期末真題重組練習(xí)卷高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊

.選擇題（共8小題）

1.（2023春?周至縣校級期末）復(fù)數(shù)z=2-i的虛部是（

C.-1

TTT7

2.（2021春?安慶期末）已知向量a=（l,2）,b=（m,-4）,若a||6,則實數(shù)機的值為（）

B.-2D.-8

（2024秋?武威期末）半徑為4的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為（

2倔r8737116V37T

4.（2024秋?石景山區(qū)期末）某袋中有編號為1,2,3,4的4個小球（小球除編號外完全相同），

甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所

摸出球的編號不同的概率是（）

31115

A.-B.-C.—D.—

441616

5.（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）已知a,6是兩條不同的直線，a為一個平面，aua,則“6〃a”

是“a,6無公共點”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（2024春?錫山區(qū)校級期末）若底面半徑為r,母線長為I的圓錐的表面積與直徑為I的球的表面

積相等，貝?=（）

L11—V5—1

A.V5-1B.-------C.V3-1D.-------

22

7.（2024春?倉山區(qū)校級期末）已知三棱錐P-ABC中，面A3C,底面△ABC是以8為直角頂

點的直角三角形，且8c=2,Z.BCA=三棱錐P-ABC的體積為吉.過點A作AM1PB于M,

過M作MALLPC于N,則三棱錐尸-AMN外接球的體積為（）

B

48V2廠32

A.-7TB.7TC.4V3TTD.17T

333

7T17

8.（2023秋?揚州期末）已知0<0<（1<2，sinasin0=而，cosacos0=而，則cos2a=（）

724

A.0B.——C.—D.1

2525

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2024秋?涪城區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）

A.從容量為N的總體中抽取一個容量為w的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機數(shù)法和按比例分層隨機

抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為pi,p2,p3則pi=？2=p3

B.若P（48）=/,P（4）=5，P（B）=I，則事件A與事件B相互獨立

C.一個人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件

D.若P（A）=0.3,P（B）=0.4,且事件A與事件8相互獨立，則P（AUB）=0.58

（多選）10.（2024秋?承德期末）已知正三棱錐P-ABC外接球的表面積為36m則下列結(jié)論正確

的是（）

A.正三棱錐P-ABC外接球的體積為36n

B.當(dāng)42=3日時，點尸到底面ABC的距離為2

C.若滿足條件的正三棱錐尸-ABC存在兩個，則0<A8<38

D.正三棱錐尸-ABC體積的最大值為8百

（多選）11.（2023春?瀘縣校級期末）如圖，平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形

BCE組成的直角梯形，AD=\,乙CBE=￡現(xiàn)將Rt^ACD沿斜邊AC翻折成△ACDi（Di不在平

面ABC內(nèi)），若P為BC的中點，則在Rt^AC。翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AD1與不可能垂直

V6

B.三棱錐C-8D1E體積的最大值為一

12

C.若A,C,E,。都在同一球面上，則該球的表面積是2n

_7171

D.直線AD1與EP所成角的取值范圍為（一，一）

63

三.填空題（共3小題）

12.（2024秋?天津期末）復(fù)數(shù)z=汽一2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部

為.

13.（2024秋?白城校級期末）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：

6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到

的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率

為.

14.（2024秋?裕安區(qū)校級期末）如圖，正方體ABCO-AiBiCiOi的棱長為2,E是側(cè)棱AA1的中點，

則平面B1CE截正方體ABCO-AIBCLDI所得的截面圖形的周長是.

四.解答題（共5小題）

15.（2024秋?資中縣校級期末）已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C,所對的邊分別為a,b,c,且6s譏受=

asinB.

（1）求角A;

（2）若銳角AABC外接圓的半徑為百，求2c-6的取值范圍.

16.（2017秋?石家莊期末）已知函數(shù)/（%）=V3cos2a）x+sincoxcos<jox—（w>0）的最小正周期為

TC.

（I）求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若/（X）〉孝，求X取值的集合.

17.（2024秋?葫蘆島期末）在△ABC中，A（-2,3）,B（2,7）,C（-6,-5）,G是重心，

直線跖過點G,交54于點E,交8C于點F.

—>

（1）求|BG|；

—>—>—?

（2）若=BF=nBC,入，口為正實數(shù)，求2入+8|i的最小值.

