完成時(shí)間：_月_日天氣:

作業(yè)整式乘法壓軸題專(zhuān)練

（24-25八年級(jí)上?福建廈門(mén)?期末）

1.對(duì)于實(shí)數(shù)整式尸，。，規(guī)定整式的運(yùn)算：P十Q=aP+bQ,nP=P十尸十十P.當(dāng)

幾片1時(shí)，若對(duì)于“尸=尸始終成立，則。，6滿足的條件是（）

A.a=bB.ab=O

C.a+b=2D.a+b=\

（24-25七年級(jí)上?河北石家莊?期末）

2.“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡(jiǎn)單

的加法運(yùn)算.淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運(yùn)算結(jié)

果為3036.圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2

中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，錯(cuò)誤的是（）

3

圖1圖2

A.“2”上邊的數(shù)是8B.“20”右邊的“口”表示4

C.運(yùn)算結(jié)果可以是9225D.“5”右邊的“口”表示5

（24-25七年級(jí)上?重慶?期末）

3.已知關(guān)于字母x的幾次多項(xiàng)式加，化簡(jiǎn)后總是可以表達(dá)成

nnl

anx+an_xx~++%尤2+。儼+4的形式，其中°,產(chǎn)0,%,%_1，.,出，％，。0都為常數(shù)，〃為正整

數(shù).對(duì)多項(xiàng)式“，任意選擇其中兩項(xiàng)的系數(shù)，先變成其相反數(shù)后再交換它們的位置，稱(chēng)為“取

反換位”操作，例如：對(duì)多項(xiàng)式尤2-2尤+3,進(jìn)行“取反換位”操作后，所有可能得結(jié)果是：

2X2-X+3,-3X2-2X-1,X2-3X+2,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）

①當(dāng)”=1時(shí),若對(duì)多項(xiàng)式的x+4進(jìn)行“取反換位”操作后得到的多項(xiàng)式與原多項(xiàng)式之和為0,

則關(guān)于x的方程罕+4=。的解為x=-l;

②當(dāng)〃=2時(shí)，若%+4+4=0,則對(duì)多項(xiàng)式。21+%了+。0進(jìn)行“取反換位”操作后，所得的

所有多項(xiàng)式之和為原多項(xiàng)式的2倍；

③當(dāng)〃=5時(shí)，若多項(xiàng)式M：//+―/+%?+?必+°產(chǎn)+°0無(wú)論x取何值總是等于（尤+2]，

則對(duì)多項(xiàng)式〃進(jìn)行“取反換位”操作后所得的所有多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的和為109.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

（24-25九年級(jí)上?重慶?期末）

n22

4.關(guān)于x的多項(xiàng)式：Pn=anx++an_2x"-+?■?+a2x+axx+a0,其中“為正整數(shù)，an,

32

an-x，即為互不相等且不為零的整數(shù).比如當(dāng)月=3時(shí)，P3=a3x+a2x++a0.交換

任意兩項(xiàng)的系數(shù)，得到的新多項(xiàng)式稱(chēng)為原多項(xiàng)式的“衍生多項(xiàng)式”下列說(shuō)法：

①心共有15個(gè)不同的“衍生多項(xiàng)式”；

②若多項(xiàng)式C=（2x-l）”,無(wú)論〃為何值時(shí)，%+凡-1+。“-2+…+%+旬=1;

io。]_3100

③右多項(xiàng)式1ao=（1—2x）,dg9+o97H----i-a3+at=---.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

（24-25八年級(jí)上?福建福州?期末）

5.某商店的某種商品成本增加，因此商家決定對(duì)該商品進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有三種方案.方案一：

第一次提價(jià)a%,第二次提價(jià)6%;方案二：第一次提價(jià)）％,第二次提價(jià)。％;方案三：第

一、二次提價(jià)均為等％；其中a,6是不相等的正數(shù).有以下說(shuō)法：

①方案一、方案二提價(jià)一樣；

②方案一提價(jià)有可能高于方案二提價(jià)；

③三種方案中，方案三的提價(jià)最多；

④方案三的提價(jià)有可能低于方案一的提價(jià).

其中正確的是（）

試卷第2頁(yè)，共14頁(yè)

A.①③B.①④C.②④D.②③

（24-25八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末）

6.一個(gè)四位自然數(shù)〃=麗，滿足4+6=12,c+d=8,則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)M為“幸運(yùn)數(shù)”

例如：對(duì)于7526,：7+5=12,2+6=87526是“幸運(yùn)數(shù)”；對(duì)于2530,；2+5=7#12,

3+0=348,..?2530不是“幸運(yùn)數(shù)”.若存在幸運(yùn)數(shù)兩，使得axc=6xd,則滿足條件的“幸

運(yùn)數(shù)”有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

（24-25八年級(jí)上?廣西南寧?期末）

7.《莊子》中“一尺之梗，日取其半，萬(wàn)世不竭”的意思是：一根一尺長(zhǎng)的木棒，今天取它的

一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，這樣取下去，永遠(yuǎn)也取不

完.如果將這根木棒的長(zhǎng)度看成單位“1”，用兩種不同的方法表示被取走木棒長(zhǎng)度的總和，

即：被取走木棒長(zhǎng)度的總和=1一剩余木棒的長(zhǎng)度，例如：取第一次得《=1-1；取第二次

22

得‘I取第三次得+0=1一］￡|；……若出=m，則

用含根的式子表示為（）

A.2m+lB.m—m2C.1—m2D.m2—m+1

（22-23七年級(jí)下?浙江麗水?期末）

8.甲、乙兩個(gè)大小不一樣的正方形按如圖所示的兩種方式放置.AB=a,CD=b,記圖①

中的陰影部分面積為M，圖②中的陰影部分面積為S2.

