三角形的證明易錯必刷題型專訓(xùn)（24個考點72題）

隔易錯必刷題型

凰【易錯必刷一等腰三角形的相關(guān)概念】

1.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）等腰三角形的一個外角是80。，則頂角是（）

A.20°B.80°C.100°或20°D.100°

【答案】D

【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的定義，根據(jù)三角形外角定義即可求解相鄰的內(nèi)角為

100°,即可得到答案.

【詳解】解：???等腰三角形的一個外角是80。，

???相鄰的內(nèi)角為100°,

???頂角是100°,

故選：D.

2.（24-25八年級上?黑龍江綏化?期末）已知等腰三角形的周長是12,且各邊長都為整數(shù)，則各邊的長可能

是（）

A.1,1,10B.2,2,8C.3,3,6D.5,5,2

【答案】D

【分析】本題主要考查了能夠組成三角形三邊之間的關(guān)系，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊.可得出正確答案.

【詳解】解：A.1+K10,不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意；

B.2+2<8,不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意；

C.3+3=6,不能構(gòu)成三角形，故該選項不符合題意；

D.5+2<5<5-2,滿足三角形三邊關(guān)系，故該選項符合題意；

故選：D.

3.（24-25八年級上?山西朔州?期末）已知等腰三角形的腰長為4,一個內(nèi)角的度數(shù)為a,若該等腰三角形

可以唯一確定，則a滿足的條件是.

【答案】0°<a<180°或0°<々<90°

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理

即可求解.

【詳解】解：當(dāng)e為頂角，則打的取值范圍為0°<a<180。；

當(dāng)。為底角，則。的取值范圍為0°<a<90。；

故答案為：0。<（/<180?；?。<<<90。.

口【易錯必刷二等腰三角形的性質(zhì)】

4.（24-25八年級上?山西晉城?期末）如圖，在△NBC中，AB=AC,4D是邊3c上的中線，點、E,廠分別

為和上的動點，連接CE,EF.若48=5,BC=6,則CE+EF的最小值為（）

【答案】B

【分析】此題主要考了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的理解和掌握，能求出CE+E/24.8是解此題的關(guān)鍵.題

目具有一定的代表性，是一道比較好的題目.過C作（加，用于根據(jù)三線合一定理求出2。的長和

/O23C,根據(jù)勾股定理求出/D,根據(jù)三角形面積公式求出CM,根據(jù)兩點之間線段最短，且垂線段最短,

得出CE+E尸"8,即可得出答案.

【詳解】解：過C作也1擊于“，

BD=DC=3>,ADJ.BC,

在中，由勾股定理得：疹，=4,

SA,?r=—2xBC2xAD=—xABxCM,

???兩點之間線段最短，且垂線段最短，

:當(dāng)E、尸在CAZ上時，CE+EF的最小,

.?.CE+昉的最小值為4.8,

故選：B.

5.(24-25八年級上?甘肅張掖?期末)如圖，在ZUBC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線.以點8為圓心,

5D長為半徑畫弧，與AB交于點E,連接DE.

(1)求證：AABD咨LACD；

(2)若NB=50。，求N4DE的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZADE=25°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識點，熟練

掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中點的性質(zhì)得到8。=。，根據(jù)全等三角形的判定定理得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到NADE=N3EA=65。，得到求得

ZADB=90°,進(jìn)而即可得解.

【詳解】(1)證明：為8C邊上的中線

BD=CD,

在△%瓦)與中，

AB=AC

<AD=AD,

BD=CD

.-.AJBD^AACD(SSS)；

(2)解：BD=BE,

NBDE=/BED=|x(180°-50°)=65°,

vAB=AC,4D為2c邊上的中線，

AD±BC,

ZADB=90°,

/ADE=ZADB-NBDE=90°-65°=25°.

6.(24-25八年級上?天津?期末)如圖，△/BC中，。是邊48上一點，E是邊4C的中點，作C/〃交。E

的延長線于點色

⑴求證：E為。尸中點；

Q）若NB=NACB,CE=6,CF=8,求BD的長.

【答案】（1）見解析

（2）4

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析

是解題的關(guān)鍵.

（1）先利用線段中點的定義可得：AE=EC,再利用平行線的性質(zhì)可得N/=N/C尸，ZADF=ZDFC,

然后利用（AAS）證明從而利用全等三角形的性質(zhì)可得。E=￡產(chǎn)，即可解答；

（2）先利用線段中點的定義可得：AC=12,再利用等角對等邊可得：AB=AC=\2,然后利用全等三角

形的性質(zhì)可得：CF=AD=8,從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】（1）證明：???￡是邊NC的中點，

AE=EC,

???AD//CF,

ZA=ZACF,ZADF=ZDFC,

:."DE知CFE（AAS'）,

DE=EF,

:.E為DF中點.