18.(2024秋?內(nèi)江期末)在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，“鱉腌”是指4個面都是直角三角

形的四面體.如圖，在等腰梯形A3CZ)中，AB//CD,AE±CD,且。E=AE=AB=2.現(xiàn)將△AOE

(II)求證：。_1平面4?！?

19.(2024秋?北京校級期末)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意程度，從A地區(qū)隨機抽取了400名

用戶，從8地區(qū)隨機抽取了100名用戶，請用戶根據(jù)滿意程度對該公司產(chǎn)品評分.該公司將收集

到的數(shù)據(jù)按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制成評分頻率分布直方圖如

下:

A地區(qū)用戶滿意程度評分B地區(qū)用戶滿意程度評分

頻率分布直方圖頻率分布直方圖

(1)為了更進一步了解A地區(qū)用戶的不滿意原因，將A地區(qū)抽取的400名用戶作為一個總體，按

照評分再用分層抽樣的方法抽取40人進行面對面交流，那么應(yīng)從評分在[20,40),內(nèi)的用戶中抽

取幾人？

(2)從B地區(qū)隨機抽取兩名用戶，且這兩名用戶評分獨立，以頻率估計概率，求這兩名用戶的評

分恰好一個大于60分，另一個小于60分的概率；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計A地區(qū)抽取的

400名用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為m,8地區(qū)抽取的100名用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平

均值為國，以及A,8兩個地區(qū)抽取的500名用戶對該公司產(chǎn)品的評分的平均值為卬，試比較卬

和作詈的大小.(結(jié)論不要求證明)

期末真題重組練習(xí)卷-高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊

參考答案與試題解析

.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案CBCAABDA

二.多選題（共3小題）

題號91011

答案ABDACDBCD

一.選擇題（共8小題）

1.（2023春?周至縣校級期末）復(fù)數(shù)z=21.的虛部是（)

A.2B.1C.-1D.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=21?的虛部是-1.

故選：C.

—>—>

2.（2021春?安慶期末）已知向量能=（1,2),b=(m,-4）,若Z||b,則實數(shù)機的值為（

A.2B.-2C.8D.-8

L—T

【解答】解：向量:=（1,2）,b=（m,-4),且。||b,

所以IX(-4)-2m=0,

解得m=-2,

所以實數(shù)機的值為-2.

故選：B.

3.（2024秋?武威期末）半徑為4的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為（

2V37T4A而8V37T16V37T

A.--------B.--------C.--------D.----------

3333

【解答】解：顯然圓錐的母線長為/=4,設(shè)圓錐的底面半徑為r,貝1211r=4m即〃=2,

所以圓錐的高九=V/2-r2=2V3,

圓錐的體積7=^-nr2?/1=x4TTX2遮=8亭兀

故選：C.

4.（2024秋?石景山區(qū)期末）某袋中有編號為1,2,3,4的4個小球（小球除編號外完全相同），

甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所

摸出球的編號不同的概率是（）

31115

A.-B.-C.—D.—

441616

【解答】解：某袋中有編號為1,2,3,4的4個小球（小球除編號外完全相同），

甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，

甲先從袋中摸出一個球，有4種可能的結(jié)果，

乙再從袋中摸出一個球，有4種可能的結(jié)果，

如果按（甲，乙）方法得出總共的結(jié)果為：16個，

甲、乙兩人所摸出球的編號不同的結(jié)果為12個，

123

甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是一=一.

164

故選：A.

5.（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）已知a,6是兩條不同的直線，a為一個平面，aua,則“b〃a”

是“a,6無公共點”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：aua,因為6〃a可得a,b無公共點,

當(dāng)a,6無公共點時，可能b與a相交，也可能bua,有可能6〃a,

所以“6〃a”是“a,6無公共點”充分不必要條件.

故選：A.

6.（2024春?錫山區(qū)校級期末）若底面半徑為r,母線長為/的圓錐的表面積與直徑為/的球的表面

r

積相等，物■=（）

r-V5-1LV3—1

A.V5-1B.-------C.V3-1D.-------

22

【解答】解：因為底面半徑為廣，母線長為/的圓錐的表面積與直徑為/的球的表面積相等，

又圓錐的表面積為itrZ+itr2,球的表面積為4兀8尸=加2,

所以TTr/+irr2=7t/2,即（/尸+j-1=0,

解得占早.

故選：B.