（2）若4=7,學(xué)，則/-2的值是________________

4ba

（24-25八年級(jí)上?廣東湛江?期末）

9.觀察并驗(yàn)證下列等式：

13+23=(1+2)2=9,

l3+23+33=(l+2+3)2=36,

l3+23+33+43=(l+2+3+4)2=100,

⑴續(xù)寫(xiě)等式：l3+23+33+43+53=；（寫(xiě)出最后結(jié)果）

⑵我們已經(jīng)知道1+2+3+…+〃=：九5+1）,根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論:

13+23+33+---+（H-1）3+H3=；（結(jié)果用因式乘積表示）

(3)利用(2)中得到的結(jié)論計(jì)算:

33+63+93+---+573+603;

（24-25七年級(jí)上?山東青島?期末）

10.歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要策略，請(qǐng)用歸納策略解答下列問(wèn)題.

⑴如圖1,將一根繩子折1次，然后按如圖所示方式剪開(kāi)，剪1刀，繩子變?yōu)?段；如圖2,

剪2刀，繩子變?yōu)?段；……剪〃刀，繩子將變?yōu)槎危?/p>

⑵如圖3,按如圖所示方式，將一根繩子折2次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；如圖4,將一根

繩子折3次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；……將一根繩子折機(jī)次，剪1刀，繩子將變?yōu)?/p>

段;

（3）歸納：將一根繩子按（1）和（2）方式，折加次（〃后1）,然后剪〃刀繩子將變

為多少段？寫(xiě)出你的探究過(guò)程；

（4）問(wèn)題解決：若將一根繩子按（1）和（2）方式折、剪（折、剪次數(shù)21）,恰好變?yōu)?5段，

會(huì)有哪幾種方案？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案.

（24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?期末）

11.一般地，我們把按照確定順序排列的一列數(shù)4,電，L,。"叫做數(shù)列｛%｝.若數(shù)列｛4｝

滿足?=詈==>q為非零常數(shù)），我們把數(shù)列｛%｝叫做等比數(shù)列，q叫做公比；若

a\a2an-\

bbb

數(shù)列也｝滿足，=上==~=Q,我們把數(shù)列圾｝叫做數(shù)列｛%｝的“2級(jí)等比數(shù)列”；若數(shù)

試卷第4頁(yè)，共14頁(yè)

列｛qj滿足卜:嚕=洛我們把數(shù)列匕｝叫做數(shù)列｛4｝的“3級(jí)等比數(shù)列”；依次類(lèi)

推，若數(shù)列｛4｝滿足［=，=.*=q：我們把數(shù)列｛4｝叫做數(shù)列｛%｝的“％級(jí)等比數(shù)

列”，女22且%為整數(shù).

⑴分別寫(xiě)出等比數(shù)列1,2,4,8的“2級(jí)等比數(shù)歹U”和“3級(jí)等比數(shù)列”；

⑵若等比數(shù)列：1,2,4,L,2".

①求該等比數(shù)列的所有數(shù)之和S.

②設(shè)P,Q,K分別是該數(shù)列｛凡｝的P,q,上級(jí)等比數(shù)列的所有數(shù)之和.若P+q=2k,

求證：PQ=K2.

（23-24七年級(jí)下?河北石家莊?期中）

12.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形卡片如圖1依次記A、

8、C三類(lèi)，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形.

（1）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和.

方法1：

方法2：

（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式：（4+6）2,1+〃，必之間的一個(gè)等量關(guān)系—

（3）若要拼出一個(gè)面積為（。+23（°+3的矩形，則需要A類(lèi)卡片一張，3類(lèi)卡片一張，C類(lèi)卡

片一張.

（4）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：

①已知m+n=5,m2+n2-20＞求mn和（加-?）2的值.

②已知（x-2021）2+（x-2023）2=34,求（x-2022）2.

（21-22八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末）

13.學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過(guò)

上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：(a+b)(/―仍+/)=/+〃，他發(fā)

現(xiàn)，運(yùn)用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你也來(lái)試試?yán)昧⒎胶凸浇鉀Q以下問(wèn)題:

(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子

①化簡(jiǎn)：(a—b)(a2+ab+b2y=_；

②計(jì)算：(993+1)q(992—99+1)=_；

(2)【公式運(yùn)用】已知：尤=5,求(Ly+x+(1+1)的值：

(3)【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長(zhǎng)分別為。、b的實(shí)心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成

一個(gè)高為等的實(shí)心長(zhǎng)方體，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體有無(wú)可能是正方體，若可能，。與6應(yīng)滿足什么

關(guān)系？若不可能，說(shuō)明理由.