（2）解：是邊/C的中點，CE=6,

AC=2CE=12,

ZB=NACB,

AB=AC=12,

AADE^△CFE,

CF=AD=8,

:.BD=AB-AD=12-8=4.

國【易錯必刷三等腰三角形的判定】

7.（2024八年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，△/BC是等邊三角形，點。、E、尸在△ABC內(nèi)部，點。在NE

上，點E在8尸上，點尸在C。上，且NA4E:NC2/：N/C￡>=1:2:3,則SE尸的形狀是（）

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，

根據(jù)題意設(shè)NR4E=x,貝IUC班"=2x,ZACD=3x,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,進(jìn)而得至I]NDE/=NOFE1w尸，即可求解.

【詳解】解：VZBAE:ZCBF:ZACD=1:2:3

.?.設(shè)=則NCB尸=2x,NACD=3x

???△48C是等邊三角形，

ZBAC=/ABC=ZACB=60°,

ZFBC=AABC-NABF=60°-2x

AFCB=ZACB-ZACD=60°-3x

ZCAD=ZCAB-NBAE=60°-x

ZDEF=ZBAE+NABE=x+60°-2x=60°-x

ZDFE=ZFBC+NFCB=2x+60°-3x=60°-x

NEDF=ZACD+ZDAC=3x+60。-x=60°+2x

?-?ZDEF=NDFE+NEDF

■■■力EF的形狀是等腰三角形.

故選：A.

8.（24-25八年級上?福建廈門?期中）如圖，若N3=72。，ZC=36°,AD平分'/BAC,則圖中共有個

等腰三角形.

A

【答案】3/=

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)題意分別求得

ZBAD,ZADB,ZDAC,進(jìn)而根據(jù)等角對等邊判斷等腰三角形，即可求解.

【詳解】解：???N3=72。，ZC=36°,

ABAC=180°-72°-36°=72°

???/。平分/氏4。，

ABAD=ADAC=36°

：.ADAC=AC=36°

■.DA=DC,即△4DC是等腰三角形，

NADB=ZDAC+ZC=72°=NB,

AB=AD,即是等腰三角形，

又ABAC=NB=72°

CA=CB,§PLABC是等腰三角形.

綜上所述，共有3個等腰三角形，

故答案為：3.

9.（24-25八年級上?廣西崇左?期末）如圖，已知直線4〃/2〃4，Rt4/BC的直角頂點C在直線4上，點B

在直線4上，點A在直線4上，4與ZC交于點。，且/B/C=25。，ABAE=25°.

（1）求證：△/皿是等腰三角形;

⑵求N3C/的度數(shù).

【答案】（1）見解析

(2)40°

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等角對等邊，三角形內(nèi)角和定理：

（1）由平行線的性質(zhì)可得NDA4=NA4￡=25。，貝|NDA4=NA4C=25。，據(jù)此可證明結(jié)論;

（2）由平行線的性質(zhì)求出//C廠的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???/2〃/3，

???ZDBA=NBAE=25°,

???ABAC=25°

???/DBA=ABAC,

DB=DA,

???△/AD是等腰三角形；

(2)解：vABAC=25°,/BAE=25。,

NCAE=ZBAE+ZCAB=50°,

?.”"，

ZACF=180°-/CAE=130。，

???/ACB=90°,

ZBCF=ZACF-ZACB=40°.

國【易錯必刷四等邊三角形的性質(zhì)】

10.（24-25八年級上?廣東深圳?期末）△0/3為等邊三角形，如圖，以。為坐標(biāo)原點，所在直線為X軸,

過。作。4的垂線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若OZ=4,則點B的坐標(biāo)為（）

A.（2,2）B.（1.V3）C.（2,-273）D.（2,2百）

【答案】D

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形是解

決問題的關(guān)鍵.過點3作于點C,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得08=04=4,OC=AC=^OA=2,進(jìn)

而得8C=2石，據(jù)此即可得出點2的坐標(biāo).

【詳解】解：過點2作于點C,如圖所示:

OB=OA=4,

VBC.LOA,

.-.OC=AC=-OA=2,

2

在Rt^OBC中，由勾股定理得：BC=[OB?一*=荷耳=2道,

???點3在第一象限，

點3的坐標(biāo)為（2,2道），

故選：D.

11.（24-25八年級上?廣東汕頭?期末）如圖，點。，E分別為等邊三角形△NBC的邊5C,/C上的點，且

CD=AE,4。與BE相交于點尸，于點。.若PE=1,尸0=2.5,則4）的長為.

【分析】先證明“BE知C4D（SAS）,得到4尸。=/24。=60。，再利用直角三角形的性質(zhì)，計算即可.

