易錯(cuò)易混02不等式與基本不等式的應(yīng)用

目錄

01錯(cuò)點(diǎn)掃描?易錯(cuò)建模夯基石...................................................1

02易錯(cuò)歸納?查漏補(bǔ)缺避陷阱....................................................3

易錯(cuò)歸納01忽略不等式成立的前提條件（★★★）.........................................3

易錯(cuò)歸納02多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍（★★★★）..........................4

易錯(cuò)歸納03分式不等式（★★★★）.....................................................5

易錯(cuò)歸納04—元二次不等式不等式恒成立、有解問(wèn)題（★★★★★）........................6

易錯(cuò)歸納05含參一元二次不等式分類討論不完整（★★★★★）............................7

易錯(cuò)歸納06基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★）................................8

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?易錯(cuò)通關(guān)驗(yàn)成效....................................................9

01

錯(cuò)點(diǎn)掃描?易錯(cuò)建模夯基石

1、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>bob<aO（等價(jià)于）

傳遞性a>b,b>c=Q>c二＞（推出）

可加性a>b<^>a+c>b+c=（等價(jià)于

a>b

>nac>be

c>0注意C的符號(hào)（涉及分類討論

可乘性

a>b的思想）

>^>ac<bc

c<0

a>b

同向可加性a+c>b+d=>

c>d

a>b>0

同向同正可乘性>nac>bdn

c>d>Q

可乘方性a>b>0=（1n>bn（neN,nN2）a,6同為正數(shù)

2、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c^O（a>0）的兩根為石、4且占<%，設(shè)△=尸—4?c，它的解按照△>0,

A=0,△<€）可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)丁=。/+6%+。（”>0）的圖象與x軸的位置關(guān)系也分為

三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式4必+法+c>0（“>0）或改2+法+c<0（“>0）

的解集.

判別式A=Z?2—46A>0A=0A<0

二次函數(shù)y=ax2+bx+c{a>0L

的圖象

aX

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

2

ax+Zzx+c=0（〃>。）的根根X],無(wú)2（3<%）%="一五

rib、

ax2+Zzx+c>0（〃>。）的解集{x\x<x^Lx>X^}W"-五}R

2

ax+Zzr+cv0（〃>。）的解集[x|<x<x2}00

3、一元二次不等式的解法

（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

（2）寫(xiě)出相應(yīng)的方程依2+法+°=0（。>0）,計(jì)算判別式A：

①A〉0時(shí)，求出兩根七、%,且占<々（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；

b

②△=€）時(shí)，求根玉=%=-??；

-2a

③A<0時(shí)，方程無(wú)解

（3）根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.

4、解分式不等式

（D定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或

g（x）g（x）

（其中/（X）,g（x）為整式且g（x）*0的不等式稱為分式不等式。

（2）分式不等式的解法

①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：

②44<°o/（X）,g（x）<0

g（x）

③器〉0=?。薄怠?/p>

④2M<0o<F(x),g(x)V0

g(x)g(x)豐0

向〃乃>0。1"力g（x）"°

?----之uo?

g（x）〔g（x）豐。

5、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

（1）基本不等式:V。>03>。,4+人22疝，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"=''號(hào)）其中疝叫做正數(shù)。，b

的幾何平均數(shù)；”2叫做正數(shù)。，6的算數(shù)平均數(shù).

2

如果V4力eR,有標(biāo)+尸學(xué)？抽（當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，取“=”號(hào)）

特別的，如果。>0力>0,用J3,、歷分別代替代入1+〃22m，可得：a+b>24ab>當(dāng)且僅當(dāng)

a=6時(shí)，"="號(hào)成立.

（2）基本不等式鏈

2/五”"b/1a2+b2

1―f?。ㄆ渲衋>0，A>0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取"=”號(hào)）

ab

02

易錯(cuò)歸納?查漏補(bǔ)缺避陷阱

?易錯(cuò)歸納oi忽略不等式成立的前提條件?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.一「

2、不等式性質(zhì)包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ),

后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ).

1.（2025?上海長(zhǎng)寧?二模）已知非零實(shí)數(shù)。>6,則下列命題中成立的是（）.

A.a2>b2B.ab>b2C.a2+b2>2y[abD.a3>b3

2.（23-24高三上?四川南充?月考）若c>d,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a-b<0B.ac>bd

3.（23-24高三上?江西?期中）己知6,c為實(shí)數(shù)，則（）

/7h

A.若一>一，貝!B.若ac12Nbc?,貝!

cc

/7h

C.若一<一,則D.若a<b,則

cc

4.（24-25高三下?海南?月考）（多選題）已知Q>>>O>C,則下列各選項(xiàng)正確的是（）

,bb-c11

A.-<---------->----

aa—ca+cb+c

abcc

C.---->----D.a+—>b+—

b—c--a—cba

5.（2024.貴州六盤(pán)水.模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知〃>6>c>0,則（）

a+ca

A.----<——B.b2>ac

b+cb

11

C.---->----D.a(c2-1)>b(c2-1)

b+ca+c

?易錯(cuò)歸納02多次使用同向相加性質(zhì)，擴(kuò)大了取值范圍?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、在多次運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)，其取等的條件可能不同，造成多次累積誤差，結(jié)果擴(kuò)大了取值范圍.為了避

免這類錯(cuò)誤，必須注意①檢查每次使用不等式性質(zhì)時(shí)取等的條件是否相同；②盡量多使用等式.

