暑假預(yù)習(xí)專題13幕、指數(shù)與對(duì)數(shù)

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測

過關(guān)測點(diǎn)提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

串知識(shí)?訊框架

知猊導(dǎo)圖慌理

幕與指數(shù)

幕、指數(shù)與對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)

好析教材學(xué)知訊

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)薄重點(diǎn)

1.。的“次塞

如果。是一個(gè)實(shí)數(shù)，〃是一個(gè)正整數(shù)，那么稱

a"=七紇:3為。的〃次嘉.

〃Ta

正整數(shù)指數(shù)曙的運(yùn)算性質(zhì)：

對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)a,b及正整數(shù)s,t,有

(1)asal=as+t

X

(2)a=a

(3)(ab)1=a'b1.

2.整數(shù)指數(shù)冥

a—1,

當(dāng)awO時(shí)，可以定義《或"='.(〃為正整數(shù))

這樣，可以證明對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)a、b及整數(shù)品t，上述幕的運(yùn)算性質(zhì)(1)到(3)仍然成立

3.根式

(1)一般地，如果n為大于1的整數(shù)，且x"=a,那么x叫做。的〃次方根.式子后叫做a

的n次根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)a的〃次方根

“》=布，當(dāng)〃為奇數(shù)且〃〉1吐

X=Q=〈

X=土布,當(dāng)〃為偶數(shù)且〃>1時(shí).

4.有理數(shù)指數(shù)塞

m__

正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：an=(a>0,m>〃為正整數(shù)箱>1)

上1

幕的概念負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉：a〃=<=—>0,m、〃為正整數(shù),〃>1)

_n

an7am

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事無意義

有理數(shù)指累的運(yùn)算性

alas=at+\a>0/sGQ)

質(zhì)

s

(/)=a\a>O.t.sGQ)

(ab)'=c1t(a>0,b>0/eQ)

知識(shí)點(diǎn)2幕的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)對(duì)任意給定的正數(shù)a、b及實(shí)數(shù)隊(duì)力有

asat-as+t

(相)=ast

(ab)[=a'b'

特別提醒

實(shí)數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算的注意事項(xiàng)

(1)實(shí)數(shù)指數(shù)森的運(yùn)算性質(zhì)是由有理數(shù)指數(shù)霹、整數(shù)指數(shù)森的運(yùn)算性質(zhì)推廣而來的，有理數(shù)指數(shù)霹、整數(shù)指

數(shù)氟的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于實(shí)數(shù)指數(shù)森也同樣適用.

⑵在運(yùn)算性質(zhì)中，特別要注意幕的底數(shù)是正數(shù)的規(guī)定，若改變等式成立的條件，則等式有可能不成立.

知識(shí)點(diǎn)3塞的基本不等式

定理當(dāng)a〉1,s〉0時(shí)，相>1.

管方法總結(jié)

無論給出的條件是a>l還是0<。<1,我們都可以通過倒數(shù)■進(jìn)行調(diào)整；無論給出的條件是>0

a5

還是s<0,我們都可以通過相反數(shù)進(jìn)行調(diào)整.將條件調(diào)整到底數(shù)大于1,指數(shù)大于0,進(jìn)而應(yīng)

用森的基本不等式.

知識(shí)點(diǎn)4對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的定義

在a〉O,awl,且N〉0的條件下，唯一滿足ax=N的數(shù)x,稱為N以。為底的對(duì)數(shù)，并用

符號(hào)log“N表示，而N稱為真數(shù)

*知識(shí)剖析

—

"log"的含義

對(duì)于初學(xué)對(duì)數(shù)的同學(xué)們來說，"log"這個(gè)符號(hào)似乎很難理解，但是如果將"log"類比成"J"或者”

產(chǎn)"的運(yùn)算來看，其實(shí)就不難理解.對(duì)數(shù)運(yùn)算不過是將運(yùn)算的符號(hào)寫在數(shù)字的前面，是已知一個(gè)底數(shù)和它

分母

的幕求指數(shù)的運(yùn)算.

2.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

名稱定義符號(hào)

常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)logi°N記為IgN

以無理數(shù)c(。的值約為2.71828...)

自然對(duì)數(shù)logN記為InN

為底的對(duì)數(shù)c

3.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

x

(1)只有符合a>0,G^1且N〉0這三個(gè)條件的情況下，才有a=N^x=logflN,如

(-2)4=16不可轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式.

(2)兩個(gè)式子是同一數(shù)量關(guān)系的滿種不同表現(xiàn)形式，它們互為逆運(yùn)算.

知識(shí)點(diǎn)5對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

i.兩個(gè)常用結(jié)論

(1)對(duì)數(shù)恒等式：且N〉0).

b

(2)logaa=b(a>0且awl).

2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)1：當(dāng)M>0,N>0時(shí)，logfl(MN)=logflM+logaN.