【詳解】解：?.?等邊△ABC,

AB=CA,ABAC=ZC=60°,

AC=BA

,.?</ACD=/BAE=60。,

CD=AE

.,.△ABE%CAD（SAS）,

BE=AD,/DAC=ZEBA,

vZBPQ=ZPAB+ZABP,

ABPQ=ZPAB+ZDAC=ABAC=60°,

?：BQ1AD,

；,/QBP=30。

BP=2PQ,

"0=2.5,PE=3

BP=5,

;.BE=BP+PE=6,

AD=BE=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形

的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(24-25八年級上?江西贛州?期中)如圖，△/8C和ACDE都是等邊三角形，且8、C、。三點在同一條

直線上，AC馬BE相交于點交CE于點交BE于點尸，

(1)求證：ABCEWACD

(2)連接尸C,求證：FC平分4BFD

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì):

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得44c3=NDCE=60。，BC=AC,CE=CD,可得NBCE=N/C。，即可

求證；

(2)過點C作CGJL2E、S,AD垂足分別為G,H,方法1：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得ABCE的面積

=△48的面積，從而得到CG=C〃，即可求證；方法1：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NEBC=/D4C,可

證明△3GC四從而得到CG=C〃，即可求證.

【詳解】(1)證明：???△/BC和ACDE均為等邊三角形，

AACB=ADCE=60°,BC=AC,CE=CD,

NACB+ZACE=ZDCE+ZACE,

即NBCE=NACD,

在ABCE和A/CD中，

BC=AC

<NBCE=NACD,

CE=CD

..△BCE空A/CD(SAS)；

(2)證明：過點C作CG_L8E、S,垂足分別為G,H,

方法1：?:ABCE%ACD,

:.BE=AD,ABCE的面積=2\48的面積,

■：BE=AD,

CG=CH,

:.CF平分NBFD

方法2:ABCEAACD,

ZEBC=ADAC,

???NEBC=NDAC,ZBGC=ZAHC=90°,BC=AC,:.ABGC知AHC(AAS),

CG=CH,

：.FC平分ZBFD.

國【易錯必刷五等邊三角形的判定】

13.（24-25八年級上?福建廈門?期中）如圖，△4BC中，。為/C邊上一點，EZ）的延長線交5c的延長線于

F,EFLAB,CD=3且N尸=30。.求證：△4BC是等邊三角形.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)等等.先根據(jù)等邊對等角和三角形外角的

性質(zhì)證明/C。尸=/尸=30。，ZACB=60°,再由垂線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出—8=60。，由此即可

證明a/BC是等邊三角形.

【詳解】證明：???CD=CF,

:.NCDF=NF=3Q°,

???NACB=ZCDF+ZF=60°,

???EFLAB,

ZF+ZB=90°,

23=60。，

???ZACB=60°,

△ABC是等邊三角形.

14.（24-25八年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，在RtZi/BC中，ZACB=90°,44=30。，BC=1,AB=2.將

三角板中30。角的頂點。放在AB邊上移動，使這個30。角的兩邊分別與△48C的邊/C、8C相交于點E、

F,且使?！晔冀K與垂直.

(1)求證：尸是等邊三角形；

(2)求40—C尸的值.

【答案】(1)見解析

(2)AD-CF=1

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些

性質(zhì).

(1)由石ZEDF=30°,得到NFZ才=60。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出—3和/瓦口，即可求解;

(2)根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得/5=25。=2,根據(jù)△5。尸是等邊三角形可得

BD=BF=\-CF,最后根據(jù)線段的和差即可求解.

【詳解】(1)證明：???￡O_L/8,/EDF=32。，

ZFDB=90°-30°=60°,

?.?NZ=30。，ZACB=90°,

AB=90°—N4=90?！?0。=60°,

/BFD=180?！?0°-60°=60°,

:./BFD=/B=/BDF,

:.ABDF是等邊三角形，

(2)解：丁/\BDF是等邊三角形，

：.BD=BF=\-CF,

/.AD=AB-BD=2-(\-CF)=\+CF,

AD—CF=1.

15.(24-25八年級上?浙江杭州?期末)如圖，在四邊形/BCD中，AB=AD=2,BC=DC=4i.

D

（1）求證：AABC注AADC.

⑵當(dāng)N8C4=45。時，求證是等邊三角形.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等邊三角形的判定等：

（1）根據(jù)全等三角形的判定即可證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到乙8<%=/。。4,再利用勾股定理求出8。，利用等邊三角形的判定即可證

明.

【詳解】解：（1）因為在△48C和△/DC中，

AB=AD,BC=DC,AC=AC.