(24-25八年級(jí)上?山東臨沂?期末)

14.【知識(shí)生成】圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)缺

形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同

一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問(wèn)題.

bd一八(

圖I圖2

(1)①如圖1,用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為；(用。、6

試卷第6頁(yè)，共14頁(yè)

表示）

②根據(jù)上面結(jié)論，當(dāng)。+6=5,出＞=6時(shí)，a2+b2=.

【知識(shí)應(yīng)用】

（2）①類(lèi)比⑴的探究過(guò)程，請(qǐng)用不同的代數(shù)式表示圖中大正方形的面積.

由此得到的等式為;（用〃、b、。表示）；

②根據(jù)上面的結(jié)論，已知a+b+c=6,ab+ac+bc=\\,貝!+.

【知識(shí)遷移】

（3）類(lèi)比上述兩個(gè)題目探究過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出（a+6+c+d）2=.（用。、b、c、d表

示）

（24-25七年級(jí)上?上海靜安?期末）

15.如圖，農(nóng)場(chǎng)打算把一塊正方形空地分割成4塊方形田地，并計(jì)劃在兩塊邊長(zhǎng)分別為a、

6的正方形空地上種樹(shù)（圖中的陰影部分）H和S?,用作魚(yú)塘的兩塊長(zhǎng)方形的面積之和記作

（1）根據(jù)題意填空：

①5=_（用含字母。、6的代數(shù)式表示）;

②比較\+邑與S3的大?。篠1+Sz_S3；

（2）如果工=3邑+S3,且H+Sz=640平方米，求這塊正方形空地的面積.

（24-25八年級(jí)上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）

16.從邊長(zhǎng)為。的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個(gè)

長(zhǎng)方形（如圖2）.

ab

圖2

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是.

A.a2-2ab+Z?2=(a-Z>)2B.a2-b2=(<7+Z?)(<7-Z?)C.a2+ab=a^a+b")

(2)已知4/-6?=24,2a+b-6,貝1|2a->=.

(3)應(yīng)用所得的公式計(jì)算：20252-2024x2026.

(4)應(yīng)用所得的公式計(jì)算：9(10+1)(102+1)(104+1)(108+1)(1016+1).

(24-25八年級(jí)上?江西南昌?期末)

17.學(xué)習(xí)了公式法4±2。6+〃=(?！?)2后，老師向同學(xué)們提出了如下問(wèn)題：

①將多項(xiàng)*+4x+3因式分解：

尤2+4》+3=尤2+4尤+4—1=(尤+2)~—1=(尤+2+l)(x+2—1)=(尤+3)(尤+1).

②求多項(xiàng)式尤2+4尤+3的最小值.

由①，得d+4x+3=(x+2)2-1,因?yàn)?x+2)220,所以(X+2)2-12-1.所以當(dāng)x=-2時(shí)，

x2+4x+3的值最小，且最小值為-1.

請(qǐng)你運(yùn)用上述方法解決下列問(wèn)題：

⑴將多項(xiàng)式爐+4x-21因式分解；

⑵求多項(xiàng)式療+8m_15的最小值.

(23-24八年級(jí)上?北京西城?期末)

18.閱讀材料：

如果整數(shù)x,丁滿足丈=/+/,y=c^+d\其中。，b,c,d都是整數(shù)，那么一定存在整

數(shù)m,n,使得孫=療+〃2.例如，25=32+42,40=22+6，25x40=30?+(-10)?或

25x40=182+262,……

根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：

試卷第8頁(yè)，共14頁(yè)

⑴已知5=F+22,74=52+72,5x74=192+32或5x74=^+172,……若機(jī)>0,則機(jī)=_；

（2）已知41=4n+5?,y=c2+d2（c,d為整數(shù)），41y=m2+n2.若m=5c-4d,求幾（用

含c,d的式子表示）；

⑶一般地，上述材料中的加，〃可以用含。，b,c,d的式子表示，請(qǐng)直接寫(xiě)出一組滿足

條件的加，〃（用含。，b,c,d的式子表示）.

（22-23八年級(jí)下?山東淄博?期末）

19.【閱讀理解】

配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（?。┲?對(duì)于任意正實(shí)數(shù)。，b,可作如

下變形：

,：a+b

=(?)+(痣)-2\[ab+2>fab

又揚(yáng)）>0

+2y[ab>0+2\[ab

即a+b>2y[ab.

根據(jù)上述內(nèi)容，回答問(wèn)題：2+32"b；4+12^4x|；6+6

2辰（用“=”填空）

【思考驗(yàn)證】

如圖1,ABC中，ZACB=90°,00，鉆于點(diǎn)0,CO為AB邊上中線，AD^2a,DB=2b,

試根據(jù)圖形驗(yàn)證a+b224石成立，并指出等號(hào)成立時(shí)的條件.

【探索應(yīng)用】

（1）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問(wèn)題，某園林設(shè)計(jì)師要對(duì)園林的一個(gè)區(qū)域進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，一面

利用墻體將該區(qū)域用籬笆圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，如圖2所示，為了圍成面積為

300m2的花圃，所用的籬笆至少為多少米？

墻體

圖2

(2)如圖3,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。，AOB,COD的面積分別是5和

16.試問(wèn)四邊形ABC。的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)自毯耳號(hào)四邊形A3C。面積的

最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

D

BC

圖3

(21-22七年級(jí)下?江蘇蘇州?期中)

20.學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)的卡片，如圖1：A型卡片是邊長(zhǎng)為。的正方形,

8型卡片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型卡片是長(zhǎng)和寬分別為。6的長(zhǎng)方形.

