第11講三角形的中位線與反證法（核心考點講與練）

聚焦考點

三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理:

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語言:

如圖，：點E分別是AB、4c的中點

：.DE//BC,DE

二.反證法

（1）對于一個命題，當使用直接證法比較困難時，可以采用間接證法,反證法就是一個間接證法.反

證法主要適合的證明類型有：①命題的結論是否定型的.②命題的結論是無限型的.③命題的結

論是“至多"或“至少”型的.

（2）反證法的一般步驟是:

①假設命題的結論不成立;

②從這個假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾;

③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確.

為師點睛

一.三角形中位線定理（共8小題）

1.（乾縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,D、E分另I」是AC、AB的中點,

則OE的長是（）

A.6.5B.6C.5.5D.巫

2

2.（武安市期末）如圖，四邊形中，ZA=90°,A￡>=2,點M,N分別為線段

BC,A8上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E,尸分別為MN的中點，則所長

度的最大值為（)

A.3B.2通C.4D.2

3.（溫州期末）如圖，為測量8c兩地的距離，小明在池塘外取點A,得到線段AB,AC,并取AB,

AC的中點E,連結測得DE的長為6米，則8,C兩地相距（）

C.11米D.12米

4.（麗水期末）如圖①是公園蹺蹺板的示意圖，立柱0C與地面垂直，點C為橫板的中點.小

明和小聰去玩蹺蹺板，小明最高能將小聰翹到1米高（如圖②）.

（1）求立柱OC的高度；

（2）小明想要把小聰最高翹到1.25米高，請你幫他找出一種方法，并解答.

小聰

B

圖②

5.（北侖區(qū)期末）如圖，在四邊形A8CD中，AD=BC,點尸是對角線的中點，點、E、產分別是

邊C￡＞和的中點，若NPEF=30°,則下列說法錯誤的是（）

E

DA

A.PE=PFB.ZEPF=120°C.AD+BO2EFD.AB+DO2DB

6.（鄲州區(qū)期末）如圖，四邊形ABC。中，ZB=90°,AB=8,BC=6,點M是對角線AC的中點,

點N是AO邊的中點，連結MN,若BM=3MN,則線段CD的長是（）

7.（梓潼縣模擬）如圖，已知△ABC中，點M是8c邊上的中點，AN平分NBAC,8NLA7V于點N,

若A8=8,MN=2,貝1JAC的長為（）

8.（內江期末）如圖，在四邊形ABC。中，尸是對角線BO的中點，點￡、/分別是AB、的中點,

AD=BC,ZEPF^140°,則NEF尸的度數是（）

二.反證法（共6小題）

9.（平陽縣期中）用反證法證明三角形至少有一個角不大于60°,應假設（）

A.三個角都小于60°

B.三個角都大于60°

C.三個角都大于或等于60°

D.有兩個角大于60°

10.（樂清市期末）用反證法證明命題“如果?！╞,c//b,那么?！╟”時，應假設（）

A.a_LcB.c不平行》C.“不平行》D.a不平行c

11.（南潺區(qū)期末）用反證法證明某個命題的結論“。>0”時，第一步應假設（）

A.a<0B.aWOC.ae0D.aWO

12.（慶元縣校級月考）如圖，在△ABC中，AB^AC,尸是AABC內的一點，S.ZAPB>ZAPC,

求證：PB<PC（反證法）

13.（蕭山區(qū)期末）證明：在△48C中，ZA,NB,/C中至少有一個角大于或等于60。.

14.（濱江區(qū)期中）用反證法證明”三角形三個內角中，至少有一個內角小于或等于60°”.

已知：ZA,NB,NC是△ABC的內角.求證：ZA,ZB,/C中至少有一個內角小于或等于

60°.

證明：假設求證的結論不成立，那么—

ZA+ZB+ZO____

這與三角形—相矛盾.

假設不成立

I能力提升

由分層提分

題組A基礎過關練

一.選擇題（共11小題）

1.（太谷區(qū)校級開學）如圖，BD、CE是AA3c的中線，P、。分別是5。、CE的中點，貝IJPQBC

等于（）

A.1：4B.1：5C.1：6D.1：7

2.（上城區(qū)校級期末）用反證法證明“a>b”時應假設（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.aWb

3.（寧波模擬）如圖，在△4BC中，點、D,E分別是邊AB,AC的中點，AFLBC,垂足為點凡Z

ADE=3Q°,DF=3,則的長為（）

4.（上城區(qū)期末）用反證法證明命題：“已知△ABC,AB^AC,求證：NB<90°.”第一步應

先假設（）

A.ZB^90°B.ZB>90°C.ZB<90°D.AB^AC

5.（永嘉縣期末）用反證法證明“同一平面內的三條直線a,b,c,若a_Lc,b±c,則a〃b”.時，

第一步應先假設（）

A.a不平行于bB.c不平行于bC.a不垂直于cD.b不垂直于c

6.（南崗區(qū)校級模擬）如圖，四邊形A3CO中，/AOC=90°,AE=BE,BF=CF,連接EFAD

=3,CD=1,則EW的長為（）

A-B-C-yiCD-2^'IC

7.（婺城區(qū)校級期末）如圖，OE是△ABC的中位線，點尸在OE上，且/AF2=90°,若AB=5,

BC=8,則所的長為（）

8.（勤州區(qū)期中）如圖，△A8C中，AB=4,AC=3,AD,AE分別是其角平分線和中線，過點C

作CG_LAO于尸，交于G,連接￡凡則線段EP的長為（）

G

ED

9.（溫州期末）用反證法證明“在△ABC中，若貝時，應假設（）

A.a<bB.aWbC.a=bD.a^b

10.（杭州期末）用反證法證明“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，可先假設（）

A.四邊形的四個角都是直角

B.四邊形的四個角都是銳角

C.四邊形的四個角都是鈍角

D.四邊形的四個角都是鈍角或直角

11.（成都月考）用反證法證明命題”在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，應假

設直角三角形中（）

A.兩銳角都大于45°B.有一個銳角小于45°

C.有一個銳角大于45°D.兩銳角都小于45°

填空題（共6小題）

12.（永嘉縣校級期末）用反證法證明命題“如果那么/石”時，假設的內容是—?