所以A/3C0"OC（SSS）

（2）因為所以aBC4=ZDC4=45。，

所以/SCO=90°,所以BD=y/BC2+CD2=’（血『,

所以48=40=80,所以為等邊三角形，所以4840=60。.

昌【易錯必刷六等腰三角形的存在性問題】

16.（24-25八年級上?黑龍江哈爾濱?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點4的坐標(biāo)為（1,1）,在x軸上確定點尸,

使A”。尸為等腰三角形，則符合條件的點P有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對線段。4在等腰三角形中的地位，分類討

論用兩圓一線的方式，找與x軸的交點即可得到答案.

【詳解】解：分二種情況進(jìn)行討論：如圖，

①當(dāng)a為等腰三角形的腰時，以。為圓心。4為半徑的圓弧與x軸有兩個交點，即片和以/為圓心/。

為半徑的圓弧與x軸有一個交點A；

當(dāng)。4為等腰三角形的底時，作線段。的垂直平分線，與X軸有一個交點己.

故符合條件的點一共4個，

故選：C.

17.(24-25七年級上?山東威海?階段練習(xí))已知△NBC是等腰直角三角形，若在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，B、C

兩點的坐標(biāo)分別是(2,0),(0,0),則A點的坐標(biāo)是.

【答案】(0,2),(1,1),(2,2),(0,-2),(1,-1))2,-2)

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，利用平面直角坐標(biāo)系畫圖是解題的關(guān)鍵.利用圖形結(jié)合

等腰直角三角形的判定即可得出點A對應(yīng)的坐標(biāo).

由圖可知，A點的坐標(biāo)為(0,2),(1,1),(2,2),(0,-2),(1,-1),(2,-2),

故答案為：(0,2),(1,1),(2,2卜(0,-2),(1,-1),(2,-2).

18.(21-22八年級下?海南省直轄縣級單位?期末)如圖，直線與x軸交于點4(1,0),與了軸交于點

5(0-2).

(1)求直線N8的解析式；

(2)若直線N2上一點C在第一象限，且點。的坐標(biāo)為(。,2),求ABOC的面積；

(3)在x軸上存在點P,使得AP/3是以48為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo).

【答案】⑴了=2》-2

⑵SBOC=2

(3)尸(-1,0),尸(1+后0),P(l-V5,0)

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可解答；

(2)將點C代入直線43解析式中求出點C坐標(biāo)，再利用面積公式即可解答；

(3)根據(jù)勾股定理得/3=彳百=石，再分N3=N尸和/8=8尸兩種情況討論即可得解.

【詳解】(1)解：設(shè)直線48的解析式為歹=區(qū)+“上f0),

???直線N8過點4(1,0)、點8(0,-2),

k+b=0

b=-2

???直線AB的解析式為y=2x-2；

(2)解：2)在直線上,

???2=2。-2,

解得：a=2,

.-.C(2,2),

SABOC~20B-xc=1x2x2=2,

故ASOC的面積為2；

(3)解：?”(1,0),5(0,-2),

???AB=df+22=#＞，

設(shè)點尸坐標(biāo)為(加，0)

是以48為腰的等腰三角形，且點P在x軸上，

；?①當(dāng)48="尸=時，即|1—=,

■■m=\+s/5，

■?'P(llV5,0)或尸(1+6,0)；

②當(dāng)A8=8P=6時，則OP=CM=1

.?.尸(-1,0)；

綜上，點P的坐標(biāo)為P(TO),^(1+75,0),P(l-V5,0).

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，以及在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積和構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵

是準(zhǔn)確地運用坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)特征.

國【易錯必刷七尺規(guī)作等腰三角形】

19.(23-24八年級上?廣東東莞?階段練習(xí))如圖A/BC中，NB=50。，ZC=90°,尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,

不寫作法)在射線A4上找一點。，使A/C。為等腰三角形，并求N/CD的度數(shù).

【答案】作圖見解析，70?；?0?；?0。.

【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論

的思想思考問題.分三種情形分別求解即可得解.

【詳解】???Z5=50°,ZC=90°,

二.ABAC=180°-90°-50°=40°,

ZACD=ZADC=70°；

②當(dāng)CD'=切時，ZACD'=ABAC=40°；

③當(dāng)=時，/。/￡>'=180。-40°=140。，

ZACD"+ZAD"C=40°,

：.ZACD"=ZAD"C=20°

綜上，的度數(shù)為70?；?0?；?0。.

20.（23-24七年級上?湖北襄陽?期末）如圖.已知一個含有30。角的直角三角形，請利用它用兩種不同的方

法構(gòu)造一個含45。角的直角三角形.（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖軌跡）

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

①在G4上截取C0=C3,△3CD即為含45。角的直角三角形，②延長C3,并在上截取8=C4,

ANCD即為含45。角的直角三角形.