2、解決思路

一般先用整體法建立所求代數(shù)式與已知代數(shù)式的等量關(guān)系，再通過(guò)不等式的性質(zhì)求得.

3、解決步驟

第一步：把所求代數(shù)式s用條件的代數(shù)式o，f表示出來(lái)，即S=7吵+加.

第二步：列方程組，求出m,n的值.

第三步：分別求出B和加的取值范圍.

第四步：求出s=的取值范圍.

1.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）己知2<aW4,-IV&MO,則2a-6的取值范圍（）

A.[4,9）B.（4,9）C.（5,8]D.（5,8）

2.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知<尸<三，則2a-24的取值范圍是（）

42

C.(-71,71)D.(-71,0)

3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足14無(wú)+yW4,-l<x-y<2,貝lj4尤一2y的取值范圍是()

A.B.[-3,6]C.[-5,13]D.[-2,10]

4.(多選題)已知1<。<2且一5<6<3,貝！]()

A.-4va+￡>v5B.—1<〃一Z7<6

b

C.-5<ab<6D.-5<-<3

a

5.(多選題)已知實(shí)數(shù)工，>滿足lVx-yV5,3<3x+y<ll,則()

A.x的取值范圍是{即Wx44}

B.y的取值范圍是{y|T<y<3}

C.x+y的取值范圍是{x+yplWx+y45}

D.2x+y的取值范圍是{2x+y|l42x+y48}

?易錯(cuò)歸納03分式不等式?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、求解不等式時(shí)，一定要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，如去分母時(shí)要保證分母不為0、平方時(shí)范圍不能變大、兩邊

同乘（除）一個(gè)因式時(shí)要注意判斷因式的符號(hào)等.

2、應(yīng)用同號(hào)相乘（除）得正，異號(hào)同號(hào)相乘（除）得負(fù)，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式.在此過(guò)程中，變形

的等價(jià)性尤為重要.

1.(2025?新疆?模擬預(yù)測(cè))若集合A={xI0Wx<l},B=，X￡>3，，則AB=()

A.(0,1)B.[0,1)C.[0,2)D.(0,2)

2.(2025?山東聊城?二模)已知集合4=以x>l},8=，《六上。，，則AB=()

A.[0,2)B.(1,2]C.(1,2)D.(2,+8)

2

3.若"，是“Tvl”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

x-1

A.[3,+oo)B.(3,+oo)C.[l,+oo)D.(一8,1]

4.(24-25高三下?重慶沙坪壩?開(kāi)學(xué)考試)已知集合人={%|；；—20},5={x|log2%之-1},貝！J&A)B=()

2-x

A.[1,2)B.[1,2]C.[2,+oo)D.(2,+8)

5.(24-25高三上?海南?月考)設(shè)集合加=，三|4°,，N={y|'=2二天€"，則<McN=()

A.{x|l<x<3}B.{%|0<%<1或%>3}

C.{x|l<x<3}D.{x|0<%<1或％23}

?易錯(cuò)歸納04一元二次不等式不等式恒成立、有解問(wèn)題?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、解一元二次不等式的步驟:

第一步：將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

第二步：解相應(yīng)的一元二次方程；

第三步：根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號(hào)的方向畫(huà)圖；

第四步：寫(xiě)出不等式的解集.容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：①未將二次項(xiàng)系數(shù)化正，對(duì)應(yīng)錯(cuò)標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出

錯(cuò)；③結(jié)果未按要求寫(xiě)成集合.

2、求解二次型不等式恒成立問(wèn)題時(shí)要注意兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一看二次項(xiàng)的系數(shù)；二看不等式恒成立（有解）的

區(qū)間.

1.“不等式如?+工+4加>0在R上恒成立"加的取值范圍是（）

A.m>—B.0<m<—

44

C.m<—D.

444

2.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末）已知命題“天1N0”為假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值

范圍是（）

A.（一。,一1）。（0,+8）B.(-1,0)C.[—1,0]D.(-1,0]

3.（24-25高三上?四川成都?月考）已知關(guān)于％的不等式/-2x+3a<0在（0,2］上有解，則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是（）

/

4

A.—00,—B.C.(-oo,0]D.(-co,0)

7

4.（24-25高三上?河南許昌?期中）V%￡（-2,y），f+（"a）x+7-2〃20恒成立，則實(shí)數(shù)〃的最大值為（）

A.V3B.3C.2A/3D.6

5.已知命題P：3xe[0,3],a=-x2+2x；命題4：Vxe[—1,2],x2+ax-8<0.若P為假命題，4為真命題,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-3,1]B.(-*2]

C.[-7-3)J(1,2]D.(-8,-3)J(l,2]

6.(24-25高三上?黑龍江綏化?期中)命題“以目-3,2],f—2x-2aN0”為假命題，則實(shí)數(shù)。的范圍為.