7.（2024春?倉山區(qū)校級期末）已知三棱錐尸-ABC中，以_1面43。，底面△ABC是以B為直角頂

TT8V3

點的直角三角形，且BC=2,Z.BCA=*三棱錐P-ABC的體積為飛一.過點A作AM1PB于M,

過M作MN_LPC于N,則三棱錐P-AMN外接球的體積為（）

48V2廣32

A.-7iB.TTC.4,37rD.—n

333

【解答】解：由題可知△ABC中，乙ABCW，^BCA=I，BC=2,

所以AB=2b，2C=4

8A/3

又抬_1面43。，三棱錐P-ABC的體積為可

所以4TBC=1SAABC.P4=KX2X2存P4=萼

則E4=4

因為91_面48。，所以B4_LBC

5LBCLAB,且E4CAB=A,PA,ABc?PAB

所以BC_L面抬8,又AMu面B48

貝l13C_LAM,已知AM_LPB,PBCBC=B,PB,BCc?PBC

所以4用_1面？8(7,又尸C,Wc?PBC,則AMJ_PC,AM±MN

又MNLPC,AMCMN=M,AM,MNu面AA/N

所以尸(7_1面4又'

則三棱錐P-AMN的四個頂點可以與一個長方體的四個頂點重合，如圖所示:

則該長方體的外接球即三棱錐P-AMN的外接球，設(shè)外接球半徑為R

故E4=2R=4,所以R=2

432

三棱錐尸-AMN外接球的體積為：一nR3=一冗.

33

故選：D.

8.(2023秋?揚州期末)已知OV^VaV*,sinasinp=cosacc^0=6，貝！Jcos2a=()

724

A.0B.—C.—D.1

2525

i7

【解答】解：已矢口sinasinp=而，cosacosp=而，

14

則cos(a-p)=cosacosP+sinasinP=而--cos(a+P)=cosacosP-sinasinp=而一而=引

105

77

又OV0VaV全

______________D___4___________

-

則sizi(a-S)=y/1—cos2(a—)5)=5，sin(a+S)=-Jl—cos2{a+y?)5

3443

-X---X--O

貝Ucos2a=cos[(a+P)+(a-P)]=cos(a+P)cos(a-0)-sin(a+0)sin(a-0)二5555

故選：A.

二.多選題(共3小題)

(多選)9.(2024秋?涪城區(qū)校級期末)下列說法正確的是()

A.從容量為N的總體中抽取一個容量為〃的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機數(shù)法和按比例分層隨機

抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為pi,p2,p3則pi=02=p3

B.若P(48)=1P(Z)P⑻=］則事件A與事件B相互獨立

C.一個人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件

D.若P(A)=0.3,P(B)=0.4,且事件A與事件2相互獨立，則尸(AUB)=0.58

【解答】解：對于選項A,由簡單隨機抽樣的性質(zhì)，可知pi=02=p3,故選項A正確；

對于選項B,P(4)P(B)=(1-PQ_4))P(B)=(l-^7)x11=1i=P(AB),

故選項B正確；

對于選項C,設(shè)事件A=｛兩次均為中｝=｛中槍次數(shù)為0｝、事件8=｛至多中一次｝=｛中槍的次數(shù)為

0,1),

由則事件B包含事件A,故選項C錯誤；

對于選項。，由SUB=4B+4看+IB,貝IJPC4UB)=PQ4B)+P(4亙)+P(彳B),

因為事件A與事件B相互獨立，

所以PQ4UB)=P(A)P(B)+PQ4)P(萬)+P(Z)P(B)=0.3X04+0.3義(1-0.4)+(1-0.3)X0.4

=0.58,故選項。正確.

故選：ABD.

（多選）10.（2024秋?承德期末）已知正三棱錐尸-ABC外接球的表面積為36m則下列結(jié)論正確

的是（）

A.正三棱錐P-ABC外接球的體積為36n

B.當(dāng)AB=3百時，點尸到底面ABC的距離為2

C.若滿足條件的正三棱錐P-ABC存在兩個，則0<AB<3次

D.正三棱錐尸-4BC體積的最大值為8Vl

【解答】解：設(shè)正三棱錐尸-ABC外接球的球心為。，半徑為R,由4TTR2=367T,得R=3,

所以正三棱錐P-ABC外接球的體積為&=36兀，A正確；

設(shè)AB=a,點P到底面ABC的距離為尸￡>=〃，如圖，

則△ABC外接圓的半徑CD=|x字a=*a,

球心0到平面ABC的距離為OD=\h-R\,

R1

由—R/+a）2=R2,得F—6h+小=0,

當(dāng)a=3代時，必一60+9=0,得力=3,5錯誤；

若滿足條件的正三棱錐P-A3C有兩個，則方程公—6%+/a2=0有兩個正解歷，h2

4

2

-a>O

3

解得0Va<3百，C正確;