【詳解】解：①△38為含45。角的直角三角形，

A

①A4CD為含45。角的直角三角形.

21.（21-22七年級下?全國?單元測試）畫一個等腰△/2C,使底邊長3c=",底邊上的高為訪（要求：用尺

規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出已知，求作，不寫作法和證明）.

已知：線段。，線段九

求作：等腰△NBC,使底邊長3C=a,底邊上的高為〃.

,h:

【答案】見解析

【分析】分別以3、C為圓心，大于;3C為半徑畫弧，分別相交，作出2C的垂直平分線，再以。為圓心〃

長為半徑畫弧，交垂直平分線于點力,連接/民NC即可.

【詳解】解：如圖，△NBC即為所求.

【點睛】本題考查了畫線段的垂直平分線、在直線上截取線段、等腰三角形的性質(zhì).

g【易錯必刷八等腰三角形的常見證明題】

22.(24-25八年級上?河南周口?階段練習(xí))如圖，在△/BC中，。是/C邊的中點，點E在5c的延長線上,

的延長線交于點尸，且EF_L48,若24與Z/CE互補，AE=30°.

(1)求證：a/BC是等邊三角形.

(2)請判斷線段ND與CE的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵AD=CE,見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟記等邊三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出23=60。，再求出43=C3,根據(jù)“有一個角是60。的等腰三角形是等邊三

角形”即可得解；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求出NC￡>￡=3()O=NE,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得

解.

【詳解】(1)證明：_L48,

NBFE=90°,

ZB+ZE=9Q°.

NE=30°,

ZB=60°.

ZACB+ZACE=180°,ZA+ZACE=180°,

ZA=ZACB,

AB=CB,

:.AABC是等邊三角形.

(2)解：AD=CE.

理由：由(1)得△NBC是等邊三角形，

//=60°.

ZAFD=90°

/.ZADF=30°.

???ZCDE=ZADF,

ZCDE=30°,

ZE=ZCDE,

CE=CD.

???。是4。邊的中點，

AD=CD.

AD=CE.

23.(23-24八年級上?湖南永州?期中)如圖，將兩個含30。角的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊

三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一

半.利用上述結(jié)論解答下列問題：

⑴在直角“BC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,若3c=2,則48=；

(2)在直角UBC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,若。是的中點，連接CD,求證：CD=^AB.

【答案】(1)4

(2)見解析

【分析】本題考查含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)：

(1)直接利用結(jié)論進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)結(jié)論得到=進(jìn)而推出△3CD為等邊三角形，得到CD=8C,即可得證.

【詳解】(1)解：?.?//以=90。,4/。=30。，BC=2,

：.AB=2BC=4；

故答案為：4.

(2)ZACB=90°,ABAC=30°,

.-.AB=6Q°,BC=-AB,

2

??Z＞是的中點，

BD=-AB=BC,

2

△BCD為等邊三角形，

CD=BC,

.-.CD=-AB.

2

24.(24-25八年級上?天津?期末)在ZUBC中，AB=6,48=60。，點”在射線8c上，連接,并以

為邊在射線2C上方，?右側(cè)作等邊A/MV,連接CN.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當(dāng)/B/M=30。時，5M的長為；

(2)如圖②，若AB=BC,當(dāng)點M在線段2C上時，BV與CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

(3)如圖③，若4B=BC,當(dāng)NCW=90。時，求線段CW的長.

【答案】⑴3

⑵BM=CN；理由見解析

⑶6

【分析】本題考查了30。直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，三角形的外角，熟練

掌握是解答本題的關(guān)鍵.

(1)利用三角形的內(nèi)角和可知乙必分=90。，再根據(jù)30。角所對的邊是斜邊的一半即可解答；

(2)根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形得到△42C為等邊三角形，手拉手模型可得

△ABM咨N4CN,即可證明；

(3)根據(jù)題干易知=30。，根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形得到△/2C為等邊三角形,

利用外角可知/MAC=AAMC,即可求解線段CM的長.

【詳解】(1)解：在中，ZBAM=30°,ZB=60。，

ZB+ZBAM+ZAMB=180°,

1.ZAMB=180。一NB—ZBAM=180。一60°一30°=90°,

又AB=6,

BM=-AB=-x6=3,

22

故答案為：3；

(2)解：BM=CN,理由如下：

?；AB=BC,NB=60。,

.??△/BC為等邊三角形，

ZBAC=60°fAB=AC,

?.?△4W為等邊三角形，

ZMAN=60°,AM=AN,

ABAC=AMAN,

ABAC-ZMAC=AMAN-ZMAC,

即/BAM=/CAN,

在△/即/和△NCN中，

AB=AC

???<ABAM=ZCAN,

AM=AN

△■修△/CN(SAS),

/.BM=CN；

(3)解：???△ZMV為等邊三角形,,

ZAMN=60°,

??,/CMN=90。,ZCMN=ZAMC+ZAMN,

ZAMC=ZCMN-ZAMN=90°-60°=30°,

?；AB=BC,ZB=60°,

ZUBC為等邊三角形，

ZBCA=60°,AB=AC=6,

???NBCA=ZAMC+AMAC,

ZMAC=ZBCA-ZAMC=60°-30°=30°,

丁./MAC=ZAMC,

MC=AC=6.

