10.3抽樣方法、用樣本估計(jì)總體

【考點(diǎn)梳理】

i.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)丕放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本("WN)，

如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相笠，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

抽簽法(抓閹法)：一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器

中，攪拌均勻后，每次從中抽取L個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取2次，就得到一個(gè)容量為〃的樣本.

隨機(jī)數(shù)法：隨機(jī)數(shù)法就是利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有操作簡(jiǎn)便易行的優(yōu)點(diǎn)，在總體個(gè)數(shù)不多的情況下是行之有效的.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為〃的樣本，我們可以按下列步驟進(jìn)行系統(tǒng)抽樣：

①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào).有時(shí)可直接利用個(gè)體自身所帶的號(hào)碼，如學(xué)號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、門(mén)牌號(hào)等；

②確定分段間隔左，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.當(dāng)個(gè)("是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k=+如果遇到汴是整數(shù)的情況,

可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除；

③在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)1(反尚；

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將I加上間隔曾得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)"+Q,再加k得到第3個(gè)個(gè)體編

號(hào)(1+24),依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.

(2)當(dāng)總體中元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,當(dāng)總體中元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，常采用系統(tǒng)抽樣.

3.分層抽樣

(1)分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地

抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法.

(3)分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均篁的.

4.用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

(1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布;另一種是用樣本

的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.

頻率

(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示箍,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的面積表示.各小長(zhǎng)方

形的面積總和等于1.

(3)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)

所分的組數(shù)增加,組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲

線，它能夠更加精細(xì)地反映出總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比.

(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息,而且可以隨時(shí)記錄,給

數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來(lái)方便.

5,用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或者最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的陋數(shù))叫做這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即I=gxi+X2+…+公).

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相笠.

(2)樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差

222

s=J匕(再—X)+(X2-X)+...+?-X)],其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第〃項(xiàng),n是樣本容量,x是平均數(shù).標(biāo)

Vn

準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù),樣本方差是樣本標(biāo)準(zhǔn)差的壬左.通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣

本容量接近總體容量時(shí)，樣本方差很接近總體方差.

考點(diǎn)一抽樣方法

【例題/（1）某校期末考試后，為了分析該校高一年級(jí)800名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了80名學(xué)

生的成績(jī)單，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.800名學(xué)生是樣本B.每名學(xué)生是個(gè)體

C.每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本D.樣本容量是80

【答案】D

【解析】800名學(xué)生的成績(jī)單是總體，故A錯(cuò)誤；每個(gè)學(xué)生的成績(jī)單是個(gè)體，故B錯(cuò)誤；80名學(xué)生的成績(jī)

單是所抽取的一個(gè)樣本，故C錯(cuò)誤；樣本容量是80,故D正確，故選：D.

（2）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的是（）

A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

【答案】B

【解析】選項(xiàng)A中總體中的個(gè)體數(shù)較大，樣本容量也較大，不適合用抽簽法；選項(xiàng)B中總體中的個(gè)體數(shù)較

小，樣本容量也較小，且同廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品可視為攪拌均勻了，可用抽簽法；選項(xiàng)C中甲、乙兩廠生產(chǎn)

的兩箱產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，不能滿足攪拌均勻的條件，不能用抽簽法；選項(xiàng)D中總體中的個(gè)體數(shù)較大，

不適合用抽簽法，故選：B.

（3）某校為了解高一年級(jí)學(xué)生的生涯規(guī)劃情況，在高一年級(jí)的6個(gè)班級(jí)中任選2個(gè)班級(jí)，并在所選班級(jí)中

按男女比例抽取樣本，則應(yīng)采用的抽樣方法是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣

C.先用分層抽樣，再用隨機(jī)數(shù)表法D.先用抽簽法，再用分層抽樣

【答案】D

【解析】先從6個(gè)班級(jí)中任選2個(gè)班級(jí)，因?yàn)榭傮w容量、樣本容量都比較小，所以用抽簽法更合理，再在

所選班級(jí)中按男女比例抽取樣本，因?yàn)槟小⑴町惷黠@，所以用分層抽樣更合理，故A,B,C錯(cuò)誤，故選：

D.

