第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

目錄

第10講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式.............................................................1

一、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)............................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo).................................................................2

考點(diǎn)2經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程..........................................................3

二、距離公式..................................................................................4

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................4

考點(diǎn)3兩點(diǎn)間的距離公式...................................................................4

考點(diǎn)4點(diǎn)到直線的距離公式.................................................................5

考點(diǎn)5兩條平行直線間的距離公式..........................................................5

考點(diǎn)6與距離有關(guān)的最值問(wèn)題...............................................................6

三、點(diǎn)、線間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系........................................................................7

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................7

考點(diǎn)7直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題...............................................................9

考點(diǎn)8點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題...............................................................9

考點(diǎn)9直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題...........................................................10

四、課后作業(yè)..................................................................................11

單選題....................................................................................11

多選題....................................................................................12

填空題....................................................................................12

解答題....................................................................................12

一、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

基礎(chǔ)知識(shí)

1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

(Axx+Bxy+G=0,

|Ax+By+C=0,

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組I222若方程組有唯一解，則兩條直線相

交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無(wú)窮多

解，則兩條直線重合.

(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系

4x+3y+G=0

一組無(wú)數(shù)組無(wú)解

AX+By+G=°

方程組22的解

直線11和12的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)

直線11和12的位置關(guān)系相交重合平行

考點(diǎn)1求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

直線2尤—y+6=0與直線x+y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(3,0)B.(-1,4)C.(-3,6)D.(4,-1)

「若直線丫=刀+2卜+1與直線)/=—3刀+2的交點(diǎn)在第一象

限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍()

若三條直線2x+y-4=0,x—y+l=0與ax-y+2=0共

有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.1B.-2C.1或-2D.-1

?期中）已知直線ax+y+l=O,%+即+1=0和x+y+a=O能構(gòu)成三角形，貝!J

。的取值范圍是（）

A.—2B.存±1

C.蚌一2且存±1D.a豐一2且a=^\

考點(diǎn)2經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程

【例2.1］（23-24高二上?海南海口?期末）過(guò)兩直線3%+丫-1=0與％+2丫-7=0的交點(diǎn)，并且與第一

條直線垂直的直線方程是（）

A.3%+y—1=0B.3%+y+1=0

C.x—3y+13=0D.x—3y+6=0

【例2.2】（23-24高二上?四川雅安?期末）過(guò)直線，1：久一2y+4=0與直線%：、+y+1=0的交點(diǎn)，且過(guò)

原點(diǎn)的直線方程為（）

A.2%—y=0B.2%+y=0C.x-2y=0D.%+2y=0

【變式2.1］（23-24高二上?廣東?階段練習(xí)）已知直線?經(jīng)過(guò)兩條直線k%+y=2,l2：2%—y=l的交點(diǎn),

且/的一個(gè)方向向量為下=（—3,2）,則直線，的方程為（）

A.2%—3y+1=0B.2%+3y—5=0

C.3x—2y—5=0D.2,x+3y—1=0

【變式2.2］（23?24高二上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）過(guò)直線3%—2y+3=0與％+y—4=0的交點(diǎn)，與直

線2%+y-1=0平行的直線方程為（）

A.2%+y—5=0B.2%+y+1=0

C.%+2y-7=0D.%—2y+5=0

二、距離公式

基礎(chǔ)知識(shí)

1.兩點(diǎn)間的距離公式

平面內(nèi)兩點(diǎn)”(％'珀，尸2(9,乃)間的距離公式為出=’(七-汨尸+(%-MT.

特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|="+..

2.點(diǎn)到直線的距離公式

⑴定義：

點(diǎn)P到直線1的距離，就是從點(diǎn)P到直線1的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是

直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式：

Mx。+By。+C|

已知一個(gè)定點(diǎn)尸一條直線為1：Ax+By+C=O,則定點(diǎn)P到直線1的距離為(1=,才+京.

3.兩條平行直線間的距離公式

⑴定義：

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

(2)公式:

IG—Czl

設(shè)有兩條平行直線+功+G=。，/2：/x+8y+C2=0,則它們之間的距離為d=,%+爐.

4.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

%i+乃

%=為+%

一_______…{2.