心【易錯必刷九含30。角的直角三角形】

25.（24-25八年級上?四川瀘州?期末）如圖，李明同學(xué)想測量瀘州白塔的高度，他在/處測得

ZCAD=15°,再往前行進(jìn)60m到達(dá)8處，此時測得NC3D=30。，點）,B,。在同一條直線上，請根據(jù)測得

的數(shù)據(jù)，求瀘州白塔8的高度.

【答案】30m

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊，含30。直角三角形的性質(zhì)，

先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出/C48=//C8=15。，進(jìn)而得出再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得

CD=^BC,即可得出答案.

【詳解】解：???NCBQ=30。是△45。的外角，NC4O=15。，

???AACB+NACD=ZCBD,

即NCAB=/ACB=15。,

AB=BC=60m.

件RtABCD中，CD=-5C=-x60=30m.

22

所以瀘州白塔的高度是30m.

26.（24-25八年級上?廣東東莞?期末）已知AABC中，N/C3的平分線交42于點。，DE//BC,

（2）如圖2,若。E平分/4DC,在BC邊上取點尸，使/D尸。=60。，若BC=7,BF=2,求。尸的長.

【答案】⑴2.5cm

(2)3

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)可得即=KC,根據(jù)中點的定義可得EC=2.5cm,根據(jù)

等邊對等角的性質(zhì)即可求解；

(2)如圖所示，作DG1BC于點G,可得。2=。。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

GB=；BC=%=35,在RtZkOG/中，可得NFDG=30°,由。尸=2G廠=2x1.5=3,即可求解.

【詳解】(1)解：VDC平分ZACB,

ZBCD=ZACD,

DE//BC,

ZEDC=ZBCD,

ZEDC=ZACD,

ED=EC,

???點E是邊AC的中點，AC=5cm,

EC=2.5cm,

DE=2.5cm；

(2)解：如圖所示，作DG1BC于點G,

-DE//BC,

/ADE=/B,ZEDC=ZDCB,

???/ADE=ZEDC,

??./B=ZDCB,

DB=DC,

\DB=DC,DGLBC,

.\GB=-BC=-x7=3.5,

22

:.GF=GB-BF=3.5—2=\5,

???在RtaDG廠中，ZDFG=60°,

ZFDG=30°,

:.DF=2GF=2xl.5=3.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形

的性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（24-25八年級上?河南信陽?期中）如圖，把一張長方形紙片N2C。沿對角線AD折疊，使C點落在

且5c與AD交于￡點.

（1）試判斷重疊部分三角形2即的形狀，并證明你的結(jié)論；

Q）若BE平分/ABD,AB=3,求3。的長.

【答案】（1）A2EZ）是等腰三角形，證明見解析；

（2）6.

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出=得至=貝U是等腰三角形；

（2）由角平分線的定義得到=則可推出=30。，再由含30

度角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）解：人3助是等腰三角形，證明如下：

AD//BC,

/.NEDB=ZDBC,

由折疊的性質(zhì)可得NE8D=ADBC,

：.ZEDB=ZEBD,

EB=ED,

是等腰三角形；

（2）解：平分—4BO,

NABE=ZEBD,

NEBD=ZDBC,ZABC=90°,

NABE=NEBD=NCBD=ZADB=30°,

在中，AB=3,ZA=90°,ZADB=30°,

BD=2AB=6.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等角對等邊，角平分線的定義，平

行線的性質(zhì)等等，熟知折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

以【易錯必刷十直角三角形的兩個銳角互余】

28.（24-25八年級上?遼寧鐵嶺?期末）如圖，點。在8C的延長線上，DE于點、E,交/C于點尸.若

4=35°,ZD=15°,則//C8的度數(shù)為（）

A.65°B.70°C.75°D.85°

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)題意。E//8,則

ZAFE=ZCFD=55°,tg?ZACB=ZD+ZCFD,即可求解.

【詳解】解：；84=35°

ZAFE=ZCFD=55°,

ZACB=ZD+ZCFD=150+55°=70°.

故選：B.