（4）北京2022年冬奧會(huì)期間，某大學(xué)派出了100名志愿者，為了解志愿者的工作情況，該大學(xué)學(xué)生會(huì)將

這100名志愿者隨機(jī)編號(hào)為1,2,…，100,再?gòu)闹欣孟到y(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行問(wèn)

卷調(diào)查，若所抽中的最小編號(hào)為3,則所抽中的最大編號(hào)為（）

A.96B.97C.98D.99

【答案】C

【解析】由題意知，派出了1。0名志愿者中，利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，

可得間距為*=5,因?yàn)樗闃颖局械淖钚【幪?hào)為3,可得樣本中最大編號(hào)為3+（207）x5=98,故選：C.

（5）現(xiàn)要完成3項(xiàng)抽樣調(diào)查：①?gòu)?0盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行衛(wèi)生檢查；②科技報(bào)告廳有座椅32排，每排

40個(gè)座位，有一次報(bào)告會(huì)恰好坐滿了觀眾，抽取32位進(jìn)行座談；③某中學(xué)共有160名教職工，其中教師

120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了解教職工對(duì)校務(wù)公開(kāi)方面的意見(jiàn)，抽取一個(gè)容量為20的樣

本進(jìn)行調(diào)查（）

A.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣②系統(tǒng)抽樣③分層抽樣

B.①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣②分層抽樣③系統(tǒng)抽樣

C.①系統(tǒng)抽樣②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣③分層抽樣

D.①分層抽樣②系統(tǒng)抽樣③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【答案】A

【解析】對(duì)于①總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；②總體中的個(gè)體數(shù)較多，而且容易分成均衡的

若干部分，選32人剛好32排，每排選一人，宜用系統(tǒng)抽樣；③總體是由差異明顯的幾部分組成，宜用分

層抽樣，故選：A.

（6）某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一70。人、高二80。人、高三600人中抽取42

人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則高三抽取的人數(shù)是.

【答案】12

【解析】高三應(yīng)抽取的人數(shù)為：42X熟i=42x\=12人,故答案為：12.

700+800+6007

【變式】（1）某市今年有6萬(wàn)名學(xué)生參加高考，為了解6萬(wàn)名學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取2000名考

生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以下表述中正確的是（)

A.6萬(wàn)名考生是總體B.每名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是個(gè)體

C.2000名考生是總體的樣本D.2000名是樣本容量

【答案】B

【解析】對(duì)于A：總體是6萬(wàn)名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī).本選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于B：個(gè)體是每名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī),

本選項(xiàng)正確;對(duì)于C：樣本是2000名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī),本選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：樣本容量是2000,而非2000

名，故本選項(xiàng)不正確，故選:B.

(2)利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從〃個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.若抽完第一個(gè)個(gè)體后，余下的每個(gè)個(gè)體

被抽到的機(jī)會(huì)為:，則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為()

4

、5「5-1n10

A.—B.—C.—D.—

718437

【答案】D

【解析】由題意可得一J=故”=37,所以每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)為半，故選：D.

n-1437

(3)某企業(yè)有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)沒(méi)有較大差異.為了解客戶的評(píng)價(jià)，該企業(yè)準(zhǔn)

備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(包括抽簽法和隨機(jī)數(shù)法)、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，

則最合適的抽樣方法是()

A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法

C.系統(tǒng)抽樣D.分層抽樣

【答案】C

【解析】由于不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)沒(méi)有較大差異，故不適宜用分層抽樣，由于總體樣本容量較

大，故不適用抽簽法和隨機(jī)數(shù)法，適合用系統(tǒng)抽樣來(lái)抽取樣本；故選：C.

(4)從編號(hào)1,2,3,99的99個(gè)零件中，抽取一個(gè)樣本容量為11的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分為

11組，若第一組中抽取的零件編號(hào)為3,則第三組中抽取的零件編號(hào)為.