長(zhǎng)與寬：

自31

.______.bb\\\

■。1b[B]圖2:...........

a圖3

圖1

D_________________G

ACS1

,C

EF

圖4

試卷第10頁(yè)，共14頁(yè)

（1）選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張8型卡片，在紙上按照?qǐng)D2的方式拼成一個(gè)長(zhǎng)為

（。+6）的大正方形，通過(guò)不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式____________；

（2）請(qǐng)用這3種卡片拼出一個(gè)面積為合+4而+3/的長(zhǎng)方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中

畫(huà)出示意圖，并在示意圖上按照?qǐng)D2的方式標(biāo)注好長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬；

（3）選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形。E/G框架內(nèi)，圖

中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）為沒(méi)有放置卡片的部分.已知GF的長(zhǎng)度固定不變，0G的長(zhǎng)度可

以變化，圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為H，S2.若5=邑-5_則當(dāng)。與6

滿足一時(shí)，S為定值，且定值為.（用含。的代數(shù)式表示）

（24-25七年級(jí)上?四川成都?期末）

21.定義一種新運(yùn)算，對(duì)任意數(shù)b,必加="+5-3,例如：2Al=22+l-3.

2x*y=（2x）~+y—3.

⑴設(shè)A=機(jī)-2）x為常數(shù)）

①已知關(guān)于x的方程4=（同-1）爐-6為一元一次方程，求：加的值及方程的解.

②已知A與B為關(guān)于x的多項(xiàng)式，B=2/\x,〃的值滿足2"+2-2m=8,若中不含一

次項(xiàng)，求：3“?-〃的值.

⑵如果數(shù)對(duì)（a,b）滿足=2642a,我們稱(chēng)數(shù)對(duì)（。力）為“嘉幸數(shù)”，已知數(shù)對(duì)（2,m）與（1,〃）

均為“嘉幸數(shù)”，求代數(shù)式4（m+”）（根+〃）-2根加+4）-（m-〃）+：m2〃_8〃2+2024的值.

（24-25八年級(jí)上?山東臨沂?期末）

22.在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律.

⑴圖1是2024年11月份的月歷，我們用如圖所示的“Z”字型框架任意框住月歷中的5個(gè)數(shù)

（如圖1中的陰影部分），將位置3,。上的數(shù)相乘，位置A,E上的數(shù)相乘，再相減，例

如：5x19-4x20=,2x16-1x17=,不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都

等于;

(2)請(qǐng)你再選擇兩個(gè)類(lèi)似的部分試試，看看是否符合這個(gè)規(guī)律；

(3)請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)以上的規(guī)律加以證明；

(4)如圖2,在某月歷中，“Z”字型框架框住部分(陰影部分)5個(gè)位置上的數(shù)，如果最小的

數(shù)和最大的數(shù)的乘積為36,那么a位置上的數(shù)為.

(24-25八年級(jí)上?重慶九龍坡?期末)

23.根據(jù)乘方的意義可知：

一般地，對(duì)于任意不為0的底數(shù)a與任意正整數(shù)如"，

am-a"=^a-a-a)=(a-a-a)=am+n

機(jī)個(gè)a〃個(gè)a(機(jī)+〃)個(gè)a

同理，我們有m,w都是正整數(shù)，并且機(jī)>").

例如.=(10xl0x...xl0)+(10xl0)=(10xl0x...xl0)=l()8

loTlO2個(gè)108個(gè)10

根據(jù)所學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：

(1)己知片?/=aJ貝!|6=；

(2)己知，=3,求/的值;

⑶己知7*=4,7y=5,3〃=10,3〃=5,請(qǐng)解關(guān)于s的方程：2s-7%(s-2)=97。.

(24-25八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期末)

24.通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道：周長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大.此結(jié)論可以利

用圖形的割補(bǔ)加以說(shuō)明.

（圖2）（圖3）

已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20,設(shè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是x,則相鄰一邊長(zhǎng)是(1。-x).

①當(dāng)0<x<5時(shí)，如圖1將此長(zhǎng)方形進(jìn)行如下割補(bǔ).如圖2,長(zhǎng)方形8的一邊長(zhǎng)是x,相鄰

一邊長(zhǎng)是,如圖3,將長(zhǎng)方形3割補(bǔ)到長(zhǎng)方形A的右側(cè)，陰影部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為

的正方形(以上兩空，均用含x的代數(shù)式表示).通過(guò)上述割補(bǔ)，圖1中長(zhǎng)方形的

試卷第12頁(yè)，共14頁(yè)

面積可以看成圖3中兩個(gè)正方形的面積之差，所以代數(shù)式x(10-x)、25、(5-盼2滿足的等

量關(guān)系是,從而可得x(10-x)<25；

②當(dāng)5<x<10時(shí)，類(lèi)似上述過(guò)程進(jìn)行割補(bǔ)，同理可得x(10-x)<25；

③當(dāng)x=5時(shí)，該長(zhǎng)方形即為正方形，此時(shí)x(10r)=25.