29.（2025?浙江寧波?一模）如圖，長方形ABC。沿ZE折疊，使點。落在2C邊上的點尸處.如果

NAEF=NEFC=

55°/55度

【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握以上知

識點.

先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/BAD=90°,進(jìn)而根據(jù)角的運算得到ZDAF=35°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

AADE^AAFE,根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到NDAE=NEAF=g/D4F=17.5°,從而結(jié)合題意進(jìn)行角的運

算即可求解.

【詳解】解：???四邊形是長方形,

ABAD=90°,

???ZBAF=55°,

ZDAF=ABAD-ZBAF=35°,

由折疊得△4DE名AAFE，

ZDAE=ZEAF=-ZDAF=17.5°；

2

X'.-ZD=ZB=90°,

NAED=900-NDAE=72.5°=ZAEF,ZBFA=900-NBAF=35°,

ZEFC=180°-AAFB-90°=55°.

故答案為：17.5。，72.5°,55°.

30.（19-20七年級下?江蘇泰州?期中）如圖，在△48C中，/￡為邊5c上的高，點。為邊BC上的一點，連

結(jié)4D.

(1)當(dāng)AD為8c上的中線時，若/E=4,△ABC的面積為24,求C。的長；

(2)當(dāng)AD為ZBAC的平分線時.

①若/8=35。，NC=65。，求NTUE的度數(shù)；

②若NC-N3=20。，貝°,

【答案】⑴6

⑵①15。；②10

【分析】本題考查三角形的角平分線與三角形內(nèi)角和定理，三角形的中線與高等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握基本知識，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用三角形的面積公式求出BC的長，再根據(jù)中線的性質(zhì)即可解決問題；

(2)①根據(jù)三角形內(nèi)角和求出和N3/C的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得/34D的度數(shù)，從而求解;

②根據(jù)三角形內(nèi)角和可求出/B/C=180。-然后根據(jù)角平分線的定義求得

/BAD=gNBAC=g(180。-NB-NC),從而求解.

【詳解】(1)解：因為4E為邊BC上的局，AE=4,△43C的面積為24,

所以L3CX/E=24,

2

所以8c=12.

因為4。是邊8c上的中線，

所以

2

(2)解：①因為N2=35°,ZC=65°,

所以ZB/C=180。一N2—NC=180。一35。一65°=80°.

因為/。平分/R4C,

所以ZBAD=4c=40°.

因為NE_LBC,

所以N/E3=90°,

所以ZB/E=90。一N3=55。，

所以=NBAE-NBAD=55°-40°=15°.

②因為Z8+/C+ZB/C=180。，

所以NA4C=180°-NB-NC,

因為ND平分/A4C,

所以/5/。=；/2/0=；(180。一/8-NC),

因為NEJ.BC,

所以4E5=90°,

所以N2/E=90O-NB,

所以ZDAE=NBAE-ZBAD=90°-ZS-1(180°-Z5-ZC)=1(ZC-ZS),

因為NC-/2=20。，

所以ZCME=10。.

故答案為：10°

國，【易錯必刷十一判斷三邊是否構(gòu)成直角三角形】

31.（24-25八年級上?河南南陽?期末）若A/BC的三邊長分別是。，b,c,則下列條件中不能判定△4BC

是直角三角形的個數(shù)有（）

@ZA+ZB=ZC；@a:btc=5:12:13；③N/:N2:NC=3:4:5；（4）Z>2=（a+c）（a-c）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】此題考查了勾股定理逆定理的運用，三角形內(nèi)角和定理；判斷三角形是否為直角三角形，已知三

角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數(shù)據(jù)的計算.根據(jù)直角三角形的定義，勾

股定理的逆定理一一判斷即可.

【詳解】解：@ZA+ZB=ZC,可得：NC=90。，是直角三角形；

②由a:%:c=5:12:13,可得：a2+b2=c2,是直角三角形；

③由44:48:NC=3:4:5,可得：/4=45。,/8=60。,/。=75。，不是直角三角形；

④由/=（°+祖"°）,可得：b2+c2=a2,是直角三角形；

所以不能判定是直角三角形的個數(shù)有1個，

故選：A.

32.（24-25八年級下?江蘇無錫?開學(xué)考試）由線段“、b、c組成的三角形是直角三角形的是（）

A.<7=5,6=12,c=13B.<7=6,6=12,c=15

C.<7=7,8=13,c=16D.a=8,=16,c=17

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，別計算各選項中較短的兩邊的平方和是否等于最長邊的平方，

再根據(jù)勾股定理的逆定理可得答案.

【詳解】解：A、；5?+122=132,

.■?>b、。組成的三角形是直角三角形；

B、V62+122*152,

b、。組成的三角形不是直角三角形；

C>v72+132*162,

b、c組成的三角形不是直角三角形；

D、V82+162^172,

6、。組成的三角形不是直角三角形.