【答案】21

【解析】因?yàn)橛?9個(gè)零件，分H組，所以每組有9個(gè)，因?yàn)榈谝唤M中抽取的零件編號(hào)為3,所以第三組抽

取的零件編號(hào)為3+2x9=21,故答案為：21.

(5)在中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年之際，某高中學(xué)校計(jì)劃選派60名團(tuán)員參加“文明勸導(dǎo)”志愿活動(dòng)，

高一、高二、高三年級(jí)的團(tuán)員人數(shù)分別為100,200,300,若按分層抽樣的方法選派，則高一年級(jí)需要選派

的人數(shù)為.

【答案】10

【解析】依題意可知高一年級(jí)需要選派的人數(shù)為…:吸.“X60=10人,故答案為：10.

(6)現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)?00臺(tái)剛出廠的電視機(jī)中抽取3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查；②某社區(qū)有1000戶家庭,

其中高收入家庭100戶，中等收入家庭820戶，低收入家庭80戶，為了調(diào)查家庭每年生活費(fèi)的開(kāi)支情況，計(jì)

劃抽取一個(gè)容量為50的樣本，則完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是()

A.①②都采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

B.①②都采用分層隨機(jī)抽樣

C.①采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②采用分層隨機(jī)抽樣

D.①采用分層隨機(jī)抽樣，②采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【答案】C

【解析】①的總體中的個(gè)體數(shù)較少，宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②中1000戶家庭中收入存在較大差異，層次比

較明顯，宜采用分層抽樣，故選：C.

考點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體

【例題/(1)在一次連續(xù)10次的射擊中，甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員所射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差不同，

則下列說(shuō)法中正確的是()

A.因?yàn)樗麄兯渲协h(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，所以他們水平相同

B.雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差較大的，潛力較大，更有發(fā)展前途

C.雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差較小的，發(fā)揮較穩(wěn)定，更有發(fā)展前途

D.雖然射中環(huán)數(shù)的平均數(shù)一樣，但方差較小的，發(fā)揮較不穩(wěn)定，忽高忽低

【答案】C

【解析】由方差的意義可知，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定；反之，方差越大，波動(dòng)越大，所以c說(shuō)法正確，故

選：C.

(2)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

頻數(shù)245342

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40)的頻率為()

A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55

【答案】D

【解析】由頻率直方表數(shù)據(jù)知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40)的頻率為=0.55,故選：D.

(3)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.設(shè)其

平均數(shù)為。，中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】重新排列得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.則有：

J-x(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,b=1x(15+15)=15,c=17,所以c>6>a,故選:

102

D.

(4)學(xué)校舉行演講比賽，11位評(píng)委對(duì)甲同學(xué)《祖國(guó)，我愛(ài)你》演講的評(píng)分情況是：

評(píng)分7.8899.5

評(píng)委人數(shù)1235

去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則甲同學(xué)的最終得分為()

A.8.5B.8.9C.9.0D.9.1

【答案】C

【解析】去掉一個(gè)最高分9.5分和一個(gè)最低分7.8分，則甲同學(xué)的最終得分為；=9.0,故選:C.

(5)一農(nóng)場(chǎng)在同一塊稻田中種植一種水稻，其連續(xù)8年的產(chǎn)量(單位：kg)如下：450,430,460,440,

450,440,470,460,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

【答案】150

-1

【解析】根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為尤=—x(450+430+46。+44。+45。+440+470+460)=450,所

8

以該組數(shù)據(jù)的方差為S2=-x［(450-450)2+(430-450)2+(460-450)2+(440-450)2+(450-450)2

8

+(440-450)2+(470-450)2+(460-450)2]=150,故答案為：150.

（6）某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考

成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）

A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)

【答案】A

【解析】由題意知，本次和上次的月考成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都相差50,根據(jù)方差公式知方差不變.

故選：A.

