思維訓(xùn)練數(shù)論專項(xiàng)-物不知數(shù)問題

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一、解答題

1.有一個(gè)整數(shù)，除39,51所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù)。

2.有一個(gè)自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33。求這個(gè)數(shù)是多少？

二、填空題

3.一個(gè)兩位數(shù)加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,則這個(gè)兩位數(shù)最小值為

三、解答題

4.兩位自然數(shù)不與而除以7都余1,并且。＞8，求Wx瓦。

5.有一個(gè)大于1的數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù)可能是多少？

6.有一個(gè)整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個(gè)整數(shù)是幾？

四、填空題

7.有3個(gè)奇特?cái)?shù)：888,518,666,用他們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得余數(shù)依次為。，。+7,

a+10,求這個(gè)自然數(shù)-

五、計(jì)算題

8.已知429、791、500被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a+5、2a、a,求該自然數(shù)及a的值。

六、填空題

9.有一個(gè)自然數(shù)，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,則這

個(gè)數(shù)最小是—O

10.5年級3班同學(xué)上體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成

6排多5人，問上體育課的同學(xué)最少人。

11.小朋友們做游戲，若5人分成一組，則最后余下3人；若6人分成一組，則最后余下4

人；若7人分成一組，則最后余下5人。那么一起做游戲的小朋友至少有人。

12.n除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,…，除以16余15,n最小為。

試卷第2頁，共4頁

13.一個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)是2,除以5的余數(shù)是1,則這個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)是（）o

14.一群猴子分桃，桃子共有56個(gè)，每只猴子可以分到同樣多的桃子。但在它們正要分桃

時(shí)，又來了4只猴子，于是重新分配這些桃子，結(jié)果每只猴子分到的桃子數(shù)量相同，那么最

后每只猴子分到一個(gè)桃子。

七、解答題

15.不足100名同學(xué)跳集體舞時(shí)有兩種組合：一種是中間一組5人，其他人按8人一組圍在

外圈；另一種是中間一組8人，其他人按5人一組圍在外圈。問最多有多少名同學(xué)？

八、填空題

16.有一批圖書總數(shù)在1000本以內(nèi)，若按24本書包成一捆，則最后一捆差2本；若按28

本書包成一捆，最后一捆還是差2本書；若按32本包一捆，則最后一捆是30本。那么這批

圖書共有（）本。

九、解答題

17.一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合條

件的數(shù)。

十、填空題

18.一個(gè)數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余4,問滿足條件的最小自然數(shù)

十一、解答題

19.有連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)。、。+1、a+2,它們恰好分別是9、8、7的倍數(shù)，求這三個(gè)自

然數(shù)中最小的數(shù)至少是多少？

20.民間流傳著一則故事《韓信點(diǎn)兵》，秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與

楚軍大將李鋒苦戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人；忽有后軍來報(bào)，說有

楚軍騎兵追來，韓信便急速點(diǎn)兵迎敵。他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵

5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冃?/p>

布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人?！?/p>

根據(jù)故事中的條件，韓信是如何算出軍中將士人數(shù)的呢？

試卷第4頁，共4頁

《思維訓(xùn)練數(shù)論專項(xiàng)-物不知數(shù)問題》參考答案

1.4或6或12

【分析】由于所得的余數(shù)相同，所以此數(shù)一定能整除39、51這兩數(shù)的差，也就是說它是39、

51之差的公因數(shù)。

【詳解】51-39=12

12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12

因?yàn)橛鄶?shù)3要小于除數(shù)，故此數(shù)為：4或6或12

答：這個(gè)數(shù)是4或6或12。

2.6

【分析】345+這個(gè)數(shù)=商……余數(shù)

543+這個(gè)數(shù)=商……余數(shù)；由于這個(gè)數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543-345,

并且得到的商為33,因此先計(jì)算出543-345的差，然后用它們的差除以33即可。

【詳解】543-345=198

198+33=6

答：求這個(gè)數(shù)是6。

【點(diǎn)睛】此題考查的是同余定理，應(yīng)先找出被除數(shù)的差，然后再解答。

3.13

【分析】根據(jù)余數(shù)定理，貝『'加上3后被3除余1”其實(shí)用原數(shù)還是余1,同理這個(gè)兩位數(shù)除

以4也余1,同時(shí)考慮取值最小，則這個(gè)數(shù)就是3、4的最小公倍數(shù)再加上1。

【詳解】3x4+1

=12+1

=13

則這個(gè)兩位數(shù)最小值為13o

4.2668

【分析】因?yàn)閬y與而除以7都余1,所以方-歷能被7整除，即

(10a+6)—(10b+a)=9x(a—b)能被7整除，由于9和7為互質(zhì)數(shù)，所以只能有a-b=7,那

么話可能為92和81,驗(yàn)算可得當(dāng)月=92時(shí)，垢=29滿足題目要求，由此即可求出兩數(shù)之

積。

【詳解】ab=10a+b

ba=10b+a

答案第1頁，共8頁

4Z?-Z?a=(10a+〃)一(10b+a)=9x(a-/?)育旨被7整除

所以a-Z?=7

若b=l,則a=8,81+7=11……4,不符合；

若6=2,貝Ua=9,92+7=13……1,29+7=4……1,符合；

所以蘇=92,而=29。

那么嬴垢=92x29=2668。

5.2、7、14

【分析】由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理可知：這個(gè)數(shù)一定能整除45、59、101中的任