故選：A.

33.（24-25八年級上?江蘇揚州?期中）觀察下列勾股數(shù)組：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；

@9,40,41；....若a,144,145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，a=.

【答案】17

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理.它們?nèi)齻€一組，都是勾股數(shù)，一組勾股數(shù)中，并且第一個都

是奇數(shù)，并且從3開始的連續(xù)奇數(shù)，每一組勾股數(shù)的第二，第三個數(shù)是連續(xù)整數(shù)，第二個數(shù)是第一個數(shù)的

平方減去一除以二.據(jù)此求解即可.

【詳解】解：①3,4,5中4=：（3?-1）；

②5,12,13中12=352-1）；

③7,24,25中24=；（72-1）；

④9,40,41中40=g（92-1）；

...144=1（a2-l）,

???a2=288+1=289,

。=17（負(fù)值己舍）.

故答案為：17.

國【易錯必刷十二網(wǎng)格中判斷直角三角形】

34.（24-25八年級上?陜西寶雞?階段練習(xí)）如圖，小正方形的邊長均為1,A、B、C是小正方形的頂點，

則的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】本題主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求BC,/C的長可判斷A/BC為等腰直角三

角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：由圖可知：AB=&+22=58C=JF+22,NC=jF+32=廂,

AB2+BC2=AC2,AB=BC,

.?.△48C為等腰直角三角形，ZABC=90°,

:.ZACB=45°.

故選：B.

35.（23-24八年級下?廣西玉林?期末）如圖，在4x4方格中作以48為一邊的改△/%,要求點C也在格點

上，這樣的RtZX/BC能作出（）

【答案】C

【分析】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵，當(dāng)42

是斜邊時有四個R1A/8C,當(dāng)AB是直角邊時有2個RtZXZBC.

【詳解】解：當(dāng)48是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：C、D、E、，四個;

當(dāng)是直角邊，/是直角頂點時，第三個頂點是尸點;

當(dāng)22是直角邊，8是直角頂點時，第三個頂點是G.

因而共有6個滿足條件的頂點.

故選C.

36.（24-25八年級上?河北保定?期末）如圖，在3x3網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,△/BC的頂點均

在網(wǎng)格的格點（網(wǎng)格線的交點）上.

A

⑴填空：AC=,AB=，BC=；

（2）A/3C是直角三角形嗎？請作出判斷，并說明理由.

【答案】（1）正，2收，V10

（2）4N5C是直角三角形，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

（1）利用勾股定理計算即可；

（2）利用勾股定理的逆定理判斷即可；

【詳解】（1）解：由網(wǎng)格得，ZC=Jr+Y=&，”=，22+2?=2夜，BC=Vl2+32=V10>

故答案為：41,2亞，Vio;

（2）解：△NBC是直角三角形，理由如下：

???AC2+AB2=（亞『+（2拒『=10,BC2=（4可=10,

■-AC2+AB2=BC2,

.?.△48C是直角三角形.

◎【易錯必刷十三用HL證明全等】

37.（24-25八年級上?吉林四平?期末）如圖，在△/BC中，。為8C的中點，DE±AB,DFJ.AC,點、E、

尸為垂足，SLDE=DF.求證：4BED會ACFD.

BDC

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)“HL”證明即可.

【詳解】證明：???DELAB,DF1AC,點￡、尸為垂足，

ABED=NCFD=90°,

“BED和ACFD均為直角三角形.

為BC的中點，

BD=CD.

在RSBED和RGCFD中,

[BD=CD

[DE=DF

RtABEDmRtACFD(HL).

38.(24-25八年級上?河南南陽?期中)如圖，已知NC=AD,ZC=ZD=90°,NC與2。相交于點E,過點

E作EF_L4B,垂足為尸.

(1)求證：AABC=ABAD；

⑵若4。=3,ZDEA=60°,求的值并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)6；理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，30。所對直角邊是斜邊的一半，三角形的外角性質(zhì)，正確掌

握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)運用HL證明之A54D,即可作答.

(2)先得NE4B=NEBA,因為NDE/是△胡3的外角，故NDEA=NEAB+NEBA=60°,則NE2/=30。,

所以/2=2/0=6.

【詳解】(1)證明：?.?NC=ND=90。，

AABC與都是直角三角形，

在RtAABC和RUBAD中,

(AB=BA

\AC=BD，

/.RtA^C^RtA^D(HL)；

(2)解：???"BC知BAD,

???/EAB=ZEBA,

???/QE4是△E45的外角，

??.ZDEA=/EAB+NEBA=60°

.?.ZEBA=30°,

vZD=90°,

/.AB-2AD-6.

39.(24-25八年級上?河南安陽?期末