【變式】（1）在某次足球聯(lián)賽上，紅隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球個(gè)數(shù)是L6,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是11；

藍(lán)隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球個(gè)數(shù)是2.2,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是04則下列說(shuō)法正確的是（）

A.平均來(lái)說(shuō)，藍(lán)隊(duì)比紅隊(duì)防守技術(shù)好B.藍(lán)隊(duì)很少失球

C.紅隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好D.藍(lán)隊(duì)比紅隊(duì)技術(shù)水平更不穩(wěn)定

【答案】C

【解析】因?yàn)榧t隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.6,藍(lán)隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.2,所以平均說(shuō)來(lái)紅隊(duì)比藍(lán)隊(duì)

防守技術(shù)好，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗{(lán)隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.2,全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,所以藍(lán)

隊(duì)經(jīng)常失球，故B錯(cuò)誤;因?yàn)榧t隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1,藍(lán)隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,

所以紅隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好，故C正確；因?yàn)榧t隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1,藍(lán)隊(duì)

全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4,所以藍(lán)隊(duì)比紅隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，故D錯(cuò)誤，故選：C.

（2）某校1000名學(xué)生的高中歷史學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)的頻率直方圖如圖所示，規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀等級(jí)，

則該校學(xué)生優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)為（

A.15B.30C.150D.300

【答案】C

【解析】根據(jù)頻率直方圖得該校學(xué)生優(yōu)秀等級(jí)的概率是QO15xlO=Q15,故該校學(xué)生優(yōu)秀等級(jí)的人數(shù)是

1000x0.15=150,故選：C.

(3)一組數(shù)據(jù)6,7,8,a,10的平均數(shù)為8,則此組數(shù)據(jù)的方差為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意，|(6+7+8+?+10)=8,解得a=9,故此組數(shù)據(jù)的方差為拉+-+仔+2?)=2,故選:

B.

(4)已知一組數(shù)據(jù)：21,23,24,30,32,下列結(jié)論：①該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24；②該組數(shù)據(jù)的極差為

11；③將該組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上2,得到新的一組數(shù)據(jù)的方差與該組數(shù)據(jù)的方差相等.其中正確的是

()

A.①B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：21、23、24、30、32,該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,極差為32-21=11,

①②正確；將該組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上2,新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加2,方差不變，③正確，故選：D.

(5)數(shù)據(jù)65,73,94,63,78,83,86,90,79,84的極差為.

【答案】31

【解析】極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，由數(shù)據(jù)可知，最大值為94,最小值為63,所以極差為

94-63=31,故答案為：31.

(6)某次數(shù)學(xué)考試中20個(gè)人的成績(jī)?nèi)缦拢?01,103,107,110,112,113,116,123,124,125,125,

125,126,128,134,135,137,139,144,148,若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為中位數(shù)為b,極差為c,則a+b+c=

【答案】297

【解析】由題意，。=125,6=125,c=148-101=47,故a+b+c=125+125+47=297,故答案為：297.

【方法總結(jié)】

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的基礎(chǔ)，是一種等概率的抽樣，它的特點(diǎn)是：

(1)它要求總體個(gè)數(shù)較少；(2)它是從總體中逐個(gè)抽取的；(3)它是一種不放回抽樣.

2.系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，號(hào)碼序列一旦確定，樣本即確定好了.但要注意，如果編號(hào)的個(gè)體特征隨編號(hào)

的變化呈現(xiàn)一定的周期性，那么樣本的代表性是不可靠的，甚至?xí)?dǎo)致明顯的偏向.

3.分層抽樣一般在總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)使用.

4.抽樣方法經(jīng)常交叉使用，比如系統(tǒng)抽樣中均勻分段后的第一段，可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；分層抽樣中，若

每層中個(gè)體數(shù)量仍很大時(shí)，則可輔之以系統(tǒng)抽樣等.

5.用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)總體則是用樣本的頻率

分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀.

6.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形

的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.