綜上分析，周長(zhǎng)是20的長(zhǎng)方形的最大面積是25；

(2)【方法遷移】

當(dāng)T<x<10時(shí)，仿照上述割補(bǔ)過(guò)程，求代數(shù)式(10-力(4+”的最大值.

(24-25八年級(jí)上?福建泉州?期末)

25.八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員在華師版數(shù)學(xué)教材37頁(yè)《閱讀材料》中查閱到了一位杰出的

數(shù)學(xué)家，他們決定對(duì)其的發(fā)現(xiàn)展開(kāi)微項(xiàng)目探索，請(qǐng)你跟隨探索腳步，根據(jù)素材，完成【任務(wù)

規(guī)劃】、【項(xiàng)目成效】和【拓展應(yīng)用工

【驅(qū)動(dòng)問(wèn)題】探索楊輝三角和多項(xiàng)式乘法計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)系數(shù)間的奧秘.

【核心概念】

素材1：楊輝是我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載了如圖

1,源于北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家賈憲的“開(kāi)方作法本源圖”，我們把這個(gè)表叫做“楊輝三角”.

素材2：我們知道，(a+b)'=a+b,①+少=合+2岫+/.利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,還可以

得到：(。+6)3=(。+6乂。2+246+63=+3。%+3啟+/.當(dāng)a+b片o時(shí)，將計(jì)算結(jié)果中多

項(xiàng)式(以。降次排序)各項(xiàng)的系數(shù)排列成表，可得到如圖2：

(A+Z>)°

(a+6)1

(a+6尸

(a+辦

圖1圖2圖3

【任務(wù)規(guī)劃】

（1）任務(wù)：請(qǐng)根據(jù)素材1和素材2直接寫(xiě)出:

①（。+6）4展開(kāi)式中/b的系數(shù)是;

②（。+6嚴(yán)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為;

【項(xiàng)目成效】

2

（2）成果展示：若（2x-1嚴(yán)5=%鏟25+a/2?！?++a2024x+a2025x+a2026,求

%+%+43++。2024+。2025的值.

【拓展應(yīng)用】

（3）“楊輝三角”的應(yīng)用很廣泛，例如“堆垛術(shù)”，圖3中的立體圖形是由若干形狀、大小相

同的圓球擺放而成，從上至下每層小球的個(gè)數(shù)依次為：1,3,6,10...,記第"層的圓球數(shù)

111

記。”，求一+—++----的值.

%〃2“2024

試卷第14頁(yè)，共14頁(yè)

參考答案

1.D

【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義的運(yùn)算法則.由尸十。=。？+6。，

nP=尸十尸十-十P,推出"P=(a+n)"'P,結(jié)合〃P-P,即可求解.

【詳解】解：尸十Q=aP+6Q,nP=P?P?十尸，

，當(dāng)〃=2時(shí)，則2)尸=尸十尸=aP+6P=(a+b)P,

當(dāng)〃=3時(shí)，則3尸=尸十尸十尸=(aP+6P)十尸=(a+Z?)尸十尸=(。+人)2尸，

nP=(a+〃)”'P,

n尸=尸始終成立，

(a+by'P=P,

(a+b)〃i=1,

?*.Q+Z?=1,

故選：D.

2.D

【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，理解題意，正確的邏輯推理時(shí)解決

本題的關(guān)鍵.

設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分另U為100x+10y+z和10機(jī)+〃,貝|底=20,nz=59ny=2,ruc=a,

即機(jī)=4〃，可確定〃=Ly=2時(shí)，則根=4,z=5,x=a,由題意可判斷A、B、D選項(xiàng)，根據(jù)

題意可得運(yùn)算結(jié)果可以表示為：1000(4a+l)+100a+25=4100a+1025,把a(bǔ)=2代入，故可

判斷C選項(xiàng).

【詳解】解：設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為100x+10y+z和10根+〃

如圖：

答案第1頁(yè)，共30頁(yè)

小方格中的數(shù)據(jù)是由其

所對(duì)的兩個(gè)數(shù)相乘得到32□□□

的,如：2=1x2

4+9=131

.滿十進(jìn)-

O296

I〉1-3W

V>

3O36

圖1圖2

則由題意得:

mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,

H77

—=4,即加=4”，

nz

...當(dāng)〃=2,y=l時(shí)，z=2.5不是正整數(shù),不符合題意,故舍;

4

3

圖1圖2

；.A、“2”上邊的數(shù)是2x4=8,故本選項(xiàng)不符合題意;

B、“20”右邊的“口”表示4,故本選項(xiàng)不符合題意;

C、。上面的數(shù)應(yīng)為4a,如圖:

4

1

4a+l。25

圖2

/.運(yùn)算結(jié)果可以表示為：1000（4。+1）+100。+25=4100。+1025,

答案第2頁(yè)，共30頁(yè)

.,.當(dāng)a=2時(shí)，4100a+1025=4100x2+1025=9225,

；.C選項(xiàng)不符合題意，

D、“5”右邊的“口”表示1,故該選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

3.D

【分析】本題主要考查了新定義、多項(xiàng)式的系數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

①先列舉出多項(xiàng)式小+a。進(jìn)行“取反換位”操作后得到的多項(xiàng)式，然后說(shuō)明％=g,再解方

程即可；②按照“取反換位”列出所有多項(xiàng)式，然后求和即可解答；③先說(shuō)明系數(shù)、常數(shù)項(xiàng),

再根據(jù)“取反換位”歸類(lèi)常數(shù)項(xiàng)并求和即可.

