x)-辦,aeR.

⑴求/(刈在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若40恒成立，求。的值；

2〃(1、2〃—1

(3)求證：Vsin—<21n^--ln2,n>2,neN*.

，篇Wn-\

【變式12-3](2024?湖南衡陽(yáng)?三模)己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，首項(xiàng)4=1.

⑴若a：=4S?-2a?-l,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若函數(shù)/(x)=2e*+x,正項(xiàng)數(shù)列｛?！埃凉M足：。用=/&)(〃eN*).

(i)證明：S?

(ii)證明：(1+J7)。++Jr)」(1+Jy)("22,”eN").

2

5〃5%5a45an

題型十三：三角函數(shù)

【典例13-1】(2024?全國(guó)?三模)己知函數(shù)"X)=N*-x+asinx(aeR)在x=0處的切線方程為>=0.

⑴求a的值；

(2)證明:V(x)>0.

【典例13-2】(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sinx-ln(sinx),%G(1,2)

⑴求的最小值；

⑵證明：sinx-ex-slIU-In(sinx)>1,

【變式13-1](2024?四川廣安?二模)已知函數(shù)f(x)=e-ox—L

(1)若/(x)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若xe(0,+ao),證明：龍)〉x-sinx.

【變式13-2】已知函數(shù)/(x)=e*-eXsinx,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴求曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

JT

⑵若不等式對(duì)任意xe0,-恒成立，求實(shí)數(shù)a-b的最大值;

(3)證明：/(%-1)>1-ex-1sin(x-1)-fA:-.

【變式13-3](2024?廣東湛江?二模)已知函數(shù)/(x)=e*+xlnx.

⑴求曲線y=/(%)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

(2)若a>0,b>0,且“2+52=1,證明：/(a)+/(Z?)<e+l.

0

〃，過關(guān)測(cè)試燈

1.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=毒，其中aNl.

(1)若a=l,證明：x>0時(shí)，〃x)<2g(：+i)；

⑵若函數(shù)/⑴=/⑴-g(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的值；

MIe"3

(3)已知數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為4=丁/，求證：a>a>門

n7n〃〃+i

2.(2024?湖南長(zhǎng)沙.三模)已知函數(shù)力(x)=x"+x-++X-1(?GN+).

(1)判斷并證明f?(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

⑵記力(X)在(0,+8)上的零點(diǎn)為乙，求證；

(i)｛七｝是一個(gè)遞減數(shù)列

(ii)-----<石+%2++%<—^~L

3.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(x)=1：+ajlnx+：-2,其中aeR.

⑴當(dāng)a21時(shí)，判斷“X)的單調(diào)性；

(2)若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)石，馬伍>0).

2

(i)證明：9一玉+2>—;

a

(ii)證明：xw(l,+oo)時(shí)，f(x)>—v+-----2.

4.已知〃尤)=asinx(aeR),g(x)=e'.

⑴若0<aVl,判斷函數(shù)G(x)=/(l-x)+lnx在(0,1)的單調(diào)性；

⑵設(shè)/(x)=g(x)-7n--2(x+l)+MZeR),對(duì)Vx>0,m<0,有*x)>0恒成立，求々的最小值;

(3)證明:sin*+sin"+sin'…+sin^^<ln2.(〃eN*).

5.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x—a)lnx+(a—l)x(aeR).

⑴若函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的值；

⑵求證：ln2〉sin」—+sin」—++sin1—.

100101198

6.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-依2+(2〃-1)X-〃+1(Q￡R).

⑴若/⑺W0在［1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵證明：，+」一+—一++^-+—>ln2.

n+1n+2n+3n+n4n

已知函數(shù)/(X)=lnx-ln(x-1)-L

7.(2024.河北滄州.模擬預(yù)測(cè))

x

⑴求的值域；

?1

(2)求證：當(dāng)〃￡N*時(shí)，￡sin-----；<In2.

；=in+1

8.已知函數(shù)/(x)=ox-lnx-^-.

a

⑴當(dāng)。=一5時(shí)，求/(%)的極值；

(2)當(dāng)％21時(shí)，不等式〃%)之0恒成立，求。的取值范圍;

,zn111

(3)iM：ln(w+l)<7=+7==++1==.

9.已知根〉0,函數(shù)/(冗)=匕儂-1一%,g(x}=f(x]-----+x.

m

⑴若函數(shù)/(x)的最小值是0,求實(shí)數(shù)，”的值；

⑵已知曲線y=/(x)在點(diǎn)處切線的縱截距為正數(shù).

(i)證明：函數(shù)g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

_1__1_

(五)證明：>mm—mm,

10.(2024?河北邢臺(tái)?二模)已知函數(shù)〃力=電旨1+/--0,

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)y=/(x)在無=：處的切線方程；

⑵若恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

ee

(3)證明：ln(n+l)!>n+2