1

-

3

1199

由F—6/i+Qa?=o,得—d——h+6/t,

33

,…八,,1V3ny/3Q

則正三棱錐P-ABC的體積為§x—ah=-h(—n9+6/i)=—(—h3+6/i92),

設(shè)函數(shù)f(h)=字(_八3+6九2),則因㈤=與(_3h2+12/1),

得了(刀)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，所以f(h)max=f(4)=8/，。正確.

故選：ACD.

（多選）11.（2023春?瀘縣校級期末）如圖，平面四邊形ABCD是由正方形AECD和直角三角形

BCE組成的直角梯形，AO=1,乙CBE=%現(xiàn)將Rt"C。沿斜邊AC翻折成△AC￡）i（必不在平

面ABC內(nèi)），若P為BC的中點，則在Rt^AC。翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）

B.三棱錐C-BD1E體積的最大值為一

12

C.若A,C,E,力都在同一球面上，則該球的表面積是2n

7171

D.直線AG與EP所成角的取值范圍為（一，一）

63

【解答】解：對于A選項：由AZ）_LC。，則A￡h_LC￡>i,

當(dāng)ADi_L。出時，S.D\B<AB,此時滿足A￡h_L平面BCD,因此ADi_LBC,故A錯誤；

對于8,取AC的中點O,連接。￡,OD\,

則。E=。必=。2=。。=孝，且O￡h_LAC,

因為匕?-80送=-BCEf

當(dāng)平面ACQi_L平面ABC時，三棱錐C-BDxE體積的最大值，

在RtZXBCE中，上CBE=之,CE=1,則BE=百，

O

此時%_BD[E=//[-BCE=2X2X1X>J3X半=今，

所以三棱錐C-BD1E體積的最大值為亞，故2正確；

12

對于C,因為。E=0D[=。4=。。=孝，

V2

所以A,C,E,都在同一球面上，且球的半徑為一，

2

所以該球的表面積是47rx（乎）2=2兀，故C正確；

對于作AM〃EP,

因為尸為BC的中點，所有￡尸=1,—=—=所以2“=失”=BM,

AMABBM3

所以N8AM=/4?C=30°,所以/MAC=15°,AG可以看成以AC為軸線，以45°為平面角

的圓錐的母線，

所以AC與AD1夾角為45°,AC與4M夾角為15°,

又￡>1不在平面A8C內(nèi)，60°=45°+15°,30°=45°-15°,

所以AO1與AM所成角的取值范圍（卷芻，所以。正確,

故選：BCD.

三.填空題（共3小題）

12.（2024秋?天津期末）復(fù)數(shù)z=f1-2i（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為-

【解答】解：2=若-2"吊咪揶一2”>

則z的虛部為-

故答案為：-

13.（2024秋?白城校級期末）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：

6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到

3

的三個球都是黑球的概率為0.05；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為-.

------------15-

【解答】解：設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5”，4%6n,所以總數(shù)為15〃，

所以甲盒中黑球個數(shù)為40%X5〃=2〃，白球個數(shù)為3”；

乙盒中黑球個數(shù)為25%義4〃="，白球個數(shù)為3”；

丙盒中黑球個數(shù)為50%X6"=3w,白球個數(shù)為3”；

記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A,

所以，P（A）=0.4X0.25X0.5=0.05；

記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件B,

黑球總共有2n+n+3n^6n個，白球共有9n個，

所以，「伊）=舞4

3

故答案為：0.05；

14.（2024秋?裕安區(qū)校級期末）如圖，正方體ABCO-AIBICLDI的棱長為2,E是側(cè)棱AA1的中點，

則平面B1CE截正方體48C。-AIBCLDI所得的截面圖形的周長是3V2+275

DC

【解答】解：根據(jù)題意，連接與5A的延長線交于點R連接C尸與AD交于點G,

1

如圖：AE=*BBi,S.AE//BB1,

為8尸的中點，則G為的中點，

故截面為梯形B1CGE,

其中8iC==2魚，EG=vm=V2,CG=BiE=vm=近，

則梯形BiCGE的周長為3V2+2V5,即所得的截面圖形的周長是3a+2曲.