【詳解】解：①當(dāng)對(duì)多項(xiàng)式％x+a。進(jìn)行“取反換位”操作后得到的多項(xiàng)式為：

由題意可得：+%+(-4X—%)=(%-%)%—(%-4)=0,

??—a。—0,Bp%=a。,

Aaox+ao=0,即％(%+1)=0,

：.x=-l,故①正確；

②當(dāng)〃=2時(shí)，

*.<%++4=0,

CIQ——%—%,%=一—"1，。]=_CIQ-%

2

多項(xiàng)式%/+41%+%“取反換位”操作后可得多項(xiàng)式：,-aQx+a{x-a2,

2

a2x-aQx-ax,

222

-axx-a2x+6z0-aox+a{x-a2+a2x-aQx-ax

—(a2—4—4)f+(q—a?—%)x+(%一生—q)

—[生+(-%—%)]/++(一。2—4)]]+[%+(―4—4)]

=&+生]]2+[烏+%]%+[%+%]

2

=2a2x+2axx+2a0

=2(〃2f+.尤+4),即②正確；

答案第3頁(yè)，共30頁(yè)

③對(duì)于。5尤5+4尤3+生龍2+6尤+々0無(wú)論X取何值總是等于(％+2)^,則

%=1,%=10,%=40,%=80,%—80,%=32,

當(dāng)常數(shù)項(xiàng)4=32不參與變換時(shí)，可得10多項(xiàng)式；

當(dāng)常數(shù)項(xiàng)與各項(xiàng)均有一次“取反換位”，

則對(duì)多項(xiàng)式M進(jìn)行“取反換位”操作后所得的所有多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的和為

10x32-1-10-40-80-80=109,即③正確.

綜上，①②③正確.

故選D.

4.A

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)選取合適的x的值是解題關(guān)鍵.先確定

心共有6個(gè)互不相等且不為零的系數(shù)，再根據(jù)“衍生多項(xiàng)式”的定義即可判斷①正確；將x=l

代入多項(xiàng)式匕=(2x-l)"即可判斷②正確；將x=1和x=T代入計(jì)算即可判斷③正確.

【詳解】解：:?月=%/++%,共有6個(gè)互不相等且不為零的系數(shù),

；?交換任意兩項(xiàng)的系數(shù)共有5+4+3+2+1=15種，

則4共有15個(gè)不同的“衍生多項(xiàng)式”，說(shuō)法①正確；

令x=l,則匕=(2x1-1)”=%+%_]+4_2+.+4+4=1,說(shuō)法②正確；

W0

當(dāng)x=l時(shí)，J^OO=(l-2xl)=al00+agg++4+4=1,

當(dāng)X=—l時(shí)，/]OO=(l+2xl)100=^gg—Ogg+一囚+4=39°,

將上面兩式相減得：2(^+Og7++/+q)=1—3網(wǎng)，

1-3必、、、

則agg+%7++/+%=—~一，說(shuō)法③正確；

綜上，正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

故選：A.

5.A

【分析】本題主要考查列代數(shù)式，分別求出三次方案提價(jià)后變?yōu)樵瓉?lái)的多少，再進(jìn)行比較即

可.

答案第4頁(yè)，共30頁(yè)

【詳解】解：方案一：兩次提價(jià)后變?yōu)樵瓉?lái)的(1+4%)。+。％),

方案二：兩次提價(jià)后變?yōu)樵瓉?lái)的。+%%)(1+。％),

方案三：兩次提價(jià)后變?yōu)樵瓉?lái)的11+-%:,

所以方案一和方案二提價(jià)一樣，故①正確，②錯(cuò)誤；

+-(1+Z?%)(1+a%)

(a%+6%j

=1+a%+b0/o+_(l+a%+6%+a%x6%)

1a%+6%j

-a%xZ?%

_(tz%-Z?%)2

―4’

?:a手b,

(“％一6%)；o,

4

；?方案三提價(jià)最多，故③正確，④錯(cuò)誤.

故選：A.

6.B

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算、整式乘法的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則，理解新定義是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)題意列出算式，求出。、氏c、d的值，即可得出答案.

【詳解】解：由題意得，a+b=12,c+d=8,

a=12-bfd=8—c,

axc=bxdf

(12-Z;)xc=Z?x(8-c),

A12c=8b,

：.3c=2b,

Va.b、c土勻?yàn)檎麛?shù)，>0<tz<9,0<Z?<9,0<C<9,0<t/<9,

答案第5頁(yè)，共30頁(yè)

b=3b=6b=9

c=2或c=4或

c=6

b=3

當(dāng)c時(shí)，1=12—3=9,d=8—2=6,止匕時(shí)幸運(yùn)數(shù)為9326,

c=2

\b=6

當(dāng)《/時(shí)，4=12—6=6,d=8—4=4,此時(shí)幸運(yùn)數(shù)為6644,

[c=4

[b=9

當(dāng)《時(shí)，[=12—9=3,d=8—6=2,止匕時(shí)幸運(yùn)數(shù)為3962,

[c=6

則滿足條件的“幸運(yùn)數(shù)”有3個(gè)，

故選：B.