M

性質(zhì)2：當(dāng)M>0,N>0時(shí)，log.獷=log.〃—log“N.

c

性質(zhì)3：當(dāng)N〉0時(shí)，對(duì)任何給定的實(shí)數(shù)c,\ogaN=c\ogaN.

知識(shí)點(diǎn)6對(duì)數(shù)的換底|重占

i.對(duì)數(shù)換底公式

logN

當(dāng)N〉0時(shí)，logbN=產(chǎn)

log*

方法總結(jié)

（1）換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.

（2）換底公式的意義在于改變對(duì)數(shù)式的底數(shù)，把不同底數(shù)問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問題進(jìn)行化簡、計(jì)算及證明.

；（3）換底公式在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)根據(jù)已知的條件選擇適當(dāng)?shù)摹暗住?，一般換成以10或e為底的對(duì)數(shù).

;布甬癡鼠

推論1:logflb-log6a=1，即logflb=--—.

logAa

推論2:log。b?10gz,c=log。c.4相當(dāng)于"約分"

n

推論3：logmN=一logqN.f可看作運(yùn)算性質(zhì)3的推廣

°m

好練考點(diǎn)?患知識(shí)

題型一、根式的化簡求值

例1分?jǐn)?shù)指數(shù)累與根式運(yùn)算的轉(zhuǎn)化.

（1）14—________（a>0,見〃為正整數(shù)，?>1）

m]

（2）a"=_=（a>0,m,〃為正整數(shù)，?>1）.

1-1（24-25高一上?上海?期末）當(dāng)x<0時(shí)，化簡：濘+犯B+|x|=.

1-2（23-24高一上?上海?期中）化簡：把e_3『+樂-3）5=—.

1-3（24-25高一上?上海?期中）化簡：*〈=_______.

X-y/X

1-4（24-25高一上?上海浦東新?期中）當(dāng)3<。<6時(shí)，化簡場一60+9+-14〃+49=.

題型二、指數(shù)幕的運(yùn)算

例2（24-25高一上?上海?期中）設(shè)a>0,下列計(jì)算中正確的是（）

32

A，.Q?=QB.

C./?/=()D.a2+加—。

2-1（24-25高一上?上海閔行?期末）若。＞0,用有理數(shù)指數(shù)基的形式表示%=

2-2（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知3"=2,3=5,則3?所"=

80方

=

2-3（24-25高一上?上海?期中）已知。＞0/＞0,化簡式子：Aliy4±.

n2

Ia6b2JI--3abJ

2-4（24-25高一上?上海?期中）若。＞0,則可以用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示:存.蚣=

（8片爐/-6環(huán)］

2-5（24-25高一上?上海浦東新?期中）化簡：〔J

11

3屆廬

題型三、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化

7^例3（24-25高一上?上海?期中）已知。＞0,

4

（24-25高一上?上海浦東新?階段練習(xí)）若『3

5

3-2（24-25高一上?上海?開學(xué)考試）化簡：行.'『./二.

\a2_

（其中a>0,6>0）

3-3（23-24高一上?上海閔行?期末）用有理數(shù)指數(shù)幕的形式表示瓦=

題型四、指數(shù)幕的化簡、求值

a3+,。-3

/例4（24-25高一上?上海?期中）已知a+/=3,則

a2+a-7

2211

4T（24-25高一上?上海?期中）已知Q+”=5（x＞0），那么盧+x1等于_____-

4-2（24-25高一上?廣西玉林?開學(xué)考試）己知0+/=6,貝U/一機(jī)/！的值為.

4-3（25-26高一上?上海?單元測試）已知x=L+尸，化簡辦2一2。++36=

題型五、對(duì)數(shù)的概念判斷與求值

7）例5（22-23高一上?上海?期中）若1g。=-3.1476,則關(guān)于1g。的首數(shù)與尾數(shù)的敘述中正確的是（）

A.首數(shù)為-3,尾數(shù)為0.1476B.首數(shù)為-3,尾數(shù)為0.8524

C.首數(shù)為-4,尾數(shù)為0.8524D.首數(shù)為-4,尾數(shù)為0.1476

5-1（22-23高一上?上海松江?期中）對(duì)數(shù)log.6中的實(shí)數(shù)。的取值范圍與下列哪個(gè)不等式的解相同（）

A.a>0B.—^-<0C.a（a-l）>0D.磯">>0

d~\u—1

5-2（24-25高一上?上海?期中）關(guān)于x的方程3、=2嚙5的解集為.

5-3（23-24高一上?上海奉賢?期中）對(duì)數(shù)式bg2（l-3x）中x的取值范圍為.

5-4（22-23高一上?上海浦東新?期中）若Iog3[bg5（bg2x）]=0,則》=.

題型六、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

例6（24-25高一上?上海?期中）指數(shù)式2"=6化成對(duì)數(shù)式為.

