期末復(fù)習(xí)6四邊形期末復(fù)習(xí)之存在性問(wèn)題專題復(fù)習(xí)

1.(東陽(yáng)市期末)如圖，四邊形054c是矩形，OC=2,OB=6,反比例函數(shù)y=K的圖象

x

過(guò)點(diǎn)A.

(1)求上的值.

(2)點(diǎn)尸為反比例圖象上的一點(diǎn)，作直線AC,PELx軸，當(dāng)四邊形POCE是正方

形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)G為坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)。，使得以A、B、

Q、G為頂點(diǎn)組成的平行四邊形面積為14?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【分析】(1)先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入解析式可求解；

(2)分兩種情況討論，由正方形的性質(zhì)可求解；

(3)由平行四邊形的面積為14,可求點(diǎn)。坐標(biāo)，再分為邊和對(duì)角線兩種情況討論,

由平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解.

【解答】解：(1)'：OC=2,08=6,

.?.點(diǎn)C(2,0),點(diǎn)3(0,6),點(diǎn)A(2,6),

?..反比例函數(shù)y=區(qū)的圖象過(guò)點(diǎn)A,

X

：.k=2X6=12；

(2)V)1=12,

.??反比例函數(shù)解析式為：y=衛(wèi)，

X

設(shè)點(diǎn)P(〃，工0,

a

???四邊形PDCE是正方形，

：.PD=PE,

當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限時(shí),

?12=“-2

a

：.ai=413+l,42=1-413（舍去）

六點(diǎn)產(chǎn)（-/13+1.Vl3-1）；

當(dāng)點(diǎn)尸在第三象限，

???--1--2乙=2a”,

a

/.fli=V13+l（舍去），?2=1-V13，

.?.點(diǎn)P（1-V13--1-V13）；

綜上所述：點(diǎn)尸坐標(biāo)為（百^+1,吊-1）或（1-A，-1-百§）；

（3）設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（6,絲），

b

若AB為邊，

..?以A、B、。、G為頂點(diǎn)組成的平行四邊形面積為14,

.\2X|6-絲|=14,

b

bi=-12,bi=^L,

13

.,.點(diǎn)Q（-12,-1）或（理，13）,

13

:以A、B、。、G為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，

：.AB=QG=2,AB//QG,

...點(diǎn)G（-10,-1）或（-14,-1）或（咨，13）或（-11,13）；

1313

若48為對(duì)角線，

設(shè)點(diǎn)G（x,y）,

??,以A、B、。、G為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，

?'?AB與QG互相平分，

12

?2+Q=-12+x6+6=7旬或2+0=~iJ+x6+6=13+7

"~2~-2-'~2~~22~~2~'~2~2

.".XI=14,yi=13,或x2=^-yi=-1,

13'

...點(diǎn)G（14,13）或（JA,-1）,

13

綜上所述：點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-10,-1）或（-14,-1）或（更，13）或（--11,13）

1313

或（14,13）或（Al,-1）.

13

2.（麗水期中）如圖，在菱形ABCD中，ZDAB=6Q°,48=2,點(diǎn)E是A8邊上的動(dòng)點(diǎn),

作NEDQ=60°交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在AD上，PD=PE.

（1）求證：AE=BQ；

（2）連接P。，EQ,當(dāng)/尸￡。=90°時(shí)，求理的值；

''~PQ

（3）當(dāng)AE為何值時(shí)，△PEQ是等腰三角形.

【分析】（1）如圖1中，連接80.證明△AOE名△8。。（SAS）即可.

（2）如圖2中，連接E。，PQ,BD.首先證明△DE。是等邊三角形，求出證明四

邊形APQB是平行四邊形即可.

（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)。尸=。石時(shí)，作QM_LCD于求出C。即可.如

圖3-2中，當(dāng)PE=QE時(shí)，點(diǎn)E與8重合，點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)。與C重合，此時(shí)AE

=AB=2.

【解答】（1）證明：如圖1中，連接8D.

圖1

:四邊形ABC。是菱形，

ZA=ZC=60°,AB=BC=BD=CD,

.,.△ABD,△BDC都是等邊三角形，

AZA=ZDBQ=60°,AD=DB,

VZADB^ZEDQ^6Q0,

ZADE=ZBDQ,

：./1ADE^/\BDQ(ASA),

：.AE=BQ.

(2)解：如圖2中，連接EQ,PQ,BD.