7.(24-25高三上?北京海淀?月考)若命題“對(duì)任意xwR,依2+2x+a?0為假命題的。的取值范圍是

?易錯(cuò)歸納05含參一元二次不等式分類討論不完整?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)，則應(yīng)討論

該參數(shù)是等于0,小于0,還是大

討論二次

—于0,若等于0,則直接代入求解；

項(xiàng)系數(shù)

若小于0,則將不等式轉(zhuǎn)化為二次

項(xiàng)系數(shù)為正的形式再求解

—

利斷萬(wàn)柱-----[討論判別式4與0的關(guān)系

—

確定方程無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集；

寫(xiě)出解集)-----確定方程有兩個(gè)根時(shí)，判斷兩根的

大小關(guān)系，從而確定解集

注：求解方程的根時(shí)可優(yōu)先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時(shí)再求判別式/,用求根公式計(jì)算.

1.解下列關(guān)于X的不等式(a-x)卜一

2.解關(guān)于x的不等式：x2-(6/+a2)x+?3>0(aeR).

3.(23-24高三上?福建莆田?月考)解關(guān)于x的不等式：加_(a+2)x+2<0(aeR).

4.(24-25高三上?安徽銅陵?月考)^f(x)=mx2+(l-m)x+m-2.

(1)若加>-1,求療+2m+5的最小值;

m+1

(2)解關(guān)于尤的不等式f(x)<m-l.

5.若函數(shù)/(%)=加+區(qū)+4,

⑴若不等式“X)<0的解集為，,4),求“涉的值;

⑵當(dāng)。=1時(shí)，求〃x)>O0eR)的解集.

6.解關(guān)于x的不等式雙2+%+l<0(acR).

?易錯(cuò)歸納06基本不等式忽略一正二定三相等?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：

①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立(彼此不沖突)

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始

范圍.

注：形如y=x+3(a>0)的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單

x

調(diào)性求解.

2、通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面

的問(wèn)題：

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；

⑵代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

3、利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿

足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上

一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等.

1.(2。25?山東荷澤一模)“x>0”是“2，+?>2，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（23-24高三下?遼寧本溪?開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

XX

A.y=x+—B.y=?2+e5

x

1f+3

C.y=sinx+------o<%<3D-

sinx

3.若且Qb〉O,則下列不等式中,恒成立的是（）

A.a+b>2y/abB.2^+2^>2

112

cD.-+->-=

-abyjab

4.（多選題）下列說(shuō)法正確的是（）

4函數(shù)y=j券的最小值是2

A.函數(shù)y=%+-(%<0)的最大值是-4B.

x

C

-函數(shù)，…痣（…團(tuán)的最小值是6D.若x+y=4,則爐+V的最小值是8

03

實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?易錯(cuò)通關(guān)驗(yàn)成效

1.（24-25高三上?甘肅臨夏?期末）若集合5=，d：21戶€111,7={-1,0,1,2},則5?7（

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2）

2.（2025?黑龍江大慶.模擬預(yù)測(cè)）若集合A={Nlog?X。},8=卜三4-11,則AiB=

A.（0,1]B.[1,4]C.（1,4]D.[0,5]

3.（2024.河北.三模）已知x>0,那么以下關(guān)于式子尤?+」的分析判斷正確的選項(xiàng)是（：

X

（1）X2H—22y/-X;

X

（2）上式當(dāng)且僅當(dāng)％2=!即％=1時(shí)，等號(hào)成立；

X

（3）所以當(dāng)尤=1時(shí)，/+工取得最小值2

x

A.以上全正確B.（1）錯(cuò)C.（2）錯(cuò)D.（3）錯(cuò)

4.（23-24高三上.天津?yàn)I海新?期末）設(shè)xeR,則“三1>0”是“|尤-1|<4"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.若l<a<3T<》<2,貝的取值范圍是（）

A.(—3,3]B.(-3,5)C.(-3,3)D.(1,4)

6.（23-24高三上?江蘇?月考）下列命題中正確的是（）

A.當(dāng)％>1時(shí)，x的最小值為2B.當(dāng)％<0時(shí),x+—<-2

xx

C.當(dāng)0<x<l時(shí)，?+的最小值為2D.當(dāng)％>1時(shí)，6

yJX7%

7.已知命題P：VXGR,ax2-ax+1>0;：HxeR,f_%+〃=0.士勻?yàn)檎婷}，則。的取值范圍是（）

A.(-oo,4)B.[0,4)

C.D.

8.（24-25高三上?江蘇南通?月考）若變量羽y滿足約束條件342x+y49,6<x-y<9,則z=x+2y的最

小值為（）

A.-7B.-6C.D.-4

9.若。*滿足曲>0,則下列不等式正確的是（)

t—112abDa+blab

A.ab>14abB.丁丁商C.-+->2>

+ba2a+b

10.（23-24高三上.山東青島?期末）若命題“女eR,。-+。-2°）元+120”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.a<lB.a>l

a<一與或a*

C.D.Q￡R

11.（24-25高三下?海南省直轄縣級(jí)單位?月考）（多選題）下列命題中，正確的有（）

A.若a>b,貝B.若必=2,