7.標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)

差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，

所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是測(cè)量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

10.3抽樣方法、用樣本估計(jì)總體

一、選擇題

1.為調(diào)查參加考試的1000名學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問(wèn)題

來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.1000名學(xué)生是總體B.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體

C.樣本容量是100D.抽取的100名學(xué)生是樣本

【答案】C

【解析】這個(gè)問(wèn)題我們研究的是運(yùn)動(dòng)員的年齡情況：總體是1000名學(xué)生的成績(jī)，故A錯(cuò)誤；

個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的成績(jī)，故B錯(cuò)誤;樣本是100名學(xué)生的成績(jī)，故D錯(cuò)誤；樣本容量是100,

故C正確，故選：C.

2.從52名學(xué)生中選取5名學(xué)生參加“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取,

則每人入選的可能性（）.

A.都相等，且為《B.都相等，且為，C.都相等，且為得

D.都不相等

【答案】C

【解析】對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，在抽樣過(guò)程中，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，因此每人入選

可能相同，且為《，故選：C.

3.某學(xué)校高一年級(jí)有1802人，高二年級(jí)有1600人，高三年級(jí)有1499人，現(xiàn)采用分層抽樣

從中抽取98名學(xué)生參加全國(guó)中學(xué)生禁毒知識(shí)競(jìng)賽，則在高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中抽取

的人數(shù)分別為（）

A.33,33,30B.36,32,30C.36,33,29D.35,32,31

【答案】B

【解析】先將每個(gè)年級(jí)的人數(shù)湊整，得高一年級(jí)有1800人，高二年級(jí)有1600人，高三年級(jí)

有1500人，三個(gè)年級(jí)的總?cè)藬?shù)為1800+1600+1500=4900,則每個(gè)年級(jí)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比

例分別為黑，瞿，膜，因此，各年級(jí)抽取的人數(shù)分別為98X￡=36,98x襄=32,

4949494949

98x—=30,故選：B.

4.某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化，不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法

抽取30人做核酸檢測(cè).把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號(hào)，若018號(hào)被抽中，則下列編

號(hào)也被抽中的是（）.

A.076B.122C.390D.522

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為30組,

每組26人；

設(shè)第九組抽取的編號(hào)為%,故可設(shè)%=26〃+加，又第一組抽中18號(hào)，故可得18=26+根，

解得m——8.

故?！?26〃-8,當(dāng)”=5時(shí)，a5=26x5-8=122,故選：B.

5.一組數(shù)據(jù)30,29,28,27,26,24,23,22的中位數(shù)為（）

A.26B.27C.26和27D.26.5

【答案】D

【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)為30,29,28,27,26,24,23,22,所以中位數(shù)為——=26.5,故

2

選：D.

6.將某市參加高中數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)分成5組：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,并整理得到頻率分布直方圖（如圖所示）.現(xiàn)按成

績(jī)運(yùn)用分層抽樣的方法抽取100位同學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的問(wèn)卷調(diào)查，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間[70,80）內(nèi)

應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.35

【答案】D

【解析】依題意[70,80）中的頻率為0.035x10=0.35,所以[70,80）中應(yīng)抽取0.35x100=35

（人），故選：D.

7.在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中，甲組5名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）如下：9,12,lx,24,27,

乙組5名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?,15,叮，18,24,其中x,y為兩個(gè)不清楚的數(shù)據(jù).若甲組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則％,y的值分別為（

A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8

【答案】C

【解析】因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,易知無(wú)=5.因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,所以

9+15+18+10+y+24協(xié),曰。

---------------------:-------=16.8,解得y=8,故選：C.

8.甲組數(shù)據(jù)為：5,12,16,21,25,37,乙組數(shù)據(jù)為：1,6,14,18,38,39,則甲、乙

的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.都不相同

【答案】B

rzizj+r*5+12+16+21+25+371161+6+14+18+38+39116_u心巾-7EU出九

【解析】峰=-----------------=—,%乙=--------7-------------=—，故甲、乙的平均數(shù)

OOOO

相同，甲、乙的極差分別為37-5=32,39-1=38,故不同，甲、乙的中位數(shù)分別為史產(chǎn)=4,

14+18,,,0

一--=16,故不同，

2

故選：B.