故答案為：3V2+2V5.

四.解答題（共5小題）

15.（2024秋?資中縣校級期末）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C,所對的邊分別為a,b,c,且bs譏竽=

asinB.

（1）求角A;

（2）若銳角△ABC外接圓的半徑為百，求2c-6的取值范圍.

【解答】解：（1）在三角形中，A+8+C=n,因為加譏竽=as譏8,

所以6s譏弓—務(wù)=asinB,即6cos微=asinB,

_A

則由正弦定理可得sinBcoS]=sinAsinB,而siaBWO,

A

銳角三角形中，cos0,

AAAA1A71

所以cos2=2si?12cos2=sin2=即5=~,

所以a=/

abc

⑵由正弦定理得布=2R=2A/3,

sinBsinC

所以b=ZWsinB,c=ZWsinC,

故2c—b=4y/3sinC—2yj3sinB=2V3(2sinC-sinB),

又A+B+C=TC,所以8=-CG(0/*)，CG(0/3),

一"7171

解得二<c<-,

62

所以2c—b=2yj3[2sinC—sin(冬—C)]=2V3(|sinC-雪cosC)=6sin(C—1)，

又CE(1，*),所以C—看e(0,亨),所以s譏(C-，)€(0,，),

所以2c-匕的取值范圍為(0,3V3).

16.(2017秋?石家莊期末)已知函數(shù)/(x)=V3cos2G)x+sina)xcosu)x—(o)>0)的最小正周期為

TT.

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若/(X)>乎，求X取值的集合.

【解答】解：(I)*?*/(%)=y/3cos2a)x+sinooxcosoox一停=字(1+cos2a)x)+^sin2a)x—苧

=號cos2oox+*sin2oox=sin(2oox+號)，

因為周期為發(fā)jm所以3=1,故/(%)=s譏(2%+號).

7TTC37rTC77r

由一+2k?i<2%+—<—+2kn,kEZ得一kyi<x<—+kn,kEZ,

232f1212

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[金+kn,+krr],kEZ.

(II)即si?i(2%+芻

jl7T37r

由正弦函數(shù)得性質(zhì)得一+2kn<2x+—<一+2kn,kEZ,

434

解得一甲7+2/CTTV2%+2/C7T,所以一刁了+k7iVxV虧+k?i,kEZ,

則x取值的集合為｛久I—若+/otVxV招+k?r,kGZ).

17.(2024秋?葫蘆島期末)在△ABC中，A(-2,3),8(2,7),C(-6,-5),G是重心,

直線EF過點G,交BA于點、E,交8c于點孔

(1)求|雨;

——>—?—>

(2)若BE=4Ba,BF=)1BC,入，u為正實數(shù)，求2入+8四的最小值.

—>—>

【解答】解：(1)根據(jù)題意：BA=(-4,-4),BC=(-8,-12),

由G是△ABC的重心，

可得BG=可｛BA+BC)=(-4,—^-),

t70

所以|BG|=罷；

—>T—>T

(2)由BE=ABA,BF=“BC,

-?-1->-?1—>

可得B4==-BE,BC=-BF,

A〃

->1->->[1—>1―>1―>1—>

所以BG=@[BA+BC)=@(1BE+—BF)=BE+BF,

11

因為E,F,G三點共線，所以+丁=1，

3A3〃

則2“+8乩=(2,+8〃)(或++)=學(xué)+嗡+朗2學(xué)+2^—=6,

當(dāng)且僅當(dāng)8搟u=一2a，即入=1,〃i時等號成立，

所以2入+8日的最小值為6.

18.(2024秋?內(nèi)江期末)在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，“鱉膈”是指4個面都是直角三角

形的四面體.如圖，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AELCD,且。E=AE=AB=2.現(xiàn)將△AOE

沿AE翻折，使四面體ZMCE為一個鱉膈，并得到四棱錐。-A8CE.

ABAB

(I)設(shè)廠為即的中點，求證：〃平面BCD；

(II)求證：。_1平面4。￡

【解答】(I)證明：取。C的中點M,連接FM,BM,

AB