13.（饒平縣校級期末）如圖，AABC中，三條中位線圍成的的周長是15c〃z,則△ABC的

周長是____cm.

14.（紅寺堡區(qū)期末）如圖，口ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,B分別是線段A。，BO的

中點.若AC+BO=24厘米，△O4B的周長是18厘米，貝!!所=厘米.

15.（衢州期末）如圖，為測得8,C兩地的距離，小明在池塘外取點A,得到線段AB,AC,并取

AB,AC的中點。，E,連結。E,測得。E=15米，則BC=___米.

16.（潘橋區(qū)校級月考）用反證法證明”如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不

是等腰三角形”的第一步—.

17.（羅湖區(qū)校級模擬）如圖，△ABC,點。，E在邊BC上，NABC的平分線垂直AE,垂足為N,

NACB的平分線垂直A。，垂足為若8C=16,MN=3,則△ABC的周長為_.

三.解答題（共5小題）

18.（杭州期中）在△ABC中，AC=y歷，BC=1.求證：ZA^30°.

19.（杭州校級期中）用反證法證明：兩條直線被第三條直線所截.如果同旁內角不互補，那么

這兩條直線不平行.

己知：如圖，直線“，/2被/3所截，Nl+N27M80°.

求證：與/2不平行.

證明：假設____12,

則/1+N2—180°（兩直線平行，同旁內角互補）

這與矛盾，故不成立.

所以,

1

4

20.（拱墅區(qū)期末）如圖，點A,8為定點，定直線/〃AB,P是1上一動點，點、M,N分別為尸4,PB

的中點，對下列各值:

①線段MN的長;

②△PAB的周長;

③△PMN的面積;

④直線MV,A8之間的距離;

⑤NAPB的大小.

其中不會隨點P的移動而變化的是.

21.（江山市校級月考）如圖，已知四邊形ABC。中，AB^DC,E、尸分別為AO與BC的中點，連

接EF與54的延長線相交于N,與CD的延長線相交于

求證：NBNF=NCMF.

22.（仙居縣期末）證明三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊

的一半.

（要求：畫出圖形，寫出已知、求證和證明過程）

題組B能力提升練

一.選擇題（共6小題）

1.（寧波一模）如圖，D,E分別是AB,AC上的中點，p是上的一點，且/AEB=90°,若AB

=6,BC=8,則EF的長為（）

2.（奉化區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABC。中，ACLBC,AD//BC,BC=3,AC=4,AO=6.M

是2。的中點，則CM的長為（）

3.（孟村縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，A￡>=8C,E,F,G分別是AB,CD,AC的中點，若

4.（商河縣校級期末）對于命題''在同一平面內，若a〃b,a//c,則6〃c”,用反證法證明，應

假設（）

A.a.LcB.b.LcC.a與c相交D.6與c相交

5.（鎮(zhèn)海區(qū)校級開學）用反證法證明：“若a>b>0,則02>房”，應先假設（）

A.a<bB.aWbC.a2</>2D.cr^b2

6.（寧波模擬）用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”，應首先假設這個四

邊形中（）

A.沒有一個角是銳角

B.每一個角都是鈍角或直角

C.至少有一個角是鈍角或直角

D.所有角都是銳角

E.所有角都是直角

填空題（共4小題）

7.（西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BC=16,D,E分別是AB,AC的中點，尸是OE延長線

上一點，連結AF,CF,若￡>尸=14,ZAFC=90°,則AC=_.

8.（舞鋼市期中）已知△ABC中，AB=AC,求證：ZB<90°,若用反證法證這個結論，應首先

假設—.

9.（上城區(qū)期末）要用反證法證明命題”在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”，首先

應假設—.

10.（青田縣月考）如圖，順次連接△ABC三邊的中點D,E,F得到的三角形面積為Si,順次連

接ACE尸三邊的中點M,G,H得到的三角形面積為S2,順次連接△CGH三邊的中點得到的三角

形面積為S3.設△ABC的面積為S,則Si+S2+S3=_.

11.（岐山縣期末）△ABC的中線BD,CE相交于。，F,G分別是BO,C。的中點，求證：EF//

DG,S.EF^DG.

A

D

12.（建鄴區(qū)期末）如圖，△ABC的中線BE,CF1相交于點G,P,。分別是BG,CG的中點.

（1）求證：四邊形E/了。是平行四邊形；

（2）請直接寫出8G與GE的數量關系：—.（不要求證明）

13.（江東區(qū)期末）（1）用反證法證明命題：”三角形的三個內角中，至少有一個內角大于或等

于60°.先假設所求證的結論不成立，即—；

（2）寫出命題“一次函數丫=依+人若%>0,b>0,則它的圖象不經過第二象限.”的逆命題,

并判斷逆命題的真假.若為真命題，請給予證明；若是假命題，請舉反例說明.

14.（浙江校級自主招生）在兩個三角形的六對元素（三對角與三對邊）中，即使有五對元素分

別相等，這兩個三角形也未必全等.

(1)試給出一個這樣的例子，畫出簡圖，分別標出兩個三角形的邊長.

(2)為了把所有這樣的反例都構造出來，試探