9.甲、乙兩人種棉花，抽取連續(xù)5年的單位面積產(chǎn)量情況如下：

甲：80、40、100、50、90

乙：60、70、80、35、95

則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.甲平均產(chǎn)量高，甲產(chǎn)量穩(wěn)定B.甲平均產(chǎn)量高，乙產(chǎn)量穩(wěn)定

C.乙平均產(chǎn)量高，甲產(chǎn)量穩(wěn)定D.乙平均產(chǎn)量高，乙產(chǎn)量穩(wěn)定

【答案】B

-1

【解析】由題意可得：無(wú)甲=《x(80+40+100+50+90)=72,

-1

尤乙=W><(60+70+80+35+95)=68,

5_5_

甲平均產(chǎn)量高，：扁〉s三,

-----------=536'4=------------=406'X甲>X乙

5乙5

???乙的產(chǎn)量穩(wěn)定，故選：B.

10.若數(shù)據(jù)9,相，6,5的平均數(shù)為7,則數(shù)據(jù)17,2m-l,11,9的平均數(shù)和方差分別為

A.13,5B.14,5C.13,10D.14,10

【答案】C

［解析］依題意得9+'"：6+5=7,解得m=8,于是2帆-1=15,故17,15,11,9的平均數(shù)是

4

2222

17+15+11+9=13^方差為：1［(17-13)+(15-13)+(11-13)+(9-13)］=10,故選：C.

二、填空題

11.根據(jù)一則社會(huì)調(diào)研，成人患糖尿病的比率為10%，某城市有200萬(wàn)人,估計(jì)有人

患有糖尿病.

【答案】20萬(wàn)

【解析】成人患糖尿病的比率為患糖尿病的人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值，則患糖尿病的人數(shù)應(yīng)為總

人數(shù)與比率的乘積，所以患糖尿病的人數(shù)為：200xl0%=20(萬(wàn)人)，故答案為：20萬(wàn).

12.某單位職工分為青年、中年、老年三類，且青年、中年、老年職工的人數(shù)之比為4:3:5.從

中抽取72人作為樣本，則該單位青年職工被抽取的人數(shù)為人.

【答案】24

【解析】因?yàn)榍嗄?、中年、老年職工的人?shù)之比為4:3:5,從中抽取72人作為樣本，所以

41

要從該單位青年職工被抽取的人數(shù)為7丁二x72=z><72=24,故答案為：24.

4+3+53

13.一組數(shù)據(jù)如下：7,10,9,6,11,9,8,4,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

【答案】8.5

【解析】將該組8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列有4,6,7,8,9,9,10,11,故這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)為*=85

故答案為：8.5.

14.為了解300名學(xué)生的視力情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則分

段的間隔為.

【答案】15

【解析】由題意知：分段間隔為黑=15,故答案為：15.

15.如圖所示的頻率分布直方圖.樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間［10/4)的頻率為.

【答案】0.36

【解析】樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間［10,14）的頻率為0.09x4=0.36,故答案為：0.36.

16.已知某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了進(jìn)一

步跟蹤調(diào)查對(duì)戶型結(jié)構(gòu)滿意的戶主的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取29位戶主，則在對(duì)

三居室滿意的戶主中抽取的人數(shù)為.

圖1圖2

【答案】15

【解析】因?yàn)閷?duì)戶型結(jié)構(gòu)滿意的戶主人數(shù)為150x20%+250x30%+100x40%=145,所以抽

取的對(duì)三居室滿意的人數(shù)為m、75=15,故答案為：15.

17.數(shù)組：3,4,5,6,7的方差為.

【答案】2

3+4+5+6+7

【解析】由3,4,5,6,7可知其平均數(shù)為=5,則方差為

5

?=1[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2,故答案為：2.