意兩數(shù)的差，也就是說它是這三個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)差的公約數(shù)。

【詳解】101—45=56,59—45=14,則56、14的公約數(shù)為14,而14的約數(shù)有1、2、7、

14,故此數(shù)可能為2或7或14

6.19

【分析】a,b數(shù)被一個(gè)數(shù)d去除，有相同的余數(shù)，那么d可以整除(a-b),由此找出300

與262的差，以及262與205的差，它們的非1的公約數(shù)就是要求的數(shù)。

【詳解】這個(gè)數(shù)除300、262,得到相同的余數(shù)，所以這個(gè)數(shù)整除300—262=38,

同理，這個(gè)數(shù)整除262—205=57,

因此，它是38、57的公約數(shù)19。

【點(diǎn)睛】本題利用同余定理的性質(zhì)，得出要求的數(shù)是被除數(shù)兩兩之間差的公約數(shù),從而得解。

7.29

【分析】518—7=511,666-10=656,888,511,656除以這個(gè)數(shù)，余數(shù)相同；888-511

=377,888-656=232,這個(gè)數(shù)為377與232的公因數(shù)，且大于10,然后進(jìn)行分析，進(jìn)而

得出答案；

【詳解】518—7=511

666-10=656

888-511=377

888-656=232

這個(gè)數(shù)為377與232的公因數(shù)，且大于10；

因?yàn)?77=13x29,232=8x29,所以這個(gè)自然數(shù)為29；

故答案為：29

答案第2頁，共8頁

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系，想法把余數(shù)轉(zhuǎn)化為相等

的數(shù)，進(jìn)而根據(jù)公約數(shù)的有關(guān)知識進(jìn)行分析，得出結(jié)論。

8.19；a=6

【分析】將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)：(429-5)x2=848,791,500x2

=1000,這樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a,故可用同余定理，兩兩作差，找

公因數(shù)即可求解。

【詳解】由題可知(429-5)x2=848,791,500x2=1000,三者同余

則848-791=57,1000-848=152,57與152公因數(shù)為19,所以這個(gè)自然數(shù)為19的因數(shù),

顯然1不合題意，故此數(shù)為19；

此時(shí)所得余數(shù)分別為11、12、6,故a=6

【點(diǎn)睛】將被除數(shù)進(jìn)行放大或加減，使得余數(shù)相同，把不同余問題，轉(zhuǎn)化為同余問題，再兩

兩作差找公因數(shù)是解決此題的關(guān)鍵。

9.59

【分析】根據(jù)題意，可知：如果這個(gè)自然數(shù)添上1后再除以2、3、4、5、6就沒有余數(shù)了，

所以這個(gè)數(shù)最小是比2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)少1的數(shù)；據(jù)此解答。

【詳解】因?yàn)?、3、4、5、6的最小公倍數(shù)是60,所以這個(gè)數(shù)最小是：60-1=59；

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是理解符合條件的這個(gè)數(shù)最小是比2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)少1的數(shù)。

10.59

【分析】根據(jù)題意可知，如果5年級3班再加1個(gè)人，正好分別是3、4、5、6的倍數(shù)，所

以用3、4、5、6的最小公倍數(shù)減1,就是最少上體育課的同學(xué)人數(shù)。

【詳解】3、4、5、6的最小公倍數(shù)是：

2x2x3x5=60(人)

60-1=59(人)

所以，上體育課的同學(xué)最少59人。

【點(diǎn)睛】題意相當(dāng)于：除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,這樣我們根據(jù)總