考點(diǎn)3兩點(diǎn)間的距離公式

-24高二上?天津?期末)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為力(3,-2),B(3,4)((—5,4),。為AC中點(diǎn),則

的長(zhǎng)為()

A.3B.5C.9D.25

誕)已知點(diǎn)4(3,3a+3)與點(diǎn)B(a,3)之間的距離為5,則實(shí)數(shù)a的值為

()

A.-1B.1C.-1或3D.1或一：

【變式1.1](23-24高三下?浙江麗水?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)點(diǎn)42在曲線y=log2%上.若4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),

貝“明=()

A.6B.2V10C.4V3D.4V5

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，原點(diǎn)。到直線5久—2y+4=0與%：

3x+y—9=0的交點(diǎn)的距離為()

A.V10B.2V3C.V13D.V15

考點(diǎn)4點(diǎn)到直線的距離公式

：「已知點(diǎn)力(―2,1),B(3,2),C(7,—5),則點(diǎn)B到直線AC的距離為()

A.詈B.等C.V13D.V26

“K已知點(diǎn)力(0,3)及直線l:x+y—1=0上一點(diǎn)B,則|4B|的值不可

能是()

A.1B.2C.3D.4

124高二上?浙江紹興?期末)原點(diǎn)到直線1:Ax+y-A+1=0(ZGR)的距離的最大值為()

AV2B.乎C.fD.

A-TV2

【變式2.21(23-24高二上?四川綿陽(yáng)?期末)已知4(一2,0),8(4,m)兩點(diǎn)到直線/x-y+1=0的距離相

等，則TH=()

A.-2B.6C.-2或4D.4或6

考點(diǎn)5兩條平行直線間的距離公式

【例3.1】(23-24:上?福建二明?期末)兩條平行線h：x+2y-2=0,%：a%+6y-9=0間的距離等于

()

V5宜3V5「三n7V5

AA.—B.—C.V5D.—

「已知直線4:x—y+l=O與直線0：2x+ay—2=0平行，則。

與6之間的距離為（）

A.V2B.2C.—D.—

22

已知直線3x—4y+6=。與直線3比一4y+m=0間的距離

為2,則爪=()

A.-8或4B.4C.-4或6D.-4或16

若兩平行直線x+2y+m=0(m>0)與x-ny-3=0之間的

距離是有，則+n=()

A.-1B.0C.1D.V10

考點(diǎn)6與距離有關(guān)的最值問(wèn)題

［例4.1］（22-23高二,上?河南",七馬店?期末）點(diǎn)。（一2,—2）到直線，:2x^y+mx^m=0（meR）距離的最

大值為（）

A.5B.V5C.2V2D.3

【例4.2］（23-24高二上?江蘇連云港?階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)

難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：J（x—a）2+（y—b）2可以轉(zhuǎn)化為平面

上點(diǎn)M（x,y）與點(diǎn)N（a,b）的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得/（久）=V%2+10%+26++6久+13的最小值為（）

A.5B.V29C.V13D.2+V13

1?期中）已知直線0：ax+y+1=0過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線=k（x+

1）距離的最大值是（）

A.1B.2C.V3D.V2

:設(shè)點(diǎn)P,Q分別為直線3比+4y—7=0與直線6x+8y+3=0

上的任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）

三、點(diǎn)、線間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)6)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的問(wèn)題，主要依據(jù)/是線段尸P的中點(diǎn)來(lái)求解.

設(shè)P(xojo),對(duì)稱(chēng)中心為』(a,6),則尸關(guān)于/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(2a—Xo,2b—%).

2.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

求直線/關(guān)于點(diǎn)/(a,6)對(duì)稱(chēng)的直線/'的步驟：

(1)由平行直線系設(shè)出直線/'的方程；

(2)在/上任取一點(diǎn)尸(x,y),求尸關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(2a-x,2b->);

⑶將尸'的坐標(biāo)代入直線/'的方程，求出參數(shù)，得到/'的方程.

3.兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)

設(shè)點(diǎn)/(Xo,yo)關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為2(x,y).

x+xo_

{y=yo

Ix=x0

(2)直線/的斜率為。時(shí)，設(shè)直線/y=t,則<y+y°_.

⑶直線/的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)點(diǎn)/(X。,珀關(guān)于直線/：/x+沖+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為3(x,y).

kAB,左/=-1

則x+Xo,ny+yo,-由此可求出g(x,y).

2十夕----------bC=U

(4)幾種特殊位置的對(duì)稱(chēng):

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)

X軸(a,-b)

y軸(-a,b)

y=x(b,a)

P(a,b)

y=-x(-b,-a)

x=m(m#O)(2m-a,b)

y=n(n^O)(a,2n-b)

4.直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)

直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)有兩種類(lèi)型：

⑴若已知直線。與對(duì)稱(chēng)軸/相交于點(diǎn)尸，則交點(diǎn)尸必在乙關(guān)于/對(duì)稱(chēng)的直線右上，再求出人上除點(diǎn)尸外

任意一個(gè)已知點(diǎn)B關(guān)于/對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2,那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)尸及點(diǎn)尸2的直線就是以