圖2

AADE咨/\BDQ,

：.DE=DQ,

???NEOQ=60°,

:.ADEQ是等邊三角形，

：.DE=DQ=EQ,ZDEQ=60°,

VZPE2=90°,

：.ZPED=30°,

?:PD=PE,

：.ZPDE=ZEP￡>=30°,

VZA=60°,

：.ZAED=90°,

：.DELAB,'：AB=2

.\AE=EB=1

:,DE=M

?:PD=PE,QD=QE,

：.PQ±DE,

9

：.PQ//ABf：AD//BC,

???四邊形PQBA是平行四邊形，

：.PQ=AB=2

?DE=V3

e，PQ~

（3）解：如圖3-1中，當(dāng)。尸=QE時(shí)，作QMJ_C。于M.

?：QD=QE=QP,。尸垂直平分線段DE,

:.NDQP=NEQP=30°,

:.NADQ=15°,

VZADC=120°,

：.ZQDM=45°,設(shè)CM=a,則CQ=2a,DM=QM=Ma,

'：CD=AB=2,

/.a+V3?—2,

.*.?=Vs-1.

：.CQ=243-2,

：.AE=BQ=BC-CQ=4-2M.

如圖3-2中，當(dāng)PE=QE時(shí)，點(diǎn)E與8重合，點(diǎn)尸與A重合，點(diǎn)。與C重合，此時(shí)AE

=AB=2.

圖3-2

綜上所述，滿足條件的AE的值為4-2?或2.

3.（湖州）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC,乙48c=90°,頂點(diǎn)A在第一

象限，B,C在x軸的正半軸上（C在2的右側(cè)），BC=2,AB=2y[j,△AOC與△ABC

關(guān)于AC所在的直線對(duì)稱.

（1）當(dāng)02=2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)A和點(diǎn)。在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求。8的長(zhǎng)；

（3）如圖2,將（2）中的四邊形A8C。向右平移，記平移后的四邊形為AIBICLDI,過(guò)

點(diǎn)D的反比例函數(shù)y=K（AW0）的圖象與胡的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.問(wèn)：在平移過(guò)程中，

x

是否存在這樣的左，使得以點(diǎn)尸，Ai,。為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接

寫出所有符合題意的A的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）如圖1中，作軸于E,解直角三角形清楚DE,CE即可解決問(wèn)題；

（2）設(shè)。B=a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)（a,2百），由題意CE=1.DE=\[3,可得￡＞（3+a,百），

點(diǎn)4。在同一反比例函數(shù)圖象上，可得2a4=遂（3+a）,清楚a即可；

（3）分兩種情形：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)4在線段的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，ZB41D

=90°.

②如圖2中，利用勾股定理的逆定理，構(gòu)建方程分別求解；

tanZACB=他=如,

BC

AZACB=60°,

根據(jù)對(duì)稱性可知：DC=BC=2,ZACD=ZACB=60°,

:.NDCE=60°，

：.ZCDE=90°-60°=30°,

：.CE=l,DE=y/3>

；.OE=OB+BC+CE=5,

.?.點(diǎn)。坐標(biāo)為（5,V3）.

（2）設(shè)OB=a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)Q,2我），

由題意CE=1.DE=M，可得。（3+a,

?.?點(diǎn)A、￡>在同一反比例函數(shù)圖象上，

2^3=V3（3+〃），

??〃=3,

:?0B=3.

(3)存在.理由如下:

①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)4在線段CD的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，/B4i￡)=90°.

0

圖2

在RtZXAQAi中，,.?/ZMAi=30。，AD=2731

；.A4i=—_=4,

cos300

在RtAAB4i中，?/ZAPAi=60°,

；.必=當(dāng)行,

3

3_

由（2）可知P（3,1。我）,

3

.*.^=loV3.

②如圖2中，由題意。（6,M），設(shè)尸（3,區(qū)），Ai（3+力，273）,DiC6+h,我），

3

2

則/。2=32+（我-K）2,DAl2=（3-/2）2+（73）2,（區(qū)一2?）,

33

當(dāng)/B4iD=90°時(shí)，32+（V3-—）2=（3-力）2+（V3）2+//2+（區(qū)-2百）2,

33

又,:炳（6+力）=3,

可得k=10y[^,

當(dāng)NPZMi=90°時(shí)，同法可得％=12百，

綜上所述，%的值為10我或12?.