結(jié)知道都只能“湊缺”，所以都缺1,這樣班級人數(shù)就是[3、4、5、6]—1=60—1=59人。

11.208

【分析】這個(gè)數(shù)除以5余3,即還差2人又能組成一組；除以6余4,即還差2人又能組成

一組；除以7余5,即還差2人又能組成一組；因每次分組都會缺少2個(gè)人，所以小朋友的

人數(shù)一定是5、6、7的最小公倍數(shù)再減去2,列式解答即可。

答案第3頁，共8頁

【詳解】5、6、7的最小公倍數(shù)：5x6x7=210

故小朋友至少有210—2=208（人）

所以一起做游戲的小朋友至少有208人。

12.720719

【分析】除以2余1,即除以2差1個(gè)；除以3余2,即除以3,差1個(gè)；除以4余3,即除

以4差一個(gè)，一次類推，除以16余15,即除以16差1個(gè)，每次總差一個(gè)，因此，可以先

給這個(gè)數(shù)加1,這樣，除以每個(gè)數(shù)都剛好，即找2~16的最小公倍數(shù)。再減去1即可得出答

案。

【詳解】依題意2~16的最小公倍數(shù)為：16x9x5x7x11x13=720720

故n最小值為：720720—1=720719

【點(diǎn)睛】根據(jù)條件能夠想到加1后的數(shù)是2~16的最小公倍數(shù)，再減去1即可求出原數(shù)是解

決本題關(guān)鍵。

13.11

【分析】最小的5（5除外）的倍數(shù)且除以3余2的數(shù)是20,最小的3的倍數(shù)且除以5余1

的數(shù)是6,所以這個(gè)數(shù)最小是10x2+6x1=26,26-15=1……11；所以，這個(gè)數(shù)除以

15的余數(shù)是IE

【詳解】10x2+6x1

=20+6

=26

26+15=1........11

所以，這個(gè)數(shù)除以15的余數(shù)是11。

【點(diǎn)睛】正確理解剩余定理和運(yùn)算的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵。

14.7

【分析】56的因數(shù)有1,2,4,7,8,14,28,56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴

子8只，每只猴子分到56+8=7個(gè)桃子。

【詳解】56的因數(shù)有1,2,4,7,8,14,28,56,

8-4=4,

故共有8只猴子重新分配這些桃子，

56+8=7（個(gè)）。

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是找出56的因數(shù)。

答案第4頁，共8頁

15.93名

【分析】此題實(shí)際是一個(gè)不足100的整數(shù)，減去5能被8整除，即除以8余5,減去8能被

5整除，即除以5余3,求其最大值。13除以8余5,除以5余3,8和5的最小公倍數(shù)為

40,13+2x40=93,為滿足條件的整數(shù)，即最多有93名同學(xué)。

【詳解】13除以8余5,除以5余3,8和5的最小公倍數(shù)為40,

13+2x40

=13+80

=93

答：最多有93名同學(xué)。

【點(diǎn)睛】正確理解剩余定理的意義，是解答此題的關(guān)鍵。

16.670

【分析】由題意可知，這批書如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆捆書時(shí)，都將

恰好分成整數(shù)本。所以這批書的本數(shù)加上2之后是24,28,32的公倍數(shù)，而[24,28,32]=672,

所以這批書的本數(shù)是672"-2（左是整數(shù)）。由于這批書少于1000本，所以上只能為1,這批

書有670本。

【詳解】根據(jù)分析可知，數(shù)的本數(shù)加2,是24、28、32的公倍數(shù)；

[24,28,32]=672

所以這批書的本數(shù)是672人-2（左是整數(shù)）；

當(dāng)％=1時(shí)，672^-2=670（本）

所以，這批書有670本。

【點(diǎn)睛】找出24、28、32的最小公倍數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵。

17.1102

【分析】列出除以3余1的前面一部分?jǐn)?shù)字，再列出除以5余2的前面一部分?jǐn)?shù)字，最后列

出除以7余3的前面一部分?jǐn)?shù)字，這三列數(shù)中找出最小的共同數(shù)，這個(gè)數(shù)再加上[3,5,7]

的倍數(shù)使這個(gè)數(shù)在1000-1200之間即為滿足要求的數(shù)字。

【詳解】被3除余1的數(shù)：

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,...；

被5除余2的數(shù)：

2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,...；

被7除余3的數(shù)：

答案第5頁，共8頁

3,10,17,24,31,38,45,52,...；

三個(gè)條件都符合的最小的數(shù)是52

[3,5,7]=105,105x10+52=1102,1000<1102<2000

【點(diǎn)睛】先求出滿足要求最小的數(shù)字，在加上[3,5,7]的倍數(shù)滿足數(shù)字范圍即可。

18.53

【分析】根據(jù)“剩余定理”可得：

3、5的公倍數(shù)3、7的公倍數(shù)5、7的公倍數(shù)

152135

304270

4563105

6084140

找出除以7余4的除以5余3除以3余2

可以找出分別是：606335

可見60+63+35=158滿足我們的條件，但不是最小的自然數(shù)，處理方法就是減去最小公倍

數(shù)的若干倍，使結(jié)果在最小公倍數(shù)之內(nèi)。所以答案為：158—105=53。

【詳解】根據(jù)分析可得：

3、5的公倍數(shù)且除以7余4的最小的數(shù)是60；3、7的公倍數(shù)且除以5余3的最小的數(shù)是63；

5、7的公倍數(shù)且除以3余2的最小的數(shù)是35；

60+63+35=158

158—3x5x7

=158-105

=53

所以，滿足條件的最小自然數(shù)53。

【點(diǎn)睛】熟練掌握剩余定理和余數(shù)的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵。

19.495

【分析】由。+1是8的倍數(shù)，得到。被8除余7,由a+2是7的倍數(shù)，得到a被7除余5,

現(xiàn)在相當(dāng)于一個(gè)數(shù)。除以9余0,除以8余7,除以7余5。運(yùn)用中國剩余定理求。（用逐步

滿足的方法也可以）可得：

答案第6頁，共8頁

7和8的公倍數(shù)7和9的公倍數(shù)8和9的公倍數(shù)

566372

112126144

168189216

224252288

280315

378

441

7和8的公倍數(shù)中除以9余1的最小為280；7和9的公倍數(shù)中除以8