(2)若已知直線人與對(duì)稱(chēng)軸/平行，則乙關(guān)于/對(duì)稱(chēng)的直線Z2到直線I的距離和/倒直線I的距離相等，由

平行直線系和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可求出A關(guān)于/對(duì)稱(chēng)的直線以

考點(diǎn)7直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

【例1.1](23-24高二上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))直線2:4久+3y-2=0關(guān)于點(diǎn)4(1,1)對(duì)稱(chēng)的直線方程為()

A.4x+3j—4=0B.4x+3y—12=0

C.4x—3廠4=0D.4x—3y—12=0

點(diǎn)P(l,2)在直線/上，直線人與2關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，則一定在直線，1

上的點(diǎn)為()

A,13、TA/43

Bxc.(-1,0)D.(i,0)

A-(5.)-(T，5)

二U”郎「直線ax+3y-9=0與直線萬(wàn)一3)/+6=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則

a,b的值是

A.a=-1,b=-9B.a=-1,b=9

C.a=1,b=-9D.a=1,b=9

[:式2](2324高勺包期末)與直線3%-4y+5=0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程為()

A.3%+4y—5=0B.3x+4y+5=0

C.3%—4y+5=0D.3%—4y—5=0

考點(diǎn)8點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

【例2.1](23-24高二上?廣東佛山?期中)點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線x-y+l=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-2,5)B.(0,3)C.(0,-1)D.(-1,2)

【例2.2](23-24高二上?浙江?階段練習(xí))一條光線從點(diǎn)P(-l,5)射出，經(jīng)直線x-3y+1=0反射后經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(2,3),則反射光線所在直線的方程為()

A.2x—y—1—0B.x—2=0

C.3x一y-3=0D.4%-y—5=0

已知直線Z：久—y=0,則點(diǎn)4(—1,4)關(guān)于2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

A.(4,1)B.(4,-1)C.(-1,-4)D.(1,4)

在△力BC中，已知力(1,1),B(—3,—5),若直線m:2久+y+6=0

為N4C8的平分線，則直線AC的方程為()

A.x-2y+1=0B.6x+7y—13=0

C.2x+3y—5=0D.x=1

考點(diǎn)9直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

【例3.1］（23-24高二.上?廣東?期末）直線汽+2y+3=0關(guān)于直線y=—%對(duì)稱(chēng)的直線方程是（）

A.x+2y—3=0B.2x+y-3=0

C.%—2y—3=0D.2%+3y+3=0

【例3.2】（23-24高二上?湖北武漢?期中）已知直線:=a%+3與%關(guān)于直線y=%對(duì)稱(chēng),%與，3：%+2y—

1=0平行，則Q=（）

11

A.—B.—C.-2D.2

22

【變式3.1］（23-24高一上?湖北?階段練習(xí)）直線％+2y+3=0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線方程是（）

A.x+2y—3=0B.%—2y+3=0

C.x—2y—3=0D.3x+2y—1—0

【變式3.21（23-24高二上?上海浦東新?期中）已知直線/:%—y—1=0/i：2%—y—2=0.若直線「與k

關(guān)于/對(duì)稱(chēng)，則6的方程是（）

A.x+y—1=0B.%+2y—1=0C.x—2y—1=0D.%—2y+1=0

四、課后作業(yè)

單選題

I.(23-24高二上?北京順義期末)若直線x—ay=O與直線2x+y—1=0的交點(diǎn)為(1,%)，則實(shí)數(shù)。的

值為()

A.-1B.--C.1D.2

2

若直線%:ax+y-4=0與直線"：x-y—2=0的交點(diǎn)位于第一象限，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—1,2)B.(—1,+8)C.(一8,2)D.(-8,-1)u(2,+8)

，點(diǎn)(0,1)到直線fcc+y+k=0的最大距離為()

A.2B.V3C.V2D.1

若三條直線匕：4x+y=3,l2：mx+y=0,l3:x-my=2不能?chē)扇切危?/p>

則實(shí)數(shù)m的取值最多有()

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.6個(gè)

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))平行直線Zi：2x+y—5=0與Z2：x—by+5=0之間的距離為()

A.V5B.2V5C.3V5D.5函

己知力(-3,-4),B(6,3)兩點(diǎn)到直線〃ax+y+1=0的距離相等,

求a的值()

A.1B.C.—1或—.D.g或

點(diǎn)P(l,2)在直線/上，直線匕與，關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，則一定在直線人上的點(diǎn)為()

A.&|)B.C.(-1,0)D.(1,0)

8.(23-24高二上?湖南益陽(yáng)?階段練習(xí))唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句為“白日登山望烽火，黃

昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳

下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已