4.（永康市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形0A8C的頂點(diǎn)A在無(wú)軸上，B,

C在第一象限，反比例函數(shù)y=K（左W0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,交A8于。，已知0C=12,

X

0A=4?,ZAOC=60°

（1）求反比例函數(shù)y=K（左W0）的函數(shù)表達(dá)式；

x

（2）連接CD,求△BC。的面積；

（3）P是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A尸為一邊，在AP的右上方作正方形4PE凡在點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)尸使頂點(diǎn)E落在口0ABe的邊所在的直線上，若存在，請(qǐng)

求出此時(shí)。尸的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CGL無(wú)軸于點(diǎn)G,構(gòu)造含60°角的RtAOCG,利用0c=12和

NAOC的正弦余弦值，即求得OG、CG的長(zhǎng)，得到點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即求得反比

例函數(shù)表達(dá)式.

（2）由平行四邊形0A2C邊長(zhǎng)04=4百可求得點(diǎn)2坐標(biāo)，進(jìn)而求直線A2解析式.把

直線AB解析式和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，求解即得到點(diǎn)D坐標(biāo).過(guò)點(diǎn)D作DH

L3C于點(diǎn)”，易得SABCD=LBC?DH,代入計(jì)算即求得△BCD的面積.

2

（3）求直線0C解析式，設(shè)點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為初，用初表示其縱坐標(biāo).過(guò)點(diǎn)尸作PMLx軸

于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作EN_L直線PM于點(diǎn)N,由正方形APE/性質(zhì)即可證△「色￡絲

可得PN=AM=4y[^,NE=PM,即得到用m表示點(diǎn)E坐標(biāo).由于點(diǎn)E可能落在口OABC

的邊OC、BC、AB上，故需分類討論.①落在OC上時(shí)，把點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線OC解析

式，解方程求相即得到點(diǎn)尸坐標(biāo)，進(jìn)而求。尸的長(zhǎng)；②落在BC上，則點(diǎn)E縱坐標(biāo)等于

點(diǎn)C縱坐標(biāo)，列得方程；③落在上，把點(diǎn)E坐標(biāo)代入直線AB解析式再解方程.

【解答】解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CGLx軸于點(diǎn)G

：.ZOGC=90°

：0C=12,/AOC=60°

；.COSN4OC=5_=A,sinZAOC—^-^^-

OC2OC2

.?.0G=kc=6,CG=?0c=6?

22

：.C(6,6A/3)

?反比例函數(shù)y=K(%W0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

X

???6?=K解得：k=36如

6

...反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為丁=%應(yīng)

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。HL8c于點(diǎn)H

:。4=4如，點(diǎn)A在x軸上

.\A(4如,0)

,/四邊形0ABe是平行四邊形

：.BC//OA,BC=OA=4y/3

XB—xc+BC—6+4Vs>yB—yH—yc-6-\[3

：.B(6+4百，673)

設(shè)直線AB解析式為y=ax+b

,f4V3a+b=0解得：h=在

I(6+4V3)a+b=6V3lb=-12

直線AB：y=y/3x-12

???點(diǎn)D為線段AB與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)

f=36V3.

yx[=6百x2=-2'/^

『x解得:1或.（舍去）

|y=V3x-12了[=6了2=-18

：.D(6A/3-6)

:.DH=6M-6

SABCD=Asc*￡>H=AX4V3X(64-6)=36-1273

22

(3)存在點(diǎn)P使頂點(diǎn)￡落在口OABC的邊所在的直線上.

如圖3,過(guò)點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作直線PM于點(diǎn)N

/AMP=NPNE=90°

VC(6,65/3)

直線OC解析式為y=43x

:點(diǎn)P在線段OC上

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(tn,，§機(jī))(0(ZTIW6)

：.OM=m,PM=y/'§m

.'.AM=OA-OM=4\[3-m

:四邊形AP所是正方形

：.AP^PE,/APE=90°

ZEPN+ZAPM=ZAPM+ZPAM=90°

：.ZEPN=ZPAM

在APNE與AAMP中

，ZPNE=ZAMP

?ZEPN=ZPAM

PE=AP

:.MNEq—MP(AAS)

：.PN=AM=4如-m,NE=PM=^m

XE=XN+NE=m+yf3m,yE=yN=MN=PM+PN=Vsm+4V3-m

:.EGn+J^m,V3^+4A/3-m)

①若點(diǎn)E落在直線0c上，則-m=y/3(m+V3/n)

解得：m=V3

:-p(?，3),OP=yj(V3)2+32=2V3

②若點(diǎn)E落在直線BC上，則-m=643

解得：

，P（3+V3-373+3）,OP=yj（3+73）2+（373+3）2=6+2V3

③若點(diǎn)E落在直線AB上時(shí)，直線AB：y=43x-12

/.A/3（7"+V^〃z）-12=J^m+W^-m

解得：〃Z=3+JE，即點(diǎn)E落在直線BC與直線AB交點(diǎn)處

綜上所述，。尸=2我或（6+2我）時(shí)，點(diǎn)E落在口04BC的邊所在的直線上.