6-1（24-25高一上?上海?期中）已知log?3=2,則實(shí)數(shù)a=.

6-2將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：

（1）log?64=6,指數(shù)式為；

（2）log^3=2,指數(shù)式為；

3

（3）對(duì)數(shù)式為；

（4）ex=9,對(duì)數(shù)式為.

題型七、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

7/[/例7若logd,log/是方程2/-4x+l=0的兩個(gè)實(shí)根，則成的值等于（）

A.2B.1C.100D.V10

7-1（24-25高一上?上海長寧?期末）已知Ig5=a,lg7=b,則用a,6表示log249為_____.

7-2（24-25高一上?上海?期中）己知lg2=a,lg3=6,用表示瞿

Igl5

7-3計(jì)算下列各式：

（1）43+log45；

（2）3嗨2+i；

⑶logsG-lgVHi+eH

題型八、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

、^例8已知仍wl,bg〃=2,log“〃=5,則log“〃=（）

11710

A.—B.-C.—D.—

107107

8-1標(biāo)準(zhǔn)的圍棋盤共19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有產(chǎn)種不

同的情況；而我國北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個(gè)問題，他分析得出一局圍棋不

同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即1000（）52,下列數(shù)據(jù)最接近上^的是（）（參考數(shù)據(jù)：1g3a0.477）

1000052

A.10-34B.IO。c.IO'D.ICT"

8-2（24-25高一上?上海奉賢?期中）數(shù)學(xué)上將形如2。-1⑦為素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，試估計(jì)“梅森

素?cái)?shù)”2加7-1的位數(shù)為（）.

A.607B.608C.609D.610

8-3（24-25高一上?上海?期中）設(shè)°是不等于1的正數(shù)，M,N是任意給定的正數(shù)，c是任意給定的實(shí)數(shù),

則下列性質(zhì)中錯(cuò)誤的是（）

M

A.loga=1B.log—=logM-log7V

aNaa

c

C.logaM=clogaMD.loga（ACV）=logaM-loga7V

M

8-4（24-25高一上?上海?期中）"In一成立”是“InM-lWV成立”的（）條件.

N

A.充分非必要B.必要非充分C.既非充分也非必要D.充要

8-5（24-25高一上?上海?期中）已知1崛27=°,用。的代數(shù)式表示log,2=.

題型九、運(yùn)用換底公式化簡計(jì)算

例9（24-25高一上?上海閔行?期中）已知2"=3〃=5,則_____

ab

9-1（24-25高一上?上海徐匯?期末）已知Ig2=a,lg3=6,則用a力表示logfZS=.

9-2（24-25高一上?上海?期中）設(shè)口,4是方程國龍-Igx-3=0的兩根，則log.尸+bg〃a=.

9-3（24-25高一上?上海?期中）已知e是自然對(duì)數(shù)的底，求值：（lnl000）x（lg&）=.

9-4（23-24高一上?上海浦東新?期中）若方程恒晨-2巾-2=0的兩個(gè)解為為，%,求log代+1%%的值為

9-5（24-25高一上?上海?期中）若log23=a,則/咕據(jù)用〃來表示是.

題型十、運(yùn)用換底公式證明恒等式

/例10（24-25高一上,上海?單元測試）已知.、b、c為正實(shí)數(shù)，且°、b、c均不等于1,

⑴求證：bg06?log；,c,log。。=1;

⑵設(shè)q,a2,???,@為正實(shí)數(shù)且。尸1（此1且ieN）,請(qǐng)把（1）中結(jié)論進(jìn)行推廣，并證明.

10-1已知在△4BC中，ZC=90°,角4B,C所對(duì)應(yīng)的三條邊長分別為a,b,c.求證：

bg（“°）a+log-。=2log（6+c）a-log（c_4）a.

10-2已知2$"=53〃=l（）2c,求證：—+^-=—.

5a3b2c

10-3（23-24高一上?上海青浦?期中）已知服b、c為正實(shí)數(shù)，3“=4'=60（""0）

71o

⑴若3“=4"=6。（必"0）,求證：+；=±；

abc

（2）若2+；=2,不等式蘇+04如，對(duì)任意實(shí)數(shù)以6c均成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

abcc

@過關(guān)測?德提升

A組夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（24-25高一上?上海?期中）當(dāng)x<0時(shí)，式子N+VjJ+Z"的值是.

2.（24-25高一上?上海浦東新?期中）計(jì)算衍=

3.（24-25高一上?上海?期中）代數(shù)式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為

3x+-3x

4.（24-25高一上?上海?期中）若j=3,且。>0,則^a—aJ的值為

ax+a~x

5.（22-23高一上?上海靜安?期中）在log?,/中，x的取值范圍是

6.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化:

(1)3<=：,對(duì)數(shù)式為.

(2)g2-f對(duì)數(shù)式為；

(3)lgx=-l,指數(shù)式為；

(4)bgp=-5,指