7.B

【分析】本題考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，根據(jù)[g]=n，得到=4，利用

進(jìn)行求解即可.

=m-m2;

故選B.

24

8.20-

答案第6頁(yè)，共30頁(yè)

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到乙正方形的邊長(zhǎng)為。-6=2,于是得到結(jié)論；

45

（2）根據(jù)陰影部分的面積可得2。（。-6）=2〃-2。6=7,a2-（a-by9=2ab-b2=—,兩式

相除得到小b的關(guān)系，再代入求解即可.

【詳解】解：（1）V（i=5,6=3,

乙正方形的邊長(zhǎng)為a—b=2,

/.H=2x5x2=20,

故答案為：20；

（2）,/=7,

2aCa—b）=2a2-2ab=7>

:邑孝

45

a2-（?-/7）9=2ab-b2=—,

.Si2a2-2ab28

*'lab-b1-45J

整理，得45/-73"+14"=0,

gp（56Z-7Z?）（96Z-2Z?）=0,

5a-7〃=0或9a-2b=0,

7?

J.a=—b^a=-b（舍去）

.ab_7524

故答案為：瑞.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式與幾何圖形的面積以及因式分解，正確理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

答案第7頁(yè)，共30頁(yè)

9.(1)225

(2)；"2(〃+1)-

(3)1190700

【分析】本題主要考查了自然數(shù)立方和公式推導(dǎo)及應(yīng)用，掌握自然數(shù)列和公式，自然數(shù)平方

和公式，自然數(shù)立方和推導(dǎo)過(guò)程，數(shù)字的變化類(lèi)是解題關(guān)鍵.

(1)直接根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求解；

(2)直接根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求解；

(3)先按積的乘方分出27,提公因式27,再按給出的規(guī)律即可求解

【詳解】⑴解:原式=(1+2+3+4+5)2=152=225,

故答案為：225；

-|2

(2)解：原式=[1+2+3++(〃-1)+仃=377卜7+1)=；九2(n+l)~,

故答案為：+

(3)解:原式=(3xiy+(3*2丫+(3*3丫+…+(3*20)3

=27xl3+27x23+27x33+---+27x203

=27(13+23+33+---+203)

=27(1+2+3++20)2

=27X-X202X212

4

=27x44100

=1190700.

10.(l)(2n+l)

⑵+2)

(3)mn+w+l,探究見(jiàn)解析

⑷會(huì)有折93次、剪1刀，折1次、剪47刀，折46次、剪2刀，共3種方案.

【分析】此題主要考查了圖形的變化類(lèi).歸納推導(dǎo)，找到規(guī)律，是進(jìn)行解答的關(guān)鍵.

(1)將一根繩子折1次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；剪2刀，繩子變?yōu)?段；剪〃刀，繩子

答案第8頁(yè)，共30頁(yè)

將變?yōu)椋?〃+1）段；

（2）將一根繩子折2次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；折3次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；折相

次，剪1刀，繩子將變?yōu)椋?2）段；

（3）將一根繩子折機(jī)次，剪1刀，繩子變?yōu)椋?2）段；剪2刀，繩子的段數(shù)為

（m+2）+（m+l）（2-l）.剪3刀，繩子段數(shù)為:（m+2）+（m+l）（3-l）；剪〃刀,繩子段數(shù)

為：mn+n+1；

（4）設(shè)將一根繩子折山次（〃后1）,然后剪w刀繩子段數(shù)將變?yōu)椋?+〃（機(jī)+1）,當(dāng)

/、fm=93fm=lfm=46.

1+〃機(jī)+1）=95時(shí)，解得，，或仃，或c，會(huì)有3種方案.

'7\n=\[w=47[〃=2

【詳解】（1）解：將一根繩子折1次，

剪1刀，繩子變?yōu)?段；

剪2刀，繩子變?yōu)?段；

剪〃刀，繩子將變?yōu)椋?〃+1）段；

故答案為：（2〃+1）；

（2）解：將一根繩子折2次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；

將一根繩子折3次，剪1刀，繩子變?yōu)?段；

將一根繩子折機(jī)次，剪1刀，繩子將變?yōu)椋ǜ?2）段；

故答案為：（加+2）；

（3）解：由（2）知，將一根繩子折機(jī)次，剪1刀，繩子變?yōu)椋?2）段,

然后剪2刀,繩子段數(shù)變?yōu)椋海╩+2）+（m+l）（2-l）；

剪3刀，繩子段數(shù)變?yōu)椋海ㄗ?2）+（旭+。（3-1）；

剪〃刀，繩子將段數(shù)變?yōu)椋?/p>

答案第9頁(yè)，共30頁(yè)

=l+〃(m+l)

=mn+n+l；

(4)解：設(shè)將一根繩子折機(jī)次(m21),然后剪〃刀(心1),

由(3)知,繩子段數(shù)將變?yōu)椋?+〃(m+1),

當(dāng)1+〃(m+1)=95時(shí),

^(m+l)=94,

?.?94=1x94=2x47,

m+l=lm+l=94

當(dāng)”=94或〃=1時(shí)，

m=0m=93

〃二94(舍)或

n=l

m+1=2m+1=47

當(dāng)n=47，或〃時(shí),

m=lm=46

17,或

n=2

故會(huì)有折93次、剪1刀，折1次、剪47刀，折46次、剪2刀，共3種方案.