18.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1,3,4,6,7,7,21,設(shè)中位數(shù)為°,眾數(shù)為6,方差為d,則

a+b+s2=

【答案】岸349

【解析】由題意可知中位數(shù)是6,眾數(shù)是7,即。=6,》=7；平均數(shù)為

1(1+3+4+6+7+7+21)=7,所以

52=-X[（1-7）2+（3-7）2+（4-7）2+（6-7）2+2（7-7）2+（21-7）2]=^,所以

“+亍’故答案為：—.

三、解答題

19.某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員120人，管理人員16人，后勤服務(wù)人員24人.為了

了解職工的健康狀況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則抽取的業(yè)務(wù)員、管理人員、后

勤服務(wù)人員各有多少人？

【答案】15；2；3

【解析】解：???樣本容量與職工總?cè)藬?shù)的比為20：160=1：8,.?.抽樣比為：，.?.從業(yè)務(wù)員、

8

管理人員、后勤服務(wù)人員中抽取的人數(shù)分別為畢=15,學(xué)=2,,=3.

888

答：則抽取的業(yè)務(wù)員15人，管理人員2人，后勤服務(wù)人員3人.

20.某網(wǎng)站就觀眾對(duì)春晚小品類節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下

表：

喜歡程度喜歡一般不喜歡

人數(shù)560240200

現(xiàn)用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上調(diào)查的觀眾中抽取了一個(gè)容量

為”的樣本.若從不喜歡小品的觀眾中抽取的人數(shù)為5,求"的值.

【答案】25

【解析】解：由題可知，樣本容量與總體容量之比為560+2；（）+200=/'則應(yīng)從不喜歡

小品的觀眾中抽取的人數(shù)為康x200=5,得〃=25,的值為25.

21.某校1200名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)（滿分為100分），為了分析這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成

績(jī)，從這1200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取200名的成績(jī)繪制成如下的統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)根據(jù)表

中提供的信息解決下列問(wèn)題：

成績(jī)分組頻數(shù)頻率

[0,20）30.015

[20,40)10b

[40,60)250.125

[60,80)a0.5

[80,100]620.31

(1)求"和b的值；

(2)如果從這1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,試估計(jì)這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的概率P(注:

60分及60分以上為及格).

【答案】⑴)二100,6=0.05；(2)0.81

【解析】解：⑴由題意，3+10+25+4+62=200,得。=100；6=蒜=0.05

(2)由統(tǒng)計(jì)表可得，成績(jī)?cè)冢?0,80),［80,100］的學(xué)生人數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率和為0.5+0.31=0.81,由

樣本估計(jì)總體可知，從這1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)這名學(xué)生該次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)及格的

概率P=0.81.

22.從一批蘋(píng)果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量(單位：克)的頻數(shù)分布表如下:

分組(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)(±)5102315

C1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋(píng)果的重量在［90,95)的頻率；

(2)用分層抽樣的方法從重量在［80,85)和［95,100)的蘋(píng)果中共抽取4個(gè)，其中重量在［80,85)

的有幾個(gè)？

(3)在(2)中抽出的4個(gè)蘋(píng)果中，任取2個(gè)，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求重量在［80,85)和

［95,100)中各有1個(gè)的概率.

【答案】(1)0.4；(2)1；(3)見(jiàn)解析.

【解析】解：(1)蘋(píng)果的重量在［90,95)的頻率為京=0.4

(2)重量在［80,85)的有4義-^=1(個(gè))

5+15

(3)設(shè)這4個(gè)蘋(píng)果中重量在［80,85)的有1個(gè)，記為1,重量在［90,95)的有3個(gè)，分別記為

2,3,4,從中任取兩個(gè),可能的情況有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,

4)共6種，設(shè)任取2個(gè)，重量在［80,85)和［95,100)中各有1個(gè)的事件為A,則事件A包含

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有(1,2),(1,3),(1,4)共3種，所以尸(A)=：=—.

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23.為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所

得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為

2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數(shù)為12.