5.（杭州期末）如圖，四邊形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=@與>=二（x>0,0

xx

<m<n）的圖象上，對(duì)角線軸，且BDLAC于點(diǎn)P.己知點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為4.

（1）當(dāng)〃z=4,w=20時(shí).

①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).

②若點(diǎn)P是3。的中點(diǎn)，試判斷四邊形A8C。的形狀，并說(shuō)明理由.

（2）四邊形ABC。能否成為正方形？若能，求此時(shí)機(jī)，w之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，試

【分析】（1）①利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出點(diǎn)A,3的坐標(biāo)；

②由①可得出點(diǎn)3,D,由點(diǎn)P為線段2。的中點(diǎn)可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出抬=PC,結(jié)合尸可得出四

邊形ABCD為平行四邊形，再結(jié)合BDLAC可得出四邊形ABCD為菱形；

（2）當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)，設(shè)B4=PB=PC=PO=fGWO）,利用反比例函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)2的坐標(biāo)，由可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用反比例函

數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出t=4-a,由點(diǎn)2的坐標(biāo)結(jié)合B￡）=2f可得出點(diǎn)D的坐標(biāo),

4

再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出機(jī)+〃=32.

【解答】解：（1）①當(dāng)尤=4時(shí)，y=A=l,

X

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,1）；

當(dāng)y=2時(shí)，2=芻，解得：x=2,

x

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,2）.

②四邊形A2C。為菱形，理由如下：

由①得：點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,1）,點(diǎn)￡＞的坐標(biāo)為（4,5）,

:點(diǎn)尸為線段2。的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,3）.

當(dāng)y=3時(shí)，3=—,解得：x=—,

x3

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（冬，3）；

3

當(dāng)y=3時(shí)，3=20,解得：尤=理_,

x3

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（空，3）.

3

：.PA=4-A=A,PC=2^--4=^-,

3333

：.PA=PC.

'：PB=PD,

四邊形ABCD為平行四邊形.

XVBDXAC,

四邊形ABC。為菱形.

(2)四邊形A2CD能成為正方形.

當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，設(shè)B4=PB=PC=P￡)=fCWO).

當(dāng)尤=4時(shí)，,

"x4

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,必)，

4

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4-f,四+f).

4

..?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=見(jiàn)的圖象上，

x

(4-r)(―+r)—m,化簡(jiǎn)得：t—4--,

44

.,.點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為典+2/=皿+2(4-叫)=8-

4444

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,8-旦)，

4

.".4X(8--)—n,整理，得：m+n—32.

4

即四邊形ABC。能成為正方形，此時(shí)機(jī)+”=32.

6.(寧波期末)【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,AC//DF,RtAABC^RtAZ)￡F,連結(jié)A。，BE,求證：四邊形ABED是平

行四邊形.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系無(wú)0y中，已知點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是A(1,3),B(4,

1),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在y軸上.若以AB為邊，其余兩個(gè)頂點(diǎn)為C,。的四邊形是

平行四邊形，求點(diǎn)C,。的坐標(biāo).

【拓展提高】

(3)如圖3,拋物線y=7-4x+3與直線y=x+3交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線上任意

一點(diǎn)，在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)R使得以CQ為邊，其余兩個(gè)頂點(diǎn)為E,尸的四邊形是平

【分析】(1)連接CF,先證四邊形ADFC是平行四邊形,再推導(dǎo)出NBAD+NAOE=180°,

則有AB〃DE,即可證明；

(2)求出石，再求直線45的解析式為＞=-Nv+紅，由于CO〃A8,CD=AB,

33

設(shè)CD的直線解析式為y=-2jc+m,可求D(0,m),C(當(dāng)”，0),則CD=H|/"|

322

=A/13*求出加=±2,即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)先求出C(5,8),D(0,3),設(shè)尸(2,?),EG,尸-4什3),由已知可分兩種情

況①當(dāng)DF、CE為對(duì)角線時(shí)，DF的中點(diǎn)為(1,2坦)，CE的中點(diǎn)為(旦?，士4審1),

222

則1=且主，求出k-3,即可求￡(-3,