11.(1)2級(jí)等比數(shù)列為：2,4,8,

163級(jí)等比數(shù)列為：4,8,16,32

⑵

①S=2"J

②證明見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，整式乘法混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，理解材料提示的計(jì)

算方法，掌握數(shù)字規(guī)律的計(jì)算及整式乘法混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)材料提示的計(jì)算方法求解即可;

(2)①根據(jù)題意可得S=l+2+4++2",2s=2+4+8++2"+2"包，兩室相減即可得解;

答案第10頁(yè)，共30頁(yè)

②根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為廠，其P,4,上級(jí)等比數(shù)列分別為｛q｝,｛%｝,植,｝,

分別計(jì)算出P,Q,K的值，然后按照同底數(shù)塞的乘法、塞的乘方的逆用、積的乘方的逆用、

整式乘法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：等比數(shù)列1,2,4,8的公比為9￡==4=；8=2,

124

，2級(jí)等比數(shù)列為：2,4,8,16；

設(shè)3級(jí)等比數(shù)列為：c15c2,c3,c4,

??色=2=2=1=22=4

'1248'

t]=4,c2=8,c3=16,c4=32,

；.3級(jí)等比數(shù)列為：4,8,16,32；

(2)①解：若等比數(shù)列：1,2,4,L,2",

VS=l+2+4++2",2s=2+4+8++2"+2叫

2S-S=(2+4+8++2"+2向)-(1+2+4++2”),

即：S=2n+1-1；

②證明：根據(jù)題意，若數(shù)列｛%｝滿足序吟==白=r。為非零常數(shù))，數(shù)列⑷滿足

-=—==—=八,我們把數(shù)列｛4｝叫做數(shù)列｛a?｝的“％級(jí)等比數(shù)列"，k>2S.k為整數(shù),

???設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為「，其P,Q,上級(jí)等比數(shù)列分別為｛幺｝,｛%｝，優(yōu)｝,

.旦=衛(wèi)=...=區(qū)="-1%=?==四=41k=b="=&=尸

aa

〃2n%。2n%%

pl

Pi=嚴(yán)4,P2="一%2，匕，pn=r~an,

qxqxqx

qx=r~ax,q2=r~a2,,qn=r~an,

k[=Y%,k?=Ya?,L,=T，

又,.?％+a?++cin—."+i—1,

a+a

P=Px+P2++P?=(ii++4),T=(/加一1)”)

Q=4I+%++4"=(4+%+H嚴(yán)1—1)%小，

i-1n+11

K=kl+k2++kn=(al+a2++a?)r=(r-l^",

答案第11頁(yè)，共30頁(yè)

:嚴(yán)I，=rp+q~2，p+q=2k,

.?./+”2=/女一2=/("1)=卜1)2,

/.PQ=(r"+,(Jr?1-)rq-'=[卜用4孔產(chǎn)]]=[(尸_)產(chǎn)了=K2.

12.(l)a2+b2,(a+b)2-2ab

(2)a2+b2=(a+b)2-2ab

(3)1,3,2

(4)?mn=^,(m-n)2=15；②16

【分析】本題考查拼圖與整式的乘法，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

(1)陰影部分是兩個(gè)正方形的和，也可看作外圍的大正方形的面積減去2個(gè)長(zhǎng)方形的面積，

據(jù)此求解即可；

(2)(1)中兩種方法計(jì)算的面積是相等的，即可得出答案；

(3)先畫(huà)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為。+2)，寬為a+b,觀察圖形可得答案；

(4)①利用根2+=(%+-2mn和(WJ—=m2+n2—2mn計(jì)算即可；

②設(shè)加=x-2021,n-x-2023,利用蘇+?=(7W+”)？一2%"求出2〃以=30,再利用

(m-ri)2=m2+n2一求出(機(jī)+〃)？=64,最后把還原后求解即可.

【詳解】(1)方法一：陰影部分是兩個(gè)正方形，面積和為：a2+b2,

方法二:陰影部分的面積等于外圍的大正方形的面積減去2個(gè)長(zhǎng)方形的面積,即(…?-2ab,

故答案為：a2+b2,(a+b)2-2ab；

(2)V(1)中兩種方法計(jì)算的面積是相等的，

a2+b2=(fl+b)2-2ab,

22

故答案為：a+b~=(a+b)—2ab

(3)拼圖如下:

bh

觀察圖形可得：需要A類(lèi)卡片1張，3類(lèi)卡片3張，C類(lèi)卡片2張.

答案第12頁(yè)，共30頁(yè)

故答案為：1,3,2；

(4)①根據(jù)(2)題可得病+/=(m+〃)2一？加〃,

;桃+〃=5,加之+=20,

20=52-2mn

,5

..mn=—,

2

(m—ri)2=m2+H2—2mn=20-2xg=15；

②設(shè)m=x-2021,n=x-2023,

??,(x-2021y+(x-2023尸=34,

m2+n2=34,

^-：m-n=(x-202l